"Системы уравнений высших степеней"

Слайд 1

«Системы уравнений высших степеней» МОУ «Сош № 27 с углубленным изучением отдельных предметов». г. Балаково 8А класс. Мельникова Екатерина Руководитель: учитель математики Миронова Людмила Михайловна.

Слайд 2

Цель работы: исследовать различные способы решения систем уравнений второй степени, не содержащих линейных членов, систем уравнений высших степеней, решение систем уравнений при помощи формул Виета, расширить свои знания; решить задачи повышенной сложности. В данной работе я показала:

Слайд 3

Способы решения системы из уравнения первой и второй степени с двумя неизвестными. Пример: x 2 +4 xy - y 2 =3x+y-4=0 2y-3x=1

Слайд 4

Некоторые системы уравнений решаемые особыми приемами В этой части мною рассмотрен способ решения при помощи формул Виета. x 2 + y 2 =17. x 3 + y 3 =4, x + y =3. х 3 y 3 =1, Показала способ решения системы вида: x 2 - y 2 = a x + y = b .

Слайд 5

Системы двух уравнений второй степени, не содержащих линейных членов На примере: x 2 -3 xy +5 y 2 =3, 2 x 2 + xy -3 y 2 =7 . Я показала решение систем такого вида посредством уничтожения свободных членов.

Слайд 6

Несколько приемов решения систем уравнений высших степеней Способ 1. Из второго уравнения находим, что y =3- x . Подставив в первое уравнение, получаем: x 3 +(3- x ) 3 =18 x 3 +27-27 x +9 x 2 - x 3 -18=0 9 x 2 -27 x +9=0 x 2 -3 x +1=0 D=b 2 -4ac=9-4=5 В этой части я решила несколькими способами систему x 3 + y 3 =18, x+ y=3.

Слайд 7

x 1 = 3+ √ 5; 2 y 1 = 3-3+ √ 5 = 6-3- √ 5 = 3- √ 5; 2 2 2 x 2 = 3- √ 5; 2 y 2 = 3-3- √ 5 = 6-3+ √ 5 = 3+ √ 5 2 2 2. Ответ: x 1 = 3+ √ 5 ; y 1 = 3- √ 5 . 2 2 x 2 = 3- √ 5 ; y 2 = 3+ √ 5 2 2.

Слайд 8

Способ 2. Представим x 3 + y 3 =18, как ( x + y )-3 xy ( x + y )=18 Принимая во внимание второе уравнение, получим: 27-9 xy =18, откуда xy =1 Система x + y =3 xy =1 есть следствие исходной, но и исходная есть следствие преобразованной, ибо если x + y =3; xy =1, то x 3 + y 3 =( x + y ) 3 -3 xy ( x + y )=3 3 -3*3=18. Решая преобразованную систему при помощи формул Виета, получим те же два решения. Ответ. x 1 = 3+ √ 5 ; y 1 = 3 - √ 5 . 2 2 x 2 = 3- √ 5 ; y 2 = 3 + √ 5 2 2.

Слайд 9

Способ 3. По формуле суммы кубов ( x + y )( x 2 - xy + y 2 )=18; так как x + y =3, то x 2 - xy + y 2 =6; x 2 - xy +3 xy + y 2 =6+3 xy ; ( x + y ) 2 =6+3 xy ; 9=6+3 xy ; xy =1; далее как во втором способе. На примере системы . ( x +1) 2 ( y +1) 2 =27 xy ( x 2 +1)( y 2 +1)=10 xy . Рассмотрела способ решения введением новой переменной: В первом уравнении раскроем скобки в каждом множителе. Затем разделим обе части обоих уравнений на xy . Получим: x +2+ 1 y +2+ 1 =27 x y x + 1 y + 1 =10. x y

Слайд 10

Теперь введем новые неизвестные x + 1 = z ; y + 1 = t . В новых неизвестных x y В новых неизвестных преобразованная система имеет такой вид: (z+2)(t+2)=27, xt=10. zt+2z+2t+4=27. 2z+2t+4+10=27 2z+2t=13 z +t= 13 , 2 t 2 - 13 t +10=0 2 D 42,25-40=2,25. t 1 = 6,5+1,5 = 4 ; t 2 = 6,5-1,5 = 5 2 2 2, z 1 = 10 = 5 ; z 2 =10/ 5 =4. 4 2 2

Слайд 11

Далее находим значения для x и y из уравнений x + 1 = z ; y + 1 = t . х у Ответ: x 1 =2; y 1 =2+ √ 3; x 5 =2+ √ 3, y 5 =2; x 2 =2; y 2 =2- √ 3; x 6 =2- √ 3, y 6 =2; x 3 = 1 ; y 3 =2+ √ 3; x 7 =2+ √ 3, y 7 = 1 ; 2 2 x 4 = 1 ; y 4 =2- √ 3; x 8 =2- √ 3, y 8 = 1 2 2.