Тайны ряда натуральных чисел

           МОУ Спасская основная общеобразовательная школа

                       Староюрьевского района Тамбовской области

  Тайны ряда натуральных чисел

                                        Реферат

                                      Автор: Кандрашкин  Дмитрий Сергеевич

                                                                       Ученик 8 класса

                                             Руководитель: Буцких Татьяна Николаевна,

                                                                       Учитель математики

                                          с. Спасское

                                             2010 год                          

                                       СОДЕРЖАНИЕ

Введение ……………………………………………………………………. 3

Глава 1. Из истории чисел ………………………………………………….5

1. Вклад Архимеда………………………………………………..5
2. Школа Пифагора……………………………………………….5
3. Система аксиом Пеано.

Глава 2. Интересные свойства некоторых чисел………………………….8

Глава 3. Стихия чисел. …………………………………………………….10

        3.1. Числа с именем …………………………………………………10

        3.2.  Числа с прилагательными……………………………………...10

          3.3. Любимые числа обитателей Атлантиды. ……………………..11

Глава 4. Простые числа…………………………………………………….13

Глава 5. Арифметические действия с натуральными числами…………. 15

Заключение………………………………………………………………….16

Библиографический список………………………………………………..17

                              ВВЕДЕНИЕ

                                                                     Натуральное число в арифметику

                                                                         вошло, тайн немало принесло.

        Один, два, три, четыре, пять – говорит ребенок, показывая на конфеты или яблоки, книги или  карандаши. Школьник продолжает счет до ста, тысячи и больше.

        Ряд чисел 1,2, 3, 4, 5, 6, 7, 8… называется натуральным, а сами эти числа – натуральными. Возник этот ряд на заре цивилизации из практических нужд людей, как результат счета предметов. Можно смело сказать, что начало формирования натурального ряда является первым шагом к созданию математики. Натуральные числа самые древние по происхождению. [1]

Даже каждому пятикласснику ясно, что натуральный  ряд чисел неограничен. Но то, что нам кажется, сейчас простым и понятным нелегко далось человечеству. Много тысяч лет тому назад, когда люди умели считать только до пяти, а дальше было «тьма», натуральный ряд был очень коротким.

Однажды на занятии математического кружка, который я посещаю, мне попалась на глаза книга «Удивительный мир чисел». Ее авторы В. А. Кордемский, А.А. Ахадов отдают предпочтение стихии чисел, раскрывают внутреннюю красоту их разнообразных свойств. Мы разобрали некоторые задания из э той книги,  и я заинтересовался этой проблемой.

Кто же двигал вперед науку о числах? Какими темпами шло изучение свойств натуральных чисел? Изучают ли их сейчас? Что в них такого необычного и удивительного? Есть ли у них свои тайны?

Изучая специальную литературу, произведя несложные расчеты и сравнения, воспользовавшись ресурсами Интернет я постарался как можно больше узнать о числах, о науке, которая их изучает, об ученых математиках древности и современности, которые занимались изучением теории чисел.

Оказалось, что в бесконечном множестве натуральных чисел, также как среди звезд Вселенной, выделяются отдельные числа и их целые созвездия удивительной красоты, числа с необыкновенными свойствами  и своеобразной, только им присущей гармонией. Надо только уметь увидеть эти числа, заметить их свойства.

Всмотритесь в натуральный ряд чисел, и вы найдете в нем много диковинного и удивительного, забавного и серьезного, неожиданного и курьезного. Видит тот, кто хочет. Видит тот, кто смотрит. Ведь люди и в летнюю ночь не заметят голубую звезду Венеры и сияние Полярной звезды, если не направят свой взор в заоблачную высь.

Формулировки проблем, которые  изучает теория чисел, зачастую столь просты, что понятны любому школьнику, а решения многих из этих проблем так сложны, что некоторые из них не решены до сих пор, несмотря на то, что ими занимались крупнейшие  ученые – и не  одно столетие. Отправимся и мы в путешествие по тропинкам математики и посетим удивительный мир чисел.

       ГЛАВА 1. ИЗ ИСТОРИИ ЧИСЕЛ

1. Вклад Архимеда

Величайшему механику и математику древности Архимеду удалось расширить натуральный  ряд до небывалых размеров. До него самым большим числом считалось 10 000 000, т. е. 1000 мириад (мириадой называлось число 10 000 , от греческого слова мириос – неисчислимо большое).

Архимед начал счет от мириады мириад, т. е. с 100 000 000 . Это число он называл октадой  (окто – восемь) или числом первого порядка. Числа от  мириады мириад до 100 000 000 * 100 000 000 – числами второго порядка, далее числами третьего Архимед довел этот счет до мириад – мириадного периода.

Наибольшее число его системы счисления содержит 8 *   нулей. Оно так велико, что трудно его представить. Если это число напечатать обыкновенным шрифтом, то этой лентой можно опоясать земной шар по экватору более двух миллионов раз. Даже ракете с первой космической скоростью пришлось бы лететь вдоль этой ленты более трехсот лет. [4]

1. Школа Пифагора

Еще за триста лет до Архимеда большой вклад в развитие науки о числе внес Пифагор и его школа.  Этот ученый и его последователи считали, что основой всего мироздания является число. В школе Пифагора процветала числовая мистика, пифагорейцы обожествляли число, создали культ числа. Сказанное выше подтверждает рисунок 2.  

Они говорили: «Все в природе измеряется, все подчиняется числу, в числе – сущность всех вещей; познать мир, его строение, его закономерность – это значит познать управляющие им числа.  Можно видеть природу и властную силу числа во всех человеческих занятиях, во всех искусствах, ремеслах и музыке. Не материя, а число – начало и основа вещей». [4]

          По мнению пифагорейцев, главная задача математики в том, чтобы найти   «божественный смысл» каждого числа. Даже такие  понятия, как дружба, справедливость, честность и другие человеческие качества  можно описать теми или иными числовыми соотношениями. По их мнению, одни числа несут добро, радость и благоденствие, а другие – зло, горе и упадок. Пифагорейцы считали первое четное число -2 и первое нечетное число – 3 мужскими и женскими началами в природе, а за символ брака принимали сумму этих чисел –5.

От Пифагора и его последователей пошли всякие суеверия, связанные с различными числами. Число 1 традиционно считалось первоисточником всех чисел, или «монадой». Двоичную основу четных чисел назвали «диадой».

 Итак, «4» – правосудие, «5 – брак», «7» – счастье, «8» – покой, «9» – равенство, «10» – полнота или завершенность.

Геометрические фигуры можно выстраивать из точек и создавать из них интересные числовые ряды.

        Для того чтобы сделать свои мистические выводы, пифагорейцы тщательно изучали свойства чисел, и здесь они добились интереснейших результатов. Все числа разбивались ими на классы: четные, нечетные, простые и составные, совершенные, дружественные, треугольные, квадратные, пятиугольные и т. д.  [4]

        Кроме  Архимеда и Пифагора, большой вклад в науку о числе внесли зенон, Евклид, Эратосфен, Евдокс  и Диофант  и многие другие древнегреческие ученые.

А занималась ли наука изучением натурального ряда чисел, его свойств, его диковинок или только чудаки выискивают удивительное и необыкновенное в ряду «обыкновенных»  целых положительных чисел?

Тайны натурального ряда привлекали и привлекают виднейших   математиков мира. Этими вопросами занимается особая наука – теория чисел.

1. Система аксиом Пеано.

Итальянский ученый Джузеппе Пеано (1885 – 1932) сформулировал  систему аксиом, которую сейчас знает любой математик.

Аксиома 1. Существует натуральное число единица, не следующее  ни за каким числом.

Аксиома 2. За любым натуральным числом следует одно и только одно число.

Аксиома 3. Всякое натуральное число, кроме единицы, следует за одним и только одним числом.

Аксиома 4. Если какая – нибудь теорема о свойствах натуральных чисел доказана для единицы и если из допущения, что она верна для натурального числа п, следует, что она верна для числа, непосредственно следующего за п, то она верна для всех натуральных чисел.

Оказалось, что для дедуктивного построения арифметики натуральных чисел  достаточно этих четырех аксиом. [3]

ГЛАВА 2. ИНТЕРЕСНЫЕ СВОЙСТВА НЕКОТОРЫХ ЧИСЕЛ

Некоторым людям кажется, что натуральный ряд чисел скучен и однообразен и что о нем все уже известно, все сказано. Эти люди глубоко ошибаются. Уже в Древней Греции математики заметили многие интереснейшие свойства чисел этого ряда. Иногда эти свойства присущи отдельным числам, но чаще всего целым группам чисел. Одни из этих свойств просто любопытны, другие – имеют научное значение.

А разве интересны только те свойства, что заметили греки? Кроме них есть  сотни и тысячи свойств.  И свойства эти одно удивительнее другого.

Пример 1. Свойство чисел 135 и 144.

135 = (1+3+5) ∙ 1 ∙ 3 ∙ 5,  144  = (1+4+4) ∙1 ∙ 4 ∙ 4.

Свойство: Числа равны произведению своих цифр на сумму этих цифр.

Пример 2.Свойства «обыкновенного» числа 37.  

Свойство 1. 37 ∙ 3 = 111,  37∙ 6 = 222, 37∙ 9 = 333, 37∙12 = 444, 37∙15 = 555,             37 ∙ 18 = 666,   37 ∙ 21 = 777, 37 ∙ 24 = 888, 37 ∙ 27 = 999.

Свойство 2.  37 ∙ (3+7) = +,

Свойство 3. (3² + 7²) – 3 ∙ 7  =  37. 

Свойство 4. Возьмем любое трехзначное число, кратное 37. Пусть это будет 185 и сделаем в нем круговую перестановку его цифр (последнюю цифру поставим на первое место, не измени в порядок остальных цифр), т. е. получим 518, сделаем еще круговую перестановку – получим 851. Оба получившихся числа тоже делятся на 37.      518 : 37  =  14, 851 : 37 = 23.

 Вот вам и диковинка!  Эти примеры в древней Греции не были известны, так как подобные свойства основаны на нашей десятеричной системе, грекам не знакомой.

Пример 3. Свойство числа 41. Если в любом пятизначном числе, кратном 41, провести всевозможные круговые перестановки цифр, то все получившиеся таким образом числа будут также кратны 41. [4]

Например: 24 026 = 586 ∙ 41. Убедимся, что получившиеся при перестановках числа 62 402, 26 240, 40 262 тоже кратны 41.

62 402:41 =                                  26 240:41 =                                  40 262:41 =

        Пример 4. А разве неудивительно, что сумма любого количества последовательных натуральных чисел, начиная с единицы, всегда дает точный квадрат.  

1 + 3 = 4 + 2², 1 + 3 + 5 = 9 = 3², 1 + 3 + 5 + 7 = 16 = 4² и т. д.

Докажем в общем виде: Очевидно, что нечетные числа составляют последовательность: 1, 3, 5, …  Последовательные нечетные числа можно записать в виде (2n + 1). Удвоенная сумма первых членов этой последовательности равна (1 + 2n + 1) + (3 + 2n - 1) + (5 + 2n – 3)   + (2n + 1 + 1), т. е. 2n + 1 слагаемых, каждое из которых равно 2n + 2.

Поэтому    =   =  = (n + 1)².

Пример 5. Сумма кубов натурального ряда чисел, начиная с одного, равна квадрату суммы этих чисел.

1³+2³ = 1 + 8 = 9 =(1 + 2)², 1³ + 2³ + 3³ = 1 + 8 + 27 = 36 = (1 + 2 + 3)² и т. д.

                       ГЛАВА 3. СТИХИЯ ЧИСЕЛ

        3.1. Числа с именем.

Числа Мерсенна -  = , р - простое число. При некоторых значениях р   также простое число. Найдено около тридцати чисел Мерсенна, наибольшее из которых имеет в своей записи более ста тысяч цифр.

Числа Ферма -  + 1 k . При некоторых значениях k    -  простые числа.  ,   ,   - простые числа. [1]

Числа Евклида –  = ▪(, kN      Рисунок 4. Числа Фибоначчи.

Числа Фибоначчи – члены последовательности (, где  = 1,  , последующие члены определяются рекуррентной формулой                               , k = 1,2, …Сказанное выше подтверждает рисунок 4. Там же.

        3.2. Числа с прилагательными

Обращенное число – записанное теми же цифрами, но расположенными в обратном порядке. Например, 3805, обращенное – 5083.сказанное выше подтверждает рисунок 5.

[1               

Палиндромическое число – равное обращенному. Например, 121, 5995.

Дружественные числа – пара чисел, обладающих таким свойством: сумма собственных делителей первого из них равна второму числу, а сумма собственных делителей второго числа равна первому числу. Например, сумма делителей числа 220 равна 1 + 2 + 4 + 5 + 10 +11 +20 + 22 +44 + 55 + 110 = 284, а сумма делителей числа 284 равна 1 + 2 + 4 + 71 + 142 = 220,поэтому числа  220 и 284 – дружественная пара.

Вторая дружественная пара 1184 и 1210 была найдена в 1867 году шестнадцатилетним итальянцем Б. Паганини. Леонард Эйлер предложил пять способов отыскания дружественных чисел.  Эту работу продолжили математики следующих поколений. В настоящее время известно 1100 пар дружественных чисел, найденных либо хитроумными способами, либо перебором на компьютере. Любопытно, что на долю компьютера в этом списке досталось совсем немного чисел – большинство из них было открыто математиками вручную.

n – угольное число – общий вид:  = ((k-1)(n – 2) +2), k = 1,2, …

В частности: треугольное число, четырехугольное число, пятиуголь- ное число.

Сказанное выше подтверждает рисунок  6. [1]

3.3. Любимые числа обитателей Атлантиды.                

Атлантида! Сколько легенд и преданий связано с этим сказочным государством «золотого века цивилизации». Много удивительного о нем рассказал в своих диалогах древнегреческий философ и математик Платон. В своих трудах он очень часто упоминает  число 6. Очевидно, у обитателей Атлантиды это число было в особом почете. А в Древней Греции, в школе Пифагора, с благоговением относились к числу 28. В Риме при постройке метро под землей был обнаружен интереснейший ансамбль помещений: круглый зал и вокруг него 28 келий, выходящих в этот зал. Оказалось, что это помещение неопифагорейской академии. По – видимому в этой академии было 28 членов. И до сих пор, как эхо далекого прошлого, число членов некоторых академий и ученых обществ равно 28. У римлян на пирах самым почетным местом было шестое. Чем же привлекало обитателей Атлантиды и жителей Рима число 6, почему пифагорейцы отдавали особое предпочтение числу 28? Есть ли что – то общее между этими двумя числами?  Да, есть. Эти числа родственны, и роднит их одно удивительное свойство. Эти числа совершенные.

Определение: Совершенное число – равное сумме всех его собственных делителей (т. е. делителей отличных от самого числа). 

Например,  число 28 совершенное: его делители 1, 2, 4, 7, 14 и 28 = 1 + 2 + 4+ 7 + 14. Сказанное выше подтверждает  рисунок 7.  Эти числа до сих пор

остаются  загадкой для математиков. Во- первых все известные числа четные, и неизвестно могут ли существовать нечетные совершенные числа.

          Рисунок 7. Совершенные числа.                Во – вторых, найдено около трех  десятков совершенных чисел, но неизвестно, конечно их число или бесконечно.

        Древние греки знали еще два числа такого вида: 496 и 8128. [5]        Совершенные числа встречаются довольно редко. Среди десятков тысяч только одно, среди сотен тысяч ни одного, среди миллионов – снова одно…

По этому поводу древнегреческий математик Никомах Геразский в 1 в. Н. э. писал: «Совершенные числа красивы. Но известно, что красивые вещи редки и немногочисленны, безобразные же встречаются в изобилии».

Занимались ими крупнейшие математики: Декарт, Мерсенн, Эйлер, Сильвестр, Чезаро, Каталан и др. [4]

             ГЛАВА 4. ПРОСТЫЕ  ЧИСЛА

Еще в Древней Греции было замечено, что некоторые числа имеют много делителей, а другие меньше.

Пример 1. Число 120 имеет 16 делителей: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 20, 24, 30, 40, 60, 120.

Пример 2.  Число 36 имеет 6 делителей: 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36.

Пример 3. Число пять делится на 1 и на само себя, т. е. имеет два делителя.

Пример 4. Число 1 делится только само на себя – имеет один делитель.

Из чего составлены целые числа? Конечно же,  из единиц. Например, число 12 есть сумма двенадцати единиц. В то же время 12 = 2 *6, 3*4 = 12. В свою очередь 4 = 2*2, 6 = 2*3. Числа 2 и 3, так же как и числа 5, 7, 11, 13 дальше не раскладываются, поэтому их назвали простыми. Они имеют лишь два множителя – единицу и себя самого. [5]

Определение: Число называется простым, если оно имеет только два делителя.

Единица не относится ни к простым, ни к составным. Это число как бы исключение из всего множества натуральных чисел. Простыми являются 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37,   ……   97, 101, 107, ……2503, 2521,….4931, ..5987,…. Если присмотреться к этой последовательности, то сразу бросается в глаза «разбросанность простых чисел». Не видно никакой закономерности в их расположении. Ученые на протяжении сотен лет старались раскрыть закономерность распределения простых чисел, но до сих пор им это не удалось сделать. Было выдвинуть множество гипотез, составлено немало формул, но при внимательном рассмотрении все они оказались ошибочными.

Формулы составляли: Пьер Ферма, Леонард Эйлер, Карл Фридрих Гаусс, Б. А. Кордемский  и др. [4]

Первый в России составил таблицу простых чисел до 10 000 000 уральский математик – самоучка сельский священник Иван Михайлович Первушин.  Он посвятил ей сорок лет жизни. Она состояла из 750 листов.

Если внимательно посмотреть таблицу простых чисел, то можно заметить, что они размещены крайне неравномерно. Сказанное выше подтверждает таблица 1.

                                                                                                   Таблица 1

 размещение простых чисел на числовых промежутках

 п– количество всех натуральных чисел от 1 до п, (п)- количество простых чисел среди них . [4]

Интересен тот факт, что во множестве натуральных чисел имеется промежуток из миллиарда последовательных натуральных чисел, среди которых нет ни одного простого числа.

        Не поддается решению и проблема так называемых близнецов. Если присмотреться к последовательности простых чисел, то можно заметить среди них пары нечетных чисел – это так называемые близнецы. Такими числами являются,  например, 5 и 7, 11 и 1и 3, 17 и 19 и др. В начале последовательности простых чисел близнецы встречаются довольно часто, а потом все реже и реже. Действительно в первой сотне 8 таких пар, между 501 и 600 две пары 521 и 523, 569 и 571. Дальше они встречаются очень неравномерно, но, в общем, все реже и реже. Наибольшей известной парой близнецов в 1974 году являлись числа 10 999 949 и 10 999 951. [4]

        Сейчас с помощью компьютера вычислены миллиарды простых чисел, среди которых регулярно встречаются близнецы, но на вопрос о том, есть ли последняя пара близнецов или их число бесконечно, ответ до сих пор неизвестен. Все остальные числа, кроме единицы, называются составными.

  ГЛАВА 5. ДЕЙСТВИЯ С НАТУРАЛЬНЫМИ ЧИСЛАМИ.

                 Фокус  1. Как узнать задуманный день недели.

Пусть кто – нибудь задумал, например четверг – четвертый день недели  (считая понедельник первым днем, воскресенье -  седьмым) отгадчик предлагает выполнить устно следующие действия: номер задуманного дня умножить на 2, к произведению прибавить пять, полученную сумму умножить на пять, к полученному числу приписать  в конце нуль, результат сообщить отгадчику.

Из этого числа отгадчик вычитает 250, и число сотен будет номером задуманного дня.

Объяснение: (4*2 + 5) * 10 = 650, 650 – 250 = 400,

4*2*5*10 = 400, 585*10 = 250

                        Фокус 2. Число из любимой цифры.

Спросите у кого какая любимая цифра (например, 5). Предложите выполнить умножение числа 15 873 на 35 (любимая цифра, умноженная на 7) или числа 12345679 на 45 (любимая  цифра, умноженная на 9). Получится произведение, записанное только любимой цифрой.

Объяснение: 1) 15 873 ∙ 7 = 111 111,   111 111∙  5 = 555 555,   значит                      15 873 ∙  35 = 555 555

2) 12345679 ∙  9 = 111 111 111, 111 111 111 ∙  5 = 555 555 555, значит, 12345679 ∙ 45 = 555 555 555.

             Фокус 3. Как угадать возраст?

Пусть играющий умножит число своих лет на 10, затем любое однозначное число умножит на 9, от первого произведения отнимет второе произведение, а разность сообщит отгадчику. В этом числе отгадчик цифру единиц складывает с цифрой десятков, получается число лет.

Объяснение: 1) 14 ∙10 – 4 ∙ 9 = 140 – 36 = 104, 10 + 4 = 14 лет.

2) 37 ∙ 10 – 8 ∙ 9 = 370 – 72 = 298, 29 + 8 = 37 лет  [2].

                                       ЗАКЛЮЧЕНИЕ

                                                       С тех пор как существует мирозданье,

                                                     Такого нет, кто б не нуждался в знанье.

                                                      Какой мы не возьмем язык и век –

                                                     Всегда стремился к знанью человек.

Написав эту работу, я узнал о многих и интересных задачах, связанных со свойствами натуральных чисел, об истории этих задач. Познакомился с русскими и зарубежными учеными математиками, внесшими большой вклад в теорию чисел.

Оказывается проблем в теории чисел еще очень много. Одна интереснее и оригинальнее другой, и по - видимому, многие математики будут интересоваться ими, доказывая еще не доказанное и выдвигая все новые и новые проблемы, обогащая науку и умножая знания человечества.

Для написания этой работы мне пришлось прочитать много книг. Книги эти особенные,  математические. В них рассматривается то, что мы вроде бы изучаем на уроках математики, но с какой – то другой стороны. Мы совершили путешествие в удивительный мир  натуральных чисел. Оказывается такая сухая и скучная наука, как математика,  может быть интересной и занимательной.

Читать математические книги пришлось не просто так, а с карандашом в руках, решая предложенные задачи, производя несложные практические расчеты.  Легких математических книг не бывает. Выяснилось, что работа с большими числами требует обращения к справочникам, таблицам и калькуляторам.

Написав эту работу,  я хочу дать всем совет. Математику нужно изучать самостоятельно, но очень полезно обсуждать прочитанное и изученное в небольшом коллективе.

Математика – предмет непростой.  Людей совершенно неспособных к математике не бывает. Испытать себя в математике можно очень рано. Не случайно многие открытия были сделаны людьми, не достигшими тридцати, а иногда и 20 лет.

                              СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Кордемский Б. А., Ахадов А. А.  Удивительный мир чисел.- М.: «Просвещение», 1986.  -  144 с.
2. Котов А.Я. Вечера занимательной арифметики. – М.: «Просвещение», 1969. – 189 с.  
3. Пичурин Л. Ф. За страницами учебника алгебры: книга для учащихся 7-9 классов – М.: «Просвещение», 1990 – 224 с.
4. Фаермарк Д. С. Задача пришла с картины. –М.: Изд – во «Наука», 1974. – 160 с.
5. Я познаю мир. Математика: энцикл. /авт. – сост.  А. П. Савин, В. В. Станцо, А. Ю. Котова. – М.: АСТ:Астрель:Люкс, 2005– 475 с.