Кривые второго порядка

Российская научно-социальная программа

для молодежи и школьников «Шаг в будущее»

Геометрия.

Кривые второго порядка.

Автор:

Емельянова Екатерина,

учащаяся 8 «б» класса МОУ «СОШ №11»

г. Усть-Илимска

Руководитель:

Губарь Оксана Михайловна,

учитель математики первой квалификационной категории МОУ «СОШ №11» г. Усть-Илимска

г. Усть-Илимск, 2007 г.

ПЛАН

Введение______________________________________________________________________3

Виды кривых

Эллипс, окружность_______________________________________________________4

Циклоида________________________________________________________________4

Циклоидальные кривые____________________________________________________4

Синусоида_______________________________________________________________6

Леминиската Бернули_____________________________________________________6

Спираль Бернули_________________________________________________________6

Кнохоида Никомеда_______________________________________________________6

Построение кривых_____________________________________________________________6

Применение кривых____________________________________________________________9

Заключение___________________________________________________________________10

Список литературы____________________________________________________________10

Введение

В школьном курсе математики изучаются совсем немного кривых, имеющих необычный график. Особый интерес представляют так называемые замечательные кривые, имеющие специфические особенности. Замечательные кривые  часто встречаются в жизни, но не замечаются человеком, поэтому я решила рассмотреть эту тему.
Математики Древней Индии заменяли доказательства теорем геометрическими чертежами, сопровождая его короткой подписью: "Смотри!". Я пользовалась тем же принципом, заменив долгие разъяснения рисунками, из которых видны все свойства кривых.

 В разговорном языке слова «кривой», «кривая», «кривое» употребляются как прилагательные, обозначающие то, что отклоняется от прямого, от правильного, от справедливого. Математики под словом «кривая» подразумевают кривую линию. Что же такое кривая линия? Как охватить в одном определении все кривые, которые рисуют на бумаге карандашом или пером, на доске мелом, вычерчиваются на ночном небе «падающей звездой» или ракетой? Эти вопросы я рассмотрела в данном реферате.

Цель реферата: выяснить, что является кривой линией.

Задачи:

1. изучить виды кривых, их свойства;
2. рассмотреть практическое применение кривых;
3. исследовать способы их построения.

Эллипс

Опыт 1.  Возьмем плотный лист бумаги и прикрепленную к нему в двух местах нитку.   Натягивая эту нитку карандашом и двигая его по бумаге, получим линию. Эта линия называется эллипсом. Все его точки обладают одним свойством: сумма расстояний от них до двух фокусов постоянна. (Фокусы - это те точки, в которых закреплена нить.)

Если расстояние между фокусами будет уменьшаться и станет равным нулю, то получится окружность - частный случай эллипса. Свойство точек окружности - равноудалённость от её центра (фокуса).

Слово фокус в переводе с латинского означает «очаг», «огонь»; оно оправдывается следующим замечательным свойством эллипса. Если изогнуть узкую полоску хорошо отполированного металла по дуге эллипса и поместить точечный источник света («огонь») в одном фокусе, то лучи света, отразившись от полоски, соберутся в другом фокусе; поэтому и во втором фокусе будет также виден «огонь» - изображение первого.

 Циклоида

Опыт 2. Поставим монету на ребро, отметим на ней ближайшую к поверхности стола точку. Катнув монету по столу, будем наблюдать за перемещением этой точки. В результате наблюдения нужно начертить линию перемещения этой точки. Получившаяся кривая называется циклоидой. (от греческого слова Cykloe:des –«кругообразный»).  

К циклоидам относятся так же и Розы Гранди, уравнения которых в полярных координатах имеют вид: r = a*sin(k*fi). Если k>1, то розы являются гипоциклоидами, если k<1, то эпициклоидами. (см.рис.1)

Кардиоида. 

           Опыт 3. Возьмем два равных круга. Один из этих кругов закрепим. Второй приложим к первому, отметим на краю его точку A, наиболее удаленную от центра первого круга. Затем катим без скольжения подвижный круг по неподвижному и наблюдаем, какую линию опишет точка A.          

       Она называется кардиоидой. Такое название она получила из-за сходства с сердцем (греческое слово "кардио" означает сердце).

 Если возьмем точку не на самой катящейся окружности, а внутри ее, сместив в сторону от центра, тогда мы получим кривую, получившуюся название Улитка Паскаля или лимакона.

Лимакона была открыта французским математиком Этьеном Паскалем (отцом знаменитого ученого Блеза Паскаля)

 Синусоида.
        Сделаем из плотной бумаги, свернув ее несколько раз, трубочку. Разрежем ее наклонно.

 Если трубочку не  разворачивать,                           то в сечении будет эллипс. 
        Если развернуть одну из частей, то линия разреза будет представлять собой одну из замечательных кривых, называемая синусоидой. 
.Лемниската

Лемниската (от лат. lemniscatus, буквально - украшенный лентами) - кривая, имеющая форму восьмёрки; геометрическое место точек, произведение расстояний которых от фокусов равно квадрату половины расстояний между ними.

     Ее автор – швейцарский математик Якоб Бернулли (1654-1705) дал этой кривой поэтическое название «лемниската».

Спираль Бернулли (Логарифмическая спираль)

Логарифмическую спираль называют самой красивой из математических кривых. Две части этой спирали могут отличаться pазмеpами, но никак не формой. У этой спирали нет предельной точки. 

Из многих свойств логарифмической спирали, отметим одно: любой луч, выходящий из начала, пересекает любой виток спирали под одним и тем же углом. 

Конхоида Никомеда.

Никомед (ок.250-150гг. до н.э.) - древнегреческий геометр. Он известен тем, что открыл новую алгебраическую кривую – конхоиду, которая состоит из двух ветвей, лежащих по разные стороны от прямой.

Построение кривых

1. Построение логарифмической спирали.

Используя золотое сечение, можно построить Спираль Бернулли довольно простым способом. 
Прямоугольники, чьи стороны находятся в отношении 0,6:1, как считают, имеют форму наиболее приятную глазу; они называются "золотыми прямоугольниками".
Золотой прямоугольник может быть рассечен на две части: квадрат и меньший золотой прямоугольник. От меньшего прямоугольника мы можем отрезать другой квадрат, оставляя еще меньший золотой прямоугольник и продолжать процесс бесконечно. Четвертинки кругов, вписанных в последовательно получаемые квадраты, формируют спираль, которая не является в точности спиралью Бернулли, но наш глаз едва ли может отличить ее от настоящей.

2.  Построение конхоиды Никомеда.

        Построить кривую линию, называемую конхоидой Никомеда, можно так:
на листе бумаги проведем прямую AB и вне ее возьмем точку О (полюс). Затем выберем отрезок a, длина которого пусть будет меньше расстояния от полюса до прямой. Далее, через точку О проведем прямые и от точки
пересечения каждой из этих прямых с AB отложим на ней в обе стороны от AB отрезок a. Каждый раз получаем две точки искомой кривой. Конхоида Никомеда состоит из двух ветвей, лежащих по разные стороны от AB. 

3. Построение циклоиды.

Чтобы построить на бумаге приближенно одну арку циклоиды, описанную при качении обруча диаметром равным, например, трем сантиметрам, отложим на прямой отрезок, равный 3*3,14=9,42 см. Получим отрезок, длина которого равна длине обода обруча, т.е. длине окружности диаметром в три сантиметра. Разделим далее этот отрезок на некоторое число равных частей, например на 6, и для каждой точки деления изобразим наш обруч в том его положении, когда он опирается именно на данную точку. Чтобы перейти из одного положения в соседнее, обруч должен повернуться на одну шестую полного оборота.      Поэтому если в положении 0 мел будет находиться в точке М0 то в положении 1 он будет лежать в точке М1- на одной шестой окружности от точки касания, в положении 2-в точке М2- на две шестых от точки касания и т. д. Для вычерчивания циклоиды остается соединить точки М0, М1, М2, М3, М4, М5, М6.

4. Построение эллипса с помощью окружности. (рис2)

        На большой оси эллипса как на диаметре построим окружность. Из какой- либо точки N окружности опустим на большую ось перпендикуляр NP, который пересечёт эллипс в точке М.Очевидно, что NP больше MP некоторое число раз. Оказывается, если взять любую другую точку N1 окружности и проделать такое же построение, то N1P1 , будет больше соответствующего отрезка M1P1 в то же самое число раз:NP/MP=N1P1/M1P1.

        Иными  словами, эллипс можно получить из описанной  около него окружности, если все  точки окружности  приблизить к большой оси эллипса, сократив расстояния точек до большой оси в одно и то же число раз. На этом свойстве основан простой способ построения  эллипса по точкам. Строим окружность, проводим какой-либо ее диаметр, а затем  заменяем точки окружности  другими,  лежащими на перпендикулярах к диаметру, на  расстояниях, в несколько раз более близких к нему. Получим точки эллипса, большая ось которого совпадает с диаметром окружности, а малая ось в соответствующее число раз меньше диаметра.

5. Построение синусоиды.  (рис. 3)

Для построения графика синусоиды в декартовой системе координат:

1. начертим декартовую систему координат, где по оси абсцисс будем  откладывать угол, а по оси ординат – значение функции;

2. подставляя в формулу синусоиды y=sin*fi значения аргумента в интервале от -360 градусов до +360 градусов, с шагом20 градусов, вычислим соответствующие им значения функции;

3. по вычисленным значениям построим график функции.

6. Построение Розы Гранди.  (рис. 4)

1. начертим полярную систему координат, обозначив полюс и полярную ось;

2. в формуле r=a*sin(m*j) зададим значения: а=2;m=2/;

3. зададим значения угла j в радианах в интервале от 0 радиан до 6,28 радиан с шагом 0,34 радиана;

4. вычислим значения функции r=2*sin(2*j) соответствующие значениям угла, в заданном интервале;

5. отложим из полюса луч под углом 34 радиана(20 градусов), приняв направление движения луча по часовой стрелке;

6. отложим на луче значение функции, соответствующие углу 34 радиана, обозначив его точкой;

7. повторим действия пунктов(5и6) для всех значений угла в заданном интервале;

8. по полученным точкам построим график функции;

9. в формуле r=2sin(2j) изменим коэффициент аргумента функции ,2на 3;

10. повторим действия 3;4;5;6;7;8 для полученной формулы r=2sin(3J).

7. Построение спирали Архимеда  (рис. 5)

1. построим полярную систему координат, обозначив полюс и полярную ось;

2. в формуле графика r=a*fi, зададим значения а=1;

3. для формулы r=fi зададим значения угла 4. В радианах в интервале от 0 радиан до 8,37 радиан с шагом 0,34 радиана;

4. вычислим значения функции r=fi для всех заданных значений угла;

5. отложим луч под углом 0,34радиана от полярной оси, приняв направление движения луча по часовой стрелке;

6. отложим значение функции, соответствующие углу 0,34 радиана, обозначив её точкой;

7. повторим действия пунктов 5 и 6 для всех заданных значений угла;

8. по полученным точкам построим график функции.

Применение кривых в жизни.

Замечательные кривые  часто встречаются в жизни. Например, когда мы режем наискосок колбасу, то получающееся сечение имеет эллиптическую форму. Если разрезать прямой цилиндр или конус наискось так, чтобы не задеть основания, то в разрезе получится эллипс. Свойство эллипса используют садовники при разметке овальных клумб.    Еще Кеплер обнаружил, что планеты движутся вокруг Солнца по эллиптическим орбитам, причем Солнце находится в одном из фокусов. (см. рис 6)

У циклоиды масса любопытных свойств. Оказывается, например, что циклоида является кривой наибыстрейшего спуска. Скатываясь по снежной горке, профиль которой выполнен в виде циклоиды, мы окажемся у основания быстрее, чем в случае другой формы горки.

Циклоида является такой кривой, по которой должна двигаться материальная точка, чтобы период ее колебаний не зависел от амплитуды. Используя это свойство, Х.Гюгенс сконструировал часы. Траектория конца маятника представляет из себя циклоиду. (см. рис7)       

         Кардиоида  используется как в технике для устройства кулачковых механизмов, так  и в архитектуре. Вы только взгляните на храм Василия Блаженного (см. рис 8) - ведь это потрясающий синтез прямоугольного и округлого! Именно синтез, где поверхность куполов то завихряется вращательным движением, то дробится на кванты многогранников. Здесь треугольники сочетаются с дугами, а в странных заостренных дугах угадывается особая кривая - кардиоида.

С синусоидой часто встречаемся при изучении электромеханики и радиотехники. Любопытно, что проекция на плоскость винтовой линии также будет синусоидой.  

  Интересно, что лемниската Бернулли используется при построении трамвайных путей в тех местах, где поезд делает поворот малого радиуса.

Логарифмическая спираль встречается в пpиpоде уже миллионы лет, ведь это единственная математическая кривая, следующая форме роста, выраженной в "чудесной спирали" (Spira Mirabilis), которую обычно называют раковиной наутилуса

         Конхоида Никомеда применяется для решения задач об удвоении куба и трисекции угла (знаменитая задача о делении произвольного угла на 3 равные части).

Заключение:

Мир наш исполнен симметрии. С древнейших времен с ней связаны наши представления о красоте. Наверное, этим объясняется интерес человека к замечательным кривым, привлекавшим внимание множества выдающихся мыслителей.

        Впрочем, кривые - отнюдь не только объект научных исследований.         Интерес к ним обусловлен не только их красотой и оригинальностью, но и большой практической ценностью. Кривые имеют непосредственное отношение к окружающему нас миру. Они проявляются в частности в природе, науке, архитектуре.

        Так что же такое кривая линия? С помощью проведенных опытов я сделала вывод: Кривая есть след движущейся точки. Такой точкой в приведенных примерах является острие карандаша, острый край куска мела и т. д.

В своей работе я показала различные способы получения кривых:

1. построение графиков уравнений в полярных и декартовых координатах;
2. вычерчивание траектории точки, используя свойства;
3. проведение сечения геометрических тел плоскостью.

И выяснила, что наиболее точное построение кривых можно выполнить с помощью графика.

Литература:

1. Н.Ф. Шарыгин, Л.Н. Ерганжиева. Наглядная геометрия. Москва, 1995.

2. Я.И. Перельман. Занимательные задачи и опыты. Домодедово, ВАП, 1994.

3. А.П.Савин. Энциклопедический словарь юного математика. М.:Педагогика,1985.

4. Ф.Ф. Нагибин, Е.С. Канин. Математическая шкатулка. М., Просвещение, 1988.

5. А.И. Маркушевич. Замечательные кривые. Москва, 1952.

Рис 1

Рис 6   

Рис. 7

рис. 8

М5

М4

М3

М2

М1

0

М0

М6

2

6

5

3

4

1

А

В

О

конхоида Никомеда

эллипс

синусоида

циклоидальные кривые

Лемниската

Бернулли

 спираль Бернулли

циклоида

Класс замечательных кривых