Математика и живая природа

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение

«Лицей №20»

Секция «МАТЕМАТИКА»

МАТЕМАТИКА И ЖИВАЯ ПРИРОДА

Применение теории матриц к решению задач в биологии.

                                                                   Выполнил: ученик 11 класса

                                                                                              Животченко Антон

                                                                         Руководитель: учитель

                                                                         математики Лицея №20

                                                                                              Сорочкина О.А.

Междуреченск 2012г.

Содержание

Введение

1. Теоритическая часть.

1. Понятие теории матриц.
2. Миграционная матрица.

1. Практическая часть.

1. Задача на смещение популяции.

Заключение

Литература

Введение.

В последние десятилетия математика всё шире используется при решение различных задач, непосредственно касающихся человека, его образа жизни, здоровья, организации его деятельности и взаимодействие с окружающей средой.

Но не только к человеку, но и ко многим областям, окружающей нас биосферы применим математический подход. Оставим в стороне использование математики во вех отраслях техники, статистики и чистой науки. Посмотрим, какую пользу она может принести биологии.

Выбор именно этой области связан в основном с интересом к человеку как к центральной фигуре нашего мира.

Опять таки все методы решения задач, используемых в математике ( теория вероятности, дифференциальные исчисления, теория множеств и т.д.) охватить в нашем исследовании не представляется возможности. Поэтому мы остановимся только на теории матриц, которая в наши дни находит достаточно широкое применение.

Понятие матриц впервые появилось в математике в связи решением систем линейных уравнений. Первыми использовали это понятие древнекитайские математики во 2 в. до н.э., а в европейской науки он стал применяться с 19в.

Что же такое матрица? В переводе с латинского matricis означает источник. В математике под матрицей понимается прямоугольная таблица, составленная из каких-либо математических объектов ( чисел, математических выражений и т.д.), обозначаемая обычно заглавными буквами. Понятно, что числа и алгебраические выражения представляют собой определённые данные о предметах, событиях или явлениях.

Матрицы обладают рядом свойств, которые изучал английский математик  А. Кэли, после того как в 1858 году ввёл общую операцию их умножения.

Матрицы широко используются в экономике, социологии, физики, и как это не удивительно археологии и истории. Мы попробуем применить их в биологии.

Итак, цель исследования: изучение возможности применения теории матриц к решению биологических задач.

Объект исследования: математический подход к решению проблем биологии

Предмет исследования: теория матриц.

Гипотеза: используя свойства матриц, можно решать многие сложные задачи, в том числе из области биологии.

Для достижении цели и проверки гипотезы, надо было решить следующие задачи:

1. Подобрать и изучить литературу по выбранной теме.
2. Познакомиться с основными матриц и матричных уравнений.
3. Применить полученные данные на решение простейшей задачи на смещение популяции.
4. Оформить работу

1. Теоретическая часть.

1. Понятие о теории матриц.

Матрица, как уже было сказано представляет собой прямоугольную таблицу из чисел, например :

Матрица Р                              Матрица Q       ;

Данные матрицы имеют по две строки и три столбца; говорят, что это 2×3 матрицы. Данные матрицы можно складывать и вычитать выполняя данные действия над соответствующими элементами матриц.

P + Q =    =  

P – Q =    =

В общем случае матрицы могут содержать m строк и n столбцов. Тогда их называют (m×n) матрицы. При m=n матрица называется квадратной. Матрицы можно умножать, но при этом должно выполняться следующее условие: Количество столбцов в первой матрице должно быть равно количеству строк во второй. Так как в предыдущем примере матрица Q не отвечала условию, то выполнить произведение этих матриц не представляется возможным. Поэтому возьмём вместо старой, новую матрицу Q

 Q =       у которой три строки и четыре столбца. Теперь можем образовать произведение PQ, но заметим, что произведение QP образовать нельзя. Что же представляет собой PQ? Первым элементом первой строки матрицы

будет:      +  +  = 47      И видно, что это сумма парных произведений соответствующих элементов первой строки Р и первого столбца Q:

       =  

Второй элемент первой строки матрицы PQ – это сумма произведений элементов первой строки Р и второго столбца Q. Третий элемент образован первой строкой Р и третьим столбцом Q и т.д. Вторая строка произведения матриц получается из второй строки Р и столбцов Q в аналогичном порядке. Произведя действия, получим матрицу PQ

PQ =  

В случае, когда матрицы P и Q квадратные матрицы одного порядка, то есть каждая из них имеет n строк и  n столбцов, существуют как матрицы PQ, так и матрицы QP, но вообще говоря, они не равны друг другу.

Матрицы имеющие один единственный столбец, называются векторами. Рассмотрим в качестве примера умножение квадратной матрицы на вектор:

 =  

Полученный результат оказывается вектором той же размерности, что и исходный вектор, что и исходный вектор.вектор

Последний пример позволяет понять суть всех матричных применений. Дело в том, что матрицы порядка n имеет обычно n независимых векторов, обладающим замечательным свойством: матрица умноженная на такой вектор переводит его в самого себя, умножая при этом на некий числовой множитель. Такой вектор называется собственным вектором матрицы, а этот числовой множитель – её собственным значением. Рассмотрим пример умножение матрицы  на вектор :

В этом случае собственное значение равно 3, а вектор  – собственный вектор, соответствующий этому собственному значению.

Чем же важны собственные значения и векторы? Оказывается, поведение любой физической или биологической системы, движение которой математически описывается матричным уравнением, полностью определяется собственными значениями и собственными векторами. Система может быть устойчивой или не устойчивой, или совершать колебания, и всё это можно узнать, рассматривая собственные значения и векторы. Скрытые свойства матриц проявляются при их последовательном умножении на самих себя. При этом матричное умножение соответствует некоторому действительному преобразованию состояния мира.

1.2. Миграционная матрица.

Введём так называемую биологическую или миграционную матрицу

                             От места М: К месту      

Каждая точка в этой матрице представляет ту часть населения, в процентах, которая перемещается с одного места на другое за единицу времени. Эти части умножаются на значения ( число людей или ещё чего-либо) в местах А, В, С  и в результате получаются значения А, В и С спустя единицу времени:

Это матричное уравнение для миграции (переселения). Если эту операцию повторять несколько раз мы увидим как миграция, представленная матрицей  М сказывается на значениях в местах А, В и С по пришествии нескольких промежутков времени. По мере увеличения числа умножений матриц, эти величины всё меньше зависят от их начальных значений, и некоторое время спустя они начинают зависеть, лишь от миграционной матрицы М. Покажем это на примере:

Пусть имеется матрица M =     для движениями между двумя популяциями, содержащими соответственно 54 и 108 особей, то есть возьмём n = .

После миграции новые численности популяций представляются элементами вектора n’, где:     n’ = M × n =   =  

Повторение миграции приведёт к вектору:

 n’’ = M × n’ =    ×   =

и далее к    и в конце концов к . Следовательно,  – собственный вектор матрицы М, соответствующий собственному значению 1. Отсюда следует, что любая симметричная картина миграции, представленная элементами матрицы М, не изменяет численности двух популяций, как только последние становятся равны.

1. Практическая часть.

2.1. Задача на смещение популяций.

Обратимся к важному явлению в биологии, которому подвержено множество человеческих популяций – смещению. Под этим термином будем подразумевать объединение групп людей с различными генетическими характеристиками и последующее случайное спаривание. С этим процессом возникает вопросы:  можно ли предсказать последствия смешения населения? Заключается ли в наших генах вся история смешения различных рас? И др. На эти вопросы без участия математики биологам ответить трудно. Это обусловлено сложной природой главной генетической системы – системы групп крови, а так же невозможностью обнаружения всех генотипов по её анализу.

Чтобы как-то ответить на поставленные вопросы, используем введённую нами матрицу миграции и тот маленький опыт, который мы получили, рассматривая смещение двух популяций с её помощью.

Теперь для Р популяции матрица смещения  квадратная и имеет порядок р×р. Элемент , стоящий в I - й строке и в  j – м столбце, представляет ту часть j – го  населения, которые мигрируют в I – е население.

Нам нужно также определить матрицу Q, составленную из частот всех генов, во всех популяциях. Предположим нам надо рассмотреть k генов, тогда матрица Q должна иметь k столбцов и p строк.

М =  ;                      Q =  

Каждая строка при этом в матрице Q описывает генетический фонд для одной из популяций. Понятие генетического фонда является важным для больших популяций со случайными спариваниями, так как по существу включает в себя все имеющиеся гены безотносительно к тем индивидуумам, которые ими обладают. В результате умножения матрицы Q слева на матрицу М, получается новая матрица Q’, описывающая состояние генофондов в популяции после миграции и смешивание через одно поколение.

Q’ = Q×M

Каждый столбец матрицы Q можно рассматривать как вектор, который меняется в результате миграции. Это совпадает с тем, что имеется в матричном уравнении для миграции. То, что эти векторы составляют вместе матрицу Q очень удобно, ибо теперь одновременное изменение различных генов во всех популяциях можно описать одним уравнением.

Что бы до конца разобраться, что происходит, упростим нашу задачу, сужая и конкретизируя её.

Пусть имеется только две популяции, в первой из которой геном А обладает  населения, а во второй  от общего количества.  Тогда соответственно геном В в первой популяции обладает  а во второй  населения. Пусть так же в каждом поколении  каждой популяции мигрирует в другую. Вопрос: к чему приведёт эффект смещения?

Составим миграционную матрицу М, и матрицу частот всех генов Q:

             М = ;                                                         Q =  

Запишем миграционное уравнение и определим новые генетические частоты:

Q’ = Q×M

Q’ =    =  

Из найденных значений видно, что эффект смещения приводит к сближению частот гена А в этих двух популяциях: более высокое значение  уменьшается до , а более низкое значение возрастает от , до . Относительно гена В можно сделать такой же вывод:  

Если мы захотим определить генетические частоты в следующем поколении, то нам потребуется миграционное уравнение:

Q’’ = Q’×M и т.д.

Задача, в общем-то решена, эффект смещения установлен. А в заключении хотелось бы отметить, что миграционное уравнение очень важно в популяционной генетики, так как им можно воспользоваться так как им можно воспользоваться не только для определения изменения генетических частот по известным величинам миграции, но и наоборот, по известным частотам можно вычислить коэффициенты миграции.

Заключение:

Проведённое исследование показало, что алгебра матриц применима к решению большого круга важных задач, она упрощает процедуру решения и облегчает понимание процесса. И хотя в нашей работе этот метод к очень упрощённым, утрированным биологическим проблемам, стало ясно, что он может быть использовать и в решении реальных задач генетики, биологии популяций, систематики. Следовательно, высказанная гипотеза полностью подтвердилась, а поставленная цель-достигнута.

Список литературы

1. Лайтхилл Дж. и др. В.И. Новые области применения математики Под ред. Дж. Эндрюса и Р. Мак−Лауна. −М.: Мир, 2009.
2. Смит Дж. Математические идеи в биологии.− М.: Mиp,2001.