Математические софизмы и парадоксы

         Муниципальное общеобразовательное автономное

                        учреждение  «Гимназия №2»

                  Математические софизмы и  парадоксы

                              (реферат по математике)

                                                                   Выполнил:

                                                                   Бобылев Илья

                                                                   ученик 8 «А» класса

                                                                   Учитель:

                                                                   Губина Клара Владимировна

                                                     Оренбург

                                            2013г.

                                       Содержание

1. Введение………………………………………………………………3

2. Определение понятий софизмов и парадоксов……………………..4

3. История софизмов и парадоксов…………………………………….5-6

4. Классификация софизмов:…………………………………………...7

     4.1. Алгебраические …………………………………………………7-8

     4.2. Геометрические …………………………………………………8-10

     4.3. Арифметические………………………………………………...10-12

5. Многообразие парадоксов и их причины:…………………………..13

     5.1. Парадокс Банаха-Тарского

     5.2. Задача о треугольнике

     5.3.  Парадокс «Разность квадратов»

 6. Анкетирование……………………………………………………….14

7. Заключение……………………………………………………………15

8. Список литературы…………………………………………………...16

                                               1. ВВЕДЕНИЕ

     История математики полна неожиданных и интересных софизмов и парадоксов. И зачастую именно их разрешение служило толчком к новым открытиям, из которых в свою очередь произрастали новые софизмы и парадоксы.

В истории развития математики софизмы  и парадоксы играли существенную роль. Они способствовали повышению строгости в математических рассуждениях и содействовали более глубокому уяснению понятий и методов математики. Роль софизмов  и  парадоксов в развитии математики сходна с той ролью, какую играли непреднамеренные ошибки в математических доказательствах, допускаемые даже выдающимися математиками.

Большинство софизмов и парадоксов  известно очень давно, и можно найти в различных сборниках, журналах. Некоторые из них передаются устно из поколения в поколение. Применение софизмов и парадоксов на уроках математики могли бы помочь, на мой взгляд, разнообразить уроки и вызвать интерес учащихся к предмету.  

Цель моей работы – изучить тему и составить презентацию для использования на уроках.

Задачи:  

         1.дать определение понятиям  «софизм» и «парадокс»; узнать,

            в  чём их отличие;    

         2.классифицировать различные виды софизмов и парадоксов;

         3.понять, как найти в них ошибку;

              4.составить компьютерную презентацию;    

                                                    3

        2. Определение понятие «софизма» и «парадокса»

       Софизм - (от греческого sophisma – уловка, ухищрение, выдумка, головоломка), умозаключение или рассуждение, обосновывающее какую-нибудь заведомую нелепость, абсурд или парадоксальное утверждение, противоречащее общепринятым представлениям. Каким бы ни был софизм, он всегда содержит одну или несколько замаскированных ошибок.

      Математический софизм - удивительное утверждение, в доказательстве которого кроются незаметные, а подчас и довольно тонкие ошибки.  Математические софизмы приучают  внимательно и настороженно продвигаться вперед, тщательно следить за точностью формулировок, правильностью записи чертежей, за законностью математических операций. Очень часто понимание ошибок в софизме ведет к пониманию математики в целом, помогает развивать логику и навыки правильного мышления. Если нашел ошибку в софизме, значит, ты ее осознал, а осознание ошибки предупреждает от ее повторения в дальнейших математических рассуждениях. Софизмы не приносят пользы, если  их не понимать. Софистами называют людей, которые ложь пытаются выдать за истину путем различных ухищрений.

    Парадокс  - (греч. "пара" - "против", "докса" - "мнение") близок к софизму. Но от него он отличается тем, что это не преднамеренно полученный противоречивый результат. Парадокс - странное, расходящееся с общепринятым мнением, высказывание, а также мнение, противоречащее (иногда только на первый взгляд) здравому смыслу (словарь Ожегова).Математический парадокс – высказывание, которое может быть доказано и как истинна, и как ложь.

                                                            4

                                      3.Экскурс в историю.

         Софистами называли группу древнегреческих философов 4-5 века до н.э., достигших большого искусства в логике.  

 Тем не менее, в Греции софистами называли и простых ораторов- философов-учителей, задачей которых было научить своих учеников «мыслить, говорить и делать». Чтобы выйти победителем в словесном поединке, софисты часто пользовались тем, что противник недостаточно глубоко знает предмет, о котором идет речь, недостаточно внимателен и наблюдателен, и поэтому не в состоянии отличить ложь от истины. В результате словесного поединка противник должен был согласиться с доводами софиста и признать себя побежденным, хотя истина, казалось, была на его стороне. Но софисты не были учеными. Умение, которое должно было быть достигнуто с их помощью, заключалось в том, что человек учился иметь в виду многообразные точки зрения.  

       Парадоксы были типичными способами постановки вопроса в античном мышлении. За свою историю математика испытала три сильнейших потрясения, три кризиса, которые касались ее основ. И все три сопровождались обнаружением парадоксов.  

             Первый кризис разразился еще в древности и был вызван открытием факта несоизмеримости величин. Другими словами две однородные величины, выражающие длины или площади, являются соизмеримыми, если они обладают так называемой общей мерой.  Парадокс состоял в том, что по отдельности каждая из несоизмеримых величин – и диагональ и сторона квадрата – может быть измерена и количественно точно определена. Однако выразить их длины через отношения друг к другу посредством имевшихся тогда чисел не удавалось. Этот парадокс удалось преодолеть путём введения в математику √ (квадратного корня).  

             Очередная катастрофа произошла   в XVII-XVIII вв. В этот раз дело касалось истолкования бесконечно малых величин. Бесконечно малые – это переменные величины, стремящиеся к нулю, точнее, как было показано позже, стремящиеся к пределу, равному нулю. Кризис возник в силу расплывчатого понимания бесконечно малого. В одних случаях оно приравнивалось к нулю и при вычислениях отбрасывалось, в других же – принималось как значение, отличное от нуля. Причина столь противоречивого подхода к бесконечно малым объясняется тем, что их рассматривали в качестве постоянных величин, В силу этого бесконечное понималось как нечто завершенное, имеющееся налицо, данное всеми своими элементами.

Выход из кризиса был найден созданием теории пределов, окончательно построенной в начале XIX века известным французским математиком О. Коши.   Бесконечно малые – это величины, которые существуют лишь как постоянно изменяющиеся, стремящиеся к пределу, но никогда его не достигающие.  

                                                               5

Величины не застывают в каких-либо одних конкретных

значениях. Они постоянно изменяются, приближаясь к нулю, но и не превращаясь в нуль.

          Последний кризис имел место на рубеже XIX-XX веков.  

 Понятие «множество» или «класс», «совокупность» – простейшее в математике. Оно не определяется, а поясняется примерами. Можно говорить о множестве всех книг, составляющих данную библиотеку, множестве всех точек данной прямой и т.д. Далее вводится понятие «принадлежать», то есть «быть элементом множества». Так, книги, точки являются элементами соответствующих множеств. Для определения множества необходимо указать свойство, которым обладают все его элементы.

С появлением теории множеств казалось, что математика обретает ясность и законченность. Однако и здесь нашлось место парадоксу. В 1902 году молодой английский логик Б. Рассел обратил внимание на противоречивость исходных позиций понятия множества.

Дело в том, что множество (класс) есть совокупность объектов, которые и составляют элементы данного множества. Поскольку само множество тоже объект, как и его элементы, то вставал вопрос, является ли множество элементом самого себя, то есть, принадлежит ли оно к числу элементов собственного класса? Выяснилось, что есть два вида классов. Одни содержат себя в качестве собственного элемента. Например, класс списков. Его элементами являются конкретные списки. Скажем, список книг какой-либо библиотеки, список студентов некоторой группы и т.д. Но и сам класс оказывается в числе своих элементов, потому что список списков есть также список. Аналогично и каталог каталогов есть каталог.

                 3. Классификация математических софизмов

 Разбор и решение любого рода математических задач, а в особенности нестандартных, помогает  развивать смекалку и логику. Математические софизмы относятся именно к таким задачам. В этом разделе работы я рассмотрю три типа математических софизмов: алгебраические, геометрические,  арифметические.  

                                   3.1 Алгебраические софизмы

Алгебра — один из больших разделов математики, принадлежащий наряду с арифметикой и геометрией к числу старейших ветвей этой науки. Задачи, а также методы,  отличающие её от других отраслей математики, создавались постепенно, начиная с древности. Алгебра возникла под влиянием нужд общественной практики, в результате поисков общих приёмов для решения однотипных арифметических задач. Приёмы эти заключаются обычно в составлении и решении уравнений. Т.е. алгебраические софизмы – намеренно скрытые ошибки в уравнениях и числовых выражениях.

           1.  «Два неодинаковых натуральных числа равны между собой»

        Решим систему двух уравнений:

Сделаем это подстановкой у из 2го уравнения в 1, получаем х+8-х=6, откуда

                                                               8=6

        Где же ошибка?

Уравнение (2) можно записать как х+2у=8, так что исходная система запишется в виде:                                  

В этой системе уравнений коэффициенты при переменных одинаковы, а правые части не равны между собой, из этого следует, что система несовместна, т.е. не имеет ни одного решения. Графически это означает, что прямые у=3- и у=4- параллельны и не совпадают. Перед тем, как решать систему линейных уравнений, полезно проанализировать, имеет ли система единственное решение, бесконечно много решений или не имеет решений вообще.

                             2.  «Уравнение x-a=0 не имеет корней»

Возьмем уравнение:           x-a=0

                                                          7

Разделив обе его части на х-а, получим:

                                        =

Откуда сразу же получаем требуемое равенство:  

                                              1=0

Где ошибка?

Ошибка заключается в деление на нуль.

3. «Все числа равны между собой»

Возьмём два разных числа, такие что: a < b 

Тогда существует такое c > 0, что: a + c = b 

Умножим обе части на (a − b), имеем:  (a + c)(a − b) = b(a − b)

Раскрываем скобки, имеем:   a2 + ca − ab − cb = ba − b2 

cb переносим вправо, имеем:a2 + ca − ab = ba − b2 + cb 

                                     a(a + c − b) = b(a − b + c)

                                                        a = b 

Где ошибка?

По определению : a + c = b

Значит, a + c − b = 0

И выражение   a(a + c − b) = b(a + c − b)

Тождественно  a ∙ 0 = b ∙ 0.

                                  3.2. Геометрические софизмы

       Геометрические софизмы – это умозаключения или рассуждения, обосновывающие какую-нибудь заведомую нелепость, абсурд или парадоксальное утверждение, связанное с геометрическими фигурами и действиями над ними.

                                           1.«Катет равен гипотенузе»

          Угол С равен 90˚, ВД - биссектриса угла СВА, СК = КА, ОК перпендикулярна СА, О - точка пересечения прямых ОК и ВД, ОМ перпендикулярна АВ, ОL перпендикулярна ВС. Имеем: треугольник LВО равен треугольнику МВО, ВL = ВМ, ОМ = ОL = СК = КА, треугольник КОА равен треугольнику ОМА (ОА - общая сторона, КА = ОМ, угол ОКА и угол ОМА - прямые), угол ОАК = углу МОА, ОК = МА = СL, ВА = ВМ + МА, ВС = ВL + LС, но ВМ = ВL, МА = СL, и потому ВА = ВС.

                                                         8

Где ошибка?                                                                                                              

Ошибка заключается в том, что рассуждения, о том, что катет равен гипотенузе, опирались на ошибочный чертеж. Точка пересечения прямой, определяемой биссектрисой ВD и серединного  перпендикуляра к катету АС, находится вне треугольника АВС.

                          2. «Все треугольники равнобедренные»

Докажем, что все треугольники равнобедренные.

Рассмотрим произвольный треугольник АВС. Проведем в нем биссектрису  В и серединный перпендикуляр к стороне АС. Точку их пересечения обозначим через О. Из точки О опустим перпендикуляр ОD на сторону АВ и перпендикуляр ОЕ на сторону ВС. Очевидно, что ОА=ОС и ОD=ОЕ. Тогда прямоугольный треугольник  АОD= СОЕ

(по катету и гипотенузе). Поэтому DАО=ЕСО.

Но ОАС=ОСА ( треугольник АОС  - равнобедренный). Получаем:

ВАС=DАО+ОАС=ЕСО+ОСА=ВСА
Итак,  ВАС =ВСА, поэтому треугольник АВС -  равнобедренный: АВ=ВС.

Где ошибка?

Здесь ошибка в чертеже. Серединный перпендикуляр к стороне и биссектриса противоположного ей угла для неравнобедренного треугольника, пересекаются вне этого треугольника.

                                                      9

            3. «Через точку на прямую можно опустить два

                                             перпендикуляра»

     Попытаемся "доказать", что через точку, лежащую вне прямой, к этой прямой можно провести два перпендикуляра. С этой целью возьмем треугольник АВС. На сторонах АВ и ВС этого треугольника, как на диаметрах, построим полуокружности. Пусть эти полуокружности пересекаются со стороной АС в точках Е и Д. Соединим точки  Е и Д прямыми с точкой В. Угол АЕВ прямой, как вписанный, опирающийся на диаметр; угол ВДС также прямой. Следовательно, ВЕ  перпендикулярна АС и ВД перпендикулярна АС. Через точку В проходят два перпендикуляра к прямой АС.

Где ошибка?

Рассуждения, о том, что из точки на прямой можно опустить два перпендикуляра, опирались на ошибочный чертеж. В действительности полуокружности пересекаются со стороной АС в одной точке, т.е. ВЕ совпадает с ВD. Значит, из одной точки на прямой нельзя опустить два перпендикуляра.

3.3 Арифметические софизмы.

Арифметика - (греч. arithmetika, от arithmys — число), наука о числах, в первую очередь о натуральных (целых положительных) числах и (рациональных) дробях, и действиях над ними. Так что же такое арифметические софизмы?

Арифметические софизмы – это числовые выражения, имеющие неточность или ошибку, не заметную с первого взгляда.

                                        1. Дважды два - пять!

Возьмем в качестве исходного соотношения следующее очевидное равенство:                              4:4= 5:5             (1)  

 После вынесения за скобки общего множителя из каждой части равенства 

                                                      10

   будем иметь:

                                            4∙(1:1)=5∙(1:1)       (2)

            или 

                                           (2∙2)(1:1)=5(1:1)   (3)

    Наконец, зная, что 1:1=1, мы из соотношения   (2)    устанавливаем:     

                                                        2∙2=5

Где ошибка?

Нельзя выносить множитель за скобки, как это сделано в равенстве (2).

                 2.« Если “a” больше “b”, то “a” всегда больше, чем “2b”»

Возьмем два произвольных положительных числа a и b, такие, что   a > b. Умножив это неравенство на b, получим новое неравенство ab > b·b, а отняв от обеих его частей a·a, получим неравенство ab-a·a > b·b - a·a, которое равносильно следующему:

                                           a(b-a) > (b+a)(b-a).   (1)

После деления обеих частей неравенства (1) на b-a получим, что

                                          a > b+a  (2),

А прибавив к этому неравенству почленно исходное неравенство a> b, имеем 2a >2b+a, откуда  a > 2b. Итак, если a > b, то a > 2b.

Где ошибка?

Ошибка совершена при переходе от равенства (1) к (2). Т.к. a > b, то b - a<0, следовательно, при делении неравенства (1) на

 b – a, мы должны поменять знак неравенства на противоположный.

                  3.«Один рубль не равен ста копейкам»

Известно, что любые два неравенства можно перемножать почленно, не нарушая при этом равенства, т.е.

        Если a=b, c=d, то ac=bd.

 Применим это положение к двум очевидным равенствам

                                             1 р.=100 коп,  (1)

                                             10р.=10*100коп.(2)

перемножая эти равенства почленно, получим

                                              10 р.=100000 коп.     (3)

и, наконец, разделив последнее равенство на 10 получим, что

                                              1 р.=10 000 коп.

таким образом, один рубль не равен ста копейкам.

Где ошибка?

Ошибка, допущенная в этом софизме, состоит в нарушении правил действия с именованными величинами: все действия, совершаемые над величинами, необходимо совершать также и над их размерностями.

                                                       11

Действительно, перемножая равенства (1) и (2), мы получим не (3), а следующее равенство:

                                         10 р.  =100 000 к . ,

которое после деления на 10 дает:

                                        1 р.  = 10 000 коп.,         (*)

а не равенство 1р=10 000 к, как это записано в условии софизма. Извлекая квадратный корень из равенства (*), получаем верное равенство  1р.=100 коп.

                                             12

           4.Многообразие парадоксов и их причины

  Парадоксы обнажают глубинные течения познавательного процесса. Возвещая о назревшем неблагополучии в науке, они вместе с этим решительно продвигают ее вперед и именно тем, что приносят новые, еще более парадоксальные идеи.

1. Парадокс Банаха - Тарского, или парадокс удвоения шара, говорит, что трёхмерный шар равносоставлен двум своим копиям.  Разделяя шар на конечное число частей, мы интуитивно ожидаем, что, складывая эти части вместе, можно получить только сплошные фигуры, объём которых равен объёму исходного шара. Однако это справедливо только в случае, когда шар делится на части, имеющие объём. Суть парадокса заключается в том, что в трёхмерном пространстве существуют неизмеримые множества, которые не имеют объёма. Очевидно, что «куски» в таком разбиении не могут быть измеримыми (и невозможно осуществить такое  разбиение какими-либо средствами на практике)

2. Задача о треугольнике. 

Дан прямоугольный треугольник 13×5 клеток, составленный из 4 частей. После перестановки частей при визуальном сохранении изначальных пропорций появляется дополнительная, не занятая ни одной частью, клетка.  

Разгадка простая: первый треугольник немного "вогнут", а второй - слегка выпуклый. В этом можно убедиться, сравнив наклон гипотенузы синего и жёлтого кусочков: у жёлтого наклон = 0.375, а у синего - 0.4. Получается, что общие площади верхнего и нижнего треугольников всё-таки различаются, а разница как раз составляет одну клетку!

 3. Парадокс  «Разность квадратов»

   1) а²-а² = а²-а² - имеем равенство;

   2) а(а-а) = (а+а)(а-а) – в первой части вынесем общий множитель за скобки,

       а во второй воспользуемся формулой;

   3) а = а+а – сократим на общий множитель (а-а);

   4) а = 2а.

                                                    14

                                              5.Заключение.

      О математических софизмах и парадоксах  можно говорить бесконечно много, как и о математике в целом. Изо дня в день рождаются новые софизмы и парадоксы, некоторые из них останутся в истории, а некоторые просуществуют один день.

      Софистика-это целая наука, а  математические  софизмы – это лишь часть одного большого течения.  Поиск  заключенных в софизме ошибок, ясное понимание их причин ведет к осмысленному изучению математики. Обнаружение и анализ ошибки, заключенной в софизме, очень часто оказывается более поучительным, чем просто разбор решений «безошибочных» задач.  Эффектная демонстрация «доказательства»  явно неверного результата, демонстрация того, к какой нелепице приводит пренебрежение каким-либо математическим правилом, и последующий поиск  и разбор ошибки, позволяют понять и «закрепить» математическое правило или утверждение.  

Что касается меня, то некоторые софизмы приходилось разбирать по нескольку раз, чтобы действительно в них разобраться, некоторые же наоборот, казались очень простыми. Исторические сведения о софистике и софистах помогли мне разобраться, откуда же все-таки началась история софизмов.

    Парадоксы – это неожиданные утверждения, противоречащие  здравому смыслу или общепризнанным научным теориям. Очень часто их рассматривают как ошибки, хотя в большинстве случаев они таковыми не являются. Обычно парадоксы построены на логически верных заключениях, но их  противоречивый результат не является преднамеренным (этим они отличаются от софизмов). Парадоксы известны науке уже более двух тысяч лет. В античные времена были описаны многие парадоксы и для некоторых из них ученые до сих пор не могут найти объяснения и решения. Открываются парадоксы и в наши дни. Обычно подобные открытия сопровождаются кризисами в науке, разрушением старых, проверенных временем теорий и  попытками создать новые, которые способны объяснить

появившиеся противоречия. Количество существующих парадоксов по-настоящему  огромное. Они присутствуют везде – и в повседневной жизни, и

в науке. Практически в каждой научной области исследования существуют свои парадоксы.  

       Прослеживая историю математики, можно сказать, что во все времена математику спасала какая-нибудь новая идея. Она придавала математике строгость, восстанавливая ее авторитет. Поэтому не стоит бояться парадоксов, ибо они являются  двигателями науки.

        Благодаря софизмам и парадоксам можно научиться искать ошибки в рассуждениях других, научится грамотно строить свои рассуждения и логические объяснения.  

                                                     15

                                6.Список литературы

1. А. Г. Мадера, Д. А. Мадера «Математические софизмы», Москва,  

     «Просвещение», 2003г.

2. Сухотин «Парадоксы науки».

3. Энциклопедический словарь юного математика.

4. Брадис В. М., Минковский В. Л., Харчева Л. К. «Ошибки в      

    математических рассуждениях».

5. Перельман Я. И. «Занимательная математика».

6. Новосёлов М. М. «Абстракция множества парадокс Рассела».    

         «Вопросы философии. 2003г. №7.

7. Аменицкий Н. «Математические развлечения и любопытные  

     приёмы мышления. М.,1912г.

8. Богомлов С. А. «Актуальная бесконечность.» М.; Л., 1934г.

9. Больцано Б. «Парадоксы бесконечного», Одесса, 1911г.

10. Горячев Д. Н., Воронец А. Н. «Задачи, вопросы и софизмы для  

       любителей математике», М., 1903.

11. Лямин А. А. «Математические парадоксы и интересные  

      задачи», М., 1911г.

12. Обреимов В. И. «Математические софизмы», 2-е изд., СПб.,  

      1889г.

13.http://www.peterlife.ru/download%20free%20online/humanities/fl  

      _5_a5.htm

14. http://www.tmn.fio.ru/works/60x/306/06_2.htm

15.http://www.golovolomka.hobby.re/books/gardner/gotcha/ch2/02.

      html

16. http://www.cultinfo.ru/fulltext/1/001/008/104/779.htm

                                                            16