Презентация по истории алгебры

Слайд 1

Слайд 2

АЛГЕБРА “ Алгебра есть не что иное, как математический язык, приспособленный для обозначения отношений между количествами”.

Слайд 3

И. Ньютон Алгебра – часть математики, которая изучает общие свойства действий над различными величинами и решение уравнений, связанных с этими действиями.

Слайд 4

Решим задачу: “ Возрасты трех братьев 30, 20 и 6 лет. Через сколько лет возраст старшего будет равен сумме возрастов обоих млад­ших братьев?” Обозначив искомое число лет через х , составим уравнение: 30 + х = (20+ х) + (6 + х), откуда х = 4.

Слайд 5

Близкий к описанному метод решения задач был известен еще во II тысячелетии до н.э. писцам Древнего Египта (однако они не применяли буквенной символики). В сохранившихся до наших дней математических папирусах имеются не только задачи, которые приводят к уравнениям первой степени с одним неизвестным, как в задаче о возрасте братьев, но и задачи, приводящие к уравнениям вида ах2 = b. Еще более сложные задачи умели решать с начала II тысячелетия до н.э. в Древнем Вавилоне; в математических текстах, выполненных клинописью на глиняных пластинках, есть квадратные и биквадратные уравнения, системы уравнений с двумя неизвестными и даже простейшие кубические уравнения. При этом вавилоняне также не использовали букв, а приводили решения “типовых” задач, из которых решения аналогичных задач получались заменой числовых данных.

Слайд 6

В Древней Греции Среди математиков Древней Греции было принято выражать все алгебраические утверждения в геометрической форме. Вместо сложения чисел говорили о сложении отрезков, произведение двух чисел истолковывали как площадь прямоугольника, а произведение трех чисел–как объем прямоугольного параллелепипеда. Алгебраические формулы принимали вид соотношений между площадями и объемами.

Слайд 7

Диофант Александрийский Отказ от геометрической трактовки наметился у Диофанта Александрийского, жившего в III в. В его книге “Арифметика” появляются зачатки буквенной символики и специальные обозначения для степеней неизвестного вплоть до 6-й. Были у него и обозначения для степеней с отрицательными показателями, обозначения для отрицательных чисел, а также знак равенства (особого знака для сложения еще не было), краткая запись правил умножения положительных и отрицательных чисел. На дальнейшее развитие алгебры сильное влияние оказали разобранные Диофантом задачи, приводящие к сложным системам алгебраических уравнений, в том числе к системам, где число уравнений было меньше числа неизвестных. Для таких уравнений Диофант искал лишь положительные рациональные решения.

Слайд 8

С VI в. центр математических исследований перемещается в Индию и Китай, страны Ближнего Востока и Средней Азии. Китайские ученые разработали метод последовательного исключения неизвестных для решения систем линейных уравнений, дали новые методы приближенного решения уравнений высших степеней. Индийские математики использовали отрицательные числа и усовершенствовали буквенную символику. Однако лишь в трудах ученых Ближнего Востока и Средней Азии алгебра оформилась в самостоятельную ветвь математики, трактующую вопросы, связанные с решением уравнений.

Слайд 9

В IX в. узбекский математик и астроном Мухаммед ал-Хорезми написал трактат “Китаб аль-джебр валь-мукабала”, где дал общие правила для решения уравнений первой степени. Слово,,алъ-джебр" (восстановление), от которого новая наука алгебра получила свое название, означало перенос отрицательных членов уравнения из одной его части в другую с изменением знака.

Слайд 10

Ученые Востока изучали и решение кубических уравнений, хотя не сумели получить общей формулы для их корней. В Западной Европе изучение алгебры началось в XIII в. Одним из крупных математиков этого времени был итальянец Леонардо Пизанский (Фибоначчи) (ок. 1170 – после 1228). Его “Книга абака” (1202) – трактат, который содержал сведения об арифметике и алгебре до квадратных уравнений включительно (см. Числа Фибоначчи). Первым крупным самостоятельным достижением западноевропей­ских ученых было открытие в XVI в. формулы для решения кубического уравнения. Это было заслугой итальянских алгебраистов С. Дель Ферро, Н. Тарталья и Дж. Кардано. Ученик последнего – Л. Феррари решил и уравнение 4-й степени. Изучение некоторых вопросов, связанных с корнями кубических уравнений, привело итальянского алгебраиста Р. Бомбелли к открытию комплексных чисел.

Слайд 11

Отсутствие удобной и хорошо развитой символики сковывало дальнейшее развитие алгебры: самые сложные формулы приходи­лось излагать в словесной форме. В конце XVI в. французский математик Ф. Виет ввел буквенные обозначения не только для не­известных, но и для произвольных по­стоянных. Символика Виета была усовершен­ствована многими учеными. Окончательный вид ей придал в начале XVII в. французский философ и математик Р. Декарт, который ввел (употребляемые и поныне) обозначения для показателей степеней. Постепенно расширялся запас чисел, с ко­торыми можно было производить действия. Завоевывали права гражданства отрица­тельные числа, потом – комплексные, ученые стали свободно применять иррациональные числа . При этом оказалось, что, несмотря на такое расширение запаса чисел, ранее установленные правила алгебраических преобразований сохраняют свою силу.

Слайд 12

Наконец, Декарту удалось освободить алгебру от несвойственной ей геометрической формы. Все это позволило рассматривать вопросы ре­шения уравнений в самом общем виде, применять уравнения к решению геометрических задач. Например, задача об отыскании точки пересечения двух линий свелась к решению системы уравнений, которым удовлетворяли точки этих линий. Такой метод решения геометрических задач получил название аналитической геометрии. Развитие буквенной символики позволило установить общие утверждения, касающиеся алгебраических уравнений: теорему Безу о делимости многочлена Р (х) на двучлен х - а, где а – корень этого многочлена; соотношения Виета между корнями уравнения и его коэффициентами; правила, позволяющие оценивать число действительных корней уравнения; общие методы исключения неизвестных из систем уравнений и т.д.

Слайд 13

Особенно далеко было продвинуто в XVIII в. решение систем линейных уравнений – для них были получены формулы, позволяющие выразить решения через коэффициенты и свободные члены. Дальнейшее изучение таких систем уравнений привело к созданию теории матриц и определителей . В конце XVIII в. было доказано, что любое алгебраическое уравнение с комплексными коэффициентами имеет хотя бы один комплексный корень. Это утверждение носит название основной теоремы алгебры. В течение двух с половиной столетий внимание алгебраистов было приковано к задаче о выводе формулы для решения общего уравнения 5-й степени. Надо было выразить корни этого уравнения через его коэффициенты с помощью арифметических операций и извлечений корней (решить уравнение в радикалах). Лишь в начале XIX в, итальянец П. Руффини и норвежец Н. Абель независимо друг от друга доказали, что такой формулы не существует.

Слайд 14

Один из крупнейших математиков К. Гаусс выяснил, при каких условиях можно построить циркулем и линейкой правильный n-угольник вопрос оказался связанным с изучением корней уравнения х n = 1. Выяснилось что эта задача разрешима лишь в случае, когда число п является простым числом Ферма или произведением нескольких различных простых чисел Ферма (простыми числами Ферма называются простые числа, представимые в виде 2 2n + 1, до сих пор известны лишь пять таких чисел 3, 5, 17, 257, 65537) Тем самым молодой студент (Гауссу было в то время лишь 19 лет) решил задачу, которой безуспешно занимались ученые более двух тысячелетий. В начале XIX в. были решены основные задачи, стоявшие перед алгеброй в первом тысячелетии ее развития. Она получила самостоятельное обоснование, не опирающееся на геометрические понятия, и, более того, алгебраические методы стали применяться для решения геометрических задач.

Слайд 15

в конце XIX в. немецкий математик Г. Кантор ввел операции над множествами: объединение, пересечение и т.д. Оказалось, что как операции над высказыва­ниями, так и операции над множествами обладают свойствами коммутативности (переместительности), ассоциативности (сочетательности) и дистрибутивности (распределительности), но некоторые их свойства не похожи на свойства операций над числами.) Таким образом, в течение XIX в. в математике возникли разные виды алгебр: обычных чисел, комплексных чисел, кватернионов, матриц, высказываний, множеств и т.д. Каждая из них имела свои правила, свои тождества, свои методы решения уравнений. При этом для некоторых видов алгебр правила были очень похожими. Например, правила алгебры рациональных чисел не отличаются от правил алгебры действительных чисел. Именно поэтому формулы, которые в VI классе устанавливают для рациональных значений букв, оказываются верными и для любых действительных (и даже любых комплексных) значений тех же букв.

Слайд 16

Композициями были сложение и умножение как натуральных, так и любых целых, а также рациональных, действительных и комплексных чисел, “умножение” матриц, пересечение и объединение подмножеств некоторого множества U и т.д. А вычитание и деление во множестве натуральных чисел не являются композициями, так как и разность, и частное могут не быть натуральными числами. Изучение свойств композиций разного вида привело к мысли, что основная задача алгебры - изучение свойств операций, рассматриваемых независимо от объектов, к которым они применяются. Иными словами, алгебра стала рассматриваться как общая наука о свойствах законов композиции, свойствах операций. При этом два множества, в каждом из которых заданы композиции, стали считаться тождественными с точки зрения алгебры (или, как говорят, “изоморфными”), если между этими множествами можно установить взаимно- однозначное соответствие, переводящее один закон композиции в другой.

Слайд 17

Спасибо за внимание!!!