Собран материал о функциональных уравнениях: их виды, особенности и методы решения.
Вложение | Размер |
---|---|
pyatkovskaya_kr.9vkl.doc | 268.5 КБ |
Министерство образования и высшей школы Республики Коми
Муниципальное учреждение “Управление образования
администрации муниципального образования городского округа “Усинск” ”.
Муниципальное общеобразовательное учреждение
“Средняя общеобразовательная школа №4 с углубленным изучением отдельных предметов”
Исследование - практикум
“Функциональные уравнения”
Автор:
Пятковская Кристина
ученица 10в класса
Руководитель:
Петрова
Надежда Петровна
учитель математики
г. Усинск
2010 год
Введение
“Уравнение - есть равенство,
которое еще не является
истинным, но которое
стремятся сделать истинным,
не будучи уверенным,
что этого можно достичь”.
А. Фуше
Активно занимаясь подготовкой к ЕГЭ, я просматривала справочную литературу, и в одном из учебных пособий увидела понятие еще не известное мне – функциональное уравнение.
Функциональные уравнения: их виды, особенности и методы решения – этот вопрос совершенно не изучается в школьном курсе математики.
Я поставила перед собой цель: расширить свои знания в области математики, изучив тему, которая не входит в рамки школьной программы.
Для достижения результата поставила для себя ряд задач:
Функциональным уравнением называется уравнение, в котором неизвестным является некоторая ф у н к ц и я (или функции).
Функция называется решением функционального уравнения , если при подстановке ее в уравнение оно превращается в тождество.
Решить функциональное уравнение – значит найти множество всех его решений.
Задача 1. Решить функциональные уравнения с 1-7, увидеть в чем схожесть в решении данных функциональных уравнений. x, y R
1.
если x принимает любые действительные значения.
Найти неизвестную функцию мешает .
Пользуясь тем, что здесь x – любое действительное число, з а м е н и м x на –x. Это вовсе не означает, что мы полагаем x = -x , так как последнее равенство выполняется при x = 0. Будем иметь:
Получаем систему уравнений
с неизвестными и . Исключим из нее . Для этого сложим первое уравнение с удвоенным вторым:
Пока что мы с вами установили следующее: если функция является решением данного функционального уравнения, то
Теперь нужно это допущение оправдать. выполним проверку найденной функции по функциональному уравнению:
Получилось тождество. Следовательно, функция есть решение функционального уравнения.
Отсюда видно, что это решение единственно.
Ответ:
2.
(x0)
Заменим x на .
Ответ:
3.
(x0)
Заменим x на .
Ответ:
4.
Заменим x на 1-x.
Ответ:
5.
Ответ:
6.
Ответ:
7.
Ответ:
При решении “Задачи 1” применялась замена переменной. Метод замены переменной, или метод подстановки, является о с н о в н ы м при решении функциональных уравнений.
8.
Ответ:
9.
Ответ:
10.
Ответ:
11.
Ответ:
12.
Ответ:
Задача 2. Узнать будут ли существовать такие функции , что при любых действительны x и y будут выполняться равенства.
1.
Пусть y = x.
Проверка, которая до сих пор носила более или менее формальный характер, в данном случае о б я з а т е л ь н а: если при y=x получается функция , которая при подстановке в функциональное уравнение превращает его в тождество, то это не значит, что аналогичное положение будет и при yx. Получаем:
это равенство тождеством не является. Значит, такая функция не существует.
Ответ: не существует.
2.
Пусть y = x.
Проверка:
Получилось тождество, значит, функция является решением, причем единственным.
Ответ: существует - .
3.
Допустим функции существуют.
Предположим x = y = 0 :
Теперь пусть x = 0 :
Наконец, пусть y = 0 :
Перемножим два последние равенства:
Но получается
Последнее равенство тождеством не является. Противоречие. Следовательно таких функций не существует.
Ответ: не существуют.
4.
Доказать, что функций не существует.
Допустим, функции существуют.
Пусть x = y = 0
Функции не существует - ч.т.д.
Задача 3. Рассмотреть функциональные уравнения, решение которых связано с делимостью многочленов. Где P(x) – многочлен, а x – принимает любые действительные значения.
1.
P(x) – многочлен.
Пусть в данном равенстве x = -5:
Пусть в этом же равенстве x = -4:
Далее, пусть x = -3:
Аналогично, при x = -2; -1; 0 получим :
Так как многочлен P(x) в точках -5, -4, -3, -2, -1, 0 обращается в нуль, то он делится на произведение
Из теоремы, в которой говорится,
что если многочлен имеет
корни и , то он делится
на произведение .
Это значит, что
где Q(x) – многочлен. Подставим последнее выражение для P(x) в функциональное уравнение:
где С - постоянная. Следовательно, многочлен Q(x) – C имеет бесконечное множество корней. Но это возможно только тогда, когда он тождественно равен нулю:
Ответ
2.
1) Пусть x = 0; 0 =-2 P(0); Р(0) = 0
2) Пусть x = 2; 2Р(1)= 0 Р(2), т.е. Р(1) = 0
3) Пусть x = 1; Р(0) = -1 Р(1); Р(1)=0
если 1 и 0 – нули многочлена, то
Р(x) = (x-1) x Q(x)
Подставим в функциональное уравнение:
x =P(x-1) = (x-2) (x-1) x Q(x)
x (x-2)(x-1) Q(x-1) = (x-2)(x-1) x Q(x)
Q(x-1) = Q(x)
Q(0) = Q(-1) = Q(-2) = Q(-3) = … = C
Тогда Р(x) = x (x-1) C
Проверка:
x P(x-1) = (x-2) P(x)
x (x-1)(x-2)C = (x-2) x(x-1)C - тождество
Ответ: Р(x) = С x (x-1)
Заключение
Я думаю, что справилась с поставленными задачами.
Изучив тему, решив большое количество уравнений, я поняла идею решения функционального уравнения.
Работа с функциональными уравнениями очень интересна, к каждому уравнению требуется отдельный подход.
Рассмотрев методы решения, я поняла, что пока не могу осилить все виды уравнений и не смогу решить любое функциональное уравнение, потому как мною не пройден полный школьный курс математики.
Меня воодушевляет то, что на следующий год я вновь смогу рассмотреть данную тему, еще сильней углубившись в нее.
Единственное что могу отметить – это т о, что материала по данной теме очень мало и многое приходилось разбирать самостоятельно.
Сделав эту работу, я почувствовала себя более уверенной в математике, думаю, мне эта тема пригодится на выпуске и при итоговой аттестации.
“Уравнение - есть равенство,
которое еще не является
истинным, но которое
стремятся сделать истинным,
не будучи уверенным,
что этого можно достичь”.
А. Фуше
Как Дед Мороз сделал себе помощников
Самарские ученые разработали наноспутник, который поможет в освоении Арктики
Весёлая кукушка
Сказки пластилинового ослика
Сторож