вписанная и описанная окружности

Слайд 1

Теория, анализ, практика . Вписанная и описанная окружности Работу выполнила Ученица 8Акласса основной школы № 6 Г. Балаково Ярошенко Полина

Слайд 2

Теория Теоремы, доказательство теорем, Объяснения и примечания

Слайд 3

Вписанная окружность Если все стороны многоугольника касаются окружности, то окружность называют вписанной в многоугольник, а многоугольник – описанным около этой окружности. Рассмотрим пример: Окружность касается всех сторон треугольника АВС (точки E,F,D. )

Слайд 4

Теорема Замечание 1: В треугольник можно вписать только одну окружность Замечание 2: не во всякий четырех угольник можно вписать окружность Теперь рассмотрим теорему подробнее: В любой треугольник можно вписать окружность

Слайд 5

Доказательство теоремы Рассмотрим треугольник АВС и обозначим точку пересечения биссектрис О, проведем из точки О перпендикуляры ОК, О L ,ОМ соответственно сторонам АВ, ВС, и СА. Так как точка О равноудалена от сторон треугольника АВС, то ОК=О L =ОМ. Значит окружность с центром О радиуса ОК проходит через точки К, L ,М. Стороны треугольника АВС касаются этой окружности в точках К, L ,М, так как они перпендикулярны к радиусам ОК, О L ,ОМ . Следует окружность с центром О радиуса ОК является вписанной в треугольник АВС. Теорема доказана В любой треугольник можно вписать окружность

Слайд 6

В любом описанном четырехугольнике суммы противоположных сторон равны АВ + CD = a+b+c+d , BC+ AD = a+b+c+d . Значит: АВ + CD = BC+ AD a a b b c c d d И обратная теорема Если суммы противоположных сторон выпуклого четырехугольника равны, от в него можно вписать окружность

Слайд 7

Анализ. Рассмотрев и разобрав теорему и прилагающиеся к ней замечания достаточно легко понять главную мысль теоремы, которая рассказывает нам о свойствах и возможностях окружности. Закрепим пройденный материал: Если все стороны многоугольника касаются окружности, то окружность называют вписанной в многоугольник, а многоугольник – описанным около этой окружности. В любой треугольник можно вписать окружность В треугольник можно вписать только одну окружность Не во всякий четырех угольник можно вписать окружность

Слайд 8

Практика Изучив тему, я решила закрепить ее решением задачи.

Слайд 9

Докажите если в параллелограмм можно вписать окружность , то этот параллелограмм – ромб. Дано: АВСМ- параллелограмм Окружн . Вписанный. Найти АВСМ- ромб М Решение: АВСМ описанный около окружности = > АВ+СМ=АМ+ВС Стороны в параллелограмме попарно равны (по теореме) Значит 2АВ=2АМ, т.е. АВ=АМ по теореме = > АВСМ- ромб ОТВЕТ: Доказанно .

Слайд 10

Теоремы, доказательство теорем, Объяснения и примечания Теория

Слайд 11

Если все вершины многоугольника лежат на окружности , то окружность можно назвать описанной около многоугольника, а многоугольник - вписанным Описанная окружность Рассмотрим пример: Треугольник АВС касается окружности всеми углами (точки А,В,С.)

Слайд 12

Теорема Замечание 1: Около треугольника можно описать только одну окружность Замечание 2: Около четырех угольника не всегда можно описать окружность Теперь рассмотрим теорему подробнее: Около любого треугольника можно описать окружность

Слайд 13

Доказательство теоремы Рассмотрим произвольный треугольник АВС Обозначим точку пересечения серединных перпендикуляров буквой L и к сторонам проведем отрезки AL , BL и CL . Так как точка L равноудалена от вершин треугольника АВС , то AL = BL = CL . Значит окружность с центром L радиуса AL проходит через все три вершины треугольника и , получается , что является описанной около треугольника АВС Теорема доказана Около любого треугольника можно описать окружность

Слайд 14

В любом вписанном четырех угольнике сумма противоположных углов равна 180 ° Угол A = ½ дуги BCD Угол C= ½ дуги BAD Угол A+ Угол C= ½( дуг a BCD+ дуг a BAD)= ½×360°= 180° И обратная теорема Если сумма противоположных углов четырехугольника равно 180 ° , то около него можно описать окружность

Слайд 15

Анализ. Рассмотрев и разобрав теорему и прилагающиеся к ней замечания мы опять же достаточно легко можем понять главную мысль теоремы, которая рассказывает нам о дополнительных свойствах и возможностях окружности. Закрепим пройденный материал: Если все вершины многоугольника лежат на окружности , то окружность можно назвать описанной около многоугольника, а многоугольник – вписанным Около треугольника можно описать только одну окружность В любом вписанном четырех угольнике сумма противоположных углов равна 180 ° Если сумма противоположных углов четырехугольника равно 180 ° , то около него можно описать окружность

Слайд 16

Практика Изучив тему, я решила закрепить ее решением задачи.

Слайд 17

Найдите сторону равностороннего треугольника, если радиус описанной около его окружности равен 10 см Дано: Треугольник АВС АВ=ВС=АС ОВ=10 см Найти АВ-? Решение: Треуг . АВС – равносторонний= > угол А=В=С=60 ° Треуг . ВКО = > угол К = 90 °, В=30 °, ОВ= 10 см = > ВК=ОВ× cos 30 °= 10 × корень3: 2= 5корень 3 ВС= 2ВК= 10 корень 3 ОТВЕТ: 10 корень 3

Слайд 18

Завершение работы с проектом. Анализ проделанной работы Еще раз изучив и разобрав тему «Вписанная и описанная окружности» я нашла для себя много нового и занимательного материала для закрепления своих знаний по этой теме.