Задача построения середины отрезка

ЗАДАЧА ПОСТРОЕНИЯ СЕРЕДИНЫ ОТРЕЗКА, ЗАДАННОГО СВОИМИ КОНЦАМИ,  С ПОМОЩЬЮ РАЗЛИЧНЫХ ИНСТРУМЕНТОВ

Путивская Юлия Олеговна,

ученица 9 класса МОУ «Зинаидинская

основная общеобразовательная школа»

Первые задачи на построение возникли в глубокой древности. Возникли они из хозяйственных потребностей человека. Уже древним архитекторам и землемерам приходилось решать простейшие задачи на построение, связанные с их профессией. Решения простейших геометрических задач на построение, которые помогали людям в их хозяйственной жизни, формулировались в виде «практических правил», исходя из наглядных соображений. Именно эти задачи и были основой возникновения наглядной геометрии, нашедшей довольно широкое развитие у древних народов Египта, Вавилона,  Индии и др. Геометрические построения привлекли внимание древнегреческих математиков ещё в VI—V вв. до нашей эры. Первым греческим ученым, который занимался решением геометрических задач на построение, был Фалес Милетский    (624—547 гг. до н. э.). Ими занимались почти все крупные греческие геометры: Пифагор (VI в. до н. э.) и его ученики, Гиппократ (V в. до н. э.), Евклид, Архимед, Аполлоний (III век до н. э.), Папп (III в. н. э.) и многие другие.

Математики из школы Пифагора уже сумели справиться с такой сравнительно сложной задачей, как построение правильного пятиугольника. В V в. до н. э. возникли знаменитые классические задачи о квадратуре круга, об удвоении куба, о трисекции угла (см. гл. VII). Эти задачи, которые, как оказалось впоследствии, не разрешимы с помощью циркуля и линейки, в течение многих веков вызывали живейший интерес различных исследователей. В IV в. до н. э. греческие мыслители разработали ту общую схему решения геометрической задачи на построение (анализ — построение—доказательство— исследование), которой мы пользуемся и поныне.

Вся история геометрии и некоторых других разделов математики тесно связана с развитием теории геометрических построений. Важнейшие аксиомы геометрии, сформулированные основоположником научной геометрической системы Евклидом около 300г. до н. э., ясно показывают, какую роль сыграли геометрические построения в формировании геометрии. «От всякой точки до всякой точки можно провести прямую линию», «Ограниченную прямую можно непрерывно продолжать», «Из всякого центра и всяким раствором может быть описан круг»—эти постулаты Евклида явно указывают на основное положение конструктивных методов в геометрии древних.

Изучая геометрию в 7 классе, я познакомилась с решением задач на построение с помощью циркуля и линейки. Передо мной возник вопрос: «А возможно ли выполнить решение этих простейших задач с помощью каких-либо других инструментов,  и существуют ли они?» Обратившись с этим вопросом к учителю математики, я получила взамен следующую книгу: Геометрические построения на плоскости, Б.И. Аргунов и М.Б.Балк – Учпедгиз, 1955.

Прочитав многие её главы, я узнала, что наиболее употребляемыми инструментами геометрических построений являются: линейка (односторонняя), циркуль, двусторонняя линейка (с параллельными краями), прямой угол и некоторые другие.

 Для конструктивной геометрии необходимо располагать точным и для математических целей полным описанием того или иного инструмента. Такое описание даётся в форме аксиом. Эти аксиомы в абстрактной математической форме выражают те свойства реальных чертёжных инструментов, которые используются для геометрических построений.

Сформулирую соответствующие аксиомы.

        Аксиома линейки.

 Линейка позволяет выполнить следующие геометрические построения:

а)        построить отрезок, соединяющий две построенные точки;

б)        построить прямую, проходящую через две построенные точки;

в)        построить луч, исходящий из построенной точки и проходящий через другую построенную точку.

Аксиома циркуля.

Циркуль позволяет выполнить следующие геометрические построения:

а)        построить окружность, если построены центр окружности и концы отрезка, равного радиусу окружности;

б)        построить любую из двух дополнительных дуг окружности, если построен центр окружности и концы дуги.

Аксиома двусторонней линейки.

 Двусторонняя линейка позволяет:

а)        выполнить любое из построений, перечисленных в аксиоме линейки;

б)        в каждой из полуплоскостей, определяемых построенной прямой, построить прямую, параллельную данной прямой и проходящую от неё на расстоянии h, где h — фиксированный для данной линейки отрезок
(ширина линейки);

в) если построены две точки А и В, то установить, будет ли АВ больше некоторого фиксированного отрезка (ширина линейки), и если AB>h, то построить две пары параллельных прямых, проходящих соответственно через точки А и В и отстоящих одна от другой на расстоянии h.

 Аксиома  прямого  угла.  

Прямой  угол  позволяет    выполнить    следующие    геометрические    построения:

а)        все построения, выполнимые односторонней линейкой;

б)        через  данную точку плоскости провести прямую, перпендикулярную некоторой построенной прямой;

в)        если построены отрезок АВ и некоторая фигура Ф, то установить, содержит ли фигура Ф точку, из которой   отрезок   виден  под   прямым углом, и если такая точка существует, то построить такую точку.

Задача на построение состоит в том, что требуется построить наперёд указанными инструментами некоторую фигуру, если дана некоторая другая фигура и указаны некоторые соотношения между элементами искомой фигуры и элементами данной фигуры.

Каждая фигура, удовлетворяющая условиям задачи, называется решением этой задачи.

Найти решение задачи на построение — значит свести её к конечному числу основных построений, т. е. указать конечную последовательность основных построений, после выполнения,  которых искомая фигура будет  уже   считаться    построенной  в силу принятых    аксиом    конструктивной геометрии. Перечень допустимых основных построений, а,  следовательно, и ход решения задачи существенно зависит от того, какие именно инструменты употребляются для построений.

В качестве примера рассмотрю следующую задачу:

Построить   середину   отрезка,   заданного   своими   концами  А и  В.

Найдём решение этой задачи с помощью различных инструментов.

1. Циркулем  и   линейкой  

 (построение изучается в 7 классе, п.23 Примеры задач на построение)

Пусть АВ — данный отрезок. Построим две окружности с центрами А и В радиуса АВ (). Они пересекаются в точках Р и Q. Проведем  прямую PQ. Точка О пересечения этой прямой с отрезком АВ и есть искомая середина отрезка АВ.

В самом деле, треугольники APQ и BPQ равны по трем сторонам, поэтому  1 =2 ().

Следовательно, отрезок РО — биссектриса равнобедренного треугольника АРВ, а значит, и медиана, т. е. точка О — середина отрезка АВ.

2. Циркулем (рисунок ниже описания)

Строим последовательно:

1. окружность с центром В радиусом ВА;
2. окружность с центром А радиусом АВ;
3. общую  точку  С - точку пересечения окружностей   с центром В радиусом ВА и с центром А радиусом АВ;
4. окружность с центром С  радиусом СА;
5. общую  точку   D -  точку пересечения окружностей   с центром В радиусом ВА и с центром А радиусом АC, отличную от точки  А;
6. окружность  с центром D радиусом DB;

7) общую  точку   Е -  точку пересечения окружностей   с центром В радиусом ВА и с центром D радиусом DB, отличную от точки  C; 

Заметим, что точки А, В и Е расположены на одной прямой, причём АЕ = 2АВ. Строим далее:

8) окружность с центром Е радиусом ЕА;

9) окружность с центром А радиусом АВ пересекает окружность с центром Е радиусом ЕА в точках M и N

10) окружность с центром M радиусом MA;

11) окружность с центром N радиусом NA;

12) общую  точку  X - точку пересечения окружностей   с центром M радиусом MА и с центром N радиусом NA, отличную от А.

Нетрудно   усмотреть, что точка X расположена на прямой.

Кроме   того,   треугольник  АМХ  подобен   треугольнику АЕМ, так   как  они  равнобедренные и имеют   общий   угол   МАЕ   при   основании.   Поэтому   АХ: AM =  АМ :АЕ или АХ : АВ = АВ : 2АВ,   так что

АХ =  АВ и, значит, точка X искомая.

3. Двусторонней  линейкой (рисунок ниже описания).

Строим последовательно:

1) прямую АВ;

 2) прямую а, параллельную АВ   и проходящую  на расстоянии h от неё

(h — ширина   линейки);

 3) прямую b, параллельную а, отстоящую от неё на расстоянии h и отличную от прямой АВ;

 4) точку С на прямой b;

5) прямые АС и ВС;

   6) точки D – точку пересечения прямых а и АC   и   Е – точку пересечения прямых а и ВС;
7) прямые АЕ и BD;        

8) точку Р – точку пересечения прямых АЕ и ВD;

9) Прямую СР;        

10) точку Х - точку пересечения прямых СР и АВ.  

Так как DE — средняя линия   треугольника АСВ, то АЕ и  BD — его  медианы,   а   следовательно,   и  СР — медиана, так что точка X искомая.

4.   Прямым   углом   (рисунок ниже описания)

1)        Строим прямую АВ;

2)        проводим  прямые АА'   и   ВВ',   перпендикулярные
прямой АВ;

3)        выбираем на АА' произвольную точку С, отличную от А ;

4)        через точку С проводим СС' АС.
Далее строим  последовательно:

5)        точку D - точку пересечения прямых CC' и BB';

6)        прямые AD и ВС;

7)        точку P - точку пересечения прямых  AD и BC;

8. прямую РР'АВ;
9. точку Х - точку пересечения прямых  РР' и АВ.

Точка X искомая.

Таким образом,  рассмотрены различные способы решения одной и той же задачи на построение, с использованием различных инструментов.