Неравенство Коши

Опубликовано Сафронова Алевтина Владимировна вкл 07.12.2013 - 10:16

Автор:

Белавина Ксения

Неравенства играют фундаментальную роль в большинстве разделов современной математики, без них не может обойтись ни физика, ни математическая статистика, ни экономика. Не обойтись без них ни химии, ни астрономии. Теория вероятностей, математическая статистика, финансовая математика, экономика - все эти взаимопроникающие и обобщающие друг друга науки и в формулировках основных своих законов, и в методах их получения, и в приложениях постоянно используют неравенства. Неравенства участвуют в получении и обосновании многих важных математических результатов, помогающих разобраться в законах и методах математической системы и экономики.

Скачать:

Вложение	Размер
algebra.doc	92.5 КБ

Предварительный просмотр:

НЕРАВЕНСТВО КОШИ

Введение

"Основные результаты математики

чаще выражаются неравенствами,

а не равенствами".

Э.Беккенбах, Р.Беллман.

1. Неравенства играют фундаментальную роль в большинстве разделов современной математики, без них не может обойтись ни физика, ни математическая статистика, ни экономика. Не обойтись без них ни химии, ни астрономии. Теория вероятностей, математическая статистика, финансовая математика, экономика - все эти взаимопроникающие и обобщающие друг друга науки и в формулировках основных своих законов, и в методах их получения, и в приложениях постоянно используют неравенства. Неравенства участвуют в получении и обосновании многих важных математических результатов, помогающих разобраться в законах и методах математической системы и экономики.

С помощью классических неравенств во многих случаях можно осуществить исследования на максимум и минимум целого ряда функций без обращения к нахождению и исследованию их производных (тем более, что производная исследуемой функции может отсутствовать).

Задачи, относящиеся к наибольшим и наименьшим значениям или задачи на максимум и минимум более привлекательны, чем другие математические задачи и это имеет простые причины. У каждого из нас есть свои личные задачи. Эти задачи очень часто являются своего рода задачами на максимум или минимум. Мы хотим получить определенный предмет за наиболее низкую возможную цену, или наибольший возможный эффект при определенном усилии, или максимальную работу, произведенную за данное время, и конечно, хотим как можно меньше рисковать. Математические задачи на максимум привлекательны потому, что они идеализируют наши повседневные задачи.

То, что подобные задачи на оптимизацию встречались еще в глубокой древности, донесли до нас мифы Древней Греции и Рима. Вот один из таких мифов, наполовину древнегреческий, наполовину древнеримский. Дочь царя Тира, Дидона, жена жреца храма Геракла Акербаса вынуждена была бежать из Финикии, в Северную Африку. Причина бегства - ее брат, Пигмалион, позаривщийся на богатства ее мужа и убивший его. Многочисленные сокровища мужа и (видимо поэтому) многочисленные спутники Дидоны нуждались в пристанище. Чтобы обрести его беглянка купила у берберийского царя Ярба землю, причем по условию она в обмен на немалые сокровища могла взять ровно столько земли, сколько покроет одна бычья шкура. Чтобы выполнить это условие и получить достаточно большую территорию, Дидона разрезала шкуру на тонкие ремни ,сделала из них длинную веревку и "окружила" ею изрядный кусок земли, естественно, круглой формы, на котором основала Карфаген.

Задача, которую решила Дидона, может быть сформулирована так: найти замкнутую кривую заданной длины, ограничивающую часть плоскости с максимальной площадью. Задачи типа задачи Дидоны называются в математике изопериметрическими задачами (от греческого слова isos - равный и perimetrio - измеряю вокруг).

2. Неравенство Коши, его частные случаи.

Одно из самых известных замечательных неравенств - это соотношение между средним арифметическим и средним геометрическим нескольких действительных неотрицательных чисел, опубликованное в 1821 году французским математиком Агюстеном Луи Коши и ставшее столь популярным, что для него к настоящему времени найдены десятки доказательств и сотни применений.

2.1. "Школьный" вариант неравенства Коши.

Докажите, что для любых неотрицательных a и b справедливо неравенство

(a + b) / 2 ≥ √ ab,

причем равенство имеет место тогда и только тогда, когда a=b.

Решение. Составим и преобразуем разность между левой и правой частями доказываемого равенства, а затем сравним эту разность с 0:

a+b/2-√ab=(a-2√ab + b)/2=1/2(√a-√b)²≥0,

что и доказывает исследуемое неравенство, а также дает условие реализации этого соотношения в варианте равенства, а именно, когда a=b.

2.2. Докажите, что для любых неотрицательных a, b, c, d справедливо неравенство (неравенство Коши для четырех переменных):

(a+b+c+d)/4≥4√abcd¸

при чем это соотношение реализуется в варианте равенства только если a=b=c=d.

Решение. (a+b+c+d)/4=((a+b)/2+(c+d)/2)/2≥(√ab+√cd)/2≥√√ab·√cd=4√abcd¸

причем равенство имеет место тогда и только тогда, когда одновременно выполняются три условия: (a+b)/2=√ab; (c+d)/2=√cd; √ab=√cd¸ т.е. когда a=b=c=d. Доказательство завершено.

2.3.Теорема. Неравенство Коши для произвольного числа параметров.

Для любых действительных неотрицательных чисел x1, х2, …, хn справедливо следующее неравенство (x1+ х2+ …+ хn)/n ≥ n √ x1 · х2 · … · хn

причем равенство имеет место тогда и только тогда, когда x1= х2= …= хn

Левая часть написанного выше неравенства называется средним арифметическим величин x1, х2, …, хn, а правая часть средним геометрическим. Иногда теорему называют "теоремой о среднем арифметическом и среднем геометрическом ", или короче "теоремой о средних".

Другие варианты записи неравенства Коши:

а) ((x+, х2+ …+ хn)/n)n ≥ x1 · х2 · … · хn

б) (x1 + х2 + … + хn)n ≥ nn · x1 · х2 · … · хn

2.4. Неравенство Коши - Буняковского.

Теорема 1. Для любых действительных чисел a1, a2¸ …, аn, b1, b2¸ …, bn (n - любое натуральное число, больше 1) справедливо следующее неравенство

(a1b1+a2b2+…+аnbn)²≤(a1²+ a2²+…+ an²)(b1²+ b2²+…+ bn²) или a1b1+a2b2+…+аnbn ≤√ a1²+ a2²+…+ a2n · √ b1²+ b2²+…+ bn² , именуемое неравенством Коши - Буняковского, причем данное соотношение реализуется в варианте равенства тогда и только тогда, когда выполняются условия b1/а1= b2/а2=…= bn/аn.

Доказательство.

1. Пусть а1=а2=…= аn=0 и утверждения теоремы 1 очевидно справедливы.

2. Пусть теперь хотя бы одно из чисел а1, а2,… аn отлично от нуля. Введем тогда следующие обозначения: А= a1²+ a2²+…+ an²>0, С=b1²+ b2²+…+ bn², В= a1b1+a2b2+…+аnbn, позволяющие записать изучаемое неравенство в следующем виде В2 ≥ АС. Очевидно, что ему будет равносильно неравенство (2В)2 – 4АС ≤ 0, что подсказывает ввести в рассмотрение следующую вспомогательную функцию f(x)=Ax2 + 2Bx+C, xєR. Легко видеть, что f(x)=Ax2 + 2Bx+C= (a1²+ a2²+…+ an)х2+2(a1b1+a2b2+…+аnbn)х+(b1²+ b2²+…+ bn²)=( a1х+b1)2 +… +( аnх+bn)2, т.е. при любом х значение этой квадратичной функции (с положительным коэффициентом при х2) неотрицательно, а это означает, что дискриминант рассматриваемого трехчлена меньше или равен нулю, т.е. D=4В2-4АС≤0, а значит, В2≤А·С, иначе говоря, для любых действительных чисел а1, а2,… аn , b1, b2, …,bn справедливо неравенство Коши-Буняковского: (a1b1+a2b2+…+аnbn)2≤(a1²+ a2²+…+ an)(b1²+ b2²+…+ bn²), причем равенство в полученном соотношении достигается тогда и только тогда, когда D=0, т.е. когда график функции f(x) касается оси ОХ, а значит, уравнение Ax2 + 2Bx+C=0 имеет ровно один корень, т.е. когда следующая система уравнений совместна:

a1х+b1=0,

аnх+bn=0,

т.е. когда b1 / a1 = b2 / a2 =…= bn / аn . Теорема доказана.

3.Свойство монотонности среднего степенного.

Сα(а) =(( a1α+ a2α+…+ anα)/п)1/α – среднее степенное порядка α положительных чисел а1, а2,… аn. Для действительных α и β, таких, что α ≤ β имеет место неравенство (свойство монотонности) Сα(а) ≤ Сβ(а).

4. Теоремы о постоянной сумме и постоянном произведении.

Теорема 1. Если сумма двух положительных переменных величин постоянна, то произведение этих переменных имеет наибольшее значение, когда оба сомножителя принимают одинаковые значения.

Доказательство. Пусть х и у - положительные переменные величины и пусть х+у=с, где с - постоянная величина.

Применяя неравенство о среднем арифметическом и среднем геометрическом, получим: (х+у)/2≥√ху или с/2≥√ху или, наконец,

ху≤c²/4.

Отсюда видно, что наибольшее значение произведения ху равно c²/4 и получается оно при х=у.

Теорема 2. Если сумма n положительных переменных величин постоянна, то произведение этих переменных имеет наибольшее значение, когда все эти переменные принимают одинаковые значения.

Доказательство. Пусть x1, х2,…,хn - положительные переменные величины и пусть x1 + х2 + … + хn=с, где с постоянна. По теореме Коши о среднем арифметическом и среднем геометрическом имеем:

( x1 + х2 + … + хn)/ n ≥ n√ x1, х2,…,хn .

Отсюда x1 х2…хn≤(с/п)п , здесь знак равенства имеет место тогда и только тогда, когда x1 = х2 = … = хn. Следовательно, наибольшее значение произведения x1 х2…хn равно (с/п)п и получается оно при x1 = х2 = … = хn . Теорема доказана.

Теорема 3. Если произведение переменных x1, х2,…,хn постоянно, то их сумма x1 + х2 + … + хn принимает наименьшее значение при x1 = х2 = … = хn .

5. Решение задач.

5.1. Задачи на наименьшее и наибольшее значение функции.

Задача 1. Найти наибольшее значение функции f(x)=х4 (32- х4).

Решение. Заметим, что при х‹4√32 множители х4 и 32-х4 положительны, а их сумма является величиной постоянной. По теореме 1 наибольшее значение данной функции получим при условии, что

х4= 32- х4,

2х4= 32,

х4=16,

х=2.

При х=2 f(x)=24 (32- 24)= 16·16=256.

Ответ: 256.

Задача 2. Найти наибольшее значение функции f(x) =√х-2 + +√16-х.

Если f(x)≥ 0 и не удается найти наибольшее и наименьшее значение f(x), то в некоторых случаях задачу можно решить путем отыскания наибольшего или наименьшего значения функции [f(x)]2 т.е. квадрата данной функции.

Решение. х-2 ≥ 0, х ≥ 2,

16-х≥0; х ≤ 16; 2 ≤ х≤ 16.

Функция f(x) определена для значений х, удовлетворяющих неравенству

2 ≤ х≤ 16.

При х=2 и х=16 функция обращается в нуль, а при всех значениях х, заключенных между 2 и 16, она положительна.

Найдем наибольшее значение квадрата данной функции, т.е. функции 14+2√ (х-2)(16-х).

Множители (х-2) и (16-х) положительны и в сумме дают 14, т.е. постоянную величину. Следовательно, наименьшее значение получится при условии х-2=16-х,

2х=18,

х=9.

Наибольшее значение квадрата данной функции равно

14+2√ (9-2)(16-9)=14+2√49=28, а наибольшее значение самой данной функции будет равно √28.

Ответ: √28.

Задача 3. На гиперболе у=2/х найдите точки, ближайшие к началу координат.

Решение. ООФ: х≠0. Функция у=2/х – нечетная, искомых точек будет две.

Пусть кротчайшее (наименьшее) расстояние от О(0;0) до точек гиперболы М(х;у) и М1(х1;у1) будет равно d.

Тогда d=√х2+у2, где у=2/х,

d=√х2+4/х2.

х2+4/х2≥2 √х2∙4/х2,

х2+4/х2≥4,

√х2+4/х2≥2,

d≥2.

Очевидно, что dнаим.=2, если х2=4/х2, х4=4, х1=√2,

х2=-√2.

Имеем: х=√2, и х=-√2,

у=√2. у=-√2.

Ответ: М1 (√2;√2), М2 (-√2;-√2).

5.2. Задачи на экстремумы.

Задача 4. Найдите экстремумы функции у=х4-4х3+4х2.

Решение. О.О.Ф.: х - любое действительное число.

у=х2(х2-4х+4)=х2(х-2)2=х·х(2-х)(2-х)

у=0, если х=0; 2.

При 0 ≤ х ≤ 2, 2 – х ≥ 0, поэтому можно записать

(х+х+2-х+2-х)/4 ≥4√ х2 (2-х)2 ,

4√ х2 (2-х)2 ≤ 1,

х2 (2-х)2 ≤ 1,

у ≤ 1.

Находим уmax = 1 при х = 2-х, х = 1.

уmin = 0 при х = 0; 2.

Задача 5. Найдите экстремальное значение функции у = х2- х3.

Решение. D(y) = R (ООФ: х-любое действительное число).

У = х2-х3 = х2(1-х) = 1/2х2(2-2х ).

Используем неравенство Коши:

х+х+2-2х/3≥3√х∙х(2-2х),

откуда 3√х2(2-2х)≤2/3

х2(2-2х)≤8/27,

2х2(1-х)≤8/27,

2у≤8/27,

у≤4/27.

Отсюда можно сделать вывод: уmax= 4/27 при х = 2-2х, т.е. при х = 2/3.

Ответ:ymax= 4/27.

5.3. Использование свойство монотонности среднего степенного.

Задача 6. Найти наибольшее и наименьшее значение функции

У = (1+х) n +(1-х)n на [-1;1].

Решение. Воспользовавшись свойством монотонности среднего степенного, получим:

(((1+х) n+(1-х) n)/2)1/ n≥((1+х)+(1-х))/2=1.

Значит уmin= 2.

При х = 0.

Для нахождения наибольшего значения функции воспользуемся очевидными неравенствами:

((1+х)/2) n≤(1+х) и ((1-х)/2) n≤(1-х) (так как по условию 0≤(1+х) и 0≤(1-х)≤1). Сложив эти неравенства, получим:

ymax= 2 n.

Задача 7. Точка М лежит внутри треугольника, АВС - расстояние от М до стороны треугольника, НКР – соответствующие высоты. Найдите наименьшее значение выражения:

(А/Н)α+(В/К)α +(С/Р)α при α≥1.

Решение. Имеем 2S=aA+bB+cC=aH=bК=сР, где S – площадь треугольника. Разделим обе части равенства aA+bB+cC=aH на аН:

А/Н+ (b/a)(В/Н)+(с/а)(С/Н)=1, так как (b/a)=(Н/К) и (с/а)=(Н/К), то А/Н+В/К+С/Р=1.

В сумме свойства монотонности среднего степенного, получаем:

(А/Н)α+(В/К)α +(С/Р)α ≥3(⅓)α=1/3α-1 при α≥1.

Значит, наименьшее значение данного выражения равно 1/3α-1.

5.4. Применение неравенства Коши – Буняковского.

Задача 8. Найдите наименьшее и наибольшее значения функции u = х1у1+х2у2+…+хnуn, если известно, что х12+х22+…+хn2≤а2, у12+у22+…+уn2≤b2, где а,b – положительные числа .

Решение. В силу неравенства Коши – Буняковского

(х1у1+х2у2+…+хnуn)2≤(х12+х22+…+хn2 )∙( у12+у22+…+уn2) или u2≤a2b2, откуда - ab≤u≤ab. Значит, umin=-ab, umax=ab.

5.5 Геометрические задачи на максимумы и минимумы.

Задача 9. Дана плоскость поверхности ящика; найдите максимум его объема.

Решение. Ящик – прямоугольный параллелепипед. Пусть а,b,c – длины трех ребер ящика, выходящие из одной и той же вершины, S – площадь поверхности, V – объем.

Очевидно, S=2(аb+ac+bc), V=abc. Заметим, что аb+ac+bc = S/2, аb∙ac∙bc = V2.

По теореме о средних V2=(abc)‹(( аb+ac+bc)/3)3=(S/6)3, если не выполняется равенство аb=ac=bc, или a=b=c.

Иначе говоря, V‹(S/6)3/2, если ящик не являлся кубом, когда осуществляется равенство. Результат можно выразить в двух различных (хотя по существу эквивалентных) формах:

1) из всех ящиков с данной площадью поверхности куб имеет наибольший объем;

2) всех ящиков с данным объемом куб имеет наименьшую площадь поверхности.

Задача 10. Найдите среди всех треугольников с заданным периметром тот, чья площадь наибольшая.

Решение. Если обозначим стороны произвольного треугольника символами x, y и z, то по условию 0‹х‹у+z, 0‹у‹х+z, 0‹z‹х+у и х+у+z=2р, где фиксированное число р›0. Требуется определить наибольшее значение выражения S=√р(р-а)(р-b)(р-с)=√р∙√(р-а)(р-b)(р-с). Неравенство Коши немедленно дает 3√(р-а)(р-b)(р-с)≤((р-а)+(р-b)+(р-с))/3=р/3, т.е. S≤√р∙√(р/3)3=р2/3√3, причем равенство достигается тогда и только тогда, когда р-а=р-b=р-с, т.е. для равностороннего треугольника.

Задача 11. Из гранита нужно вырубить постамент в форме прямоугольного параллелепипеда, высота которого должна быть равна диагонали основания, а площадь основания должна быть равна 4м2. При каких длинах сторон основания площадь поверхности постамента будет наименьшей?

Решение. Обозначим символами х и у длины (в метрах) сторон прямоугольника, лежащего в основании постамента. Тогда высота постамента h=√х2+у2, а площадь поверхности S=2(х+у)√ х2+у2+8, причем ху=4 и х,у - положительные числа. Так как х∙у=4, х›0, у›0, то неравенство Коши дает, что х+у≥2√ху=4, а х2+у2≥2ху=8, т.е. √х2+у2≥√8. Следовательно, S≥8+16√2 (м2), причем равенство, очевидно, достигается при х=у=2.

6. Заключение. Я показала не традиционный способ решения целого ряда задач на нахождение экстремумов функции с помощью замечательного неравенства Коши. Такой способ является удобным и во многих случаях более простым и быстрым решением задач на максимум и минимум без обращения к нахождению к производной данной функции.