Элементы стереометрии

Слайд 1

ЭЛЕМЕНТЫ СТЕРЕОМЕТРИИ Стереометрия – это раздел геометрии, изучающий фигуры в пространстве. Основные фигуры в пространстве : точка, прямая и плоскость

Слайд 2

АКСИОМЫ СТЕРЕОМЕТРИИ Через любые две точки пространства проходит единственная прямая Через любые три точки пространства, не принадлежащие одной прямой, проходит единственная плоскость Если две плоскости имеют общую точку, то они пересекаются по прямой Существуют по крайней мере четыре точки, не принадлежащие одной плоскости

Слайд 3

СЛЕДСТВИЯ ИЗ АКСИОМ Если прямая имеет с плоскостью две общие точки, то она лежит в этой плоскости Через прямую и не принадлежащую ей точку проходит единственная плоскость Через две пересекающиеся прямые проходит единственная плоскость

Слайд 4

Две прямые Лежат в одной плоскости Не лежат в одной плоскости (скрещиваются) Имеют общую точку (пересекаются) Не имеют общих точек (параллельны) ВЗАИМНОЕ РАСПОЛОЖЕНИЕ ДВУХ ПРЯМЫХ В ПРОСТРАНСТВЕ

Слайд 5

Определение. Две прямые в пространстве называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются. Параллельность прямых

Слайд 6

Определение. Две прямые в пространстве называются скрещивающимися, если они не лежат в одной плоскости. СКРЕЩИВАЮЩИЕСЯ ПРЯМЫЕ

Слайд 7

Прямая и плоскость Имеют общие точки Не имеют общих точек (параллельны) Имеют одну общую точку (пересекаются) Имеют более одной общей точки (прямая лежит в плоскости) ВЗАИМНОЕ РАСПОЛОЖЕНИЕ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ В ПРОСТРАНСТВЕ

Слайд 8

Определение. Прямая называется параллельной плоскости, если она не имеет с ней ни одной общей точки. ПАРАЛЛЕЛЬНОСТЬ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ

Слайд 9

Теорема. Если прямая, не лежащая в плоскости, параллельна некоторой прямой, лежащей в этой плоскости, то прямая параллельна самой плоскости. ПРИЗНАК ПАРАЛЛЕЛЬНОСТИ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ

Слайд 10

Две плоскости Имеют общие точки (пересекаются по прямой) Не имеют общих точек (параллельны) ВЗАИМНОЕ РАСПОЛОЖЕНИЕ ДВУХ ПЛОСКОСТЕЙ В ПРОСТРАНСТВЕ

Слайд 11

Определение. Две плоскости в пространстве называются параллельными, если они не пересекаются. ПАРАЛЛЕЛЬНОСТЬ ПЛОСКОСТЕЙ В ПРОСТРАНСТВЕ

Слайд 12

Теорема. Если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум прямым другой плоскости, то эти плоскости параллельны. ПРИЗНАК ПАРАЛЛЕЛЬНОСТИ ПЛОСКОСТЕЙ

Слайд 13

ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТЬ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ Прямая называется перпендикулярной плоскости, если она перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости. Теорема. (Признак перпендикулярности прямой и плоскости.) Если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым плоскости, то она перпендикулярна и самой плоскости.

Слайд 14

КУБ, ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕД Параллелепипедом называется многогранник , поверхность которого состоит из шести параллелограммов . Прямоугольным параллелепипедом называется параллелепипед, грани которого – прямоугольники. Кубом называется многогранник, поверхность которого состоит из шести квадратов.

Слайд 15

ПРИЗМА Призмой называется многогранник, поверхность которого состоит из двух равных многоугольников, называемых основаниями призмы, и параллелограммов, имеющих общие стороны с каждым из оснований и называемых боковыми гранями призмы. Призма называется прямой, если её боковые грани – прямоугольники. Прямая призма называется правильной, если её основания – правильные многоугольники .

Слайд 16

ПИРАМИДА Пирамидой называется многогранник, поверхность которого состоит из многоугольника, называемого основанием пирамиды, и треугольников, имеющих общую вершину, называемых боковыми гранями пирамиды. Пирамида называется правильной, если её основание – правильный многоугольник и все боковые ребра равны.

Слайд 17

ПРАВИЛЬНЫЕ МНОГОГРАННИКИ Правильные многогранники были известны еще в древней Греции. Пифагор и его ученики считали, что все состоит из атомов , имеющих форму правильных многогранников. В частности, атомы ог ня имеют форму тетраэдр а (его гранями являются четыре правильных треугольника (рис. а); земл и - гексаэдр а (куб – многогранник, гранями которого являются шесть квадратов, рис. б); воздух а – октаэдр а (его гранями являются восемь правильных треугольников, рис. в); вод ы – икосаэдр а (его гранями являются двадцать правильных треугольников, рис. г); вся Вселенная, по мнению древних, имела форму додекаэдра (его гранями являются двенадцать правильных пятиугольников, рис. д). Названия многогранников тоже имеют древнегреческое происхождение. В переводе с греческого: "Тетра" - четыре; "Гекса" - шесть; "Окто" - восемь; "Икоси" - двадцать, "Додека" - двенадцать. "Эдра" - грань.

Слайд 18

ЦИЛИНДР Фигура, образованная отрезками, соединяющими точки окружности одного основания цилиндра с их проекциями, называется боковой поверхностью цилиндра . Сами отрезки называются образующими цилиндра. Прямая, проходящая через центры оснований цилиндра, называется осью этого цилиндра . Сечение цилиндра плоскостью, проходящей через ось цилиндра, называется осевым сечением . Расстояние между плоскостями оснований называется высотой цилиндра.

Слайд 19

ПРЯМОЙ ЦИЛИНДР Фигура, образованная отрезками, соединяющими точки круга F с их ортогональными проекциями, называется прямым цилиндром, или просто цилиндром. Круги F и F ’ называются основаниями цилиндра.

Слайд 20

НАКЛОННЫЙ ЦИЛИНДР

Слайд 21

КОНУС Фигура, образованная отрезками, соединяющими вершину конуса с точками окружности его основания, называется боковой поверхностью конуса . Сами отрезки называются образующими конуса. Прямая, проходящая через вершину и центр основани я конуса , называется осью этого конуса . Сечение конуса плоскостью, проходящей через ось, называется осевым сечением . Расстояние от вершины конуса до плоскост и его основани я называется высотой конуса .

Слайд 22

ПРЯМОЙ И НАКЛОННЫЙ КОНУС В случае, если отрезок, соединяющий вершину конуса с центром основания, перпендикулярен плоскости основания, то конус называется прямым. В противном случае он называется наклонным.

Слайд 23

УСЕЧЕННЫЙ КОНУС Если конус пересечен плоскостью, параллельной основанию, то его часть, заключенная между этой плоскостью и основанием, называется усеченным конусом . Само сечение конуса плоскостью, параллельной основанию, называется также основанием усеченного конуса. Высотой усеченного конуса называется расстояние между плоскостями его оснований .

Слайд 24

Сфера и шар Сферой называется фигура, состоящая из всех точек пространства, удаленных от данной точки, называемой центром, на данное расстояние, называемое радиусом. Шаром называется фигура, состоящая из всех точек пространства, удаленных от данной точки, называемой центром, на расстояние, не превосходящее данное, называемое радиусом. Сфера с тем же центром и того же радиуса, что и данный шар, называется поверхностью шара.