Проектная работа учащихся 10-классов по теме "Множество"

Министерство образования Саратовской области

Муниципальное общеобразовательное учреждение «Гимназия № 87»

ДОКЛАД

Тема: «НАМ МНОЖЕСТВО ЗАДАЧИ РЕШАТЬ ПОМОГАЕТ»

Подготовили: Воробьева Юлия, Гаврилова Юлия, Панов Артем

                                Руководитель: учитель первой квалификационной категории

Заико Илья Валерьевич.

САРАТОВ 2010 год

Для множества A, число элементов которого – конечное число через n(A) обозначим число его элементов. Число элементов пустого множества равно нулю.

Для любых конечных множеств A и B справедливо равенство:

.                   (*)

Действительно, пусть множества A и B не пересекаются, то есть . Их объединение получается добавлением к элементам одного множества всех элементов другого множества, поэтому

.

Если же пересечение множеств A и B не пусто, то число их общих элементов равно . Объединение этих множеств образуется добавлением к элементам множества A всех тех элементов множества B, которые не входят в A. Число таких элементов равно . Таким образом .

1. Экзамен по математике сдавали 250 абитуриентов, оценку ниже пяти получили 180 человек, а выдержали этот экзамен 210 абитуриентов. Сколько человек получили оценки 3 и 4?

Решение.

 Пусть A – множество абитуриентов, выдержавших экзамен, B – множество абитуриентов, получивших оценки ниже 5, по условию:  Абитуриенты, получившие оценки 3 и 4, образуют множество . По формуле (*) находим:

.

Ответ: 140 человек.

1. В школе 1400 учеников. Из них 1250 умеют кататься на лыжах, 952 – на коньках. Ни на лыжах, ни на коньках не умеют кататься 60 учащихся. Сколько учащихся умеют кататься и на лыжах и на коньках?

Решение.

Множество учеников школы будем считать основным множеством E, A и B – соответственно множества учеников, умеющих кататься на лыжах и на коньках. Учащиеся, не умеющие кататься ни на лыжах, ни на коньках, составляют множество . По условию , а так как по формуле , то и . Отсюда

Зная , по формуле (*) находим  

Ответ: 862 человека.

1. В олимпиаде по математике приняло участие 40 учащихся, им было предложено решить одну задачу по алгебре, одну по геометрии и одну по тригонометрии. Результаты проверки решений представлены в таблице:

Известно также, что ни одной задачи решили трое. Сколько учащихся                   решили все три задачи? Сколько учащихся решили ровно две задачи?

Решение.

Для простоты решения этой задачи прибегнем к наглядному изображению множеств. Пусть A – множество учащихся, решивших задачу по алгебре, B – по геометрии, C – по тригонометрии. Если x – число учащихся, решивших все три задачи, то (7-x) есть число учащихся, решивших задачи по алгебре и геометрии, но не по тригонометрии, (8-x) – по алгебре и тригонометрии, но не по геометрии, (9-x) – по геометрии и тригонометрии, но не по алгебре. Если a, b и с – количество учащихся, решивших только одну задачу соответственно по алгебре, геометрии и тригонометрии, то имеем 20=15+a-x, 18=16+b-x и 18=17+c-x, откуда находим: a=5+x, b=2+x и c=1+x.

   Всего в олимпиаде приняло участие 40 человек, три не решили ни одной задачи, следовательно, хотя бы одну задачу решили 37 учащихся. Те, кто решил хотя бы одну задачу, образуют множество , таким образом .   А так как , то, подставляя выражения для a, b и c, отсюда находим x=5.

  Итак все три задачи решило пятеро. Число учащихся, решивших ровно по две задачи, равно 24-3x, то есть равно 9.

Ответ: 5 учащихся; 9 учащихся.

1. В течении недели в кинотеатре демонстрировались фильмы A, B и C. Из 40 школьников, каждый из которых посмотрел либо все три фильма, либо один из трех фильмов, фильм A видели 13 человек, фильм B – 16 человек, фильм C – 19 школьников. Найдите, сколько школьников посмотрели все три фильма?

Решение.

 Для простоты решения этой задачи прибегнем к наглядному изображению множеств. Пусть A – множество учащихся, посмотревших фильм A, B – посмотревших фильм B,  C – посмотревших фильм C. Если x – число учащихся, посмотревших все три фильма, то (13-x) есть число учащихся, посмотревших только фильм A, (16-x) – посмотревших только фильм B, (19-x) – число учащихся, посмотревших фильм C. Так как, по условию фильмы смотрели 40 учащихся, то имеем: x+(13-x)+(16-x)+(19-x)=40. отсюда  -2x=-8, а значит, все три фильма видели 4 ученика.

Ответ: 4 ученика.