Самые интересные доказательства теоремы Пифагора

Слайд 1

Слайд 2

Теорема Пифагора — одна из основополагающих теорем евклидовой геометрии, устанавливающая соотношение между сторонами прямоугольного треугольника. c2 = a2 + b2 Существует множество способов доказать эту теорему, мы же выбрали самые интересные…

Слайд 3

Стул невесты На рисунке квадраты, построенные на катетах, размещены ступенями один рядом с другим. Эту фигуру, которая встречается в доказательствах, датируемых не позднее, чем 9 столетием н. э., индусы называли "стулом невесты" . Способ построения квадрата со стороной, равной гипотенузе, ясен из чертежа. Общая часть двух квадратов, построенных на катетах, и квадрата, построенного на гипотенузе, - неправильный заштрихованный пятиугольник 5. Присоединив к нему треугольники 1 и 2, получим оба квадрата, построенные на катетах; если же заменить треугольники 1 и 2 равными им треугольниками 3 и 4, то получим квадрат, построенный на гипотенузе. На рисунках ниже изображены два различных расположения близких к тому, которое дается на первом рисунке.

Слайд 4

Доказательство индийского математика Бхаскари Рассмотрим квадрат, показанный на рисунке. Сторона квадрата равна b , на квадрат наложены 4 исходных треугольника с катетами a и c , как показано на рисунке. Сторона маленького квадрата, получившегося в центре, равна c - a , тогда: b2 = 4*a*c/2 + (c-a)2 = = 2*a*c + c2 - 2*a*c + a2 = = a2 + c2

Слайд 5

Самое простое доказательство теоремы Пифагора. Рассмотрим квадрат, показанный на рисунке. Сторона квадрата равна a + c . В одном случае (слева) квадрат разбит на квадрат со стороной b и четыре прямоугольных треугольника с катетами a и c . В другом случае (справа) квадрат разбит на два квадрата со сторонами a и c и четыре прямоугольных треугольника с катетами a и c . Таким образом, получаем, что площадь квадрата со стороной b равна сумме площадей квадратов со сторонами a и c .

Слайд 6

Доказательство через подобные треугольники Пусть ABC есть прямоугольный треугольник с прямым углом C . Проведём высоту из C и обозначим её основание через H . Треугольник ACH подобен треугольнику ABC по двум углам. Аналогично, треугольник CBH подобен ABC . Введя обозначения получаем Что эквивалентно Сложив, получаем или

Слайд 7

Доказательство Хоукинса Приведем еще одно доказательство, которое имеет вычислительный характер, однако сильно отличается от всех предыдущих. Оно опубликовано англичанином Хоукинсом в 1909 году; было ли оно известно до этого- трудно сказать. Прямоугольный треугольник ABC с прямым углом C повернем на 90° так, чтобы он занял положение A'CB'. Продолжим гипотенузу A'В' за точку A' до пересечения с линией АВ в точке D. Отрезок В'D будет высотой треугольника В'АВ. Рассмотрим теперь заштрихованный четырехугольник A'АВ'В . Его можно разложить на два равнобедренных треугольника САA' и СВВ' (или на два треугольника A'В'А и A'В'В). SCAA'=b²/2 SCBB'=a²/2 SA'AB'B=(a²+b²)/2 Треугольники A'В'А и A'В'В имеют общее основание с и высоты DA и DB, поэтому : SA'AB'B=c*DA/2+ c*DB/2=c(DA+DB)/2=c²/2 Сравнивая два полученных выражения для площади, получим: a ²+ b ²= c ² Теорема доказана.

Слайд 8

Доказательство Вольдхейма Это доказательство имеет вычислительный характер. Для того чтобы доказать теорему пользуясь первым рисунком достаточно только выразить площадь трапеции двумя путями. Sтрапеции=(a+b)²/2 Sтрапеции=a²b²+c²/2 Приравнивая правые части получим: a²+b²=c² Теорема доказана.