Площадь...Измеряй.Вычисляй.Применяй.

«Вдохновение нужно в геометрии

 не меньше, чем в поэзии»

(А.С. Пушкин)

1. Введение.

Самой древней математической деятельностью был счет. Счет был необходим, чтобы следить за поголовьем скота и вести торговлю. Некоторые первобытные племена подсчитывали количество предметов, сопоставляя им различные части тела, главным образом пальцы рук и ног. Наскальный рисунок, сохранившийся до наших времен от каменного века, изображает число 35 в виде серии выстроенных в ряд 35 палочек-пальцев. Первыми существенными успехами в арифметике стали концептуализация числа и изобретение четырех основных действий: сложения, вычитания, умножения и деления. Первые достижения геометрии связаны с такими простыми понятиями, как прямая и окружность. Дальнейшее развитие математики началось примерно в 3000 до н.э. благодаря вавилонянам и египтянам.

2. Вавилония и Египет

Вавилония. Источником наших знаний о вавилонской цивилизации служат хорошо сохранившиеся глиняные таблички, покрытые т.н. клинописными текстами, которые датируются от 2000 до н.э. и до 300 н.э. Математика на клинописных табличках в основном была связана с ведением хозяйства. Арифметика и нехитрая алгебра использовались при обмене денег и расчетах за товары, вычислении простых и сложных процентов, налогов и доли урожая, сдаваемой в пользу государства, храма или землевладельца. Многочисленные арифметические и геометрические задачи возникали в связи со строительством каналов, зернохранилищ и другими общественными работами. Очень важной задачей математики был расчет календаря, поскольку календарь использовался для определения сроков сельскохозяйственных работ и религиозных праздников. Деление окружности на 360, а градуса и минуты на 60 частей берут начало в вавилонской астрономии.

Вавилоняне создали и систему счисления, использовавшую для чисел от 1 до 59 основание 10. Символ, обозначавший единицу, повторялся нужное количество раз для чисел от 1 до 9. Для обозначения чисел от 11 до 59 вавилоняне использовали комбинацию символа числа 10 и символа единицы. Для обозначения чисел начиная с 60 и больше вавилоняне ввели позиционную систему счисления с основанием 60.

Однако нуль в системе счисления древних вавилонян отсутствовал, из-за чего один и тот же набор символов мог означать и число 65 (60 + 5), и число 3605 (602 + 0 + 5). Возникали неоднозначности и в трактовке дробей. Например, одни и те же символы могли означать и число 21, и дробь 21/60 и (20/60 + 1/602). Неоднозначность разрешалась в зависимости от конкретного контекста.

В геометрии вавилоняне знали о таких соотношениях, например, как пропорциональность соответствующих сторон подобных треугольников. Им была известна теорема Пифагора и то, что угол, вписанный в полуокружность – прямой. Они располагали также правилами вычисления площадей простых плоских фигур, в том числе правильных многоугольников, и объемов простых тел.

Египет. Наше знание древнеегипетской математики основано главным образом на двух папирусах, датируемых примерно 1700 до н.э. Излагаемые в этих папирусах математические сведения восходят к еще более раннему периоду – ок. 3500 до н.э. Египтяне использовали математику, чтобы вычислять вес тел, площади посевов и объемы зернохранилищ, размеры податей и количество камней, требуемое для возведения тех или иных сооружений. В папирусах можно найти также задачи, связанные с определением количества зерна, необходимого для приготовления заданного числа кружек пива, а также более сложные задачи, связанные с различием в сортах зерна; для этих случаев вычислялись переводные коэффициенты.

Но главной областью применения математики была астрономия, точнее расчеты, связанные с календарем. Календарь использовался для определения дат религиозных праздников и предсказания ежегодных разливов Нила. Однако уровень развития астрономии в Древнем Египте намного уступал уровню ее развития в Вавилоне.

Египтяне пользовались непозиционной десятичной системой, в которой числа от 1 до 9 обозначались соответствующим числом вертикальных черточек, а для последовательных степеней числа 10 вводились индивидуальные символы.

 Геометрия у египтян сводилась к вычислениям площадей прямоугольников, треугольников, трапеций, круга, а также формулам вычисления объемов некоторых тел. Надо сказать, что математика, которую египтяне использовали при строительстве пирамид, была простой и примитивной.

3. Греческая математика.

Классическая Греция. С точки зрения 20 в. родоначальниками математики явились греки классического периода (6–4 вв. до н.э.). Математика, существовавшая в более ранний период, была набором эмпирических заключений. Напротив, в дедуктивном рассуждении новое утверждение выводится из принятых посылок способом, исключавшим возможность его неприятия.

Греческая система счисления была основана на использовании букв алфавита. Аттическая система, бывшая в ходу с 6–3 вв. до н.э., использовала для обозначения единицы вертикальную черту, а для обозначения чисел 5, 10, 100, 1000 и 10 000 начальные буквы их греческих названий. В более поздней ионической системе счисления для обозначения чисел использовались 24 буквы греческого алфавита и три архаические буквы.

Великим греком, с чьим именем связывают развитие математики, был Пифагор (ок. 585–500 до н.э.). Полагают, что он мог познакомиться с вавилонской и египетской математикой во время своих долгих странствий. Пифагор основал движение, расцвет которого приходится на период ок. 550–300 до н.э. Пифагорейцы создали чистую математику в форме теории чисел и геометрии. Целые числа они представляли в виде конфигураций из точек или камешков, классифицируя эти числа в соответствии с формой возникающих фигур («фигурные числа»). Слово «калькуляция» (расчет, вычисление) берет начало от греческого слова, означающего «камешек». Числа 3, 6, 10 и т.д. пифагорейцы называли треугольными, так как соответствующее число камешков можно расположить в виде треугольника, числа 4, 9, 16 и т.д. – квадратными, так как соответствующее число камешков можно расположить в виде квадрата, и т.д.

Около 300 до н.э. результаты многих греческих математиков были сведены в единое целое Евклидом, написавшим математический шедевр Начала. Из немногих проницательно отобранных аксиом Евклид вывел около 500 теорем, охвативших все наиболее важные результаты классического периода.

Александрийский период. В этот период, который начался около 300 до н.э., характер греческой математики изменился. Александрийская математика возникла в результате слияния классической греческой математики с математикой Вавилонии и Египта. В целом математики александрийского периода были больше склонны к решению чисто технических задач, чем к философии. Великие александрийские математики – Эратосфен, Архимед, Гиппарх, Птолемей, Диофант и Папп – продемонстрировали силу греческого гения в теоретическом абстрагировании, но столь же охотно применяли свой талант к решению практических проблем и чисто количественных задач.

Величайшим математиком древности был Архимед (ок. 287–212 до н.э.). Ему принадлежат формулировки многих теорем о площадях и объемах сложных фигур и тел, вполне строго доказанные им методом исчерпывания. Архимед всегда стремился получить точные решения и находил верхние и нижние оценки для иррациональных чисел.

4.Индия и арабы.

Преемниками греков в истории математики стали индийцы. Индийские математики не занимались доказательствами, но они ввели оригинальные понятия и ряд эффективных методов. Именно они впервые ввели нуль и как кардинальное число, и как символ отсутствия единиц в соответствующем разряде.

Преемниками греков в истории математики стали индийцы. Индийские математики не занимались доказательствами, но они ввели оригинальные понятия и ряд эффективных методов. Именно они впервые ввели нуль и как кардинальное число, и как символ отсутствия единиц в соответствующем разряде.

5. Средние века и Возрождение.

Средневековая Европа. Римская цивилизация не оставила заметного следа в математике, поскольку была слишком озабочена решением практических проблем. Цивилизация, сложившаяся в Европе раннего Средневековья (ок. 400–1100), не была продуктивной по прямо противоположной причине: интеллектуальная жизнь сосредоточилась почти исключительно на теологии и загробной жизни. Уровень математического знания не поднимался выше арифметики и простых разделов из Начал Евклида.

Около 1100 в западноевропейской математике начался почти трехвековой период освоения сохраненного арабами и византийскими греками наследия Древнего мира и Востока.

Первым заслуживающим упоминания европейским математиком стал Леонардо Пизанский (Фибоначчи). В своем сочинении Книга абака (1202) он познакомил европейцев с индо-арабскими цифрами и методами вычислений, а также с арабской алгеброй.

6. Начало современной математики .

Наступление 16 в. в Западной Европе ознаменовалось важными достижениями в алгебре и арифметике. Были введены в обращение десятичные дроби и правила арифметических действий с ними. Неевклидова геометрия. К 1800 математика покоилась на двух «китах» – на числовой системе и евклидовой геометрии. Так как многие свойства числовой системы доказывались геометрически, евклидова геометрия была наиболее надежной частью здания математики.

7. Измерение площадей.

Иногда в разговоре можно, услышать: "У меня садовый участок - семь соток" - и всем ясно, о чем идет речь. Сотка - это сотая часть гектара или сто квадратных метров. Но можно сказать и иначе: "У меня участок семь аров". Ведь ар (происходит от латинского "ареа" - площадь) как раз и составляет 100 м2. Ар - единица измерения площади в метрической системе мер, которая применялась до введения Международной системы (СИ). Известное всем слово "гектар" образовано из слова "ар" при помощи приставки "гекто", означающей "сто". Следовательно, вместо "сотки" можно говорить "ар", правда, в этом случае вас могут не понять, настолько прочно это слово вышло из употребления, чего не скажешь о других единицах старой системы мер. Нам по-прежнему привычнее выражать атмосферное, давление в миллиметрах ртутного столба, а не в паскалях, мощность автомобильного мотора - в лошадиных силах, а не в ваттах т. д.

Необходимость измерять площадь возникла у человека тогда, когда он стал переходить от кочевого образа жизни к оседлому. Занятие земледелием, строительством жилищ, другие виды деятельности потребовали измерения площади.

Вначале людей удовлетворяли субъективные меры, общие для жителей некоторой территории. Так, например, в Южной Индии единицей измерения площади был участок земли, который занимал загон овец. В России такой мерой был "плуг" - часть поля, которую можно было вспахать на паре волов за день. В Америке - индейцы при покупке земли в качестве единиц измерения принимали территорию, которую человек мог обежать за один день. Поэтому покупатели обычно нанимали для этой цели самого быстрого бегуна.

Похожую историю рассказывает Л. Н. Толстой в притче "Много ли человеку земли надо". Герой ее - мужик Пахом - покупает землю. За 1000 рублей ему передается во владение участок, который он сможет обойти за день. Конечно, мужику хочется получить за свои деньги как можно больше земли. Он торопится, спешит и загоняет себя до смерти. В результате Пахом получает, как и любой покойник три аршина земли. "Поднял работник скребку, выкопал Пахому могилу, ровно насколько он от ног до головы захватил - три аршина, и закопал его". Так кончает писатель свой рассказ.

То, что в разных странах существовали различные меры длины, веса, площади и т. п., было неудобно. Это мешало развитию торговли, ремесел, и в 1791 году Национальное собрание Франции по предложению Комиссии по мерам и весам Академии наук утвердило новую систему мер, которая, по мнению ее создателей, годилась "на все времена и для всех народов". В соответствии с этой системой длина измерялась в метрах, вес - в килограммах, а площадь земельных участков - в арах.

В 1875 году 17 стран, в том числе и Россия, подписали Метрическую конвенцию, по которой обязывались ввести в своих странах систему мер, разработанную французскими учеными. Но еще долго всюду употреблялись местные меры. В России это были старинные меры, узаконенные еще Петром 1.

Только после Великой Октябрьской социалистической революции метрическая система стала обязательной на всей территории России. 14 сентября 1918 года был принят декрет "О введении международной метрической десятичной системы мер и весов". Окончательно же эта система вошла в употребление в СССР с 1927 года.

Меры площади.

1 кв. верста = 250000 квадратных саженей = 1,138 кв. километра

1 десятина = 2400 квадратных саженей = 1,093 гектара

1 копна = 0,1 десятины

1 кв. сажень = 16 квадратных аршинов = 4,552 кв. метра

1 кв. аршин=0,5058 кв. метра

1 кв. вершок=19,76 кв. см

1 кв. фут=9,29 кв. дюйма=0,0929 кв. м

1 кв. дюйм=6,452 кв. сантиметра

1 кв. линия=6,452 кв. миллиметра

8. Площадь. Способы вычисления площади.

        С понятием «Площадь» я познакомился ещё во втором классе. Меня сразу привлекла эта тема. Что значит найти площадь прямоугольника, треугольника? А как найти площадь нестандартных фигур? Возникали у меня вопросы. Я задумался. В энциклопедии  прочитал о возникновении чисел и как измеряли площадь в древности. Чем больше я изучал эту тему, тем больше у меня возникали идеи о применении моих знаний.

         Площадь многоугольника- это величина той части плоскости, которую занимает многоугольник. Измерение площадей проводится с помощью выбранной единицы измерения. За единицу измерения площадей  принимают квадрат, сторона которого равна единице измерения отрезков. Так, если за единицу измерения отрезков принят сантиметр, то за единицу измерения площадей принимают квадрат, сторона которого равна 1 сантиметр. Такой квадрат называется квадратным сантиметром и обозначается

 1 см2, аналогично определяется квадратный метр и квадратный миллиметр и т.д.

        При выбранной единице измерения площадей площадь каждой фигуры выражается положительным числом. Это число показывает, сколько раз единица измерения и её части укладываются  в данном фигуре.

Например: найдём площадь прямоугольника изображённого на рисунке, приняв за единицу измерения квадрат со стороной 1 см.

В прямоугольнике вместилось 30 квадратов, значит его площадь равна 30 см2.

Но мне было интересно как найти площадь произвольных фигур, например овала. Я узнал, что существует способ измерения площади с помощью палетки.

Палетка – это прозрачная пластина, разделённая на квадратные единицы.

Алгоритм вычисления площади

с помощью палетки.

1. Наложи палетку.
2. Посчитай количество полных квадратов фигуры.
3. Посчитай количество неполных квадратов и раздели это число на 2э.
4. Сложи число полных квадратов и число неполных квадратов разделённые на 2.
5. Это и есть площадь фигуры.

На уроках математики я узнал, что площадь прямоугольника можно найти длину умножив на ширину, а площадь квадрата равна квадрату его стороны. Изучая тему измерение площади плоских фигур дальше, я узнал, что если фигура составлена из нескольких многоугольников, то его площадь равна сумме площадей этих многоугольников, а площадь прямоугольного треугольника равна половине площади прямоугольника, а остальные треугольники можно связать с прямоугольными. Например: длина прямоугольника равна 5 см, а его ширина 4 см. Площадь прямоугольника равна: S=5*4=20см2

А как же найти площадь прямоугольного треугольника? Надо прямоугольник разделить пополам.

S = (5*4)/2= 10 см2,а если разделить этот прямоугольник на четыре части и каждую часть пополам, то можно найти площадь треугольника, которая будет в 2 раза меньше найденного.

9. Практическое применение.

        Познакомившись с правилами вычисления площади я задумался о применении этих правил на практике. Первое что пришло мне в голову- это составить композицию из треугольников и квадратов и найти площадь полученной фигуры. Вот что у меня вышло:

        Жук                                                                 лебедь

Я  рассчитал площадь каждой фигуры. Площадь жука 16 кв.ед., а площадь лебедя- 12 кв.ед. Так как, за единицу измерения принимаем площадь квадрата со стороной 1 единица.

        Я очень люблю собирать конструктор «Лего»,собираю разные модели. Как-то мама подарила мне конструктор «Пожарная часть». Сначала там было 2 машинки, затем в коллекции  появились ещё 2.  Мне пришлось увеличить  площадь занимаемой территории, так как платформа имеет прямоугольную форму я это сделал легко: измерил длину и ширину одной пластинки. Площадь одной маленькой части составляет 128см2, было 4 пластинки, значит площадь была 512см2. Когда появились новые машины площадь надо было увеличить на 2 пластинки, значит на 256 см2. Получившаяся площадь  768 см2.

Мне так понравилось  производить расчёты, что я решил спроектировать нашу с сестрой комнату. Сестра предложила рассчитать площадь помещения и мебели и расставить на чертеже.вот что у меня получилось: 

Площадь нашей комнаты составляет 2м 20 см * 4м8 см = 105600 см2, площадь кровати составляет – 18 000 см2, книжный шкаф – 3 600 см2, письменный стол – 7 000 см2, а шкаф для белья – 5000 см2. Измерив длину каждого предмета у меня вышло:  что кровати можно поставить вдоль стены, напротив книжный шкаф, письменный стол и шкаф для белья. Родители помогли нам расставить мебель, и получилось очень здорово.

Площадь занимаемой мебели составляет 69 600 см2, а значит есть ещё место пошалить.

Когда папа увидел мои рисунки составленные из квадратиков и треугольников, он предложил вместе сделать ремонт в ванной комнате. Я рассчитал сколько плитки нам надо и сколько будет занимать рисунок  составленный из плиток. Мы выбрали лебедь. Одна плитка имеет размеры 25см * 30см, а мой рисунок уже подсчитан. Осталось измерить длину и ширину стены. Мы приступили к работе. Произвели все подсчёты и теперь планируем заняться ремонтом на летних каникулах.

10. Заключение.

Изучая данную тему, я узнал много интересного и полезного. Вычисление площади необходимо знать работнику сельского хозяйства, чтобы рассчитать площадь поля и сколько необходимо зерна для посева.

Для постройки дома, инженеру,  необходимо рассчитать занимаемую площадь и верно составить смету расходов материалов.

Чтобы построить корабль вновь пригодятся знания вычисления площади. Какой  бы деятельности мы не коснулись везде надо знания вычисления площади.

Чем больше я узнаю математических определений, понятий, формул, тем больше мене нравится предмет математика. Я с удовольствием решаю задачи и с интересом жду следующей встречи с новыми знаниями. А самое интересное применять полученные знания на практике.

«Рано или поздно всякая правильная математическая идея находит применение в том или ином деле».

А.Н. Крылов

« Нет ни одной области математики, как бы абстрактна она ни была, которая когда-нибудь не окажется применимой к явлениям действительного мира.

Н.И.Лобачевский

Муниципальное общеобразовательное учреждение средняя общеобразовательная школа посёлка Молодёжный

«Площадь…

 Изучай. Вычисляй. Применяй»

Автор: Придатков Владислав Владимирович

Ученик 4 класса

Руководитель: Васильева Ирина Олеговна

Учитель начальных классов

2011год

Содержание:

1. Введение___________________________________________1

2.  Вавилония и Египет__________________________________1- 2

3.  Греческая математика________________________________2- 3

4. Индия и арабы_______________________________________3

5. Средние века ________________________________________3- 4

6. Начало современной математики________________________4

7. Измерение площадей__________________________________4 – 5

8. Площадь. Способы вычисления площади_________________5 – 7

9. Практика____________________________________________7 – 8

10.Заключение__________________________________________9

Цель моего проекта: показать практическое применение вычисление площади.

Перед собой поставил задачи:

1. Изучить теоретические вопросы  возникновения чисел.
2. Изучить способы вычисления площади.
3. Применить на практике полученные знания.

Методы исследования:

1.Общенаучный

2. Практический

Актуальность :

Вычисление  площади позволяет сделать расчёты, которые необходимы в обыденной жизни.

Список литературы.

1. Ван-дер-Варден Б.Л. «Пробуждающая наука. Математика Древнего Египта,Вавилона и Греции. М.,1959г.
2. Гермогенова И.Н. «Наименования мер длины, веса и денег в древнерусском языке». М.,1987 г.
3. Данн-Дальмедико А., Пейффер Ж. «Пути и лабиринты. Очерки по истории математики». М., 1986г.
4. Клейн Ф. «Лекции о развитии математики в 19 столетии». М., 1989г.
5. Ресурсы Интернет: http://ru.wikipedia, http://pedsovet.org/,  http://festival.1september.ru/, http://free-math.ru/.

5 см

4 см

Кровать 1

Кровать 2

Книжный шкаф

стол

шкаф

вход

окно