Софизмы

Слайд 1

Слайд 2

Содержание работы Введение История софизма Математические софизмы : арифметические , алгебраические, геометрические -логические

Слайд 3

Наверняка, каждый человек хоть раз в жизни слышал подобную фразу: «Дважды два равно пяти» или хотя бы: «Два равно трем». На самом деле, таких примеров можно привести очень много, но что все они обозначают? Кто их выдумал? И чем полезны софизмы для изучающих математику? Что они могут дать??? Именно эти вопросы мы хотим рассмотреть в своей работе. Хотя софизмы бывают и логические, и словесные, но мы выбрали именно математические, так как с математическими софизмами мы встречаемся чаще чем с обычными. Они, как нам кажется, более интересны и имеют четкое логическое объяснение. Введение

Слайд 4

– слово греческого происхождения, в переводе означающее хитроумную выдумку, ухищрение, головоломку или рассуждение, обосновывающее какую-нибудь заведомую нелепость, абсурд или парадоксальное утверждение, противоречащее общепринятым представлениям. Каким бы ни был софизм, он всегда содержит одну или несколько замаскированных ошибок. Систематический анализ софизмов был дан впервые Аристотелем (384-322 до н. э.) в особом трактате, в котором все ошибки разделяются на два класса: "неправильности речи" и ошибки "вне речи", т.е. в мышлении. История софизма Софизм

Слайд 5

Математические софизмы Это удивительное утверждение, в доказательстве которого кроются незаметные, а подчас и довольно тонкие ошибки. Математические софизмы приучают внимательно и настороженно продвигаться вперед, тщательно следить за точностью формулировок, правильностью записи чертежей, за законностью математических операций. Очень часто понимание ошибок в софизме ведет к пониманию математики в целом , помогает развивать логику и навыки правильного мышления. Если нашел ошибку в софизме, значит, ты ее осознал, а осознание ошибки предупреждает от ее повторения в дальнейших математических рассуждениях. Софизмы не приносят пользы, если их не понимать.

Слайд 6

Математические софизмы Арифметические Алгебраические Геометрические Логические Далее приведем некоторые софизмы, которые были предложены учащимся для нахождения ошибок в рассуждениях.

Слайд 7

1.Дважды два - пять! Имеем числовое равенство (верное): 4:4= 5:5 . Вынесем за скобки в каждой части его общий множитель. Получим: 4(1:1)=5(1:1). Числа в скобках равны, поэтому 4=5, или 2*2=5. Найдите ошибку в рассуждениях. 4р.=40 000 к.! Возьмем верное равенство: 2р.=200к. И возведем его по частям в квадрат. Мы получим: 4р.=40 000 к. В чем ошибка? Арифметические софизмы « Если А больше В, то А всегда больше, чем 2В» Возьмем два произвольных положительных числа А и В, такие, что А>В. Умножив это неравенство на В, получим новое неравенство АВ>В*В, а отняв от обеих его частей А*А, получим неравенство АВ-А*А>В*В-А*А, которое равносильно следующему: А(В-А)>(В+А)(В-А). (1) После деления обеих частей неравенства (1) на В-А получим, что А>В+А (2), А прибавив к этому неравенству почленно исходное неравенство А>В, имеем 2А>2В+А, откуда А>2В. Итак, если А>В, то А>2В. Это означает, к примеру, что из неравенства 6>5следует, что 6>10.Где ошибка???

Слайд 8

«Дважды два - пять» Напишем тождество 4:4=5:5. Вынесем из каждой части тождества общие множители за скобки, получаем: 4(1:1)=5(1:1) или 2*2=5 Так как 1:1=1 , то сократим и получим Где ошибка?

Слайд 9

проверим Разбор софизма . Ошибка сделана при вынесении общих множителей 4 из левой части и 5 из правой. Действительно, 4:4=1:1, но 4:4≠4(1:1).

Слайд 10

5=6 35+10-45=42+12-54 Выносим за скобки общий множитель 5(7+2-9)=6(7+2-9) Делим на общий множитель (7+2-9) 5=6

Слайд 11

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО 5(7+2-9)=6(7+2-9) 7+2-9=0 (5*0)/0=(6*0)/0 Деление на 0 невозможно

Слайд 12

. Алгебраические софизмы 1. Все числа равны между собой. Пусть m n . Возьмем тождество: m 2 -2mn+n 2 =n 2 -2mn+m 2 . Имеем: ( m-n ) 2 = ( n-m ) 2 . Отсюда m-n = n-m , или 2 m = 2 n , а значит, m = n . В чем ошибка? 3. « Спичка вдвое длиннее телеграфного столба» Пусть а дм- длина спички и b дм - длина столба. Разность между b и a обозначим через c . Имеем b - a = c, b = a + c. Перемножаем два эти равенства по частям,находим: b2 - ab = ca + c2. Вычтем из обеих частей bc. Получим: b2- ab -bc = ca + c2 - bc, или b(b - a - c) = - c(b - a - c), откуда b = - c, но c = b - a, поэтому b = a - b, или a = 2b. Где ошибка??? 2. Любое число равно его половине . Возьмем два равных числа a и b, a=b. Обе части равенства умножим на a и затем вычтем из произведений по b 2 . Получим : a 2 -b 2 =ab-b 2 , или (a+b)(a-b)=b(a-b). Отсюда a+b=b, или a+a=a, так как b=a. Значит , 2a=a, или a=1/2a. Какая ошибка допущена в этих рассуждениях?

Слайд 13

Любое число a равно меньшему числу b Начнём с равенства: a=b + c Умножим обе его части на a-b, получим: a²-ab = ab+ac-b²-bc Перенесём ac в левую часть: a²-ab-ac = ab-b²-bc и разложим на множители . a(a-b-c)=b(a-b-c) Разделив обе части равенства на a-b-c, найдём a=b что требовалось доказать. Найдите ошибку в доказательстве. Подсказка: Посмотрите внимательно на доказательство. Можно ли было делить обе части равенства на (a-b-c) Делить обе части на (a-b-c) нельзя, так как по определению a=b+c , следовательно ( a-b-c )=0, а на ноль делить нельзя.

Слайд 14

Геометрические софизмы Задача о треугольнике Дан прямоугольный треугольник 13×5 клеток, составленный из 4 частей. После перестановки частей при визуальном сохранении изначальных пропорций появляется дополнительная, не занятая ни одной частью, клетка. Откуда она берется ?

Слайд 15

Геометрические софизмы Задача о треугольнике Посмотри внимательно на чертежи Совпадают ли гипотенузы больших треугольников? Ошибка станет хорошо видна, если провести точное построение. На самом деле новая фигура не является треугольником. Это ломаный четырехугольник. Утверждение легко проверить вычислениями.

Слайд 16

Геометрические софизмы 1 . Попытаемся "доказать", что через точку, лежащую вне прямой, к этой прямой можно провести два перпендикуляра . С этой целью возьмем треугольник АВС. На сторонах АВ и ВС этого треугольника, как на диаметрах, построим полуокружности. Пусть эти полуокружности пересекаются со стороной АС в точках Е и Д. Соединим точки Е и Д прямыми с точкой В. Угол АЕВ прямой, как вписанный, опирающийся на диаметр; угол ВДС также прямой. Следовательно, ВЕ перпендикулярна АС и ВД перпендикулярна АС. Через точку В проходят два перпендикуляра к прямой АС. В чем ошибка?

Слайд 17

2. Софизм равенства катета гипотенузе, или все треугольники равносторонние Рассмотрим произвольный треугольник ABC. Проведем биссектрису угла B и серединный перпендикуляр к стороне AC; точку их пересечения назовем O. Опустим из нее перпендикуляры EO и OF на стороны AB и BC соответственно. Т.к. DO одновременно и высота и медиана треугольника AOC, то он равнобедренный и AO = OC. Т.к. BO - биссектриса, то, из равенства треугольников EBO и OBF (откуда EB = BF), EO = OF. Следовательно, треугольник AEO равен треугольнику FCO, т.е. AE = FC. Отсюда, т.к. AB = AE + EB и BC = BF + FC, AB = BC. Проведя такое же рассуждение для основания не AC, а, например, AB, получим, что BC = CA. Из этого следует, что все треугольники на свете - равносторонние. В частном случае, если треугольник прямоугольный, то катеты равны гипотенузе.

Слайд 18

Задача Некто взялся доказать , что 3 раза по 2 будет не 6, а 4. Выполняя странную затею , он взял в руки обыкновенную спичку и попросил присутствующих внимательно следить за ходом его мысли. -Переломив спичку пополам,- заявил странный математик,- будем иметь один раз 2. Проделав то же самое над одной из половинок, будем иметь второй раз 2 . Наконец , проделав эту же операцию над второй из половинок, получим третий раз 2. Итак , беря три раза по два, мы получили четыре, а не шесть, как принято обычо думать. Укажите заблуждающемуся на его ошибку.

Слайд 19

«Полупустое и полуполное» «Полупустое есть то же, что и полу полное. Если равны половины, значит, равны и целые. Следовательно, пустое есть то же, что и полное».

Слайд 20

Разбор софизма . Ясно, что приведенное рассуждение неверно, так как в нем применяется неправомерное действие: увеличение вдвое. В данной ситуации его применение бессмысленно . проверим

Слайд 21

Ахиллес и черепаха движутся по прямой в одну и ту же сторону, черепаха находится на расстоянии 1000 метров впереди Ахиллеса. Ахиллес бежит в 10 раз быстрее, чем ползёт черепаха. Ахиллес никогда не догонит черепаху. «Парадокс Зенона об Ахиллесе и черепахе».

Слайд 22

Ахиллес никогда не догонит черепаху, ведь пока он пробежит 1000 метров до того места, где находилась черепаха, та уже отползёт на 100 метров вперёд. Когда же Ахиллес пробежит и эти 100 метров, черепаха отползёт ещё немного дальше. Это будет продолжаться бесконечно: каждый раз, когда Ахиллес бежит до места, где была черепаха, она уже отползёт на некоторое расстояние. «Доказательство»

Слайд 23

Другие софизмы «Лекарство, принимаемое больным, есть добро. Чем больше делать добра, тем лучше. Значит, лекарств нужно принимать как можно больше». *** «Что ты не терял, то имеешь. Рога ты не терял. Значит, у тебя рога». *** — Знаешь ли ты то, о чём я хочу тебя спросить? — Нет. — Знаешь ли ты, что добродетель есть добро? — Знаю. — Об этом я и хотел тебя спросить. А ты, выходит, не знаешь то, что знаешь. *** «Вор не желает приобрести ничего дурного. Приобретение хорошего есть дело хорошее. Следовательно, вор желает хорошего». *** «Если два сапога - пара, то дважды два сапога - это две пары, а не четыре. Значит, дважды два не четыре».

Слайд 24

Заключение… Итак чем же полезны софизмы для изучающих математику? Разбор софизмов прежде всего развивает логическое мышление, т.е. прививает навыки правильного мышления. Обнаружить ошибку в софизме - это значит осознать ее, а осознание ошибки предупреждает от повторения ее в других математических рассуждениях. Помните, что важно добиться отчетливого понимания ошибок, иначе софизмы будут бесполезны. Учащиеся мало знают софизмов, поэтому нужно чаще использовать софизмы на уроках , ведь это увлекательное дело приносит пользу. В заключение хочется сказать, что мы считаем работу интересной и постараемся своей работой привлечь еще больше желающих среди учеников.