Задачи на проценты в ГИА. Задачи на проценты в нашей жизни

        муниципальное образовательное учреждение

средняя общеобразовательная школа №58

Советского района г. Волгограда

Задачи на проценты в ГИА.

 Задачи на проценты в нашей жизни.

Волгоград, 2013

                                            Содержание  

Введение

Глава 1. Из истории процента. Понятие процента. Примеры применения процентов в реальной жизни.

Основные формулы для вычисления процентов.

Глава 2. Выделение групп задач на проценты, взятых из сборников для подготовки к ГИА – 2013 ( 1. Подготовка к ГИА-2013 под ред. Лысенко. 2. Сборник задач для подготовки к ГИА 2013 под ред. Мальцева. 3.  ГИА 2013. Типовые экзаменационные варианты под ред. Семеновой, Ященко.4. Подготовка к ГИА 2013 под ред. Кочагина,  Кочагиной)

2.1. Обычные задачи на проценты;

2.2. Задачи на смеси, растворы, сплавы;

2.3. Задачи банковских систем и на сложные проценты.

Глава 3. Примеры процентов в жизни

3.1. Исследование бюджета семьи;

3.2. Поездка за границу;

3.3. Исследование внеурочной занятости учащихся моего класса.

Заключение.

Список литературы.

Введение

                                                                             Если мы действительно знаем что-то, то  

                                                                                                            мы знаем это благодаря изучению математики                                                                                    

Современная жизнь делает задачи на проценты актуальными, так как сфера практического приложения процентных расчетов расширяется везде – в газетах, по радио и телевидению, в транспорте и на работе обсуждаются повышение цен, зарплат, пенсии, рост стоимости акций, снижение покупательской способности населения и т.п. Добавим сюда объявления банков, привлекающих деньги населения на различных условиях, об изменении процента банковского кредита и пр. Всё это требует производить процентные вычисления.

В школьном курсе математики тема «Проценты» и задачи на проценты изложены не компактно, не четко. Очень многие учащиеся затрудняются или вообще не умеют решать задачи на проценты. Ребята при подходе к итоговой аттестации в 9-ом классе сталкиваются с проблемой решения задач на проценты, а они есть в ГИА и ЕГЭ.

Гипотеза работы: я предполагаю, что данная тема очень важна и для старшеклассников (итоговая аттестация), и для современного человека (экономическая сфера жизни).

Рассматривая тему о процентах, я углубилась в их историю и происхождение. Рассмотрела во многих областях нашей жизни применение процентов. На конкретных примерах, задачах из ГИА убедилась в их актуальности и значимости. В заключении систематизируя полученные результаты исследования, сформулировала вывод.

Во время работы была в основном использована литература для подготовки к ГИА по заданной теме, также несколько вторичных источников и информация, взятая из интернета, опроса родственников, личного опыта.

Решив типовые задачи, подтверждающие необходимость процентов и выделив их основные группы, я шаг за шагом пододвинулась к раскрытию темы.

К основным группам будем относить задачи: взятые из повседневной жизни и ГИА, банковского характера и другие.

Цель исследования: Обобщение и систематизация, расширение и углубление знаний по теме проценты. Доказательство необходимости процентных вычислений в задачах при подготовке к экзамену, и задачах, диктуемых самой жизнью.

              Задачи работы:

1. Изучить научную литературу по теме исследования.

2.Познакомиться с историей возникновения процентов, определением и формулами, по которым решаются основные типы задач школьного курса.

3.Выделить группы задач на проценты, взятых из сборников для подготовки к ГИА и качественно подготовиться к сдаче экзамена.

4.Рассмотреть задачи банковских систем и задачи на простой и сложный процентный рост.

5.Выявить практическое применение процентных вычислений в жизни и наглядно иллюстрировать результаты в виде диаграмм и таблиц.

6.Поработать в текстовом редакторе, с ресурсами Интернета и получить опыт публичного выступления.

7. Обобщить результаты работы.

Теоретическая значимость исследования состоит в том, что необходимо восполнить, углубить, систематизировать знания и умения по теме «Проценты» для повышения математической и алгоритмической культуры старшеклассников.

Практическая значимость: применение процентных вычислений в реальной жизни: финансовая сфера (платежи, налоги, прибыли, кредиты, начисление зарплаты, депозитные счета в сбербанке, инфляция, рост цен), торговля (скидки, наценки, уценки, прибыль, кредит, налог на прибыль). Экология, социология, демография, рейтинги, химические составы продуктов питания, бытовой химии, тканевых материалов не обходятся без процентных знаний.

Научная новизна работы: Россию захватил «кредитный бум»: в наше время люди всё чаще берут кредит на приобретение жилья, автомобиля, потребительские кредиты и кредиты на образование. Решение многих задач школьного курса, нестандартных задач, практических задач помогает разобраться в новых экономических веяниях жизни.

Объект исследования: процент,  изучение различных типов задач на проценты, одноклассники, семья и информация из Сбербанка России.

Предмет исследования: решение практических задач на проценты и процентное содержание, иллюстрирующих использование процентных расчетов в различных сферах жизнедеятельности человека.

Методы работы:

1. Поисково-теоретический метод. Теоретический анализ  научной и учебной литературы, а также поиск необходимой информации в сети Интернет, систематизация полученной информации, обобщение выводов.

2. Практический метод: выполнение вычислений при решении различных задач на проценты. Представление результатов практических исследований в виде таблиц и диаграмм. 3. Опросно-диагностический метод: интервьюирование, беседы и др.

                                § 1. Из истории процента. Понятие процента.

Проценты — одно из математических понятий, которые часто встречаются в повседневной жизни. Слово «пропей г» происходит от латинского слова pro centum, что буквально означает «за сотню» или «со cтa». Процентами очень удобно пользоваться на практике, так как они выражают части целых чисел в одних и тех же сотых долях. Это дает возможность упрощать расчеты и легко сравнивать  части между собой и с целыми.

Идея выражения частей целого постоянно в одних и тех же долях, вызванная практическими соображениями. Они родились еще в древности у вавилонян, которые пользовались шестидесятеричными дробями. Уже в клинописных табличках вавилонян содержатся задачи на расчет процентов. Были известны проценты и в Индии. Индийские математики вычисляли проценты, применяя так называемое тройное правило, т.е. пользуясь пропорцией. Они умели производить и более сложные вычисления с применением процентов.

Знак «%» происходит, как полагают, от итальянского слова cento (сто), которое в процентных расчетах часто писалось сокращенно cto. Отсюда путем дальнейшего упрощения в скорописи буквы t в наклонную черту произошел современный символ для обозначения процента.

Примеры применения процентов в реальной жизни:

•    В выборах приняли участие  63,9% избирателей.

•    Количество мальчиков составляло 50% от количества девочек.

•    Рейтинг победителя в хит-параде равен 67%.

•    Промышленное производство сократилось на 8,4%.

•    Уровень инфляции составляет 8% в год.

•    Банк начисляет 11% годовых.

•   Молоко содержит 3.1 % жира.

•    Материал содержит 61% хлопка и 41% полиэстера.

§ 2. Выделение групп задач на проценты

При сортировке задач на проценты, можно выделить 3 основные группы: обычные задачи на проценты (повседневные, вычисления процентов от числа); задачи на смеси, растворы, сплавы: задачи банковских систем (кредиты, вклады).

Обычные задачи на проценты (повседневные).

В этот вид задач входят все задачи, начиная с простого вычисления процента от числа и заканчивая самыми разнообразными ситуациями нашей жизни, требующих вмешательство процентов.

Задачи на смеси, растворы, сплавы.

Данный тип задач охватывает большой круг ситуаций — смешение товаров разной цены, жидкостей с различным содержанием соли, кислот различной концентрации, сплавление металлов с различным содержанием некоторого металла и пр. Лучше всего для таких задач подходит формула:

nk = mв : mР; где n — концентрация, mв - масса вещества в растворе, mР -масса всего раствора.

Задачи банковских систем.

Задачи банковских систем — задачи, связанные с начислениями процентов в банке по вкладам и кредитам. Такие задачи обычно решаются по двум формулам:

1.   Sn=S0 * (1 + рn : 100) -(формула простых процентов, где Sn – нарощенная сумма (исходная сумма вместе с начисленными процентами, S0 – исходная сумма, р% – процентная ставка от суммы, выраженная в долях за период; а n – число периодов начисления).

2.   Sn=S0 * (l + p : 100) n -(формула сложных процентов).

Sn - полученная сумма; S0 - начальная сумма; n — кол-во лет, где n = 1, 2,3...

           Основные формулы для вычисления процентов:

              1% − это 1  часть от целого. Если а − 100%, b − р%, то

              100

1. Процент от числа b = a*p

                                      100

2. Число по проценту а = b*100

                                                         p

3. Количество процентов, которое составляет число b от числа а  

P = b * 100

                       А

Решение любых задач на проценты сводится к основным трём формулам или действиям с процентами.

Соотношения, которые полезно запомнить:

50% числа х – это его половина (0,5х)

25% числа х – это его четверть (0,25х или 1х)

                                                                  4

20% числа х – это его пятая часть (0,2х или 1х)

                                                                             5

75% числа х – это его три четверти ( 0, 75х или 3х)

                                                                                   4    

100% числа х – это всё число х.      

               2.1. Обычные задачи на проценты

         1)Часть 1. Вар. 1. Задача № 3. Сборник Лысенко, стр.49.

Билет на экскурсию стоит 200 руб. Учащимся предоставляется скидка 25 %. Сколько стоит заплатить рублей за экскурсию группе из 3-х взрослых и 15 – ти учащихся?

Решение:

25% от 200 руб. сост. 200 * 0,25 = 50 руб.

200 – 50 = 1500 (руб.) – стоит билет учащихся

150 * 15 + 3*200 = 2250+600=2850 (руб.) стоит экскурсия

2) Базовый уровень. Зад. № 5. Кочагин, стр. 182.

Цена изделия составляла 1000 р. И была снижена сначала на 10 %, а затем еще на 20%. Какова окончательная цена товара?

Подобные задачи удобно решать с помощью такой схемы рассуждений:

                                   -  -10%                         -20%

                      -100р                          -180р

Первое снижение цены товара было на 0,1*1000 = 100р. После первого снижения цена товара составила 1000-100 = 900р. Второе снижение цены товара было на 0,2*900 = 180 р. После второго снижения цена товара составила 900 – 180 = 720 р.

Ответ: 720 р.

3)Сборник Кочагина, № 6, стр. 183.

Цену товара повысили на 25%, затем новую цену повысили еще на 10% и, наконец, после перерасчета произвели повышение цены еще на 12%. На сколько процентов повысили первоначальную цену товара?

         Обозначим первоначальную цену товара за х (р.), тогда после первого повышения цена товара стала 1,25%. Второе повышение цены было на 0,1*1,25х. После него цена товара стала 1,25х + 0,1*1,25х = 1,375х. Третье повышение цены на 12% производилось от цены, полученной после второго повышения, и составило 0,12*1,375х = 0,165х. После последнего повышения цена товара составила 1,375х + 0,165х = 1,54х.

Схема рассуждений была следующей:

                      +25%               +10%                  +12%

     +0,25х            +0,125х              +0,165х

4) Сборник Семеновой, вариант 19 № 16.

В цирке перед началом представления было продано 30% всех воздушных шариков, а в антракте еще 40 штук. После этого осталось 20% от количества шариков, приготовленных для продажи. Сколько шариков было приготовлено для продажи?

40 шариков- половина всех шариков, приготовленных для продажи, т.е. 50%

Следовательно, 100%  это 80 шариков.

Ответ: 80 шариков.

5) Сборник Мальцева, № 3 стр. 174.

Стоимость акции выросла на 150%. Во сколько раз увеличилась стоимость акции?

100% – а рублей, 250 % – х рублей.

Х= 250а = 2,5 а

        100      

Ответ : в 2,5 раза.

6) Сборник Лысенко, № 450, стр. 242 – задача на составление уравнения.

В прошлом театральном сезоне абонемент стоил 8000 руб. В новом сезоне стоимость абонемента увеличили, в результате чего число проданных абонементов уменьшилась на 25 %, а выручка от их продажи уменьшилась на 25 %. На сколько рублей увеличили стоимость абонемента?

Решение:

Пусть в прошлом сезоне продали n абонементов, выручка составила 8000 n  руб.

В настоящем сезоне продали  0,75n абонементов, стоимость одного абонемента увеличили на Х  рублей, значит  (8000 + Х) * 0,75n рублей – выручка в настоящем сезоне. По условию выручка уменьшилась на 2,5 %по сравнению с прошлым сезоном, значит, она составит

8000 n * 0,975 руб.

Составим и решим уравнение:

(8000 + Х) * 0,75n = 8000 n * 0,975

0,75Х = 8000* 0,225

Х = 2400

На 2400 руб. увеличили стоимость абонемента

Ответ: 2400 рубля

7) Сборник Мальцева, № 20 стр. 225.

Магазин выставил на продажу товар с некоторой наценкой по отношению к закупочной цене. После продажи 3/4 всего товара магазин снизил назначенную цена на 40% и распродал оставшийся товар. Сколько процентов от закупочной цены товара составила прибыль магазина?

Пусть х – закупочная цена, y – товар, тогда ху – прибыль магазина до изменений с ценой. 3у товара продали за 1,6х после 60% наценки, а 1у товара продали за                  

            4                                                                                   4    

1,6х–1,6х*0,4 = 0,96х после снижения назначенной цены на 40 %.

Получили прибыль после изменения с ценой:

       1,6х*3у + 0,96х*1у = 1, 44 ху                  

                        4                  4

        В целом прибыль получилась: (1,44ху – ху) = 0,44ху, что в процентах составило:

        0,44ху * 100% = 44%

                  Ху

        Ответ: 44%.    

     2.2. Задачи на смеси, растворы, сплавы.

      1)Сборник Кочагина. Задание 10 стр.186. Имеются два куска сплава меди и цинка с         процентным содержанием меди 42% и 65% соответственно. В каком отношении нужно взять эти сплавы, чтобы, переплавив, получить сплав, содержащий 50% меди?

       Изобразим схематически условие задачи:

            +        +                

Количество меди в каждом сплаве найдено с помощью соотношения между величинами. Можем составить уравнение: 0,42х + 0,65у = 0,5(х+у).

В этом уравнении две неизвестных, а в задаче требуется найти их соотношение х

                                                                                                                                          у

Решая уравнение, получим 42х + 65у = 50( х +у), 15у = 8х, х:у = 15:2.

Ответ : нужно взять первый и второй сплавы в отношении 15:2.                   

2) Сборник Лысенко, № 15 стр. 209.

Сколько литров воды нужно взять, чтобы из 200 г. соли приготовить 5 % раствор? (масса 1 литра воды равна 1 кг)

Решение

Пусть нужно взять Х кг воды.

Тогда получиться (Х + 0,2) кг раствора, что составляет 100 %.

По условию 0,2 кг соли в этом растворе должно составлять 5 % . следовательно

Х + 0,2  =  100

    0,2           5

Х + 0,2 = 0,2 * 100

                        5

Х = 4 - 0,2 = 3,8

Ответ: 3,8

3) Сборник Лысенко, задача № 501 стр. 248.

Имеется 200 г 30% - го раствора уксусной кислоты. Сколько граммов воды нужно добавить к этому раствору, чтобы получить 6 % - ый раствор уксусной кислоты

Решение:

Имеется  200 г 30 % -го раствора. Значит, кислоты в них

200 * 30 = 60 (г)

100

Обозначим через Х количество воды (в граммах) которое нужно долить, чтобы получился 6% -ый раствор, тогда

     60   .                =       6   .

200 + Х                100

Х = 800 (г)

Ответ: 800

       4)Сборник Лысенко, задача №  489 стр.247.

Имеется два сплава с разным содержанием железа: в первом содержится 75 %, а во втором – 25 5 железа. В каком отношении надо взять первый и второй сплавы,  чтобы получить из них новый сплав, содержащий 40 % железа?

Решение:

Пусть Х и Y – количество первого и второго сплава соответственно  (Х > 0; Y > 0)

Тогда концентрация железа в новом сплаве составит

0,75Х + 0,25Y = 0.4

        X + Y

0.35 X = 0.15 Y

Х = 3

Y    7

Ответ: 3: 7

2.3. Задачи банковских систем и сложных процентов.

1)Задача на простой процентный рост. Г.Д. Дорофеев «Процентные вычисления».

 Стр.51.

Сколько надо заплатить, если платёж 5000 р. Просрочен, пеня равна 1 % за каждый день просрочки, а оплата производится  с задержкой на 5 дней?

Подставляем в формулу простого процентного роста

Sn = (1+ pn) S

              100      

(1+1*5)*5000 = 5250

      100

Ответ: 5250 р.

1. Сборник Лысенко, вариант 17 № 21, стр.129.

Цена телевизора в магазине ежегодно уменьшается на один и тот же процент по сравнению с предыдущим годом. Определите, на сколько процентов каждый год уменьшалась цена телевизора, если, выставленный на продажу 40 000 рублей, через 2 года он был продан за 22 500 рублей.

Пусть ежегодно цена телевизора уменьшалась в х раз. Тогда через 2 года цена станет 40 000х2 = 22 500

х2 = 225

       400

Х = 15 = 0, 75= 75 %.

       20

Значит цена товара уменьшилась на 25 %.

По формуле сложных процентов:

Sn = S * (1 + р)2 

                             100

22 500 = 40 000 *(1+ р)2 

                                           100

(1+ р)2 = 0,5625

        100

         р = 0, 75

       100

      р = 25 %.

Ответ: 25 %.

2. Сборник Семеновой, вариант 25, № 22 стр.140.

Клиент внёс 3000 рублей на 2 вклада, один из которых даёт годовой доход, равный 8%, а другой – 10 %. Через год на 2х счетах у него было 3260 рублей. Какую сумму клиент внёс на каждый вклад?

Пусть х – 1ый вклад, у – 2ой вклад.

Тогда 108% – 1ый вклад, 110 % – 2ой вклад.

Значит, х+у = 3000, а 1,08х+1,1у=3260.

Получаем систему:

х+у = 3000

1,08х+1,1у=3260

Выражаем х = 3000 – у

1,08*(3000-у)+1,1у = 3260

3240 –1, 08у +1,1у = 3260

0,02у = 20

 у = 2000

х = 1000

Ответ: 1000 и 2000 рублей.

                                 § 3. Примеры процентов в жизни.

Проценты широко применяются в повседневной жизни. Планирование семейного бюджета, выгодное вложение денег в банке невозможно без умения производить процентные вычисления. Сами проценты не дают экономического развития, но их знание помогает в развитии практических способностей, а также умение решать экономические задачи. Обдуманное изучение процентов может способствовать развитию таких навыков, как экономичность и расчётливость. Для этого, я исследовала корреляцию семейного дохода с расходами в процентном соотношении.

3.1.  Исследование бюджета моей семьи.

Моя семья состоит из 4х человек : я, мама, папа, сестра. Заработная плата моего папы составляет 50 000 рублей в месяц, а мамы – 30 000 рублей в месяц. В сумме 80 000 рублей. Найдем, сколько % будет составлять заработная плата каждого из родителей:
1) 50 000 * 100 = 62, 5%

           80 000

2) 30 000 * 100 = 37, 5%

         80 000

Распределение семейного бюджета:

Чтобы наглядно увидеть распределение семейного бюджета, я составила таблицу

(Приложение №1) и диаграмму (Приложение №2)

Чтобы найти % от суммы нужно сумму расхода умножить на 100% и разделить на всю сумму.

Вывод: исследовав бюджет семьи, я увидела, что папа зарабатывает на 25% больше, чем мама , то есть 3 четверти от всего дохода, большая часть дохода тратится на бытовые нужды, питание и 34,5% всего достатка останется на накопление. Я применяла свойство нахождения процентов от числа, представила данные в виде таблицы и диаграммы.

3.2. Поездка за границу.

Исходя из данных о бюджете моей семьи, узнаем, сможет ли моя семья позволить  поездку в ОАЭ. Так как все расходы моей семьи в месяц составили 65,5 % от всего достатка, то остается 34, 5% , то есть 27 600 рублей. Так как экономить на бытовых нуждах невозможно, но при  уменьшении  трат  на одежду или питание, каждый месяц можно откладывать 30 000 рублей. Поездка в Эмираты стоит 150 000 рублей. Находим, что за 5 месяцев можно накопить данную сумму денег. Рассмотрим другой  вариант. Если взять кредит на 150 000 рублей в Сбербанке на 12 месяцев, то процентная ставка составит 13,9% годовых.

Вывод: Можно не ждать 5 месяцев, а взять кредит и отметить день рождения моего папы в теплой стране, не смотря на то, что придется переплатить 20 850р за год. В случае моей семьи выгоднее выбрать второй вариант.

3.3. Исследование внеурочной занятости учащихся моего класса.

Сегодня очень часто можно слышать, что молодёжь ничем не занимается, её ничего не интересует. Среди подростков много бездельников. Но я думаю, что это не так и решила исследовать внеурочную деятельность своего класса, проведя интервьюирование своих одноклассников. Это мы можем увидеть из таблицы (Приложение №3) и диаграммы (Приложение №4).

Из диаграммы видно, что большая часть учеников (6)-30 % посещают кружок танцев, меньше всего учеников, т.е. 1, не посещают никаких кружков или секций, но помогает родителям в домашнем хозяйстве.

При вычислении я применяла свойство нахождения процентов от числа. Для того чтобы найти, сколько процентов составляет посещаемость кружков, нужно количество человек, посещающих тот или иной кружок умножить на 100 и разделить на кол-во человек в классе, т.е. 20.

Вывод: исследовала посещаемость кружков, применила свойство нахождения процентов от числа, составила таблицу и диаграмму, выявила, что подростки занятый народ, помимо учебы у них много полезных занятий и интересов.

Заключение

В ходе проделанной работы я систематизировала все знания  о процентах от простых вычислений к сложным, рассмотрела все типы задач, входящих в сборники для подготовки к ГИА 2013. Исходя из формулировок задач, я поняла. Как тесно связана тема процентов с действительностью, окружающей современного человека, в том числе и старшеклассника – финансовая сфера (платежи, налоги, прибыли, кредиты). Социологические опросы, связь математики с другими предметами, например, с химией. Можно продолжить эти исследования, рассмотрев применение процентов во многих других науках, отраслях, узнать, как связана эта тема с прогрессиями, степенями, логарифмами. Я применила проценты в повседневной жизни, чтобы исследовать бюджет семьи, посещаемость кружков и секций учеников моего класса. Результаты занесла в таблицы и диаграммы, а также поработала в текстовом редакторе и с ресурсами интернета. В процессе выполнения работы, я узнала много нового и, думаю, эта информация поможет мне на экзамене, в дальнейшем обучении и в самой жизни.

Литература:

1. Г.В. Дорофеев, Е.А. Седова «Процентные вычисления». Дрофа, М.2003 г.
2. «Подготовка к ГИА 2013 под ред. В.В. Кочагина, М.Н. Кочагиной». М. Эскимо, 2012.
3. «Подготовка к ГИА 2013 под ред. Ф.Ф. Лысенко». Легион. Ростов-на-Дону, 2012.
4. «Итоговая аттестация 2013, математика 9 класс под ред. Д.А. Мальцева». Ростов-на-Дону. Народное образование М.2013
5. Пойа Д. Математическое открытие.  – М. Наука, 1970.
6. «Типовые экзаменационные варианты под ред. А.Л. Семенова, И.В. Ященко». Национальное образование, М.2013
7. Сайт свободной энциклопедии «Википедия» http://ru.wikipedia.ru
8. Официальный сайт Сбербанка России www.sbrf.ru

Приложение №1.        

Приложение №2.

Приложение №3.

Приложение №4.

   ?

1000р.

1000-100
=900р.

1000р.

900-180=720

1,375х+0,165х=1, 54х

1,25х+0,125х = 1, 375х

х+0,25х=

=1,25х

     Х

Концентрация 0,5 масса сплава х+у количество меди 0,5(х+у)

Концентрация 0,65 масса сплава у количество меди 0,65у

Концентрация 0,42 масса сплава х количество меди 0,42х