Искусство отгадывать числа

  ИСКУССТВО ОТГАДЫВАТЬ ЧИСЛА

Бутко Ольга  Юрьевна,

ученица 8 класса

МОУ «Зинаидинская

основная общеобразовательная школа»

В школе проводилась неделя математики и  во время подготовки к математическому вечеру мне  досталась роль фокусника, вначале расстроилась, но немного потрудившись, я познакомилась с математическими «фокусами» и успешно их продемонстрировала на вечере.

Каждый из вас, несомненно, встречался с «фокусами» по отгадыванию чисел. Фокусник обычно предлагает выполнить действия следующего характера: задумай число, прибавь 2, умножь на 3, отними 5, отними задуманное число и т. д. — всего пяток, а то и десяток действий. Затем фокусник спрашивает, что у вас получилось в результате, и, получив ответ, мгновенно сообщает задуманное вами число.        

Секрет «фокуса», разумеется, очень прост, и в основе его лежат  уравнения.

Пусть, например, фокусник предложил вам выполнить программу действий, указанную в левой колонке следующей таблицы:

Затем фокусник просит вас сообщить окончательный результат и, получив его, моментально называет задуманное число. Как он это делает?

Чтобы понять это, достаточно обратиться к правой колонке таблицы, где указания фокусника переведены на язык алгебры. Из этой колонки видно, что если вы задумали какое-то число х, то после всех действий у вас должно получиться 4х+1. Зная это, нетрудно «отгадать» задуманное число.

Пусть, например, вы сообщили фокуснику, что получилось 33. Тогда фокусник быстро решает в уме уравнение 4х+1=33 и находит: х=8. Иными словами, от окончательного результата надо отнять единицу (33—1=32) и затем полученное число разделить на 4 (32:4=8); это и дает задуманное число (8). Если же у вас получилось 25, то фокусник в уме проделывает действия

25- 1=24, 24:4 = 6 и сообщает вам, что вы задумали 6.

Как видите, все очень просто: фокусник заранее знает, что надо сделать с результатом, чтобы получить задуманное число.

Поняв это, вы можете еще более удивить и озадачить ваших приятелей, предложив им самим, по своему усмотрению, выбрать характер действий над задуманным числом. Вы предлагаете приятелю задумать число и производить в любом порядке действия следующего характера: прибавлять или отнимать известное число (скажем: прибавить 2, отнять 5 и т. д.), умножать, но лучше не делить) на известное число (на 2, на 3 и т. п.), прибавлять или отнимать задуманное число. Ваш приятель нагромождает, чтобы запутать вас, ряд действий. Например, он задумывает число 5 (этого он вам не сообщает)  и, выполняя действия,

Говорит:

— Я задумал число, умножил его на 2, прибавил к результату 3, затем прибавил задуманное число; теперь я прибавил 1, умножил на 2, отнял задуманное число, отнял 3, еще отнял задуманное число, отнял 2. Наконец, я умножил результат на 2 и прибавил 3. Решив, что он уже совершенно вас запутал, он с торжествующим  видом сообщает вам:

— Получилось 49.

К его изумлению вы немедленно сообщаете ему, что он задумал число 5.

Как вы это делаете? Теперь это уже достаточно ясно. Когда ваш приятель сообщает вам о действиях, которые он выполняет над задуманным числом, вы одновременно действуете в уме с неизвестным х. Он вам говорит: «Я задумал число...», а вы про себя твердите: «значит, у нас есть х». Он говорит: «...умножил его на 2...» (и он в самом деле производит умножение чисел), а вы про себя продолжаете: «теперь 2х». Он говорит: «...прибавил к результату 3...», и вы немедленно следите: 2х + 3, и т. д. Когда он «запутал» вас окончательно и выполнил все те действия, которые перечислены выше, у вас получилось то, что указано в следующей таблице (левая колонка содержит то, что вслух говорит ваш приятель, а правая — те действия, которые вы выполняете в уме):

В конце концов вы про себя подумали: окончательный результат 8х+ 9. Теперь он говорит: «У меня получилось 49». А у вас готово уравнение: 8х + 9 = 49. Решить его —пара пустяков, и вы немедленно сообщаете ему, что он задумал число 5.

Фокус этот особенно эффектен потому, что не вы предлагаете те операции, которые надо произвести над задуманным числом, а сам товарищ ваш «изобретает» их.

Есть, правда, один случай, когда фокус не удается. Если, например, после ряда операций вы (считая про себя) получили х+14, а затем ваш товарищ говорит: «...теперь я отнял задуманное число; у меня получилось 14», то вы следите за ним: (х+14)-х=14 — в самом деле получилось 14, но никакого уравнения нет и отгадать задуманное число вы не в состоянии. Что же в таком случае делать? Поступайте так: как только у вас .получается результат, не содержащий неизвестного х, вы прерываете товарища словами: «Стоп! Теперь я могу, ничего не спрашивая, сказать, сколько у тебя получилось: у тебя 14». Это уже совсем озадачит вашего приятеля — ведь он совсем ничего вам не говорил! И, хотя вы так и не узнали задуманное число, фокус получился  на славу!

Вот пример (по-прежнему в левой колонке стоит то, что говорит ваш приятель):

В тот момент, когда у вас получилось число 12, т. е. выражение, не содержащее  больше неизвестного х, вы прерываете товарища, сообщив ему, что теперь у него получилось 12.

Немного поупражнявшись, вы легко сможете показывать своим приятелям такие «фокусы».Приведу другие примеры  

Любимая цифра. Спросите у ваших товарищей, кто какую цифру любит. Пусть один из них назовет вам цифру 4. Предложите ему умножить 4 на 9, а затем на получившееся произведение умножить число 12 345 679. В результате у него получится число 444 444 444., т.е. число, записанное с помощью только любимой им цифры. Если кто-нибудь скажет, что любит 8, то предложите ему 8 умножить на 9, а затем умно  жить число 12 345 679 на получившееся произведение 72. У него получится число, записанное с помощью лишь любимой им  цифры 8. Если же кто-нибудь назовет вам 0, то скажите, что конечно, очень важная цифра, но лично вы ее недолюбливаете и попросите назвать другую цифру.

Постарайтесь разгадать «секрет» этого развлечения и объясните   его вашим товарищам.

[ Используется равенство:     12 345 679·9 = 111111111.]

Как я узнаю? Номер дома, в котором вы живете умножьте на 4, к результату прибавьте 7, полученное число  умножьте на 25, прибавьте к полученному произведению свой возраст (целое число ваших лет) и число 125. Скажите мне, какое у вас получилось число, и я назову вам номер дома, в котором вы живете, и сколько вам лет. Как я все это узнаю? [Объяснение    дает    равенство:(4х + 7)25 + у +125 = 100 х + у + 300;     х — номер     дома,     у — возраст]

Сколько братьев и сколько сестер? Вы можете узнать, сколько братьев и сколько сестер у вашего товарища. Пусть он прибавит к числу братьев 3, полученное число умножит на 5, к полученному произведению прибавит 20, сумму умножит на 2, прибавит число сестер и еще 5. По названному результату этих вычислений вы можете легко установить, сколько братьев и сестер у вашего товарища. Как вам это сделать?[алгебраическое решение ((а + 3)·5 + 20)·2 + b + 5 = 10а + b + 75, а — число братьев,b—число  сестер.]

 Угадайте задуманный час. Воспользуйтесь картонной моделью циферблата часов. Пусть ваш товарищ задумает, который час (1, 2, 3, .... 12). Объясните, что вы указкой будете показывать числа на циферблате. Каждый раз ваш товарищ должен прибавлять сначала к задуманному им часу единицу, затем к получившейся сумме единицу и так далее. Когда у него получится 20, он должен сказать «стоп». В этот момент ваша указка должна показать задуманный товарищем час. Чтобы это случилось, поступайте так. Первые 7 раз показывайте какие угодно числа на циферблате часов. В восьмой раз покажите 12, а дальше показывайте по порядку 11, 10, 9 и так далее. Найдите объяснение.[ Пусть ваш товарищ задумал 6 ч. В этом случае указкой вам придется показать числа на циферблате 14 раз  В восьмой раз вы укажите на 12 ч, а дальше будете указывать каждый раз на 1 ч меньше и сделаете это столько раз (6), сколько единиц недостает вашему товарищу до 20.

Быстрое извлечение кубического корня. Пусть ваш товарищ возведет в куб какое-нибудь двузначное число и сообщит вам результат. Вы можете быстро узнать, какое именно число возводилось в куб (извлечь кубический корень). Для этого вам понадобится таблица кубов однозначных чисел: 13 = 1, 23 = 8, 33 = 27, 43 = 64, 53 = 125, 63 = 216, 73 = 343, 83 == 512, 93 = 729. Вам достаточно запомнить цифровое окончание каждого из правых чисел и соответствующее основание куба. Поступайте так. Названное вам число мысленно разделите на грани по 3 знака справа налево (левая грань может содержать и меньше трех знаков). По окончанию правой грани вы легко найдете цифру единиц искомого кубического корня. Цифра десятков корня находится по левой грани, с помощью таблицы кубов однозначных чисел. Приведу пример. Пусть товарищ назовет вам число 571 787. Последняя цифра этого числа 7, следовательно, число единиц корня 3. Левая грань у нас 571 заключено между числами вашей таблицы кубов 512 и 729, поэтому  десятков в искомом корне 8. Товарищ возвел в куб число 83. Прежде чем показывать свое умение извлекать кубические корни, нужно потренироваться, а также тренируйтесь выполнить любой «фокус», используя решения составленных уравнений, применяя знания из алгебры.