Исследовательская работа на тему: «Алгебраическое и графическое решение уравнений и неравенств, содержащих модуль»

Муниципальное образовательное учреждение

Средняя общеобразовательная школа №5

Исследовательская работа на тему:

«Алгебраическое и графическое решение уравнений и             неравенств, содержащих модуль»

Работу выполнил:

учащийся 10 класса

Котовчихин Юрий

Руководитель:

 преподаватель математики

Шанта Н.П.

                                               Урюпинск

Содержание:

1.Введение………………………………………………………….3

2.Понятия и определения………………………………………….5

3.Доказательство теорем…………………………………………..6

4.Способы решение уравнений, содержащих модуль…………...7

4.1.Решение при помощи зависимостей между числами a и b, их модулями и квадратами…………………………………………………………12

4.2.Использование геометрической интерпретации модуля для решения уравнений…………………………………………………………..14

4.3.Графики простейших функций, содержащих знак абсолютной величины.

………………………………………………………………………15

4.4.Решение нестандартных уравнения, содержащие модуль….16

5.Заключение……………………………………………………….17

6.Список использованной литературы……………………………18

Цель работы: уравнения с модулями ученики начинают изучать уже с 6-го класса,  они изучают стандартный метод решения с помощью раскрытия модулей на промежутках знакопостоянства подмодульных выражений. Я выбрал именно эту тему, потому что считаю, что она требует более глубокого и досконального исследования, задачи с модулем вызывают большие трудности у учащихся. В школьной программе встречаются задания, содержащие модуль как задания повышенной сложности и на экзаменах, следовательно, мы должны быть готовы к встречи с таким заданием.

1. Введение:

Слово "модуль" произошло от латинского слова "modulus", что в переводе означает "мера". Это многозначное слово(омоним), которое имеет множество значений и применяется не только в математике, но и в архитектуре, физике, технике, программировании  и других точных науках.

В архитектуре -это исходная единица измерения, устанавливаемая для данного  архитектурного сооружения и служащая для выражения кратных соотношений его составных элементов.

В технике -это термин, применяемый в различных областях техники, не имеющий универсального значения и служащий для обозначения различных коэффициентов и величин, например модуль зацепления, модуль упругости и .т.п.

Модуль объемного сжатия ( в физике)-отношение нормального напряжения в материале к относительному удлинению.

  2. Понятия и определения

    Модуль – абсолютное значение – действительного числа А обозначается |A|.

Чтобы глубоко изучать данную тему, необходимо познакомиться с простейшими определениями, которые мне будут необходимы:

Уравнение-это равенство, содержащее переменные.

Уравнение с модулем -это уравнение, содержащие переменную под знаком абсолютной величины(под знаком модуля).

Решить уравнение-это значит найти все его корни, или доказать, что корней нет.

3.Доказательство теорем

Теорема 1. Абсолютная величина действительного числа   равна большему из двух чисел a или -a.

                  Доказательство

1. Если число a положительно, то -a отрицательно, т. е. -a < 0 < a. Отсюда следует, что -a < a.

Например, число 5 положительно, тогда -5 - отрицательно и -5 < 0 < 5, отсюда -5 < 5.

В этом случае |a| = a, т. е. |a| совпадает с большим из двух чисел a и - a.

2. Если a отрицательно, тогда -a положительно и a < - a, т. е. большим числом является -a. По определению, в этом случае, |a| = -a - снова, равно  большему из двух чисел -a и a.

Следствие . Из теоремы следует, что |-a| = |a|.

В самом деле, как  , так и   равны большему из чисел -a и a, а значит равны между собой.

Теорема 2. Абсолютная величина любого действительного числа a равна арифметическому квадратному корню из А2.

В самом деле, если   то, по определению модуля числа, будем иметь lАl>0  С другой стороны, при  А>0   значит |a| = √A2

Если a < 0, тогда |a| = -a и   и в этом случае |a| =  √A2

Эта теорема дает возможность при решении некоторых задач заменять |a| на  

Геометрически |a| означает расстояние на координатной прямой от точки, изображающей число a, до начала отсчета.

Если   то на координатной прямой существует две точки a и -a, равноудаленной от нуля, модули которых равны.

Если a = 0, то на координатной прямой |a| изображается точкой 0 

4.Способы решения уравнений, содержащих модуль.

Для решения уравнений, содержащих знак абсолютной величины, мы будем основывается на определении модуля числа и свойствах абсолютной величины числа. Мы решим несколько примеров разными способами и посмотрим, какой из способов окажется проще для решения уравнений, содержащих модуль.

Пример 1. Решим аналитически и графически уравнение |x + 2| = 1.

Решение

Аналитическое решение

1-й способ

Рассуждать будем, исходя из определения модуля. Если выражение, находящееся под модулем неотрицательно, т. е. x + 2 ≥0 , тогда оно "выйдет" из под знака модуля со знаком "плюс" и уравнение примет вид: x + 2 = 1. Если значения выражения под знаком модуля отрицательно, тогда, по определению, оно будет равно:   или x + 2=-1

Таким образом, получаем, либо x + 2 = 1, либо x + 2 = -1. Решая полученные уравнения, находим:   Х+2=1         или        Х+2+-1

                   Х=-1                          Х=3

Ответ:  -3;-1.

Теперь можно сделать вывод: если модуль некоторого выражения равен действительному положительному числу a, тогда выражение под модулем равно либо  a, либо -а .

Графическое решение

      Одним из способов решения уравнений, содержащих модуль является графический способ. Суть этого способа заключается в том, чтобы построить графики данных функций. В случае, если графики пересекутся, точки пересечений данных графиков будут является корнями нашего уравнения. В случае, если графики не пересекутся, мы сможем сделать вывод, что уравнение корней не имеет. Этот способ, вероятно, реже других применяют для решения уравнений, содержащих модуль, так как, во-первых, он занимает достаточно много времени и не всегда рационален, а, во-вторых, результаты, полученные при построении графиков, не всегда являются точными.

Другой способ решения уравнений, содержащих модуль- это способ разбиения числовой прямой на промежутки. В этом случае нам нужно разбить числовую прямую так, что по определению модуля, знак абсолютной величины на данных промежутках можно будет снять. Затем, для каждого из промежутков мы должны будем решить данное уравнение и сделать вывод, относительно получившихся корней(удовлетворяют они нашему промежутку или нет). Корни, удовлетворяющие промежутки и дадут окончательный ответ.

                                                     2-й способ

Установим, при каких значениях x, модуль равен нулю: |Х+2|=0           ,  Х=2  

Получим два промежутка, на каждом из которых решим уравнение:

Получим две смешанных системы:

(1) Х+2<0              (2) Х+2>0

   Х<-2                    Х≥0

   -Х-2=1                 Х+2=1

Решим каждую систему:

    Х<-2                    X≥-2

    X=-3                    X=-1

Ответ: -3;-1.  

Графическое решение

y= |X+2|, y= 1.

Графическое решение

Для решения уравнения графическим способом, надо построить графики функций   и  

Для построения графика функции  , построим график функции   - это функция, пересекающая ось OX и ось OY  в точках.

Абсциссы точек пересечения графиков функций дадут решения уравнения.

Прямая графика функции y=1 пересеклась с графиком функции y=|x + 2| в точках с координатами (-3; 1) и  (-1; 1), следовательно решениями уравнения будут абсциссы точек:

x=-3, x=-1

Ответ:  -3;-1

Пример 2. Решить аналитически и графически уравнение 1 + |x| = 0.5.

                     Решение:

Аналитическое решение

Преобразуем уравнение: 1 + |x| = 0.5

                                                 |x| =0.5-1

                                                 |x|=-0.5

 Понятно, что в этом случае уравнение не имеет решений, так как, по определению, модуль всегда неотрицателен.

Ответ: решений нет.

Графическое решение

Преобразуем уравнение: : 1 + |x| = 0.5

                                                   |x| =0.5-1

                                                   |x|=-0.5

Графиком функции   являются лучи - биссектрисы 1-го и 2-го координатных углов. Графиком функции   является прямая, параллельная оси OX и проходящая через точку -0,5 на оси OY.

Графики не пересекаются, значит уравнение не имеет решений.

Ответ: нет решений.

Пример 3. Решите аналитически и графически уравнение |-x + 2| = 2x + 1.

                        Решение:

Аналитическое решение

1-й способ

Прежде следует установить область допустимых значений переменной. Возникает естественный вопрос, почему в предыдущих примерах не было необходимости делать этого, а сейчас она возникла.

Дело в том, что в этом примере в левой части уравнения модуль некоторого выражения, а в правой части не число, а выражение с переменной, - именно это важное обстоятельство отличает данный пример от предыдущих.

Поскольку в левой части - модуль, а в правой части, выражение, содержащее переменную, необходимо потребовать, чтобы это выражение было неотрицательным, т. е.   Таким образом, область допустимых

значений модуля  

Теперь можно рассуждать также, как и в примере 1, когда в правой части равенства находилось положительной число. Получим две смешанных системы:

(1)   -X+2≥0      и        (2)   -X+2<0

        -X+2=2X+1;                X-2=2X+1

Решим каждую систему:

(1)   входит в промежуток   и является корнем уравнения.

       X≤2

       X=⅓

 (2)   X>2

        X=-3

 x = -3  не входит в промежуток   и не является корнем уравнения.

Ответ: ⅓.

4.1.Решение при помощи зависимостей между         числами a и b, их модулями и квадратами этих             чисел.

Помимо приведенных мною выше способов существует определенная равносильность, между числами и модулями данных чисел, а также между квадратами и модулями данных чисел:

  |a|=|b|            a=b или a=-b

   a2=b2                     a=b или a=-b                                        

Отсюда в свою очередь получим, что

|a|=|b|            a2=b2

Пример 4. Решим уравнение |x + 1|=|2x - 5| двумя различными способами.

1.Учитывая соотношение (1), получим:

  x + 1=2x - 5             или              x + 1=-2x + 5

x - 2x=-5 - 1                                x + 2x=5 - 1

       -x=-6|(:1)                                     3x=4

        x=6                                               x=11/3

Корень первого уравнения x=6, корень второго уравнения x=11/3

Таким образом корни исходного уравнения x1=6, x2=11/3

2. В силу соотношения (2), получим

(x + 1)2=(2x - 5)2,      или       x2 + 2x + 1=4x2 - 20x + 25

                          x2 - 4x2 +2x+1 + 20x - 25=0

                                           -3x2 + 22x - 24=0|(:-1)

                                            3x2 - 22x + 24=0

D/4=121-3   24=121 - 72=49>0 ==>уравнение имеет 2 различных корня.

x1=(11 - 7 )/3=11/3

x2=(11 + 7 )/3=6

Как показывает решение, корнями данного уравнения также являются числа 11/3 и 6

Ответ: x1=6, x2=11/3

Пример 5. Решим уравнение (2x + 3)2=(x - 1)2.

Учитывая соотношение (2), получим, что |2x + 3|=|x - 1|, откуда по образцу предыдущего примера(и по соотношению (1)):

2х + 3=х - 1                           или                          2х + 3=-х + 1

2х - х=-1 - 3                                                           2х+ х=1 - 3

         х=-4                                                                       х=-0,(6)

Таким образом корнями уравнения являются х1=-4, и х2=-0,(6)

Ответ: х1=-4, х2=0,(6)

Пример 6. Решим уравнение |x - 6|=|x2 - 5x + 9|

Пользуясь соотношением, получим:

х - 6=х2 - 5х + 9                          или              х - 6 = -(х2 - 5х + 9)

-х2 + 5х + х - 6 - 9=0 |(-1)                                x - 6=-x2 + 5x - 9

x2  - 6x + 15=0                                                   x2 - 4x + 3=0

D=36 - 4   15=36 - 60= -24 <0==>                  D=16 - 4   3=4 >0==>2 р.к.

==> корней нет.      

                                                                         X1=(4- 2 )  /2=1

                                                                         x2=(4 + 2 )  /2=3      

Проверка: |1 - 6|=|12 - 5   1 + 9|                |3 - 6|=|32 - 5   3  + 9|

                         5 = 5(И)                                     3 = |9 - 15 + 9|

                                                                            3 = 3(И)

Ответ: x1=1; x2=3

4.2.Использование геометрической интерпретации модуля для решения уравнений.

Геометрический смысл модуля разности величин -это расстояние между ними. Например, геометрический смысл выражения |x - a | -длина отрезка координатной оси, соединяющей точки с абсциссами а и х.  Перевод алгебраической задачи на геометрический язык часто позволяет избежать громоздких решений.

Пример7. Решим уравнение |x - 1|  + |x - 2|=1 с использованием геометрической интерпретации модуля.

Будем рассуждать следующим образом: исходя из геометрической интерпретации модуля, левая часть уравнения представляет собой сумму расстояний от некоторой точки абсцисс х до двух фиксированных точек с абсциссами 1 и 2. Тогда очевидно, что все точки с абсциссами из отрезка [1; 2] обладают требуемым свойством, а точки, расположенные вне этого отрезка- нет. Отсюда ответ: множеством решений уравнения является отрезок [1; 2].

Ответ:  [1; 2]

Пример8.  Решим уравнение |x - 1| - |x - 2|=1 1 с использованием геометрической интерпретации модуля.

Будем рассуждать аналогично предыдущему примеру, при этом получим, что разность расстояний до точек с абсциссами 1 и 2 равна единице только для точек, расположенных на координатной оси правее числа 2. Следовательно решением данного уравнения будет является не отрезок, заключенный между точками 1 и 2, а луч, выходящий из точки 2, и направленный в положительном направлении оси ОХ.

Ответ:  [2; +∞ )

4.3. Графики простейших функций, содержащих знак абсолютной величины

Под простейшими функциями понимают алгебраическую сумму модулей линейных выражений. Сформулируем утверждение, позволяющее строить графики таких функций, не раскрывая модули ( что особенно важно, когда модулей достаточно много ): "Алгебраическая сумма модулей n линейных выражений представляет собой кусочно-линейную функцию, график которой состоит из n +1 прямолинейного отрезка. Тогда график может быть построен по n +2 точкам, n из которых представляют собой корни внутримодульных выражений, ещё одна -- произвольная точка с абсциссой, меньшей меньшего из этих корней и последняя -- с абсциссой, большей большего из корней.

Например:

1)f(x)=|x - 1| Вычисляя функции в точках 1, 0 и 2, получаем график, состоящий из двух отрезков(рис.1)

2) f(x)=|x - 1| + |x - 2| Вычисляя значение функции в точках с абсциссами 1, 2, 0 и 3, получаем график, состоящий из двух отрезков прямых.(рис.2)

4.4.Решение нестандартных уравнений, содержащих модули.

Пример9. Решить уравнение 3| x + 2 | + x2 + 6x + 2 = 0.

                                       Решение.

Рассмотрим два случая.

1. X≥-2                                  2.       X<-2

3X+ 6+ X2+ 6X+2=0,                 -3X- 6 +X2 +6X +2=0,

X2+9X+8=0,                               X2+3X -4=0,

   X1=-1,                                      X3=-4,

         X2=-8 .                                     X4=1.

Ответ: {- 4; - 1}.

                                            Графический способ.

Построим графики функций y = |(x-1)(x-3)| и y=1-|x-4 |

1)в Гy = |(x-1)(x-3)| подставим значение х=1 и х=3. Мы получим у=0,

То есть пересечение графика с осью ОХ. При х равном нулю у=3, то есть график пересекается с осью ОУ в точке (0 ;3). И при х=4 у также равен 3- мы получили первый график.

2) y=1-|x-4 | Найдем пересечение с осью ОХ, для этого решим простое уравнение: 1-|x-4|=0

                                              |x-4|=1

                       x - 4=1                    или         x - 4=-1

                            x=5                                         x=3

Следовательно данный график пересекает ось ОХ в точках 5 и 3.

При х=4 у=1 и как видно из графика: графики обеих функций пересекаются в одной точке 3

Ответ: 3

Пример 8 .lX-1l-lX-3l-2=-√X.

                                    Решение

Строим график функции f(x)=lX-1l- lX-3l-2.

Строим график функции g(x)=-√X, для построения достаточно отобразить симметрично относительно оси абсцисс график «корня» (у=√Х).

Далее можно быстро завершить решение, заметив, что графики функций имеют единственную точку пересечения, расположенную в интервале (1;3), где lХ-1l=Х-1, lХ-3l=3-Х. Поэтому Х-1-(3-Х)-2=-√X, 2Х+√X -6=0.

                                                            2Х-6=√X

                                                            4Х2-24Х+36=Х

                                                            4Х2 -25Х+36=0

                                                    D=B2-4*A*C,

                                                    D=625-4*4*36=49

                                                    X½=-B±√D

                                                                      2A

                                                                X½=-25±7

                                                              8

Ответ:4;2¼.

Пример   9. Решить графически уравнение

                          llХ-1l-2l=1

                                    Решение.

Х=1

 Построить График функции у= llХ-1l+2l.

   Пример 10. Решить графически уравнение |1 - x| - |2x + 3| + x + 4=0

                                            Решение:

Представим уравнение в виде |1 - x| - |2x + 3| =-х - 4

Построим два графика у=|1 - x| - |2x + 3| и у=-х - 4

1) у=|1 - x| - |2x + 3|

Критические точки: х=1, х=-1.5

(1 - х)    ________+________|______ +____________|_____-______ >

(2х +3)                   -            -1.5            +                       1         +

а) х< -1.5,  (1- x)>0 и (2х + 3)<0, т.е функция примет вид у=1 - х + 2х + 3,

у=х + 4 -графиком является прямая, проходящая через две точки (0; 4), (-4; 0)

б)При -1.5    x  <1, (1 - х)>0 и (2x +3)  0, т.е функция примет вид

у=1 - х - 2х -3, у=-3х - 2 -графиком является прямая, проходящая через две точки (0; -2), (-1; 1).

в)При х  1, (1 - х)  0 и (2х + 3)>0, т.е. функция примет вид у= -1 + х - 2х - 3,

у= -х - 4 -графиком является прямая, проходящая через две точки (0; -4),

(-4; 0).

График функции у= - х - 4 совпадает с графиком у=|1 - x| - |2x + 3|, при х  1,

Поэтому решением являются все х  1 и х= -4

Ответ: х  1,х= -4

                                Аналитическое решение.

y=|1 - x| - |2x + 3|

y=-x - 4

Построим числовую прямую так, чтобы по определению модуля знак абсолютной величины числа можно будет снять. Для этого найдем критические точки: 1- х=0   и     2х - 3 =0,          

                                       х=1                  х=-1,5                                                                

___________х<-1,5_____|_______-1,5  x <1_____|_________x  1__________

|1 - x|=1 - x                          |1 - x|=1 - x                       |1 - x|=-1 + x

|2x + 3|=-2x - 3                    |2x + 3|=2x + 3                   |2x + 3|=2x + 3

1 - x + 2x + 3 + x + 4=0       1 - x - 2x - 3 + x +4=0      -1 + x - 2x - 3 + x + 4=0

                              2x=-8                                 -2x=-2                                       0x=0

                                x=-4                                     x=1        ==>x - любое число.                      

Удовлетворяет данному      Не удовлетворяет             ==>x  [1; +  )

Промежутку ==> является        данному                        ==> x  1 корень уравнения

корнем уравнения.                Промежутку ==>не  

                                                 является корнем

                                                 уравнения.

Объединив данные промежутки, получим, что решением данного уравнения являются: x=-4  и   x  1                                  

Ответ: x=-4,  x  1                  

 5. Заключение.

        Таковы наиболее важные и интересные, с нашей точки зрения, типичные случаи функций, аналитическое выражение которых содержит знак абсолютной величины, и графики  которых надо строить на практике так:

1. Освободиться от знака модуля, используя его определение;
2. Находить критические («узловые», точки «перелома») точки, в которых, выражения, стоящие под знаком модуля, обращаются в нуль;
3. Разбить область допустимых значений переменной на промежутки, на каждом из которых выражения, стоящие под знаком модуля сохраняют знак;
4. На каждом из найденных промежутках строить график функции.

Как показывают результаты нашей исследовательской работы, применение знаний на практике по построению графиков функции, содержащих знак модуля, дает хорошую возможность сочетать «алгоритмический» подход с творческим поиском и анализом, что развивает все виды мышления.

        Умение строить графики с модулем позволяют решать любые задачи, содержащие модули и параметры.

Рассмотрим одну из задач ЕГЭ:

Сколько корней имеет уравнение || х | - 2| = а при различных значениях параметра а.

        Решим графически: у = || х | - 2| и у = а.

Графики изображены на рисунке 9.

Ответ: если а < 0, то корней нет;

                   если а = 0 и а > 2, то два корня;

                   если а = 2, то три корня;

                   при 0 < а < 2, то четыре корня.

 6.Список использованной литературы.

1.        Учебник математики для Х класса - К. Вельскер, Л. Лепманн,Т.

Лепманнн.

2.Уравнения и неравенства - Башмаков М. И.

3.Задачи всесоюзных математических олимпиад-Васильев Н.Б., Егоров А.А.

4.Задачи вступительных экзаменов по математике- Нестеренко Ю.В.,

Олехник С.Н., Потапов М.К.

5.Башмаков М.И. Уравнения и неравенства. – М.: ВЗМШ при МГУ, 1983.

6.Виленкин Н.Я. и др. Алгебра и математический анализ. 11кл. – М.: Просвешение,1993.

7.Гайдуков И.И. Абсолютная величина. – М.: Просвещение, 1968.

8.Галицкий М.Л. и др. Сборник задач по алгебре 8–9 кл. – М.: Просвещение, 1995.

9.Говоров В.М. и др. Сборник конкурсных задач по математике. - М.: Просвещение, 1983.

10.Мерзляк А.Г. и др. Алгебраический тренажер. - М.: Илекса, 2001

11.Мордкович А.Г. Алгебра. 8 кл. – М.: Мнемозина ,2000.

12.Никольская И.Л. Факультативный курс по математике. М.: Просвещение, 1995.

13.Олехник С.Н. и др. Уравнения и неравенства. Нестандартные методы решения. 10-11 кл. – М.: Дрофа, 1995.

14. Электронный учебник «Алгебра 7-11».

15. Ястребинецкий Г.А. Задачи с параметрами. – М.: Просвещение, 1986.