Роль математики в обороне страны

VI НАУЧНО – ТВОРЧЕСКАЯ КОНФЕРЕНЦИЯ

                 УЧАЩИХСЯОБРАЗОВАТЕЛЬНЫХ УЧРЕЖДЕНИЙ

                       ПРОМЫШЛЕННОГО РАЙОНА Г. САМАРЫ

                            «НАУКА. ТВОРЧЕСТВО. ИНТЕЛЕКТ»

             Номинация  «Проводник в мире формул»

            Тема: «Роль математики в обороне страны»

                                                Автор: Дегтев Виктор Алексеевич

                                                Ученик 7«А» класса

                                                МОУ Школы №108 г. о. Самара

                                                Научный руководитель:

                                                Маслова Вера Георгиевна    

Самара, 2010 г.

                                       СОДЕРЖАНИЕ

                                                                                                                                                                                                                                        Введение…….…………………………………………………………………..3

Глава 1. Участие учёных математиков в боевых действиях...……….……4-5                                                                            

Глава 2. Вклад математиков, в победу над Германией в Великой Отечественной Войне………………………………….……………...……..6-8                                

Глава 3. Значение математики, как науки, в деле обороны страны в

настоящее время………………………………………………………..............9

Глава 4. Задачи военной тематики……………………………...………..10-17

Заключение……………………………………………………………….18-19

Список литературы……………………………………………………...…….20

Приложение 1. Комплекс математических задач на военную тематику для учащихся 8-9 классов, посредством которых решается проблема патриотического воспитания……………………………………….…… 19-21

Приложение 2. Совершенствование военной техники за счет тематических знаний………………………………………………………………………….23Приложение 3: Теория стрельбы…………………………………………...24

Приложение 4. Статистический контроль в военном производстве.………………………………….…………………………...25-26

Приложение 5: Военно-прикладные задачи по математике для внеклассной работы (5-7класс)..............………………………………………………...27-30

ВВЕДЕНИЕ

           В этом году исполняется 65 лет со дня Победы советского народа в Великой Отечественной войне. Неисчислимые жертвы понесла страна во имя независимости, свободы и общественных идеалов: миллионы погибших и раненых, страдания от голода, тысячи разрушенных городов и деревень, сотни тысяч угнанных на фашистскую каторгу.    Несмотря ни на что советский народ выстоял и победил.

Великая Отечественная война не прошла мимо советских математиков: тысячи из них ушли на фронт по мобилизации или добровольцами, многие переключились на решение важных задач, необходимых для победы, остальные не переставали трудиться на своих постах, веря в разгром врага и создавая для будущего новые научные ценности.

 Я, Дёгтев Виктор, второй год занимаюсь в школьном военно-патриотическом клубе «Юный - РОСТОвец» РОСТО (ДОСААФ).  Я очень люблю математику и историю. В этом году я впервые стал участником Интернет - проекта «Эхо войны». Для участия в научно-творческой конференции «Наука. Творчество. Интеллект» я выбрал номинацию  Проводник в мире формул». Тема моей исследовательской работы «Роль математики в обороне страны». Я считаю, что изучение роли математики в военном деле, а математика - это мир формул, является проводником к моей будущей профессии.

 Актуальность моего исследования состоит в том, что реальных участников тех событий почти не осталось в жизни, мои ровесники знают о войне лишь из книг и кинофильмов. Но память человеческая несовершенна, многие события забывают. Мы должны знать реальных людей, которые приближали победу и подарили нам будущее.

Цель работы: Исследовать значение математики, как науки в деле обороны страны в годы Великой Отечественной войны и в настоящее время.

В рамках этой цели я поставил следующие задачи:

1)Выяснить, кто из учёных-математиков принимал участие в боевых действиях.

2)Определить, какие задачи приходилось решать математикам в годы Великой Отечественной войны.

3)Составить комплекс математических задач на военную тематику, для учащихся 5-9 классов, посредством которых решается проблема военно-патриотического воспитания школьников.

 Среди методов исследования я использовал такие, как:

 изучение литературных источников,

сравнительный анализ  полученной информации,

отбор  информации для работы,

изучение и решение задач, которые могли решаться в годы войны,

создание задач военной тематики для  использования на уроках и во внеклассной деятельности.

ГЛАВА 1.УЧАСТИЕ УЧЁНЫХ МАТЕМАТИКОВ В БОЕВЫХ ДЕЙСТВИЯХ.

 История  военных  лет показала, что математика  сыграла  большую  роль в осуществлении оборонной мощи страны  во время Великой Отечественной войны и играет огромную роль теперь. Обратимся к фактам.

         C первых же дней Великой Отечественной Войны огромное число математиков были мобилизованы или ушли на фронт добровольцами. Они храбро воевали и честно исполняли свой гражданский долг. При этом страна потеряла огромное число талантливой молодежи, которая могла бы стать гордостью отечественной науки. Об этом мы можем судить, во-первых, по тому, что среди возвратившихся после участия в сражениях Великой Отечественной войны значительное число стало крупными учеными - профессорами, членами - корреспондентами и академиками Всесоюзной и республиканских, академии наук.

        Например, добровольцем ушел на фронт и участвовал в боях с фашистскими захватчиками в Крыму, на Украине, в Прибалтике и в Восточной Пруссии выдающийся математик и педагог Александр Михайлович Ляпунов. Он  храбро воевал, и внес много ценного в правила стрельбы, используя  свой опыт математика, которому свойственно искать самые лучшие решения. Его предложения увеличили эффективность стрельбы. За работы в области кибернетики, теории множеств и программирования А.М.Ляпунов уже после войны (с 1964 г.) был избран членом - корреспондентом АН СССР.

        В частях тяжелой артиллерии на Пулковских высотах отстаивал город  Ленинград выдающийся  специалист в области теории чисел, теории вероятностей и математической статистики, доктор физико – математических наук, а потом академик АН СССР Юрий Владимирович Линник (1915 – 1972) [ 7].

        Храбрым воином был известный математик академик, директор института математики Юрий Александрович Митропольский.

      Каждый из университетов потерял многих молодых ученых, уже сумевших проявить себя и обещавших в будущем очень многое, но не вернувшихся с войны. Осенью 1941г. умер от ран и нечеловеческих условий вражеского плена Н.Б. Веденисов (1905 -1941). Свой путь в математике талантливый ученый начинал в области теории множеств и теории функций действительного переменного. Позже его научные интересы перешли в область теоретико – множественной топологии, где он получил ряд важных результатов. Война застала  Веденисова преподавателем одной из военных академий. Не смотря на слабое здоровье и бронь, он принял твердое решение уйти в ополчение. В тяжелых боях под Ельней ученый был ранен и оказался в плену, где силы его быстро иссякли.

            М. В. Бебутов (1913 – 1942) начал свою научную работу еще в студенческие годы. Его научные интересы были связаны с качественной теорией дифференциальных уравнений. Первая публикация относится к 1938году, а последняя опубликована посмертно в 1942году. И все же,  несмотря на  такой ограниченный промежуток научной деятельности, М. В. Бебутов получил в математике ряд важных результатов. Защищенная им в июне 1941года диссертация, была отмечена ученым советом как выдающаяся работа. [7]  

Не вернулись с войны и такие  талантливые  молодые  математики  Московского университета, как Г.М. Бавли, В.Н. Засухин, А.И. Герчиков, М.Е. Глезерман, И.Р. Лепехин, X.М. Мильштейн, С.С. Кудашев, С.Я. Карпов, А.Т. Павлов, М.И. Песин  и многие, многие другие.  [3]

          Все они могли бы стать гордостью нашей науки, но война прервала и зачеркнула развитие так славно начатого ими научного пути. Сколько замыслов осталось не осуществленными,  какие россыпи математических сокровищ они унесли с собой. Справедливо говорят, что трудно даже представить, какой была бы сегодня математика, не понеси мы этих потерь.

ГЛАВА 2. ВКЛАД МАТЕМАТИКИ И МАТЕМАТИКОВ В ПОБЕДУ НАД ГЕРМАНИЕЙ В ВЕЛИКОЙ ОТЕЧЕСТВЕННОЙ ВОЙНЕ.

Война не только бои на фронтах, как производство вооружения, боеприпасов и других изделий, необходимых для жизни и действия армии. Расход боеприпасов огромен. Только во время операций на Курской дуге было израсходовано несколько миллионов патронов для пулеметов и автомобилей и многие миллионы артиллерийских снарядов. Их нужно было не только изготовить, но и проверить качество. Проверка же порой занимает больше времени, чем изготовление. Методы проверки качества боеприпасов были предложены ещё в 19 веке простым математиком Михаилом Васильевичем Остроградским, но получили развитие и широкое применение лишь в нашем веке, особенно в период Великой Отечественной войны и после её окончания. Активное участие в этой работе принял академик Андрей Николаевич Колмогоров и его ученики.

 Война показала необходимость для обороны страны развитой науки, способность решать сложнейшие проблемы.

 Война требовала от авиации больших скоростей самолетов. Но, увы!  При освоении больших скоростей авиация столкнулась с внезапным разрушением самолетов из-за вибрации особого рода-флаттера. На определенных режимах работы моторов в конструкциях возникли самовозбуждающиеся вибрации.

Опасности подстерегали скоростные машины и на земле. При взлете или посадке самолета его колеса вдруг начинали вилять из стороны в сторону. Это явление, названное шимми, нередко вызывало катастрофы самолётов на аэродромах.

Выдающийся советский математик Мстислав Всеволодович Келдыш и возглавляемый им коллектив учёных исследовали причины флаттера и шимми. Созданная учёными математическая теория этих опасных явлений позволила авиационной науке своевременно защитить конструкции скоростных самолётов от появления таких вибраций вибраций. В результате наша авиация больше не зала случаев разрушения самолётов. Тем самым были спасены жизни многих лётчиков и боевые машины. Академик С. А. Христианович дал теоретическое решение основных закономерностей построения крыла самолёта в режиме полёта на больших скоростях. Полученные им результаты имели большое значение при расчёте прочности самолётов.

Большую помощь авиаконструкторам оказали исследования академика Н. Е. Кочина, профессора А. А. Дородницына и Н. Г. Чатаева.

Важная для ПВО задача об устойчивости формы аэростата воздушного заграждения, а также о прочности тросов заграждения была решена профессором Х.А.Рахматуллиным, им же разрабатывалась теория парашютов. [3]

Советские учёные опередили врага и в создании реактивной авиации. Первый испытательный полёт нашего реактивного истребителя был произведён в мае 1942года. Немецкий реактивный самолёт «Мессершмитт» поднялся в воздух через месяц после этого.

Все эти исследования в комплексе с достижениями учёных из других областей науки позволили А.С.Яковлеву и С.А.Лавочкину создать грозные истребители, С.В.Илюшину – неуязвимые штурмовики, А.Н.Туполеву, Н.Н.Поликарпову и В.М.Пошлякову – мощные  бомбардировщики, заметно увеличить их скорость.

Математическая теория вероятностей использовалась во время Великой Отечественной войны и для определения наилучших методов нахождения самолётов, подводных лодок противника, и для указания  путей, позволяющих избежать встречи с подлодками врага.

Возьмём задачу.

    Как лучше провести караван торговых судов по океану, в котором действуют вражеские подлодки?

Задача не из лёгких! Если составить караван из большого числа судов, то можно будет обойтись меньшим числом караванов, благодаря чему  вероятность встречи с подводными лодками противника будет меньше. Это одно. Но нельзя забывать другое. Увеличится убыток, если встреча большого каравана судов осуществится с подводными лодками противника. Вот тут и математика пришла на помощь. Она указала, какие  должны быть размеры караванов судов и та частота их отправления, чтобы потери были наименьшими.

            В апреле 1942г. коллектив математиков под руководством академика С.Н.Бернштейна разработал и вычислил таблицы для определения местонахождения судна по радиопеленгам. Таблицы ускоряли штурманские расчеты примерно в 10 раз. Штаб авиации дальнего действия, давая высокую оценку работе математиков, отметил, что ни в одной стране мира не были известны таблицы, равные этим по своей простоте и оригинальности.

     Уже в 1943году они находят широкое применение в боевой практике авиации дальнего действия. Какова их ценность? Расчеты всех дальних полётов, выполненные по этим таблицам, значительно повысили точность самолётовождения.

      Видная роль в деле обороны нашей Родины принадлежит выдающемуся математику академику А.Н.Крылову, чьи труды по теории непотопляемости и качки корабля были использованы нашими славными Военно-морскими силами. Он создал таблицы непотопляемости, в которых было рассчитано, как повлияет на корабль затопление тех или иных отсеков, какие номера отсеков нужно затопить, чтобы ликвидировать крен, и насколько это затопление может улучшить состояние корабля. Эти таблицы дали возможность спасти жизнь многих людей, сберечь большие материальные ценности.

        Идёт жесткая война. Фронт требует увеличения эффективности огня артиллерии, повышения меткости стрельбы. Важная проблема. Её успешно решает  академик А. Н. Колмогоров. По заданию Главного артиллерийского   управления он,  используя свои работы по математике  в области  теории  вероятности,  дал определение  наивыгоднейшего рассеяния  артиллерийских снарядов.

Математика помогла рассчитать, сколько нужно сделать одновременных выстрелов по самолёту противника для того, чтобы иметь наибольшую вероятность  сбить его. Научная  работа не прекращалась и в самых тяжёлых условиях жизни фронтовых и прифронтовых городов. В изнурительные дни блокады учёные Ленинграда успешно решили задачи  огромной сложности и создали капитальный  труд - Большой  астрономический  ежедневник на 1943, 1944, 1945 годы. Это исключительно важное пособие для авиации, флота и артиллерии ученые выполнили образцово. [7]

     Командование ВВС Красной Армии дало высокую оценку работе ленинградских ученых. Об условиях, в которых ученые создавали свой труд, говорит тот факт, что треть сотрудников, работающих над ним, погибла.

      В те трудные дни испытаний они считали своим долгом быть там, где этого требовали интересы защиты Отечества.

       Во время Великой Отечественной войны появилась и такая важная проблема, как обеспечение кучности боя и устойчивости снарядов при полете. Эту сложную математическую задачу успешно решил член-корреспондент Академии наук Н. Г. Четаев. Он предложил наивыгоднейшую крутизну нарезки стволов орудий, что позволило обеспечить кучность боя и устойчивость снарядов при полете, их непереворачиваемость. [7]

        В начале войны молодые ученые А. А. Космодемьянский  и Л. П. Смирнов выполнили исследования, имеющие прямое отношение к первым образцам пороховых ракет, получивших название «катюш».

        Всему миру известна «Дорога жизни» по льду Ладожского озера и ее роль в обороне Ленинграда и спасении многих ленинградцев. В создании этой дороги принимали участие профессор кафедры теории упругости М. М. Филоненко-Бородич, решивший задачу о прочности ледового покрытия.   [4]    

ГЛАВА 3. ЗНАЧЕНИЕ МАТЕМАТИКИ, КАК НАУКИ В ДЕЛЕ ОБОРОНЫ СТРАНЫ В НАСТОЯЩЕЕ ВРЕМЯ.

В годы войны подготовка боевых операций, а их было много, была сопряжена с огромным количеством расчётов, которые требовали хороших знаний по математике. Всё это было раньше. А как теперь?

На современном этапе в условиях возможной войны объём вычислительных работ станет неизмеримо больше. Теперь на вооружении  Военно-Воздушных Сил находится множество ракет различного назначения. В состав Российского флота входят новые атомные подводные лодки-ракетоносцы, оснащённые баллистическими ракетами с подводным стартом.

    Как видно оружие стало очень сложным, мощным и результативным. Поэтому неизмеримо возросла ответственность за его применение. Точность попадания ракеты в цель во многом зависит от качества выполнения необходимых математических расчетов. Это усложняет деятельность каждого командира и, в конечном счете, всю задачу управления войсками. Отсюда, чтобы умела руководить войсками, командные кадры должны иметь хорошие знания по математике, уметь широко использовать вычислительные средства.

      Теперь многие вопросы управления войсками, ракетным оружием решаются в исключительно сжатые сроки.

       В этом деле много помогают математические машины ЭВМ.

       В разработке теории вычислительных машин очень много сделали ученые математики  нашей страны.

       Большая работа проделана в этом направлении под руководством академика В. М. Глушков. [4]

       В современной армии не только командиру, но и солдату, чтобы успешно справляться со своими обязанностями, нужно владеть основами электротехники, радиотехники, хорошо знать математику.

         Новые изобретения в области науки и техники сделают оборону нашей страны столь мощной, что всякое нападение на нее станет невозможным.      

ГЛАВА 4. ЗАДАЧИ ВОЕННОЙ ТЕМАТИКИ.

«Кусочек хлеба»  (из книги Воскобойникова  «Девятьсот дней мужества»)

     Погиб при обороне Ленинграда Петр Карпушкин. А в Ленинграде  осталась его семья – жена и  три дочери, младшей 3 года. Обессиленные от голода, в пустой промерзшей квартире ждут прихода мамы. Ее слабые шаги за стеной возвращают утерянный, казалось, шанс на спасение. Анна Герасимовна торопливо делит принесенную ею осьмушку хлеба на 3 части и один кусочек подносит младшенькой – самой слабой из троих. Дочка надкусывает хлеб – на большее сил уже не хватает. Она умирает на глазах у мамы, на руках у сестренок. Это самая обычная смерть в голодном блокадном Ленинграде. Необычен поступок матери.  Казалось… умерла дочка, но остались две других. Их надо спасать. Хлеба стало больше: 1/16 часть буханки вместо 1/24. Но мать поступает иначе. Она решает сохранить надкусанный ребенком кусочек хлеба как память. Она поняла, что сила духа ее, ее детей неизмеримо важнее, чем маленький кусочек хлеба насущного.

Карпушкины выжили. А блокадный кусочек хранился в их  семье более 30 лет. Потом уже внучка Анны Герасимовны Ира Федосик, поступив в ПТУ № 13 Ленинграда,  передала эту семейную реликвию училищному музею.

Задачи о блокадной восьмушке хлеба: (тема «Действия с обыкновенными дробями» 5-6кл.)

1. Подсчитать, сколько граммов весит 1/8 часть буханки хлеба массой в 1 кг.  (125 г.)
2. Какую часть буханки составляет 1/3 от восьмушки? (1/24 часть буханки)
3. Сколько граммов приходится на 1/24 часть буханки? (Примерно 41,66 г.)
4. На сколько граммов хлеба в1/16 части содержится больше, чем в 1/24 части хлебного пайка? ( Примерно на 21 г.)

Математические задачи, связанные с Курской битвой

Группировке войск противника к югу от курского выступа нанесено решительное поражение. Стратегическая операция продолжалась 21сутки. Пространственные параметры операции: глубина- 140 км, полоса наступления по фронту -300 км. [10]

Какова площадь боевого сражения?                                                                                                                                      

S= a*b

140*300=42000(кв. км)

Ответ:42000 кв. километров - площадь боевого сражения.

1. По сводке: 8 июля 1943 года в воздушном бою участвовали 759самолетов [10]: разведывательные самолеты, пикирующие бомбардировщики, истребители. Их отношение равно 30:126:97. Сколько самолетов каждого вида было задействовано в бою?

     РЕШЕНИЕ:  а: в: с=30: 126: 97

   30х+126х+97х=759

   253х=759

   х=759: 253

   х=3

   1)30*3=90-разведывательные самолеты

   2)126*3=378-бомбардировщики

   3)97*3=291-истребители

   Ответ:90;378;291

Военно – прикладные задачи на тему «Математическая модель», (7 класс).

1. Советские войска выдвинулись 3 августа из города Курска в город Богодухов. [10] В первый день они прошли треть всего пути, во второй день- 90% пути, пройденного в первый день, а за третий день войска прошли остальные 99км. Сколько  километров прошли советские войска для обороны города Богодухов во второй день?

РЕШЕНИЕ: 1 ЭТАП. Составление математической модели.  

Пусть х км-весь путь, тогда в первый день войска прошли 1/3х км, а во второй день(0,9*1/3х) км.

 Составляем математическую модель:

1/3х + (0,9*1/3х) + 99=х

2 ЭТАП. Работа с математической моделью.

1/3х + (0.9*1/3х) + 99=х,

1/3х + 0,3х-х=-99,

1/3х + 3/10х –х=-99,

-11/30х=-99,

х=-99:(- 11/30),

х=270.

1)270*1/3=90(км)-первый день пути

2)270*0,3=81(км)-второй день пути

3 ЭТАП. Ответ на вопрос задачи.

Ответ: 81 километр прошли советские войска для обороны города Богодухов во второй день.

1. На первом складе фармацевтического завода было в два раза меньше медикаментов, чем на втором складе. После того как с первого склада вывезли 200кг медицинской продукции, а со второго склада-1000кг, на втором складе осталось на 40% медикаментов больше, чем на первом складе. Сколько медикаментов было на втором складе первоначально?

1 ЭТАП. Составление математической модели.

    Пусть на первом складе- х(кг)медикаментов, тогда на втором-2х(кг)медикаментов. На первом складе осталось(х-200)кг, а на втором(2х-1000)кг. Масса медикаментов, оставшихся на первом складе, составляет 140% от массы медикаментов, оставшихся на втором складе.

    Составляем математическую модель.

    (2х-1000)=1,4*(х-200)

    2 ЭТАП. Работа с математической моделью.

    (2х-1000)=1,4*(х-200)

    2х-1000=1,4х-280

    2х-1,4х=1000-280

    0,6х=720

    х=720:0,6

    х=1200

    1)1200(кг)-медикаментов на первом складе было первоначально

    2)1200*2=2400(кг)- медикаментов на втором складе было первоначально

    3 ЭТАП. Ответ на вопрос задачи.

    Ответ: 1200 кг - медикаментов на первом складе было первоначально;

    2400 кг- медикаментов на втором складе было первоначально.

Задачи на движение:

1. Расстояние от города Курска до Прохоровки 110 км. [10] С какой скоростью надо ехать боевой машине для обороны от немецко-фашистских войск, чтобы преодолеть это расстояние за 2 ч? За сколько времени пройдет это расстояние пехота со скоростью 2,5 км/ч?

     РЕШЕНИЕ: 1)110:2=55(км/ч)-скорость боевой машины

     2)110:2,5=44(ч)-время, за которое пройдёт пехота

     Ответ:55км/ч-скорость боевой машины; за 44ч-пройдет до Прохоровки    пехота.

1. Разведывательному кораблю (разведчику), двигавшемуся в составе эскадрильи, дано задание обследовать  район моря на 70 миль в направлении движения эскадры.  Скорость эскадрильи – 35 миль в час, скорость разведчика – 70 миль в час. Определить,  через сколько времени разведчик возвратится к эскадре.

   Решение:  1)  70 – 35= 35(км) – расстояние между кораблями через час.

                     2)  70 + 35 = 105(км/ч) – скорость сближения.

                     3)  35 : 105 = 1/3(ч) =20(мин) – необходимо на обратный путь кораблю.

                     4) 1ч +20мин = 1ч 20 мин – разведчик возвратится.

Ответ: корабль (разведчик) вернётся к эскадре через 1 час 20 минут после отбытия.                                                                                                                                                              

2. Разведчик получил приказ произвести разведку впереди эскадрильи и вернуться через 3 часа. Через какое время после оставления эскадрильи разведывательный корабль должен повернуть назад, если его скорость 60 узлов, а скорость эскадрильи  40 узлов?    

Ответ: корабль должен повернуть назад к эскадре через 2 часа 30 минут после отплытия.                                                                                                                                                                                                                                                              

1. При испытании двух двигателей было установлено, что расход бензина при работе первого двигателя составил 450 гр., а при работе второго 288 гр., причём второй двигатель работал на 3 часа меньше, расходовал бензина в час на 6 гр. меньше. Сколько граммов бензина расходует в час каждый двигатель?

           Решение:  Пусть первый двигатель расходует х гр./ч, а второй двигатель – (х – 6) гр./ч.

Расход бензина при работе первого двигателя составил 450 гр., а при работе второго 288 гр., значит, первый двигатель  проработал  450/х  ч, второй 288/(х – 6)  ч.  

Второй двигатель работал на 3 часа меньше, т.е.  450/х  -  288/(х – 6)  = 3.  

Преобразовав  это дробно – рациональное уравнение получим   3х2 - 180х +2700 = 0,

 х2 - 60х + 900 = 0,  (х – 30)2 = 0, х = 30.

 Итак, первый двигатель расходует 30 гр./ч, второй двигатель расходует 24 гр./ч.

Ответ: 30 гр./ч и 24 гр./ч.

Задачи на сплавы.

            Мне кажется, что во время войны на производстве приходилось решать задачи на сплавы.

2. Имеется кусок сплава меди с оловом общей массой 12тонн, содержащей 45% меди. Сколько чистого олова надо добавить к этому куску сплава, чтобы получившийся новый сплав содержал 40% меди?

Ответ: Надо добавить 1,5 тонны олова.

3. Имеется два куска сплава меди и цинка с процентным содержанием меди 30% и 80% соответственно. В каком отношении надо взять эти сплавы, чтобы , переплавив взятые куски вместе, получить сплав, содержащий 60% меди?

Решение: Пусть х(т)- масса первого сплава, а у(т) – масса второго сплава, тогда (х + у) (т) – масса третьего сплава.

«Расщепим» с помощью весовых концентраций эти количества на компоненты:

х = 0,3х +0,7х    у = 0,8у + 0,2у

Тогда (0,3х + 0,8у) (т) – меди в третьем сплаве.

(0,3х + 0,8у) ÷ (х + у) – концентрация меди в третьем сплаве. По условию задачи она равна 0,6.

Преобразовав уравнение, получим  3х + 8у = 6х + 6у,  т.е.  х ÷ у =2÷3

Ответ: Надо взять 2 части первого сплава и 3 части второго сплава.

4. Из 40 т руды выплавляют 20 т металла, содержащего 6% примесей. Каков процент примесей в руде?

Решение: Пусть х % - полезных веществ в руде. «Расщепим» массы руды и металла на компоненты  40 = (х/100)∙40 + ( 100-х  )/100)∙40   20 = 0,94∙20 + 0,06∙20.

По условию все полезные вещества получены из 40 тонн руды, поэтому составляем уравнение (х/100)∙40 = 0,94∙20. Решая это уравнение, получаем  х = 47.

Мы нашли, сколько процентов полезных веществ содержится в руде. Поэтому примесей там 53%.

Ответ: В руде 53% примесей.

5. Имеется сталь двух сортов с содержанием никеля 5% и 40 %. Сколько стали каждого сорта следует взять, чтобы получить после переплавки 140 т стали с содержанием никеля 30%?

Решение:  Пусть х(т) – масса первого сорта, у(т) – масса второго сорта, тогда (х + у) (т) – масса третьего сорта. По условию задачи х + у = 140.

«Расщепим» с помощью весовых концентраций массы двух первых сортов на компоненты:

  х = 0,05х + 0,95х    у = 0,4у+ 0,6у, тогда в третьем сплаве (0,05х + 0,4у) (т)- никеля в третьем сплаве.

По условию концентрация никеля в третьем сплаве равна 0,3, поэтому масса никеля в этом сплаве  140 ∙ 0,3 = 42(т).  Составим уравнение  0,05х + 0,4у = 42

Решив систему уравнений     х + у = 140. Получим   х = 40 и у = 100

                                                  0,05х + 0,4у = 42

Ответ: Надо взять 40т стали первого сорта и 100т стали второго сорта.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Со времени Победы прошло почти 65 лет. Вторая мировая война оказалась, прежде всего, войной танков, соревнования моторов, огня и брони, и от того, чья конструкторская мысль оказывалась точнее и глубже, зависел исход многих сражений. Советские математики многое сделали для восстановления и развития народного хозяйства. За годы войны, в нечеловеческих условиях, наблюдался прогресс в теоретической математике. До сих пор нет сводного труда, который бы показал, как много математики дали фронту для победы, как их исследования помогали совершенствовать оружие, которое использовали воины в боях.

 Этот пробел следует восполнить как можно быстрее, поскольку многих из тех, кто это делал, уже нет в живых, поскольку человеческая память несовершенна и многое забывается. А нам никак нельзя забывать о том, что подвиг народа в Великой Отечественной войне не ограничивается только славными делами фронтовиков, что основы победы ковались и в тылу, где руками рабочих и их разумом, руками и разумом инженеров и ученых создавалась и совершенствовалась военная техника. Нельзя нам забывать и того, что по многим параметрам к концу войны наши танки, самолеты, артиллерийские орудия стали совершеннее тех, которые противопоставлял нам враг. Нельзя забывать, что в конце войны мы вынуждены, были вплотную заняться созданием собственного атомного оружия, а для этого пришлось объединить интеллектуальные усилия физиков, химиков, технологов, математиков, металлургов и самостоятельно пройти тот путь, который уже был пройден США и их западными союзниками.  

К сожалению, и теперь положение в мире таково, что страны, а вместе с ними и математики, вынуждены уделять внимание разработке проблем обороны. Однако это не самоцель, а вынужденная необходимость. Каждый же из нас мечтает о том времени, когда человечество забудет о войнах и о подготовке к ним.

Таким образом, я считаю, что тема  моей работы очень актуальна в наши дни, особенно для моих сверстников.

     Во-первых, она приближает математику к истории моей страны, к жизни. Показывает, что это не просто сухие  цифры, это история, человеческие судьбы. Ведь от точности расчетов зависели человеческие жизни.

     Во-вторых, эта работа помогает понять, что изучение математики необходимо, она соприкасается со всеми отраслями науки. И чем бы мы в дальнейшем не занимались, что бы мы не выбрали, знания математики нам будут необходимы.

Как воздух математика нужна

Одной отваги мало.

Расчёты! Залп! И цель поражена

Могучими ударами металла.

И воину припомнилось на миг

Как школьником мечтал в часы ученья

О подвиге, о шквалах огневых,

О яростном порыве наступленья.

Но строг учитель был, и каждый раз

Он обрывал мальчишку резковато:

«Мечтать довольно! Повтори рассказ

О свойствах круга и углах квадрата!»

И воином любовь сбережена

К учителю далёкому, седому.

Как воздух математика нужна

Сегодня офицеру молодому!

СПИСОК  ЛИТЕРАТУРЫ

1)Гнеденко Б.В. Математика и оборона страны. М.: Знание. 1978.

2)Гнеденко Б. В. Математика и контроль качества продукции. М.: Знание. 1984.

3)Левшин Б.В. Советская наука в годы Великой Отечественной Войны. М.: Наука. 1983.

4)Оружие Победы.2-е изд., перераб. и доп.  М: Машиностроение. 1986.

5)Куйбышев. История моего города: учеб. Для учащихся общеобразовательных школ, гимназий, лицеев. Куйбышев: Издательство Знание. 1999.

6) Расчёты и глазомер в авиации Ш.С. Самаржаян. 1980 г.

7) Советская военная энциклопедия, том 5. 1978 г.

8) Справочник вахтенного офицера под общей редакцией А. П. Проничкина. 1963 г.

9) Занимательная геометрия Я. И. Перельман. 1958 г.

10) Курская битва: хроники факты, люди. Книга первая. М: «ОЛМА_ПРЕСС» 2003год.

11) Курская битва: хроники, факты, люди. Книга вторая. М: «ОЛМА-ПРЕСС» 2003 год

12) Курская энциклопедия. Курск. Краеведческий словарь-справочник. 1997 Курск.

ПРИЛОЖЕНИЕ 1

Комплекс математических задач на военную тематику для учащихся 8-9 классов, посредством которых решается проблема патриотического воспитания.

Задачи по теме «Решение треугольников» (9класс)

2. Подразделение в обороне занимает практически треугольный участок местности. Стороны треугольника равны соответственно 3,8 км, 1,7 км, 2,9 км. Наибольшая сторона треугольника является передним краем обороны. Определить углы между подразделениями.

1. Для определения расстояния от наблюдательного пункта А до центра опорного пункта подразделения противника В построен треугольник АВС. Длина АС=432 км, угол А=   ,

    угол С=     . Определить расстояние от Наблюдательного пункта до центра опорного пункта подразделения противника

2. Три истребителя летят клином. Между ведущим А и ведомым В

  200 метров. Между ведущим А и ведомым С 350 метров. Между

   двумя ведомыми 300 метров. Найти углы.      

3. В условиях плохой видимости с береговых маяков K и M,

    расстояние межу которыми 15 морских миль обнаружено Корабль   «Адмирал Чабаненко»- L. Определите расстояние от корабля до каждого  маяка, если определены углы LKM и LMK 30 и 45 градусов.

4. С вертолета, летящего горизонтально      и прямолинейно на высоте, определены углы А=  39     и В= 60     , обозначающие голову и хвост колонны войск противника длиной 800м, движущейся по прямолинейному участку маршрута. Определить угол D и высоту на которой летит вертолет AD.

5. В ходе ведения разведки РД№1 установил непроходимые участки местности. Для определения расстояния между пунктами А и В, разделенными непроходимым участком местности, построен треугольник АВС. Определить расстояние между пунктами А и В, если АС=2,8 км, ВС=3,9 км, угол С=

Задачи, приводящие к квадратным уравнениям.(8класс)

3.  Имеются два сплава меди с другим металлом, причём относительное содержание меди в одном из этих сплавов на 40% больше, чем во втором. Сплавляя кусок 1 сплава, содержащего 6 т. меди, с куском 2 сплава, содержащего 12 т. меди,   получили слиток, содержащий 36% меди.   Определить процентное содержание меди в каждом из первоначальных сплавов?

  Ответ: 45% в первом сплаве, а во втором – 85%.

Линейные неравенства.

4. Для выпуска военной продукции установлены станки-автоматы двух типов А и В, имеющие разную производительность. Работая совместно, три станка типа А и один станок типа В дают не более 10 т. продукции в час, а один станок типа А вместе с двумя станками типа В дают не менее 8 т. продукции в час.   Найти, сколько тонн продукции в час даёт станок каждого типа (графическим способом).

 Линейные уравнения.

5. С самолёта, находящегося на высоте большей 320 м., для партизан был сброшен груз.   За какое время груз долетит до земли?  (ускорение свободного падения принять равным 10 м/с2 )

На каком расстоянии от деревни, занятой фашистами, должны находиться партизаны, чтобы забрать груз, если средняя скорость передвижения по лесу 5,4 км/ч и немцы увидели самолет за  10 минут до сброса груза?

6. Сигнальная ракета выпущена вертикально вверх с начальной скоростью V0=30 м /с. Определить через сколько секунд после запуска ракета достигает наибольшей высоты, если высоту можно найти по формуле: h=V0t – 1/2gt2 (ускорение свободного падения считать равным 10 м/с2). Вычислить эту высоту.

Ответ: Через 3 секунды ракета достигнет наибольшей высоты 45 м.                                                                                                                                                        

ПРИЛОЖЕНИЕ 2

Совершенствование военной техники за счет математических знаний.

В период Великой Отечественной войны техника была разнообразной и сложной. Она требовала широкого использования математических расчетов для её изготовления и эксплуатации.                                                                                                                                                            

Увеличение скорости полета самолетов требовало не только повышения мощности двигателей, но  выбора оптимального профиля фюзеляжа и крыльев, а также решения многих других вопросов. Достижение блестящих результатов в совершенствовании боевых самолетов позволило  А. С. Яковлеву и С.А.Лавочкину создать грозные истребители,                           С. В. Илюшину – неуязвимые штурмовики,  А.Н. Туполеву,                                    Н. Н. Поликарпову и В. М. Петлякову – мощные бомбардировщики.

Но, овладевая большими скоростями, авиаконструкторы столкнулись с неизвестным ранее явлениями в поведении самолета. В определенных режимах работы моторов в конструкциях самопроизвольно возникало возбуждение,  причем с большой амплитудой,  и это явление (флаттер)  вело к разрушению самолета в  воздухе. Опасности подстерегали скоростные машины и на земле. При взлете и посадке самолета колеса вдруг начинали вилять из стороны в сторону. Это явление, названное шимми, нередко вызывало катастрофы самолетов на аэродромах.  Выдающийся советский математик  Мстислав Всеволодович   Келдыш и возглавляемый им коллектив ученых исследовали причины флаттера и шимми. Созданная учеными математическая теория этих опасных явлений позволила советской авиационной науке своевременно защитить конструкции скоростных самолетов от появления таких вибраций. Ученые дали рекомендации, которые требовалось учитывать при конструировании самолетов. В результате наша авиация во время войны не знала случаев разрушения самолетов по причине неточного расчета конструкций, тем самым были спасены жизни многих летчиков и боевые машин.

      Советские ученые опередили врага и в создании реактивной авиации.  

Первый испытательный полет нашего реактивного истребителя был произведен в мае 1942 г.,  немецкий реактивный «Мессершмитт» поднялся в воздух через месяц после этого.

Видная роль в деле обороны нашей страны принадлежит выдающемуся математику– академику А. Н. Крылову, чьи труды по теории непотопляемости  и качки корабля были использованы нашими Военно – Морскими силами. Он создал  таблицу непотопляемости, по которой можно было рассчитать, как повлияет на корабль затопление тех или других отсеков, какие номера отсеков нужно затопить, чтобы ликвидировать крен и насколько это затопление может улучшить устойчивость корабля.  Использование этих таблиц спасло жизнь многих людей, помогло сберечь огромные материальные ценности.

ПРИЛОЖЕНИЕ 3

Теория стрельбы.

Традиционная область деятельности ученых нашей страны — исследование артиллерийских систем.

1. Проблемы пристрелки, разработанные еще в XIX веке, в связи с появлением новых типов артиллерии потребовали в период Великой Отечественной войны дополнительных исследований и составления таблиц.                                                                                                                                                                              

    а) Стрельба с самолета по самолету и по наземным целям также привела к математическим задачам, которые нужно было срочно решить. Ими занимались как специалисты в области  артиллерии, так и математики. Проблемы бомбометания привели к необходимости составления таблиц, позволяющих находить оптимальное время для сброса бомб на цель, а также область,  которую накроет бомбовой удар. Такие таблицы были составлены еще до начала  войны, но для  самолетов, обладающих большими скоростями. Во время войны были созданы специальные

полки ночных тихоходных бомбардировщиков, но для них не было таблиц бомбометания.  

     На кафедре теории вероятностей МГУ были рассчитаны таблицы бомбометания с малых  высот при малых скоростях самолета. Они оказали несомненную помощь нашим летчикам и  летчицам.

б) В апреле 1942 г коллектив математиков под руководством основателя конструктивно теории функции действительного переменного и первого аксиоматика теории вероятностей академика С. Н. Бернштейна разработал  и вычислил таблицы для определения местонахождения судна по радиопеленгам. Таблицы ускоряли штурманские расчеты примерно в 10 раз.

     В 1943 г были подготовлены штурманские таблицы, которые  нашли широкое применение в боевых действиях дальней авиации, значительно повысили точность самолетовождения. Штаб авиации дальнего действия, дал высокую оценку работе математиков, отметив, что ни в одной стране мира не были известны таблицы, равные этим по простоте и оригинальности.

2. В результате решения сложной математической задачи член – корреспондент АН ССС Н. Г. Четаев определил наивыгоднейшую крутизну нарезки стволов орудия. Это обеспечивало максимальную кучность боя  непереворачиваемость снаряда при полете.
3. Один из крупнейших наших математиков, академик А.Н. Колмогоров, используя свои работы по теории вероятности, разработал теорию наивыгоднейшего рассеивания артиллерийских снарядов. Он  нашел полное решение этой задачи и довел его до практического использования. Полученные им результаты помогли повысить меткость стрельбы и тем самым увеличить эффектность действия артиллерии, которую заслуженно называли богом войны.

ПРИЛОЖЕНИЕ 4

        Статистический контроль в военном производстве.

Имеется еще один аспект работы советских математиков на помощь фронту, о котором нельзя не вспомнить— это работа по организации производственного процесса, направленная на повышение производительности труда и на улучшение качества продукции. Здесь было  огромное число проблем, которые нуждались в математических методах и в усилиях математиков. Я рассмотрю только одну проблему – контроль качества продукции и управления качеством в процессе производства.  

Эта проблема со всей остротой возникла перед промышленностью уже в первые дни войны, поскольку прошла массовая мобилизация и квалифицированные рабочие стали солдатами. Им на смену пришли женщины и подростки без квалификации и рабочего опыта.

Рассмотрим лишь один пример, имевший место на приборостроительном заводе в Свердловске. Здесь изготовлялись очень важные  приборы для авиации и артиллерии. У станков были  только подростки 13 — 15 лет. Многие детали, которые они выпускали, выходили за пределы допуска и поэтому не использовались для сборки. Тогда все детали разбили на 6 групп по размерам, которые уже было бы возможно сопрягать между собой.  Исследования показали, что так собранные приборы оказались вполне пригодными для дела и   удовлетворили  потребности на месяц вперед.

 Они обладали одним  недостатком: если какая-либо деталь выходила из строя, то ее можно было заменять лишь деталью той же группы, из деталей которой собран прибор. Но в ту пору и для тех целей, для которых были предназначены приборы, можно было обойтись заменой приборов, а не деталей. Мастерам удалось успешно использовать завалы испорченных подростками деталей.

Задача контроля качества изготовленной продукции состоит в следующем. Пусть изготовлено N изделий, они должны удовлетворять некоторым требованиям. Скажем, снаряды должны быть определенного диаметра, не выходящего за пределы отрезка [D1, D2], иначе они будут непригодны для стрельбы. Они должны обладать определенной кучностью при стрельбе, иначе будут затруднения при стрельбе по цели. И если с первой задачей справиться легко — нужно замерить диаметры изготовленных снарядов и отобрать те из них, которые не удовлетворяют требованиям, то с другим требованием положение значительно сложнее. Действительно, чтобы проверить кучность стрельбы, необходимо провести стрельбы. А что же останется после испытаний?  Испытания нужно произвести так, чтобы подавляющая часть продукции осталась пригодной для дальнейшего использования.  Была поставлена задача – как по испытанию малой части изделий научиться судить о качестве всей партии. Методы, которые были для этой цели предложены, получили название статистических. Их теория берет свое начало с одной работы 1848 года академика М.В. Остроградского. Позднее этой задачей занимались профессор В. И. Романовский (1879 — 1954) в Ташкенте и его ученики. Во время войны их совершенствованием занялся А.Н. Колмогоров и его ученики.

Задача, о которой только что было рассказано, обладает одним дефектом в самой ее постановке: партия продукции уже изготовлена и нужно выяснить,  можно ее принять или же следует ее отвергнуть?                                                                                                                                                           Но  зачем  изготовлять партию, чтобы ее затем браковать?  Возникла проблема, как организовать производственный процесс, чтобы уже при изготовлении поставить заслон для изготовления некачественной продукции?  Такие методы были предложены и получили название статистических методов текущего контроля. Время от времени со станка берутся несколько (скажем, пять) только что наготовленных изделий и замеряются параметры их качества. Если все эти параметры находятся в допустимых пределах, то производственный процесс продолжается, если же хотя бы одно изделие выходит за пределы допуска, то подается сигнал о необходимой переналадке станка или о смене режущего инструмента. Какое отклонение параметра от номинала допустимо, чтобы вся партия была изготовлена качественно?  

Это требует специальных расчетов.

      После окончания войны выяснилось, что результаты  работы советских математиков и  инженеров принесли за годы войны стране миллиардную экономию.

ПРИЛОЖЕНИЕ 5

Военно-прикладные задачи по математике для внеклассной работы

(5-7класс)

КОНКУРС ЗАДАЧ

1.   Разведчики, двигаясь вдоль реки, обнаружили две огневые точки  противника: одну у моста, другую – на опушке леса. Где могут находиться наблюдатели, чтобы быть на одинаковых расстояниях от обеих вражеских огневых точек?

 2.   12 солдат одновременно были доставлены в пункт назначения, в 20 км. от их места расположения, при помощи маленького автомобиля, вмещающего 4 солдат и двигающегося со скоростью 20 км/ч. Скорость движения солдат 4 км/ч. Шофер автомобиля  хорошо знал математику и данное ему задание легко выполнил. Как?

3.  Бойцам надо переправиться  через  реку. Есть  лодка, вмещающая 2 мальчиков или одного бойца. Как им переправиться через реку? Бойцов 5 человек.

4.  Гонец из точки "С" должен по возможности скорее  добраться до дороги SA, (чтобы с попутной машиной передать донесение), но сначала нужно напоить коня   в реке SB. Как он должен ехать?

5.  Шесть дивизий на параде войск надо расположить в виде шестиугольной  звезды так, чтобы каждая соприкасалась с четырьмя другими. Как это построить?

6.  В "Памятнике", составленном из 12 спичек, переложить 5 спичек так, чтобы получилось 3 квадрата. (рис.1.)

7.  Переложить у 12-конечной звезды 4 конца так, чтобы  получился 4-конечный георгиевский крест. (рис.2.)

8.  Двум воинским частям, расположенным на одном берегу реки на разных от нее расстояниях, нужно срочно од ним мостом переправиться на другой берег. Где следует построить временный мост, чтобы он был на одинаковом расстоянии от воинских частей?

               РЕШЕНИЯ И ОТВЕТЫ К КОНКУРСНЫМ ЗАДАЧАМ.

1.              

1.  Шофер берет 4 солдат, и везет их часть пути, затем возвращается назад, берет 2-ую  группу  из  4  солдат, провозит их на часть пути, дальше они идут снова пешком. Водитель возвращается в третий раз, забирает 4-х и других идущих пешком из последней группы и везет их до пункта назначения. 1 и 2-я группа одновременно туда подходят.

3. Сначала переправились оба мальчика. Один из них остался на  берегу, а другой пригнал лодку назад. Затем переправился через реку 1 боец,  а находившийся на том берегу мальчик, пригнал лодку обратно, взял другого мальчика и они оба переправились через  реку. Обратно вернулся только один мальчик и вышел на берег, а через реку переправился второй боец. Так переправа продолжалась до тех пор, пока все бойцы не оказались на другом берегу.

                                                      .                                  

Для самостоятельной работы

З А Д А Ч И

                 КОГДА БЫЛА ВОЙНА

В то время в городах, близких к фронту, приходилось делать  светомаскировку. Как-то  в одной из квартир, когда пришла пора затемнить окна, не нашли шторы для квадратного окна размером 120 х  120  см2.  Под рукой ничего  не оказалось, кроме прямоугольного листа фанеры, площадь которого равнялась площади окна,  но размеры были не те:

 90 х 160 см2. Сначала все  как-то  даже  растерялись, но прошло немного времени и Вася, вооружившись линейкой,  начал быстро расчерчивать прямоугольный  лист фанеры. По этим линиям он разрезал лист только на 2 части, из них составил квадратный щит нужного размера и закрыл окна. Как это сделал Вася?

    Ответ:

КУДА ПРИШЕЛ СЕРЖАНТ?  (8-9 кл.)

     Выполняя приказ командира, сержант вышел из населенного  пункта  и по азимуту 330 гр. Дойдя до кургана, он пошел по азимуту 30 гр. и дошел до отдельно стоящего дерева.  Отсюда он повернул на право,  на  60  гр. Дойдя по этому направлению до моста, сержант пошел берегом реки по азимуту 150 гр.  Выйдя через полчаса к мельнице, сержант  опять  изменил направление. Теперь  он  пошел  по азимуту 210 гр., ориентируясь на дом мельника. Придя к дому мельника, он еще раз свернул на право и, идя по азимуту 270 гр.,  вышел точно на заданное место. Пользуясь транспортиром, аккуратно постройте в своей тетради весь маршрут сержанта и  определите, куда пришел  сержант, если  известно, что по каждому азимуту он проходил 2.5 км?

            Ответ:  Солдат пришел в тот же пункт, откуда начал движение.

    В  КОТОРОМ ЧАСУ НАЧАЛОСЬ И КОНЧИЛОСЬ СОВЕЩАНИЕ?

     Совещание военного совета началось между 6 и 7 часами  вечера,  а окончилось между 9 и 10 часами вечера. Определить точно, в котором часу началось и окончилось совещание,  если минутная и часовая  стрелка  за время совещания поменялись местами

                                        Ответ:          

    ПЕРЕПРАВА ЧЕРЕЗ РЕКУ.

     Небольшой воинский отряд подошел к реке, через которую надо переправиться. Мост сломан, а река глубока. Как быть? Вдруг офицер замечает у берега двух мальчиков, забавляющихся в лодке.  Но  лодка  так  мала, что на  ней  может переправиться только один солдат или только двое мальчиков - не больше!  Однако все солдаты  переправились  через  реку именно в этой лодке.

     Каким образом?

     Решайте эту  задачу "в уме" или практически - используя шашки или что-то в этом роде, передвигая их по столу через воображаемую реку.

     Ответ: Мальчики переехали реку.  Один остался на берегу, а другой             пригнал лодку солдатам и вылез.  В лодку сел солдат, переправился на другой берег. Мальчик, остававшийся там, пригнал лодку обратно и взял своего товарища, отвез его на другой берег и снова доставил лодку обратно.            После чего вылез, в нее сел 2-ой солдат и переправился. Таким образом, после каждых двух перегонов лодки через реку и обратно  переправлялся  один  солдат. Так   повторялось столько раз, сколько человек было в отряде.

ЗАЩИТА КРЕПОСТИ

    Снежную крепость  защищает  отважный гарнизон.  Ребята отразили 5 штурмов, но не сдались.  В начале игры гарнизон состоял из 40  человек. "Комендант" снежной  крепости  первоначально  расставил силы по схеме, См. рис.Противник видел, что каждую из 4 сторон крепости защищают 11  человек. По условию игры при 1-ом, 2-ом, 3-ем, 4-ом штурмах гарнизон терял" каждый раз по 4 человека.  В последний, 5-ий штурм "неприятель" своими снежками вывел из строя еще 2-х человек. И все же, несмотря  на  потери, после  каждого штурма любую из сторон снежной крепости продолжало защищать по 11 человек.  Как  "комендант"  снежной крепости расставлял силы своего гарнизона после каждого штурма?

     Ответ: После 1-го штурма осталось 36 человек.

                 После 2-го штурма осталось 32 человека.