" Применение знаний о золотом сечении в жизни человека"

Конкурс научных проектов школьников

В рамках краевой научно-практической конференции «Эврика»

Малой академии наук учащихся Кубани

«Применение знаний о золотом сечении в жизни человека»

(Секция математика)

                                                              Автор:

                                                                      Манько Елизавета Олеговна, 9 класс

                                      МОБУ СОШ №14

                                         Кореновский район

                               Ст. Журавская

                                                 Научный руководитель:

                                                      Манько Галина Васильевна

                                          Учитель математики

                                     МОБУ СОШ №14

Кореновск

2011 г

Манько Елизавета Олеговна

Краснодарский край, станица Журавская, МОБУ СОШ №14, 9 класс

Применение знаний о золотом сечении в жизни человека

Научный руководитель: Манько Галина Васильевна, учитель математики МОБУ СОШ №14

Аннотация.

Тема исследования : Применение знаний о золотом сечении в жизни человека.

Цели исследования:

• Изучить законы золотого сечения;
• Понять, какие законы лежат в основе гармоничных созданий;
• Выяснить, где применяется знание закона золотого сечения в жизни человека;

Задачи исследования:

• Выявление и развитие математических способностей;
• Расширение математического представления по данной теме;
• Формирование устойчивого интереса к предмету;
• Развитие коммуникативных и общеучебных навыков самостоятельной работы, умение вести дискуссию, аргументировать  и т.д.;
• Формирование и развитие аналитического и логического мышления;

Методы исследования:

• Использование ресурсов сети Интернет;
• Обращение к справочной литературе;
• Проведение исследовательской работы;

  Вывод:

• Эта работа может быть использована на уроке геометрии как дополнительный материал, для проведения элективных курсов или факультативов по математике, а также во внеклассной работе по математике

2

Манько Елизавета Олеговна

Краснодарский край, станица Журавская, МОБУ СОШ №14, 9 класс

Применение знаний о золотом сечении в жизни человека

Научный руководитель: Манько Галина Васильевна, учитель математики МОБУ СОШ №14

Оглавление.

1. Введение……………………………………………………………………3
2. Основная часть……………………………………………………………4

      2.1 « Золотое сечение» в математике……………………………………………...4

2.2 « Золотое сечение» в скульптуре и архитектуре...............................................5

2.3 « Золотое сечение» в живописи, шрифтах и бытовых предметах.………….6

2.4  « Золотое сечение» в растительном и животном мире……………………...7

2.5 « Золотое сечение» в музыке и фотографии………………………………….8

3. Заключение……………………………………………………………………..9

4.Список использованных источников и литературы……………………..10

            Приложения………………………………………………………………………11

Приложение I……………………………………………………………………..11

Приложение II…………………………………………………………………….12

Приложение III……………………………………………………………………13

Приложение IV……………………………………………………………………14

Приложение V…………………………………………………………………….15-18

3

Манько Елизавета Олеговна

Краснодарский край, станица Журавская, МОБУ СОШ №14, 9 класс

Применение знаний о золотом сечении в жизни человека

Научный руководитель: Манько Галина Васильевна, учитель математики МОБУ СОШ №14

Введение.

     С древности, наблюдая за окружающей природой и создавая произведения искусства, люди искали закономерности, которые позволяли бы определить прекрасное, т. е. пытались вывести «формулу красоты».

Ряд «формул красоты» известен. Это — правильные  геометрические формы: квадрат, круг, равносторонний  треугольник и т. Д.; это —  законы симметрии. Можно привести множество примеров присутствия симметрии в окружающем нас мире. Симметрию легко обнаружить в природных и рукотворных формах. Эстетическое наслаждение, получаемое человеком при наблюдении совершенных форм предмета, объясняется не только выполнением законов симметрии, но и присутствием так называемой «божественной» пропорции, «золотого сечения» в соотношении частей, на которые предмет делится естественным образом. Соблюдение пропорций в природе, искусстве, архитектуре означает соблюдение определенных соотношений между размерами отдельных частей растения, скульптуры, здания. «Золотое сечение» являлось критерием гармонии и красоты во времена Пифагора и в эпоху Возрождения. Знания об этом уникальном отношении частей к целому продолжают наполняться новым содержанием, проникая в самые разнообразные области человеческих знаний.

4

Манько Елизавета Олеговна

Краснодарский край, станица Журавская, МОБУ СОШ №14, 9 класс

Применение знаний о золотом сечении в жизни человека

Научный руководитель: Манько Галина Васильевна, учитель математики МОБУ СОШ №14

«Золотое сечение» в математике.

 Иоганн Кеплер говорил, что геометрия владеет двумя сокровищами – теоремой Пифагора и золотым сечением, и если первое из них можно сравнить с мерой золота, то второе – с драгоценным камнем. [1] Теорему Пифагора знает каждый, а вот что такое «золотое сечение» - далеко не все.  Что такое «золотое сечение»? Говорят, что точка С производит «золотое сечение» отрезка, если  АС : АВ = СВ : АС.    (1)  Итак, «золотое сечение» - это такое деление целого на две неравные части, при котором большая часть так относится к целому, как меньшая к большей.[2] В геометрии «золотым сечением» называется также деление отрезка в среднем и крайнем отношениях (рис.1).[1]

Приложение 1( рис 1)

Если длину отрезка АВ обозначить через a, а длину отрезка АС – через x   то a-х – длина отрезка СВ, и пропорция (1) принимает вид

                                                  =    (2)

 Из этой пропорции следует, что при золотом сечении длина отрезка есть среднее геометрическое, или, как часто говорят, среднее пропорциональное длин всего отрезка и его меньшей части:

                                              x =

  Замечательный пример «золотого сечения» представляет собой правильный пятиугольник - выпуклый и звездчатый. Приложение 1 ( рисунок 2)   Из подобия треугольников ACD и ABE можем вывести уже известную пропорцию:

                                         =.[4]

Таким образом, звездчатый пятиугольник также обладает «золотым сечением». Интересно, что внутри пятиугольника можно продолжить строить пятиугольники, и это отношение будет сохраняться.  Звездчатый пятиугольник называется пентаграммой.[2] Пифагорейцы выбрали пятиконечную звезду в качестве талисмана, она считалась символом здоровья и служила опознавательным знаком.  Бытует легенда о том, что один из пифагорейцев больным попал в дом к незнакомым людям. Они старались его выходить, но болезнь не отступала. Не имея средств заплатить за лечение и уход, больной перед смертью попросил хозяина дома нарисовать у входа пятиконечную звезду, объяснив, что по этому знаку найдутся люди, которые вознаградят его. И на самом деле, через некоторое время один из путешествующих пифагорейцев заметил звезду и стал расспрашивать хозяина дома о том, каким образом она появились у входа. После рассказа хозяина гость щедро вознаградил его.[3]

5

Манько Елизавета Олеговна

Краснодарский край, станица Журавская, МОБУ СОШ №14, 9 класс

Применение знаний о золотом сечении в жизни человека

Научный руководитель: Манько Галина Васильевна, учитель математики МОБУ СОШ №14

 «Золотое сечение» в скульптуре и архитектуре.

Скульптурные сооружения, памятники воздвигаются, чтобы увековечить знаменательные события, сохранить в памяти потомков имена прославленных людей, их подвиги и деяния.

Известно, что еще в древности основу скульптуры составляла теория пропорций. Отношения частей человеческого тела связывались с формулой золотого сечения.  Пропорции «золотого сечения» создают впечатление гармонии красоты, поэтому скульпторы использовали их в своих произведениях.[5] Скульпторы утверждают, что талия делит совершенное человеческое тело в отношении «золотого сечения». Так, например, знаменитая статуя Аполлона Бельведерского состоит из частей, делящихся по золотым отношениям.[1] Великий древнегреческий скульптор Фидий  часто использовал «золотое сечение» в своих произведениях. Самыми знаменитыми из них были статуя Зевса Олимпийского (которая считалась одним из чудес света) и Афины Парфенос.Измерение нескольких тысяч человеческих тел позволили обнаружить, что для мужчин это отношение равно = 1,625, а для взрослых женщин оно составляет  =  1,6. Так что пропорции мужчин ближе к «золотому  сечению», чем пропорции женщин. Было проведено большее число измерений на помещённых в журналах крупных портретах мужчин и женщин, на многих из них указанные отношения представляют «золотое сечение»/[1]

Приложение 1 ( рисунок 3,4, 5)

 «Золотое сечение» в архитектуре.

              В книгах о «золотом сечении» можно найти замечание о том, что в архитектуре, как и в живописи, все зависит от положения наблюдателя, и что, если некоторые пропорции в здании с одной стороны кажутся образующими «золотое сечение», то с других точек зрения они будут выглядеть иначе. «Золотое сечение» дает наиболее спокойное соотношение размеров тех или иных длин.  

       Одним из красивейших произведений древне-   греческой  архитектуры является Парфенон (V в. до н. э.). Парфенон имеет 8 колон по коротким сторонам и 17 по длинным. Выступы сделаны целиком из квадратов пентилейского мрамора.Благородство материала, из которого построен храм, позволило ограничить применение обычной в греческой архитектуре раскраски, она только подчеркивает детали и образует цветной фон (синий и красный) для скульптуры. Отношение высоты здания к его длине равно 0,618. Если произвести деление Парфенона по «золотому сечению», то получим те или иные выступы фасада. [1]Другим примером из архитектуры древности    является Пантеон. Известный русский архитектор М. Казаков в своем творчестве широко использовал «золотое сечение». Его талант был многогранным, но в большей степени он раскрылся в многочисленных осуществленных проектах жилых домов и усадеб.   Например, «золотое сечение» можно обнаружить в архитектуре здания сената в Кремле.[1] Приложение 2 ( рисунок 1,2,3)

6

Манько Елизавета Олеговна

Краснодарский край, станица Журавская, МОБУ СОШ №14, 9 класс

Применение знаний о золотом сечении в жизни человека

Научный руководитель: Манько Галина Васильевна, учитель математики МОБУ СОШ №14

 «Золотое сечение» в живописи, шрифтах и бытовых предметах.

            Переходя к примерам «золотого сечения» в живописи, нельзя не остановить своего внимания на творчестве Леонардо да Винчи. Его личность - одна из загадок истории. Сам Леонардо да Винчи говорил: «Пусть никто, не будучи математиком, не дерзнет читать мои труды».[4]   Портрет Монны Лизы (Джоконды) долгие годы    привлекает внимание исследователей, которые обнаружили, что композиция рисунка основана на золотых треугольниках, являющихся частями правильного звездчатого пятиугольника. Существует очень много версий об истории этого портрета. Вот одна из них:  Однажды Леонардо да Винчи получил заказ от банкира Франческо де Джоконда написать портрет молодой женщины, жены банкира, Монны Лизы. Женщина не была красива, но в ней привлекала простота и естественность облика. Леонардо согласился писать портрет. Его модель была печальной и грустной, но Леонардо рассказал ей сказку, услышав которую, она стала живой и интересной.[3]

Приложение 3 ( рисунок 1,2)      Рафаэль « Избиение младенцев» ( В изображении просматривается « золотая спираль)

   Золотое сечение в шрифтах и бытовых предметах.[5]

Приложение 3( рисунок 3 )

7

Манько Елизавета Олеговна

Краснодарский край, станица Журавская, МОБУ СОШ №14, 9 класс

Применение знаний о золотом сечении в жизни человека

Научный руководитель: Манько Галина Васильевна, учитель математики МОБУ СОШ №14

«Золотое сечение» в растительном  и  животном мире.

 Расположение листьев на деревьях не случайно, а подчиняется определённым законам математики. Рассмотрим наиболее общий и интересный случай. Если внимательно рассмотреть веточку с листьями, то можно заметить, что основания черешков располагаются по винтовой линии, каждый следующий лист прикреплён выше и в сторону от предыдущего. Если соединить последовательно основания листьев ниткой, то она обовьётся вокруг стебля по правильной винтовой линии. Проследив за расположением листьев на этой винтовой спирали, мы непременно увидим листья, которые расположены один над другим. Часть спирали, заключённая между двумя такими листьями, называется в ботанике «циклом». [7]Для краткости и удобства обозначают,  листорасположение в виде дроби, в числителе которой число оборотов одного цикла спирали, а в знаменателе – число листьев в этом цикле. Так, дробь 3/8 показывает, что один цикл спирали трижды огибает стебель, и что в этом цикле 8 листьев. Эта же самая дробь выражает и угол расхождения двух соседних листьев. В рассматриваемом случае это 3/8 окружности, т.е. 135º. Отсюда следует, что дроби 3/8 и 5/8 выражают, в сущности, одно и тоже листорасположение, т.к. угол, равный 3/8 окружности дополняет до 360º угол,соответствующий 5/8 окружности. Различные цифры получаются потому, что в одном случае спираль закручивалась, например, справа налево, в другом – слева направо. Рассматривая расположение трех подряд идущих пар листьев на общем стебле растения, можно заметить,  что между первой и третьей парой вторая находится в месте «золотого сечения».Закон золотого сечения действует, значит, и в  растительном мире.  Хорошо известна "золотая" пропорция пятилепестковых цветков яблони, груши и многих других растений. Носители генетического кода - молекулы ДНК и РНК - имеют структуру двойной спирали; ее размеры почти полностью соответствуют числам ряда Фибоначчи. Гете подчеркивал тенденцию природы к спиральности. [7]Приложение 4 ( рисунок 1) Приложение 3 ( рисунок 2, 3)

У многих бабочек соотношение размеров грудной и брюшной части тела отвечает золотой пропорции. Сложив крылья, ночная бабочка образует правильный равносторонний треугольник. Но стоит развести крылья, и вы увидите тот же принцип членения тела на 2,3,5,8. Стрекоза также создана по законам золотой пропорции: отношение длин хвоста и корпуса равно отношению общей длины к длине хвоста.

Приложение 3 ( рисунок 4.5, 6)

В ящерице длина ее хвоста так относится к длине остального тела, как 62 к 38. Можно заметить золотые пропорции, если внимательно посмотреть на яйцо птицы. [6]

Приложение 3 ( рисунок 7,8)

8

Манько Елизавета Олеговна

Краснодарский край, станица Журавская, МОБУ СОШ №14, 9 класс

Применение знаний о золотом сечении в жизни человека

Научный руководитель: Манько Галина Васильевна, учитель математики МОБУ СОШ №14

Золотое сечение в музыке и фотографии

"Музыка - посредник между духовной и чувственной жизнью"

Арним

Один из видных деятелей русской и советской музыкальной культуры Э.К.Розенов впервые применил закон «золотого сечения» в музыке. Определяя зону золотого сечения, можно убедиться, что она не в начале, не в середине пьесы, а ближе к концу (кульминация произведения), то есть в третьей четверти целого. В мире, живом и неживом, все связано и все взаимообусловлено, все подчинено одним законам. Человек в своей разносторонней деятельности - в науке, технике, художественном творчестве - не может не подчиняться тем же законам. [7]Весь огромный звукоряд делится на три основные регистра: низкий, средний и высокий, и составляют его 88 звуков. Казалось бы, что их так немного. Но из этих 88 звуков созданы грандиозные симфонии, оратории, величайшие музыкальные творения.  В композиции многих музыкальных произведений отмечается наличие некоторого «кульминационного взлета», высшей точки, причем такое построение характерно не только для произведения в целом, но и для его отдельных частей. Такая высшая точка крайне редко расположена в центре произведения или его композиционной части, обычно она смещена, асимметрична. Эта точка, приходится на сильную долю шестого такта или на последнюю мелкую долю пятого такта, т.е. находится в точке золотого сечения. Очевидно, такое расположение кульминационных моментов музыкальной мелодии является важным элементом ее гармонической композиции, придающим художественную выразительность и эстетическую эмоциональность мелодии.

Золотое сечение  в фотографии.

Еще в эпоху Возрождения художники открыли, что любая картина имеет определенные точки, невольно приковывающие наше внимание, так называемые зрительные центры. При этом абсолютно неважно, какой формат имеет картина - горизонтальный или вертикальный. Таких точек всего четыре, они делят величину изображения по горизонтали и вертикали в золотом сечении, т.е. расположены они на расстоянии примерно 3/8 и 5/8 от соответствующих краев плоскости.

Это открытие положено в основу фотографии. И если фотограф выдерживает пропорции золотого сечения , то такие фотографии  выполнены профессионально.[1]

9

Манько Елизавета Олеговна

Краснодарский край, станица Журавская, МОБУ СОШ №14, 9 класс

Применение знаний о золотом сечении в жизни человека

Научный руководитель: Манько Галина Васильевна, учитель математики МОБУ СОШ №14

Заключение.

Изучив «золотое сечение» в строении человеческого тела,  я задумалась: а соответствует ли мое тело этому закону? Сделав измерения своего тела, я получила следующие данные:

Приложение 5 ( фото 1)

         АВ=24 см, ВС=43 см, СD=54 см, DE=42 см, АЕ=157 см. Итак, АС:СЕ = 0,69, СЕ:АЕ = 0,61,   DЕ:СD = 0,62.Таким образом, мои пропорции близки к «золотому делению».

Приложение 5 ( рисунок 1)

По рисунку а) получены следующие данные:

АВ=2 см, ВС=6 см, СD=5 см, DE=6 см, АС=19 см.

АС:СЕ =0,72, СЕ:АЕ = 0,57, DЕ:АС = 0,75.

По рисунку б) получены следующие данные:АВ=9 см, ВС=19 см, СD=25 см, DE=16 см.

АС:СЕ =0,68, СЕ:АЕ =0,6,  DЕ:СD = 0,64.

По рисунку с) получены следующие данные:АВ=2 см, ВС=7 см, СD=6 см, DE=7 см.

АС:СЕ = 0,6, СЕ:АЕ = 0,6,  DЕ: ВD = 0,58.Проанализировав все данные, можно прийти к выводу: некоторые отношения близки к «золотому делению», но так как я нахожусь еще в стадии роста, то говорить о совершенном теле пока не имеет смысла (говоря о пропорции человеческого тела, имеют в виду тело взрослого человека).

Я не профессиональный фотограф и мне ещё есть чему учиться, но я очень люблю фотографировать и  знания о золотом сечении помогают мне понять как правильно нужно выбирать ракурс, чтобы изображение радовало глаз. Вот что из этого получилось:  

Музыкой я занимаюсь с 6 лет, мне нравится слушать профессиональных музыкантов и исполнять её. Эта работа помогла понять мне, что музыка, как и человек подчинена законам природы и самая совершенная мелодия построена по закономерности золотого сечения. Характерно, что наиболее часто золотое сечение обнаруживается в произведениях высокохудожественных, принадлежащих гениальным авторам. Может быть, частота проявлений золотой пропорции является одним из объективных критериев оценки гениальности музыкальных произведений и их авторов? Элементы « золотого сечения» были обнаружены мною и в местной архитектуре. Церковь на улице Садовой в городе Кореновске.  См. Приложение 5 ( фото 2-8)

Выводы: Данная работа позволила мне расширить свои знания о « золотом сечении».  Эти знания помогают мне во многих областях моей деятельности, то есть я применяю их на практике  и могу поделиться ими с другими учениками на внеклассных мероприятиях.

10

Манько Елизавета Олеговна

Краснодарский край, станица Журавская, МОБУ СОШ №14, 9 класс

Применение знаний о золотом сечении в жизни человека

Научный руководитель: Манько Галина Васильевна, учитель математики МОБУ СОШ №14

Литература.

1. Васютинский В.А. Золотая пропорция. – М.: Молодая гвардия, 1990.
2. Энциклопедический словарь юного математика. – М.: Педагогика, 1989.
3. Энциклопедия для детей. Математика.
4. Газета «Математика», №1 -1999, №42 -2000, №32 -2001.
5. Журнал «Квант», 1973, №8.
6. Журнал «Математика в школе», 1994, №2,3.
7. image.yandex.ru