Числовые последовательности

Слайд 1

Слайд 2

АКТУАЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ Зачем люди стали изучать числовые последовательности? Почему из всего множества последовательностей наибольшее внимание уделяется арифметической и геометрической прогрессиям? Где в современной жизни нам может пригодиться знание числовых последовательностей?

Слайд 3

Древняя индийская легенда о шахматах И зобретатель шахмат в награду за свое изобретение попросил столько пшеничных зерен, сколько их получится, если на первую клетку шахматной доски положить одно зерно, на вторую – в 2 раза больше, т. е. 2 зерна, и т. д. до 64-й клетки. Сколько зерен должен был получить изобретатель? Можно проследить закономерность: ( b n ): 1; 2; 2 2 ; 2 3 ; ... – геометрическая прогрессия с b 1 = 1 и q = 2 . S = 1 + 2 + 2 2 + 2 3 + … + 2 62 + 2 63 2S = 2 + 2 2 + 2 3 + 2 4 + … + 2 63 + 2 64 2S – S = (2 + 2 2 + 2 3 + 2 4 + … + 2 63 + + 2 64 ) – (1 + 2 + 2 2 + 2 3 + … + 2 62 + 2 63 ) 2S – S = 2 64 – 1 S = 2 64 – 1

Слайд 4

Задачи в экономике Пример 1. Некто положил в банк 1000 рублей под 12% годовых. Через 5 месяцев он закрыл счет. Сколько в общей сложности он снял денег со своего счета, если каждый месяц забирал проценты с вклада? Решение: Если некто положил сумму a 1 = 1000 рублей под 12% в год, то следует, что каждый месяц вклад будет увеличиваться на 1% (12%/12 = 1%).Через месяц на счету у вкладчика окажется денежная сумма a 2 = 1000 + 1000 · 0,010(руб.), d = 1000 · 0,01 = 10 (руб.) поэтому через пять месяцев, закрывая счет, данный вкладчик снимет в общей сложности денежную сумму a = 1000 + 10 + 10 + 10 + 10 + 10 = 1000 + 5 · 10 = 1050 (руб.).

Слайд 5

Таким образом, мы получили шестой член арифметической прогрессии с первым членом a 1 = 1000 и разностью d = 10. Вывод:

Слайд 6

Пример 2. Некто положил в банк 1000 рублей под 12% годовых. Через 5 месяцев он закрыл счет. Сколько денег получил человек, если ни разу не снимал проценты с вклада? Решение: Если некто положил денежную сумму b 1 = 1000 рублей под 12% в год, то следует, что каждый месяц вклад будет увеличиваться на 1% (12%/12 = 01%). Поэтому денежная сумма на счету вкладчика будет: через один месяц – b 2 = 1000 · 1,01 (руб.); через два месяца – b 3 = b 1 · 1,01 = 1000 · (1,01) 2 (руб.); через три месяца – b 4 = b 3 · 1,01 = 1000 · (1,01) 3 (руб.); через четыре месяца – b 5 = b 4 · 1,01 = =01000 · (1,01) 4 (руб.); через пять месяцев – b 6 = b 5 · 1,01 = 1000 · (1,01) 5 1051,01 (руб.). Каждый раз мы домножаем предыдущую сумму на одно и то же число q = 1,01.

Слайд 7

Таким образом, мы получили шестой член геометрической прогрессии с первым членом b 1 = 1000 и знаменателем q = 1,01. Ответ: b 6 1051,01 руб. Вывод:

Слайд 8

Задача о городских слухах (социология) В 8 часов утра в город с населением 50000 человек вернулся из командировки один его житель. Во время своей деловой поездки он узнал очень интересную новость, которую, приехав, тут же рассказал трем своим соседям. Через 15 минут каждый из его соседей рассказал новость трем своим знакомым, каждый из которых в свою очередь через четверть часа оповестил об этом событии ещё троих. Таким же образом слухи продолжали распространяться по городу и дальше. Сколько человек узнало эту новость в 10 часов 15 минут? Решение: Составим следующую схему распространения слухов по городу: 8 00 8 15 8 30 8 45 9 00 9 15 9 30 9 45 10 00 10 15 … – время. S = 1 + 3 + 3 2 + 3 3 + 3 4 + 3 5 + 3 6 + 3 7 + 3 8 + 3 9 + 3 10 + … – количество людей, узнавших новость. Очевидно, что перед нами геометрическая прогрессия с первым членом b 1 = 1 и знаменателем q = 3.

Слайд 9

Для того, чтобы найти количество людей, узнавших новость к 10 часам 15 минутам, согласно схеме нужно рассчитать сумму 10 первых членов данной прогрессии. S 10 = = = = 29524 (чел.). Таким образом, в 10 часов 15 минут новость будет знать больше половины города. Ответ: S 10 = 29524 чел. Вывод: Слухи распространяются со «скоростью» геометрической прогрессии.

Слайд 10

Механизм размножения живых существ (биология) Одуванчик ежегодно приносит около 100 семянок. Следовательно, мы должны иметь: в 1-ый год – 1 растение, во 2-ой год – 10 2 растений, в 3-ий год – 10 4 растений, в 4-ый гол – 10 6 растений, в 5-ый год – 10 8 растений, в 6-ой год – 10 10 растений, в 7-ой год – 10 12 растений, в 8-ой год – 10 14 растений, в 9-ый год – 10 16 растений … Очевидно, что перед нами геометрическая прогрессия с первым членом b 1 = 1 и знаменателем q = 100.

Слайд 11

Получается, что на девятый год вместо одного одуванчика будет уже 10 16 растений. Число 10 16 в 70 раз больше значения площади всей суши в квадратных метрах. Следовательно, на девятом году материки были бы покрыты одуванчиками по 70 растений на каждом квадратном метре. Пример В Америке первоначально не было воробьев. Эта столь обычная для нас птица была ввезена в США намеренно, чтобы она уничтожила вредных насекомых. Там не оказалось хищников, потребляющих этих птиц, и воробей стал быстро размножаться. Вскоре воробьев стало больше, чем насекомых, и птицы принялись за посевы. Пришлось приступить к борьбе с воробьями. Эта борьба обошлась американцам так дорого, что был издан закон, запрещающий ввоз в США каких-либо животных. Вывод: При благоприятных условиях живые существа размножаются в геометрической прогрессии.

Слайд 12

Общий вывод Таким образом, приходим к заключению, что знания о числовых последовательностях пришли к нам из глубокой древности и ныне необходимы для того чтобы ориентироваться во многих жизненно важных процессах природы и общества.

Слайд 13

СПАСИБО ЗА ВНИМАНИЕ