Золотая пропорция

IX Хвалынская районная с региональным компонентом научная конференция учащихся

Номинация:  исследовательская работа

Направление науки: математика

                                                     Тема:

«Золотая пропорция – универсальная мировая константа»

                                                                                             Меркулов Денис

7 класс

Научный руководитель

Маркушина О.П.

Место выполнения работы

МОУ «СОШ п. Возрождение»

г. Хвалынск

2011г

Оглавление

   Введение -----------------------------------------------------------------  3

   Основная часть----------------------------------------------------------  6 - 20

  1. Золотые фигуры и тела ----------------------------------------------- 6

  2. Загадки древних строений:

  2.1 египетские пирамиды и великолепный Парфенон---------     7  

  2.2 древнерусские зодчества ----------------------------------------    8

  3. Золотая пропорция в моем окружении:

  3.1 золотой прямоугольник ----------------------------------------     10  

  3.2 золотая частота --------------------------------------------------      12

  3.3 золотая пропорция в телосложении человека -------------     13

  3.4 золотая спираль в формообразовании природы -----------    15  

  3.5 золотое сечение музыкальных произведений --------------    17

  Заключение -------------------------------------------------------------   19  

  Список литературы ---------------------------------------------------   20

  Приложение ------------------------------------------------------------  

3

Введение

Красота! Казалось бы, это понятие, лишенное практической ценности, материальности, очевидной полезности, не играющее существенной роли, в жизни людей является второстепенным, маловажным. Но почему же с давних времен до наших дней не прекращаются исследования этого непознанного чуда, почему человек издавна стремится окружить себя красивыми вещами.  

    Но человек не только создавал красивые предметы, не только любовался ими, он все чаще задавался вопросом: почему этот предмет красив, он нравится, а другой, очень похожий, не нравится, его нельзя назвать красивым? Тогда из творца прекрасного он превращался в его исследователя. Уже в Древней Греции  родилось представление о том, что основой прекрасного является гармония. Изучение прекрасного стало частью изучения гармонии природы, её основных законов организации. В воззрениях пифагорейцев впервые стали трактовать гармонию как единство противоположностей. Они же пришли к выводу о необходимости числового выражения гармонического соотношения частей в целом, число у пифагорейцев выступает в качестве универсального ключа к объяснению мира.

     Во всех последующих исследованиях ученые пытались так или иначе найти простые числовые соотношения в самых различных явлениях и структурах; изучение законов гармонии стало важной частью изучения природы.

     Известный теоретик архитектуры Леон – Батиста Альберти говорил: «Есть нечто большее, слагающее из сочетания и  связи этих трех вещей (числа, ограничения и размещения), нечто, чем чудесно озаряется весь лик красоты. Это мы называем гармонией, которая, без сомнения, источник всякой прелести и красоты. Ведь назначение и цель гармонии – упорядочить части, вообще говоря, различные по природе, неким совершенным соотношениям так, чтобы они одна другой соответствовали, создавая  красоту… Она охватывает всю жизнь человеческую, пронизывает всю природу вещей. Ибо все, что производит природа, все это соразмеряется законом гармонии.  Этого никак не достичь без гармонии, ибо без нее распадается высшее согласие частей».

    Красота и гармония стали важнейшими категориями познания, в определенной степени даже его целью, ибо в конечном итоге художник ищет истину в красоте, а ученый – красоту в истине.

    Красота скульптуры, красота храма, красота картины, симфонии, поэмы… Что между ними общего? Разве можно сравнить красоту храма с красотой ноктюрна? Оказывается можно, если будут найдены единые критерии прекрасного, если будут открыты общие формулы красоты, объединяющие понятие прекрасного самых различных объектов.

4

   «Формул красоты» уже известно немало. Уже давно в своих творениях люди предпочитают правильные геометрические формы – квадрат, круг, равнобедренный треугольник, пирамиду и т. д. Симметричные фигуры обычно предпочтительнее, чем несимметричные. В пропорциях различных сооружений предпочтительны целочисленные соотношения. Человек вообще предпочитает порядок – беспорядку, простоту – сложности, определенность – неопределенности. Очевидно, в этом проявляется сущность самой жизни.

      Из многих пропорций, которыми издавна пользовался человек при создании гармонических произведений, существует одна, единственная и неповторимая, обладающая уникальными свойствами. Она отвечает такому делению целого на части, при котором отношение большей части к меньшей равно отношению целого к большей части. Эту пропорцию называли по – разному – «золотой»,  «божественной»,  «золотым сечением»,  «золотым число».

    Древнейшие сведения о золотой пропорции относятся ко времени расцвета античной культуры. О ней упоминается в трудах великих философов Греции Пифагора, Платона, Эвклида. Платон привел формулировку золотого сечения, одну из самых древних, дошедшую до нашего времени. Сущность ее сводится к тому, что для соединения двух частей с третьей совершенным образом необходима пропорция, которая бы «скрепила» их в единое целое. При этом одна часть целого должна так относиться к другой, как целое к большей части. Такая пропорция отвечает гармоническому соединению, она и является  золотой. Античные скульпторы и архитекторы широко использовали ее при  создании своих произведений.

      К понятию «золотая пропорция» в наибольшей степени подходит определение «Формула красоты». Действительно, эта пропорция обладает наиболее отчетливыми признаками гармоничности прекрасного. Эта пропорция знаменует собой как бы вершину эстетических изысканий, некий предел гармонии природы. Эта пропорция не только является господствующей во многих произведениях искусства, она определяет закономерности развития многих организмов, ее присутствие отмечают почвоведы, химики, геологи и астрономы.

    Такая универсальность золотой пропорции не делает ее простой и доступной для изучения. Многое в сущности этой «константы гармоничности» остается неизведанным. Еще неясно, почему Природа предпочла эту пропорцию всем другим – не за ее ли уникальность?

По- видимому, в этой пропорции скрыта одна из фундаментальных тайн природы, которую еще предстоит открыть.

    Я  постараюсь  изложить наиболее интересные факты и закономерности, касающиеся золотой пропорции. Насколько это удалось – судить вам.

5

  Изучая различную научную литературу, я пришел к выводу, что золотое сечение перестала быть сокровищем одной лишь геометрии, все это побудило меня исследовать золотую пропорцию как универсальную мировую константу.

    Актуальность исследования золотой пропорции – как мировую константу я вижу в том, чтобы убедиться в достоверности высказывания Иоганна Кеплера о «двух сокровищах» и развить это представление дальше за пределы геометрии.

    Данная моя работа представляет собой теоретические и практические исследования, где в качестве объекта рассматривается всестороннее применение золотой пропорциональности и доказывается её универсальность.

Предмет исследования:   золотая пропорции.

Цель исследования:  поиск закономерностей золотой пропорции в различных областях неживой и живой природы и в  моем окружении.

Задачи:

             - изучить необходимую литературу по данной теме;

             - определить и рассмотреть использование золотой пропорции

               в неживой и живой природе, её  применение в современном мире;

             - выявить и изучить проявление золотой пропорции и её производных

               в моем окружении.

Гипотеза:  если золотая пропорция – универсальная мировая константа, то                                            

                   она встречается в мире живой и неживой природы.

Методы исследования:  обоснованность исходных теоретических и                                                        

                                          практических данных с опорой на результаты

                                          наблюдения, измерения, анкетирование и

                                          доказательства, практических  экспериментов,

                                          проведенных мною.

6

1. Золотые фигуры и тела

«Геометрия владеет двумя сокровищами: одно из них – это теорема Пифагора, а другое деление отрезка в среднем и крайнем отношении… Первое можно сравнить с мерой золота, второе же больше напоминает драгоценный камень», - писал И. Кеплер.

  Сейчас невозможно достоверно установить ни человека, впервые открывшего золотую пропорцию, ни время, когда это произошло. Многие исследователи считают первооткрывателем золотой пропорции греческого математика и философа Пифагора.

       Утверждение Пифагора «Все есть число» и было основано на признании фундаментальной роли в природе простых целочисленных величин. Поэтому он и искал закономерности в небольших числах, придавая каждому из них особую, часто мистическую роль.

   Рассмотрим простейший прямоугольный треугольник с отношением катетов 1:2. В этом треугольнике гипотенуза по теореме Пифагора будет равна . Этот треугольник был хорошо известен в древнем мире, во многих сооружениях того периода преобладают пропорции, равные отношениям катетов и гипотенузы прямоугольного треугольника со сторонами 1:2:.

Соотношения сторон a, b, c данного треугольника очень простые и понятные каждому, знающему основы геометрии: a/b=1:2, c/a=:1, c/b=:2. Однако из этих величин следует и еще одно отношение (a+c)/b=(1+)/2, равное 1,618033… . Это и есть золотая пропорция.

  Значит можно сделать вывод, что прямоугольный треугольник с катетами 1и 2, а также прямоугольник со сторонами 1и 2 и диагональю  называются золотыми фигурами.  

    В 1509 году в Венеции современник и друг Леонардо да Винчи  Лука Пачоли нашел в пяти платоновых телах  - правильных многогранников (тетраэдр, куб, октаэдр, икосаэдр и додекаэдр) тринадцать проявлений золотой пропорции. В каждой вершине икосаэдра сходятся пять треугольников, образуя правильный пятиугольник, у которого большая сторона так относится к меньшей, как сумма сторон к большей.

     Таким образом, Золотая пропорция проявляется в геометрии пяти правильных многогранников, которые по представлениям ученых древности, лежат в основе мирозданья. Поэтому эти тела также называются золотыми.

Платон считал, что атомы четырех элементов, из которых построен мир (огня, земли, воздуха и воды), имеют форму правильных выпуклых многогранников – тетраэдра, куба, октаэдра и икосаэдра, а весь мир в целом построен в форме додекаэдра. Платон писал: «Земля, если взглянуть на нее сверху, похожа на мяч, сшитый из 12 кусков кожи».

7

2.1 Египетские пирамиды и великолепный Парфенон

 Арабская пословица гласит: «Все на свете страшится времени, время страшится пирамид». Бесконечное, однообразное море песка, редкие высохшие кустики растений. Раскаленное солнце пустыни… И оно кажется тусклым, словно покрыто мелким песком.  И вдруг, словно мираж, перед изумленным взором возникают пирамиды – фантастические фигуры из камня, устремленные к солнцу. Своими громадными размерами, совершенством геометрической формы они поражают воображение. Недаром эти творения рук человеческих относили к одному из семи чудес света.

    Среди грандиозных пирамид Египта особое место занимает великая пирамида фараона Хеопса. Она самая крупная и наиболее хорошо изученная.

Правильная четырехгранная пирамида является одной из хорошо изученных геометрических фигур, символизирующих простоту и гармонию формы, олицетворяющую устойчивость, надежность, устремление вверх.

   Очевидно, и размеры пирамиды: площадь ее основания и высота – не были выбраны случайно, а должны нести какие-то геометрические, математические идеи, информацию об уровне знаний египетских жрецов.

    Основным исходным элементом геометрии пирамиды Хеопса является треугольник в ее вертикальном сечении, в котором отношение катетов равно гипотенузы к большому катету и равно 1,272 = , а отношение гипотенузы к малому катету равно золотой пропорции Ф=1,618…

  Таким образом, есть основания утверждать, что основным отношением частей пирамиды Хеопса является золотая пропорция, выраженная в пирамиде неоднократно. (см. приложение)

  Великолепные памятники архитектуры оставили нам зодчие Древней Греции. И среди них первое место по праву принадлежит Парфенону.

  В 447 году началась работа над храмом Афины – Парфеноном и продолжались до 434 года до н. э. Для создания гармонической композиции на холме его строители даже увеличили холм в южной части, соорудив для этого мощную насыпь. Протяженность холма перед Парфеноном, длины храма Афины и участка Акрополя за Парфеноном соотносятся как отрезки золотой пропорции. При взгляде на Парфенон от места расположения пропилей отношение массы скалы и храма также  соответствует золотой пропорции. Таким образом, золотая пропорция была использована уже при создании композиции храмов на священном холме.

   Но не только присутствие золотой пропорции в геометрии Парфенона делает это сооружение столь прекрасным и непревзойденным. Тщательные измерения Парфенона показали, что в нем нет прямых линий, а поверхности не плоские, а слегка изогнутые.

                                                        8

2.2  Древнерусские зодчества

  Шедеврами архитектуры являются многие русские храмы, которые строились на протяжении нескольких столетий. В плане стены храмов или опорные колонны обычно вписываются в квадрат или прямоугольник со сторонами 1:2. В квадрат вписываются и многие фасады древних храмов (например, Георгиевский собор в Юрьеве – Польском). Однако встречаются и другие соотношения габаритов храмов в плане и в фасаде. Членение же целого на части подчинено еще малоизученным законам гармонии, секретам архитектуры, которыми владели русские зодчие и которые еще предстоит открыть. Попытки такого рода предпринимаются уже давно. Давно уже пытаются раскрыть тайны гармонии русских храмов, их непреходящей красоты.

   Одиноко стоит в пойме реки Нерли над зеркалом спокойных вод изящный и легкий белокаменный храм, словно любуется своим изображением в воде. Эта небольшая, скромная по архитектурной композиции церковь Покрова на Нерли (1165г.) считается наиболее совершенным творением владимирских зодчих. (см. приложение)

     Основные элементы архитектуры церкви Покрова на Нерли

взаимосвязаны пропорциями и определяют геометрическую гармонию и красоту этого сооружения. В основе взаимосвязанных пропорций положен прямоугольник со сторонами 1:2 и диагональю  и его производная – золотая пропорция. Наличие этих пропорций и определило красоту храма, который считается одним из величайших шедевров русского зодчества. «Поразительная красота и гармоничность архитектуры храма Покрова Богородицы на Нерле , - пишет теоретик архитектуры К.Н.Афанасьев, - оформляется цепью взаимосвязанных отношений «золотого сечения».

    Золотая пропорция обнаружена и в архитектуре церкви Вознесения в Коломенском (1532г.).

    Трудно найти человека, который бы не знал и не видел собор отличается удивительным разнообразием форм и деталей, красочных покрытий; ему нет равных в нашей стране.(см. приложение)

Едва ли правомерно утверждать, что зодчие собора Василия Блаженного знали о золотой пропорции и ее математическом выражении 1,618 или 0,618 и сознательно пользовались этой величиной в своих построениях. Но они могли интуитивно прийти к этой пропорции, пользуясь системой квадрата и прямоугольника, отношением их сторон и диагоналей.

     При рассмотрении храма Василия Блаженного в Москве невольно возникает вопрос: случайно ли число куполов в нем равно восьми? Существовали ли какие – либо каноны, определяющие число куполов в храмах? Очевидно, существовали. Простейшие православные соборы

9

раннего периода были одноглавые, однако уже в X веке строили и многокупольные церкви. Новгородский Софийский собор был тринадцатиглавым, а Преображенская церковь в Кижах, вырубленную из дерева 2,5 столетия назад, венчает 21 глава!

   Давно уже нет в живых создателей замечательных русских храмов, являющихся сокровищницей отечественной культуры. Но остались (к сожалению, далеко не все!) творения их рук, и, прежде всего выражение их духовных ценностей, воплощенных в камне. Чем они пользовались при выборе пропорций, при членении целого на части?! Для ответа на этот вопрос нужна кропотливая работа исследователя, кропотливые замеры и сопоставления.

     Выражение «архитектура – это застывшая музыка» стало крылатым. Оно не является, безусловно, результатом старого научного анализа, это, скорее всего итог образного, интуитивного ощущения некой связи гармонической архитектурной формы с музыкальной гармонией.

10

                          3. Золотая пропорция в моем окружении

3.1 Золотой прямоугольник

    Мною в своем классе были проведены анкетирование и эксперимент на тему: «Золотая пропорция и восприятие».

    Ребята отдали предпочтение книге, имеющей форму близкую к золотому прямоугольнику, оставляя без внимания другие книги, имеющие форму вытянутого прямоугольника и форму близкую к квадрату.

     Результаты следующие:

    Из 26 человек:  за золотой прямоугольник – 16 человек – 62%

                               за квадратную форму           – 6 человек – 33%

                               за вытянутый прямоугольник – 2 человека – 5%

11

А участники эксперимента предпочитали садиться на свободную лавочку в том месте, точка которого соответствовала пропорции золотого отрезка.

Из 26 человек:   20человек заняли золотую точку          – 77%  

                             6 человек заняли произвольное место – 23%

Это объясняется тем, что бесконечное повторение одних и тех же геометрических фигур вызывает у нас неосознанное эстетическое чувство гармонии и красоты. Поэтому многие предметы прямоугольной формы, с которыми мы имеем дело, зачастую имеют форму золотого прямоугольника.

   Выполненные замеры некоторых предметов прямоугольной формы, с которыми мы ежедневно имеем дело, подтвердили форму золотого прямоугольника:

        отношение сторон спичечного коробка – 50 : 30 = 1,6…

        отношение сторон учебного пособия – 210 : 120 = 1,65..

 Даже в здании нашей школы прослеживается золотая закономерность:

                                   15000 : 9000 = 1,6…

(см. приложение)

12

3.2 Золотая чистота

   Сердце бьется непрерывно – о рождения человека до его смерти. Его работа должна быть оптимальной, обусловленной законами самоорганизации биологических систем. Отклонения от оптимального режима вызывают различные заболевания.  Сердце как поршень сжимает, а затем выталкивает кровь и гонит ее по телу. Давление крови изменяется в процессе работы сердца. Наибольшей величины оно достигает в левом желудочке сердца в момент его сжатия. В артериях в это время кровяное давление достигает максимальной величины, равной 115-125 мм ртутного столба  у молодого, здорового человека. В момент расслабления сердечной мышцы давление сжимается до 70-80мм рт. ст. Отношение  максимального к минимальному давлению равно в среднем 1,6, то есть близко к золотой пропорции.

  Поэтому золотая пропорция является одним из критериев самоорганизации в работе сердца.

 В медицинской практике о работе сердца судят по пульсу. Оказалось, что пульсовые – минимальное и максимальное – давления находятся в отношении 0,365:0,635:1, то есть близким к золотой пропорции.

   На электрокардиограмме человека обозначены буквами «з. т.» - золотые точки, соответствующие точкам деления рассмотренных участков сердечного цикла в пропорции золотого сечения.

   Можно сделать вывод: работа сердечно – сосудистой системы по законам золотой пропорции обеспечивает гармоническое Функционирование всего организма.

3.3  Золотая пропорция в телосложении человека

 «Все усилия природы направлены  к  одной цели – к созданию человека», -  

писал Жан Батист Робинс.

 Сколько художников, поэтов, скульпторов, истинных ценителей прекрасного, восхищались красотой человеческого тела!  «Красивейшие человеческие тела во всех положениях, смелых до невероятности, стройных до музыки – да это целый мир, перед откровением которого невольный холод восторга и страстного благоговения пробегает по всем жилам», - писал И.С.Тургенев.  «Человеческое тело – лучшая красота на земле», - утверждал Н.Г.Чернышевский.

     Эталонами красоты человеческого тела, образцами гармонического телосложения издавна и по праву считаются великие творения греческих скульпторов: Фидия, Поликтета, Мирона, Праксителя.   В создании своих творений греческие мастера использовали принцип золотой пропорции. Центр золотой пропорции строения человеческого тела располагается точно в месте пупка. И не случайно величину золотой пропорции принято обозначать буквой Ф; это сделано в честь Фидия – творца бессмертных скульптурных произведений.

    Одним из высших достижений классического греческого искусства может служить статуя «Дорифор» («Копьеносец»). (см. приложение) Фигура юноши выражает единство прекрасного и доблестного, лежащих в основе греческих принципов искусства. Статуя полна спокойной уверенности; гармония линий, уравновешенность частей олицетворяет могущество физической силы. Широкие плечи почти равны высоте туловища, половина высоты тела приходится на лонное сращение, высота головы восемь раз укладывается в высоте тела, а золотой пропорции отвечает положение пупка на теле отлета.

    Шедевр красоты считается Афродита Милосская (III-II вв. до н. э.), созданная Агесандром. Это о ней писал А. Фет замечательные строки:

                             И восхитительно и смело

                            До чресл сияя наготой

                           Цветет божественное тело

                           Неувядающей красой.        (см. приложение)

      Уже тысячелетия пытаются люди найти математические закономерности в пропорциях тела человека, прежде всего, человека, хорошо сложенного, гармонического. Гармоничность телосложения создает впечатление о соразмерности всех его частей, которая может быть выражена простыми числовыми отношениями. Для анализа этих отношений нужна была единица измерения, какая-то часть тела.

     Рассчитанные пропорции тела человека расширяют антрометрические данные, дают новые характеристики для анализа и сравнения, но они пока лишены физического содержания. Исключение представляет только

14

отношение роста к  высоте линии талии. Это отношение известно с древних времен, долго изучалось, считается одним из основных критериев гармонии человеческого тела, и получило различные названия; золотое сечение, золотая пропорция, божественное отношение и др.

      Золотая пропорция занимает ведущее место в художественных канонах Леонардо да Винчи и Дюрера. В соответствии с этими канонами золотая пропорция отвечает не только делению тела на две неравные части линией талии. Высота лица относится к вертикальному расстоянию между дугами бровей нижней частью подбородка, как расстояние между нижней частью носа и  нижней частью подбородка относится к расстоянию между углами губ и нижней частью подбородка, это отношение равно золотой пропорции, равной 1,618…

    Пальцы человека состоят из трех фаланг: основных, средних и ногтевых. Длина основных фаланг всех пальцев, кроме большого, равна сумме длин двух остальных фаланг, а длины всех фаланг каждого пальца соотносятся друг к другу по правилу золотой пропорции. Как, видим, в строении кости соблюдается принцип золотой пропорции.

     Все это дает основание считать золотую пропорцию некоторой «константой гармонии», идеальным пределом, к которому стремится тело человека в своем развитии.

                                                             15

3.4 Золотая спираль в формообразовании природы

  Для творения неживой природы характерна высокая устойчивость, слабая изменчивость, если судить в масштабах времени человеческой жизни. Человек рождался, жил, старел и умирал, а гранитные горы оставались такими же, не изменялись и кристаллы топаза, рубина, алмаза, и планеты вращались вокруг Солнца так же, как и во времена Пифагора. Таков мир неживой природы с его симметричными кристаллами минералов.

  Мир живой природы предстает перед нами совсем иным – подвижным, изменчивым, кратко живущим и удивительно разнообразным. А какое разнообразие форм, размеров, окрасок!

   Мир неживой природы – это, прежде всего мир симметрии, придающей его творением устойчивость и красоту. Нетрудно убедиться в том, что симметрия сохранилась и в живой природе. Достаточно взглянуть на растения, и мы увидим строго симметричные цветы и листья, многие плоды и даже сами растения с их симметрично – винтовым расположением листьев на стержне ствола.

    Характерной чертой строения растений и их развития является спиральность.  Спирально закручиваются усики растений, по спирали происходит рост тканей в стволах деревьев, по спирали расположены семечки в подсолнечнике, спиральное движение наблюдается при росте корней и побегов. А посмотрите на сосновую шишку и вы увидите, что чешуйки на ее поверхности расположены строго закономерно – по двум спиралям. Число таких спиралей у сосновых шишек равно 8 и 13 или 13 и 21. такие же спирали видны в поперечных разрезах почек; здесь числа спиралей относятся как числа 3/5, 5/8, 8/13.  В корзинках подсолнечника семена также расположены по двум спиралям, их  число составляет обычно 34/55, 55/89. Здесь можно увидеть закономерное сочетание чисел Фибоначчи, расположенных рядом: 2/3, 3/5, 5/8, 8/13, 13/21, 21/34, 34/55, 55/89. Их  отношение в пределе стремится к золотой пропорции, выраженной числом 0,61803…

     Осень.  Широкие, ярко окрашенные, словно вырезанные талантливым художником ажурные листья клена так красивы, что трудно остаться равнодушным. Золотая пропорция в строении листа проявляется не только в его членении в соответствии с рядом чисел Фибоначчи. Проявляется она и в размерных соотношениях листа. Прожилки и зубцы листа клена расположены по закону уменьшения размеров от центра к периферии листа. Это отчетливо видно на рисунке кленового листа. (см. приложение)

    Для изучений растений нет нужды выходить из квартиры. Если взять обыкновенную луковицу и посадить ее в стакан с водой, то через несколько дней в верхней части луковицы появятся зеленые побеги, а в воду опустятся белые нитевидные корни.  Через неделю можно увидеть, что число перьев, выросших из каждого побега равно 3, 5, 8, то есть числам Фибоначчи. Число

16

корневых нитей равно или близко к 21 и 34, то есть также отвечает числам Фибоначчи.

17

3.5  Золотое сечение музыкальных произведений

Давно уже ученые задавались вопросом: почему в музыкальной октаве семь основных звуков – столько же, сколько цветов в спектре солнечного света. Еще ничего, не зная о природе звуков, человек интуитивно подстраивал струны так, чтобы они создавали благозвучие. Пифагору принадлежит математическое объяснение основ гармонии; по его определению, наиболее естественно воспринимаются человеком частоты, которые находятся между собой в простых числовых отношениях. Вот откуда и отношение частот в октаве 1:2, и  благозвучное трезвучие с отношением частот 4:5:6. Уменьшая последовательно длины струн, мы получим природный звукоряд из 16 звуков, но почему же древние музыканты приняли звукоряд, состоящий из семи основных звуков, и лишь позже добавили еще пять дополнительных (так появились черные клавиши в пианино).

      По свидетельству историков, древнейшая греческая лира (Орфей) имела четыре струны. Первая струна – основа, у второй струны число колебаний относится к числу колебаний первой струны как 4:3 (как у катетов «священного» египетского треугольника).  Эта кварта основного тона. Число колебаний третьей струны по отношению к основному тону равно 3:2, это квинта основного тона. Четвертая струна – октава, число колебаний у нее в два раза больше, чем у основы (как отношение сторон в треугольнике 1:2:). 

    Естественно возникает вопрос: не явились ли закономерности в геометрии прямоугольного треугольника со сторонами  1:2: основой для разработки музыкальной гаммы?  Если же связь сторон треугольника и отношения частот звуков в семиструнной гамме не случайна, то в таком случае построение музыкальной гаммы связано с золотой пропорцией.

     Значение работ Пифагора по научному обоснованию основ музыкальной гармонии трудно переоценить. Это была первая научно обоснованная теории гармонии в музыке. Познав истинность и красоту своей музыкальной теории, Пифагор пытался распространить ее на космологию; по его представлениям, и планеты Солнечной системы располагались в соответствии с музыкальной октавой. Эта гипотеза Пифагора не потеряла своей привлекательности и в более поздние времена. Так, в 17 веке поэт Джон Драйден писал:

                             Во всем царит гармонии закон,

                            И в мире все суть ритм, аккорд и тон. 

   Анализ гармонии в музыке не исчерпывается установлением закономерностей звучания в гамме, изучением природы благозвучных аккордов. Интересно было определить природу прекрасного в произведениях великих композиторов, определить, в чем причина их привлекательности, эстетической ценности.

     В композиции многих музыкальных произведений отмечается наличие некоторого»кульминационного взлета», высшей точки, причем такое

18

построение характерно не только для произведения в целом, но и для его отдельных частей. Такая высшая точка крайне редко расположена в центре произведения или его композиционной части, обычно она смещена. Изучая восьмитактные мелодии Бетховена, Шопена, Скрябина, музыкальный музыковед Л. Мазель установил, что во многих из них вершина, или высшая точка,  приходится на сильную долю шестого такта или на последнюю мелкую долю пятого такта, то есть находится в точке золотого сечения.

     Наибольшее количество музыкальных произведений, в которых имеется золотое сечение, у Аренского (95%), Бетховена (97%), Гайдна (97%), Моцарта (91%),  Скрябина (90%), Шопена (92%), Шуберта (91%).  

     Таким образом, золотая пропорция является критерием гармонии композиции музыкального  произведения. Тогда логично предположить, что чем точнее соответствие произведение музыки золотой пропорции, тем выше степень гармонии, а отклонение от золотой пропорции – свидетельство несовершенства музыки.

19

                                                         Заключение

  В результате проведенной работы было выявлено:

1. Золотая пропорция проявляет себя как в мире живой природы, так и в мире      

    минералов.

2.  Золотая пропорция применяется в различных областях искусства и    

     переносится в научную деятельность. Круг ее применения невероятно

     широк.

3.  Сделаны выводы:

• 40% от обследуемых учащихся подтвердили гармонию красоты своего тела;
• ученики эксперимента предпочитали садиться на свободную лавочку в том месте, точка которого соответствует пропорции золотого отрезка;
• отношение размеров предметов прямоугольной формы, привлекающие наше внимание (здание школы, книги, спичечный коробок) близки к золотому;
• винтообразное и спиралевидное расположение листьев на ветках деревьев, семян подсолнечника, в шишках сосны, кактусов подчиняется закономерному сочетанию чисел Фибоначчи.

4.  Золотая пропорция действительно является универсальной мировой  

      константой.

 Нам в своей жизни необходимо стремиться к созданию гармонии красоты не только в архитектуре, живописи, своего тела, но и в поведении, учении и познавательности.

 В ходе работы гипотеза о том, что золотая пропорция уникальна, универсальна, является мировой константой, нашла свое подтверждения.

  Теоретическая значимость работы заключается в том, что в процессе работы была изучена научно- популярная литература по данной теме, а также выявлено несколько видов золотой пропорции – «золотая спираль»,  «числа Фибоначчи», «золотая симметрия».

20

Список литературы

Брунов Н. «Пропорции античной и средневековой архитектуры»

Гика М.    «Эстетика пропорций в природе и искусстве»

Бунак В.В.»Антропометрия»

Тимердинг Г.Е. «Золотое сечение»

Васютинский Н. «Золотая пропорция»

Большая советская энциклопедия

Большая энциклопедия России