Дополнительные признаки параллелограмма

Муниципальное общеобразовательное учреждение «Гимназия №20»

Секция «МАТЕМАТИКА»

Дополнительные признаки параллелограмма

                                                                   Выполнил: ученик 9 и/м класса

                                                                                            Сбоев Андрей

                                                                        Руководитель: учитель математики

                                                                                             Сорочкина О.А.

Междуреченск 2009г.

Цель: Изучение дополнительных свойств параллелограмма.

Задачи: 1)Изучить дополнительные свойства параллелограмма;
                    2) Показать применение дополнительных свойств параллелограмма к

                        решению задач.

Актуальность темы: Применение дополнительных свойств параллелограмма делает решение задач более простым и позволяет быстрее придти к нужному результату.

Введение.

Термин «параллелограмм» греческого происхождения и,  был введен Евклидом. Понятие параллелограмма и некоторые его свойства были известны еще пифагорейцам. В  «Началах» Евклида доказывается следующая теорема: в параллелограмме противоположные углы равны и диагональ разделяет его углы пополам. Евклид не упоминает о том, что точка пересечения диагоналей параллелограмма делит их пополам. Он не рассматривает ни прямоугольник, ни ромб. Полная теория параллелограмма была разработана к концу средних веков и появилась в учебниках лишь в 17 веке. Все теоремы о параллелограмме основываются непосредственно или косвенно на теореме о параллелограмме Евклида.

 Определение: Параллелограммом называется четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны

В курсе геометрии 8 класса изучается два свойства параллелограмма.

Рассмотрим дополнительные признаки параллелограмма.

Дополнительные признаки параллелограмма.

1°Сумма двух соседних углов параллелограмма равна .

Дано:

ABCD – параллелограмм Доказать:

A +B =

Доказательство:

Пусть А = x, а B = y, тогда составляем уравнение:

1. так как A = C   C = x
2. так как D = B   D = y
3. x + x +y + y =    

2(x + y) =  

x + y =       A +B = , ч.т.д.

2° Биссектриса острого угла отсекает в параллелограмме равнобедренный треугольник.

Дано:

ABCD – параллелограмм

АЕ – биссектриса А

Доказать:

АВЕ – равнобедренный

Доказательство:

1. ВС||АD, AE – секущая  3 = 2 как накрест лежащие
2. AE – биссектриса A  1 = 3
3. 1 = 3, 2 = 3  1 = 2  АВЕ – равнобедренный (так как углы при основании равны).

3°Биссектрисы соседних углов параллелограмма пересекаются под прямым углом.

Дано:

ABCD – параллелограмм

АК – биссектриса А

DN – биссектриса D

Доказать:

NОК =

Доказательство:

Пусть 1 = x, тогда А = 2x (AK – биссектриса А), а

           3 = y, тогда D = 2y (DN – биссектриса D).

1. А  + D = (2x + 2y) =  (сумма соседних углов равна )

   2(x + y) =

     x + y =

1. 1 = 3 =   5 =  (сумма углов треугольника равна )ч.т.д.

4°.Биссектрисы противоположенных улов параллелограмма лежат на параллельных прямых.

Дано:

АЕ и СF – биссектрисы

АВСD - параллелограмм

Доказать:  AE ||CF

Доказательство:

1) 1 = 2, так как АЕ – биссектриса.

2) ВС || AD, АЕ – секущая  2 =3 (как накрест лежащие).

3)   1 = 2 = 4 = 5.

4) Из пункта 2 и 3 следует 3 = 4.

5) Рассмотрим прямые АЕ и СF и секущую ВС.

   АЕ || CF  ч.т.д.

Рассмотрим задачу №1. В параллелограмме АВСD угол А равен 72°. Найдите другие углы параллелограмма АВСD.

Решение:

Рассмотрим задачу №2. В параллелограмме АВСD проведена биссектриса АЕ угла ВАD. Угол ЕАD равен 32°. Найдите С.

Решение:

Рассмотрим задачу №3. В параллелограмме ABCD AD = 6 см. Биссектрисы углов ABC и ВСD пересекаются в точке М1. На прямых АВ и CD взяты точки К и Р так, что точки А, В, К и  D, С, Р расположены друг за другом. Биссектрисы углов КВС и ВСР пересекаются в точке М2. Найдите М1М2.

Рассмотрим задачу №4. В параллелограмме АВСD проведены биссектрисы противоположных углов АМ и СN. Докажите, что АМСN параллелограмм.

Вывод: Применение данных свойств позволяет сделать решения задач более простыми и быстрее придти к нужному результату.

Литература

1. С.Акимова. Занимательная математика. – Санкт – Петербург, «Тритон», 1997
2. Лазук Н.Я. Внеклассная работа по математике в средней школе. – Минск, 1987

В

С

D

A

y

x

x

y

А

В

С

D

E

2

1

3

2

N

К

D

А

В

С

2

1

5

3

4

О

К

Е

С

В

4

3

5

D