Загадка русских саженей

Окружной конкурс

проектно-исследовательских  и  реферативных работ

школьников по математике

Загадка русских саженей

ГБОУ СОШ №629  ЮАО

117405 Варшавское шоссе д. 156Б

тел./факс: (495)386-12-59

E-mail: sch629@sinergi.ru.

 Автор Осмоловская Дарья Анатольевна,

учащаяся 8 "Б" класса

8 495 389 31 23.

Руководитель  учитель математики

Щелконогова Ольга Юрьевна

8 495 389 67 53

E-mail: Olja020355@yandex.ru

2013г

Оглавление

1.Введение.                                                            3стр

2.Академик Б. А. Рыбаков  о  метрике русской
архитектуры средних веков                                      4стр 

3. Анализ древнерусских мер  по ШевелевуИ.Ш.  8стр

4.Исследование системы русских
саженей более позднего периода А. Пилецким.         10стр

5.Заключение.                                                       14стр

6.Библиография.                                                   17стр

Введение

Искусство — завуалированнаяалгебра, отнимающая жизнь у тех, кто
стремится приподнять ее покрывало.

Б у р д е л ь

Долгое время считали, что зодчие Древней Руси
строили все «на глазок», без особых математических
расчетов. Однако новейшие исследования показали, что
русские архитекторы хорошо знали математические
пропорции, о чем свидетельствует анализ геометрии
древних храмов. Для соблюдения этих пропорций, со-
здания соразмерных, гармоничных композиций необхо-
димы определенные меры длины.

Основной строительной единицей длины Древней
Руси была сажень. Слово «сажень» происходит от слова
«досягать» и определяется досяганием рук человека.
Казалось бы, должен существовать один эталон длины,
одна сажень и ее производные, части сажени: локти,
вершки, пяди и т. д. Однако известно, что на Руси было
несколько саженей, значительно отличающихся по раз-
мерам. Расстояние от земли до конца пальцев вытяну-
той вверх руки человека среднего роста определяло
размер «большой сажени», равный 216 см. Расстояние
между концами пальцев простертых в стороны рук опре-
деляло размер мерной, или маховой, сажени, равной около 176 см. Расстояние от конца пальцев простертой
руки до земли, равное двум шагам, или 5/6 роста чело-
века, называли прямой саженью. Указанные сажени
определялись пропорциями тела человека. Но число
саженей было больше.

Эти данные поразили меня и заинтересовали.

Целью моей проектной работы стало:

-исследование системы русских мер, её значимости в становлении и развитии русского зодчества и архитектуры.

В ходе выполнения работы были поставлены задачи:

-изучить и проанализировать исторические материалы, литературу по теме;

-расширить свои представления об истории математики и  русского зодчества;

-приготовить презентацию;

Академик Б. А. Рыбаков  о  метрике русской
архитектуры средних веков

     Б.А.Рыбаков с 1949 года изучал метрику русской
архитектуры средних веков, пытался обосновать мате-
матически существовавшие в те времена системы мер,
используемые при создании архитектурных сооружений.
По его мнению, в Древней Руси в период с XI по
XVII в. существовало семь видов саженей, применявшихся одновременно:

Простая, или прямая...... 152,76 см;

Мерная, или маховая...... 176,4 см;

Морская........... 183 см;

Трубная........... 187 см;

Сажень без четы........ 197,2 см;

Косая, казенная........ 216 см;

Великая, косая......... 249,46 см.

Во многих случаях измерение одного и того же храма производилось одновременноразными видами саже-
ней. Очевидно, это не было случайностью, а продиктова-
но какой-то идеей зодчего. Оказалось, что длины
саженей взаимосвязаны определенными геометрически-
ми соотношениями. Так прямая сажень относится к «ко-
сой» сажени как сторона квадрата к его диагонали
(216=152,7-√2) (откуда и название — косая). Такое
же соотношение существует между мерной и великой
саженями: 176,4•√2=249,4. Сажень без четы оказа-
лась искусственно созданной мерой, которая является
диагональю половины квадрата, сторона которого равна
мерной сажени.

Таким образом, наличие в Древней Руси нескольких
различных мер длины не является игрой случайности,
итогом принципа: «у каждого зодчего своя сажень», а
строго продуманным, математически обоснованным
принципом создания системы мер длины. Оказалось, что
одновременное употребление разных мер длины при по-
стройке даже одного здания было характерно не только
для русских архитекторов, оно применялось и народами
других стран. Так, В. Л. Ворониной установлен тот же
принцип геометрической соподчиненности различных
мер длины на примере архитектуры Средней Азии.

Графическим выражением двух систем мер длиныДревней Руси (одной, основанной на простой сажени, и
другой, основанной на мерной сажени) являются, по
мнению Б. А. Рыбакова, хорошо известные «вавилоны»,
которые представляют собой систему вписанных квад-
ратов и прямоугольников. Наименование «вавилоны»
взято из русских источников XVII века и является отра-
жением схематического изображения в плане знамени-
того храма-зиккурата — Вавилонской башни.

Для построения мерного «вавилона» Б.А.Рыбаков
в качестве основы берет мерную сажень, равную
176,4 см (по разным источникам ее величина колеблется
между 176,0 и 176,8 см).

                                                   Рис. 1

На основе этой сажени строится квадрат, а затем и прямоугольный «вавилон»,длинная сторона которого равна мерной сажени, а ко-
роткая — 2/3 от нее.

Из полученной таким образом геометрической фигу-
рыБ.А.Рыбаков «вывел» все виды древнерусских са-
женей (рис. 1). Великая сажень — диагональ квадра-
та, сажень без чети — диагональ половины квадрата,
мерная сажень — сторона квадрата, косая сажень —
диагональ прямоугольного «вавилона», прямая са-
жень — диагональ короткой половины «вавилона», труб-
ная сажень — диагональ длинной половины «вавилона»
и так далее. Все сажени оказываются связанными
в удивительно простую и стройную геометрическую си-
стему, содержащую систему мер Древней Руси. Оказа-
лось, что из построений «вавилона» вытекают не только
сажени, но и другие меры длины. Так, отрезки БТ и
ЕЖ на рисунке отвечают локтю (44,1 сантиметра) и
равны 1/4 мерной сажени. Отрезки ГФ и ШЗ равны
1/2 локтя «смоленского» и равны 1/8 великой сажени.

Совокупность русских саженей можно построить и
по несколько другому принципу — по системе диагона-
лей. В основе такого построения лежит квадрат со сто-
роной, равной 1/2 мерной сажени. Диагональ его будет
равна половине великой сажени. Отложив диагональ на
продолжении стороны квадрата, получим прямоугольник
со сторонами а и а√2. Диагональ его будет равна
а√3 = прямой сажени. Продолжив построение по это-
му принципу, мы получим последовательно:

а√3 = 152,76 — прямая сажень;

а√4 = 176,4 — мерная сажень;

а√5 = 197,21 — сажень без чети;

а√6 = 216,04 — косая сажень;

а√8=249,46—великаясажень.
Этоуже было
в Древнем Египте. Действительно, «система диагона-
лей» в нахождении гармонических пропорций была из-
вестна еще в период строительства пирамид, три тыся-
челетия до творений русских зодчих. Что это? Порази-
тельный факт преемственности знаний, истоки которых
зародились в Древнем Египте, затем распространялись
в Грецию, Рим, Византию, Европу и Древнюю Русь?!
Или это проявление единства законов познания, зако-
нов художественного творчества, идущих в своей есте

ственной эволюции от простого к сложному, от целых
чисел к иррациональным, от отдельных фактов и твор-
ческих находок к их стройной системе?!

Б.А.Рыбаков впервые представил древнерусские
меры длины как единую систему. В этой системе рус-
ских мер господствующей является идея квадрата, со-
отношение 1:√2, и всю систему русских саженей мож-
но рассматривать как своеобразную «вариацию на тему
квадрата». Сопряженность русских мер была основой
создания гармонических пропорций архитектурных со-
оружений, она и сохранила всю совокупность этих мер
длины как единую метрологическую систему Древней
Руси, в основу которой положены пропорции человече-
ского тела.

Анализируя геометрию «вавилона», Б. А. Рыбаков
нашел здесь около десятка отношений, очень близких
к золотой пропорции.

Интересно еще одно построение, выполненное
Б. А. Рыбаковым. Если в «вавилоне» со стороной
в 176,4 см мы продолжим стороны среднего по величине
вписанного прямоугольника до пересечения их со сторо-
нами наибольшего прямоугольника, то получим по уг-
лам четыре маленьких прямоугольника со сторонами
25,835 см и 18,265 см, что соответствует распространен-
ному в XII веке формату русского кирпича. Так, в Ус-
пенской церкви Елецкого монастыря в Чернигове основ-
ными размерами кирпича являются; 26×18,5×5 см и
25 × 18 × 4,5 см.

Можно лишь удивляться столь геометрически краси-
вой, продуманной и удобной системе мер, отраженной
в «вавилоне». Недаром Б. А. Рыбаков назвал «вавилон»
логарифмической линейкой зодчих Древней Руси.

Анализ древнерусских мер

по Шевелеву И.Ш.

И.Ш.Шевелев продолжил анализ древнерусских
мер и предложил свою систему их построения. По его
данным, сажень в 197,2 см, не имевшая собственной
пары, была окрещена саженью без пары, без чети, а со
временем — в сажень без чети. Ее считали искусственно
созданной мерой, диагональю половины квадрата, сто-
рона которого равна мерной сажени. Это значит, что
сажень без чети связана с мерной саженью как 2 и√5  (Рис. 2), то есть как диагональ квадрата в прямоугольнике
два квадрата. Морская сажень — искаженное слово за-
морская. Ее длина 183 см связана с длиной римской
меры пасс (148 см) в пропорции (√5—1):1. Пропор-
ция церкви Покрова на Нерли осуществлена связью
2:√5, применением сажени без чети и мерной. Про-
порции шатровых храмов в селе Красном близ Кост-
ромы и в Коломенском построены на ос-
нове пропорции 1:(√5—1), применением малой и мер-
ной саженей.

Далее Шевелев показал, что малая сажень в 142,7 см
связана с мерной саженью, как 1 и (√5—1). Получи-
лось, что непарные сажени Руси — без чети и малая —
оказались парными к мерной сажени в 176,4 см —
основной мере Древней Руси, равной росту человека
или размаху рук. И. Ш. Шевелев свел все эти построе-
ния в наглядный рисунок (рис. 2), на котором изобра-
жен прямоугольник со сторонами 1:2, вписанный в
полукруг. Полученные величины отрезков отвечают рус-
ским саженям, золотой пропорции, пропорциям Парфе-
нона, циркулям античности. Наличие нескольких саже-
ней на Руси получило убедительное объяснение: они
были необходимы для обеспечения определенной про-
порциональности в архитектуре.

Таким образом, строительные меры Древней Руси
выбирались совершенно не случайно, они взаимосвязаны-            

  Рис.2

в стройную, логически осмысленную систему.
Основой этой системы являются пропорции тела сред-
него человека, а развитием системы — геометрические
пропорции квадрата и прямоугольника, равного двум
квадратам. На основании сведений, полученных раз-
личными авторами, И. Ш. Шевелев определил простую
и наглядную взаимосвязь русских саженей, их геомет-
рическую сопряженность, основанную на соотношениях
в квадрате и «двух квадратах». По его мнению, все
русские сажени образуют пары, связанные отношения-
ми 1:√2; 1:(√5—1) и 2:√5.

Получилась стройная система парных мер, причем в
каждой паре присутствует либо мерная, либо большая
сажень, отвечающие размерам тела человека. Система
парных мер облегчала соблюдение гармонических про-
порций, организацию самого строительства. Нетрудно
заметить, что отношение в парных мерах 1:(√5—1)
равно половине золотой пропорции. Золотой пропорции
отвечает также отношение великой косой сажени
(248 см) и малой сажени (153 см). Все восемь саже-
ней в системе И. Ш. Шевелева являются производными
простой геометрической фигуры — квадрата, и их си-
стему по праву можно назвать вариацией на тему
квадрата. Как считает И. Ш. Шевелев, геометрическая
гармония самых различных архитектурных сооружений
от Парфенона до русских храмов построена на взаимо-
связи трех чисел: 1; 2 и √5, то есть на соотношении
сторон и диагонали двух квадратов.

Исследование системы русских
саженей более позднего периода

А. Пилецким.

         Однако в архитектурных сооружениях Руси приме-
нялись и другие принципы пропорциональности, и дру-
гие сажени. А. Пилецкий исследовал систему русских
саженей, описанных в трудах по древнерусской метро-
логии и архитектуре более позднего периода. Особен-
ное внимание он уделил архитектуре XVII—XVIII ве-
ков, которая отличается «виртуозностью белокаменной
резьбы и мастерством ее сочетания с красной кирпич-
ной кладкой». Так, по его данным, Рождественская
церковь в Нижнем Новгороде имеет на фасаде три яруса
белокаменного декора. Высота первого яруса 441, вто-
рого—498, третьего—468 см. Без знания метрики
русских зодчих невозможно объяснить, чем вызваны
различия в размерах ярусов. А вот при пересчете вы-
сот на древнерусские меры первый ярус составит
2 сажени по 176 см, второй ярус — 2 сажени по197,4 см   и  третий ярус — 2 сажени   по   186,4 см.

Это уже определенная система пропорций, но естествен-
но возникает вопрос: почему размеры ярусов отмеря-
лись разными саженями?

        Подобный подход к членению целого на части обна-
ружен А. Пилецким и в других сооружениях этого пе-
риода. Так, Смоленская церковь в Гордеевке имеет два
яруса: первый 2 сажени по 244 см и второй — 2 са-
жени по 230,4 см. Введенский собор в Сольвычегодске
имеет два яруса декора, равные 2 сажени по 258,4 см
и 2 сажени по 244 см. Характерно, что сажень 258,4 см
названия не имеет, но обнаружена во многих памят-
никах русской архитектуры.

       Изучив метрику русских храмов XVII—XVIII веков,
А. Пилецкий установил применение зодчими этого пе-
риода десяти различных саженей. В их число входит
казенная (217,6 см), народная (176 см), малая
(142,4 см), греческая (230,4 см), церковная (186,4 см),
простая (150,8 см), великая (244см),царская (197,4см),
без названия (258,4 см), без названия (159,7 см).

             И вновь возникает вопрос:
зачем русским зодчим понадобилось так много различ-
ных саженей, какая система объединяет их в единое
целое? А может быть, никакой системы нет, а различ-
ные «архитектурные шкалы» в разных районах страны
вырабатывали свои меры длины? Характерно, что сре-
ди десятка саженей нет парных с отношением длин
1:√2, поэтому и нет здесь косой сажени, равной диа-
гонали квадрата. Несколько пар саженей связаны отно-
шением в фигуре «два квадрата» — отношением малой
стороны к диагонали без малой стороны, то есть
1:(√5—1). А это отношение, как известно, равно полови-
не золотой пропорции. Три пары саженей связаны золотой
пропорцией. Остановимся только на одной из них: отно-
шение одной сажени без названия (258,4 см) к другой
(159,7 см) равно 1,6180338. Такой удивительной точно-
сти выражения золотой пропорции мы не встречали ни
в одной паре саженей, ни в одном архитектурном соору-
жении! Может быть, эта пара саженей без названия и
была создана для точного воспроизводства золотой про-
порции?

        Как видим, рассмотренная совокупность саженей су-
щественно отличается от той, что была описана Рыбако-
вым и Шевелевым.   От прежних саженей сохранилось только три: малая (142,4 см), народная (176 см) и цар-
ская (197,4 см), остальные же существенно отличаются.
Создается впечатление, что эта система саженей более
изощренная, более точная, о чем свидетельствуют отно-
шения в парных саженях. Здесь также сохраняется
антропометрический принцип: в основе лежит народная,
или мерная, сажень (176 см), равная росту человека, с
ней связана малая сажень, равная расстоянию от вытя-
нутой руки до земли (142,3 см). Характерно, что размер
последней уточнен, что дает более точное соотношение двух саженей, отвечающее половине золотой про-
порции.

         Отдельные соотношения саженей мы определили —
они отвечают золотой пропорции. Это интересно, но это
еще не дает основания утверждать, что вся система рус-
ских саженей построена на основе этой пропорции. Нуж-
но искать другие закономерности, связывающие все десять
саженей в систему мер длины

                                                                                      Рис. 3

Разместим сажени в ряд
по возрастанию длины — от самой короткой малой са-
жени (142,4 см) до самой большой без названия
(258,4 см), Нетрудно видеть, что разница в длинах со-
седних саженей небольшая и довольно равномерная.
Если рассчитать отношения длин рядом расположенных
саженей, то для семи пар получим одно и то же отно-
шение, равное 1,059. Отклонение от этой величины у
различных пар удивительно малое — всего 0,004%!
Можно лишь удивляться достигнутой точности в отно-
сительных размерах саженей этого ряда. Только между
двумя парами саженей интервал оказался большим и
равным 1,102. Похоже, что между ними существовали
некоторые особые отношения длин. Но и без них совер-
шенно ясна основа создания системы мерных саженей —
это модуль 1,059. Этому модулю отвечают и соотноше-
ния ярусов описанных выше русских храмов (Рожде-
ственская, Смоленская церкви).

      Как известно, модуль в точных науках — это особо
важный коэффициент, а в архитектуре — часть построй-
ки, служащая единицей измерения для придания сораз-
мерности зданию. Похоже, что и при создании системы
русских саженей, описанных А. Пилецким, был выбран
модуль 1,059. При этой величине модуля каждая из семи
саженей отличается  от соседней   на 1/17 часть длины.

Нетрудно заметить, что число 1,059 очень близко к .

        Расположим все сажени — от самой маленькой до
самой большой — на чертеже, на равном расстоянии
одна от другой (рис. 3). Получилось три группы мер
длины, ограниченных прямыми линиями. При таком от-
ношении размеров саженей практически очень легко и
просто производить их проверку, изготовление, конструи-
рование новых образцов: по двум точкам на прямой все-
гда можно найти третью.

      Графическое изображение саженей наглядно иллю-
стрирует их закономерное расположение в системе. От-
ношение длин саженей в каждой группе равно 1,059, от ношение крайних саженей в группах равно 1,102, четы-
ре пары саженей связаны отношением половины золотой
пропорции, а три пары — золотой пропорции. В этой си-
стеме саженей просматривается и еще одна закономер-
ность: отношение ряда саженей укладывается в числа
17/16; 18/16; 19/16. Известно, что в русской метрологии
было принято деление сажени на 2, 4, 8, 16 частей, что
удобно производить сложением шнура пополам. Так,
русский вершок ровно 32 раза укладывается в малой
сажени.

       Можно предполагать, что эти или подобные им не-
сложные геометрические построения и расчеты и легли
в основу создания столь гармоничной системы саженей.
Пока это только гипотеза. Медленно вместе с читателем
мы продвигались к разгадке тайны создания системы
русских саженей, снимая один покров за другим, выяв-
ляя все новые и новые закономерности. Осталось объ-
яснить, почему русские зодчие подчинили систему мер
длины модулю, равному 1,0590? Чем замечательна эта
величина, не она ли заставила «звучать колонны»?

Известно, что темперированный звукоряд в совре-
менной музыке состоит из 12 интервалов, которые вы-
ражаются числами; 1, 21/12, 22/12; 23/12; 24/12 и т. д. — до
2 12/12 = 2. Каждый отдельный звуковой интервал, называемый в музыке малой секундой, — это =1,059.
Естественно, напрашивается вывод, что система мерных
русских саженей построена по такому же принципу, что
и темперированный звукоряд в музыке, и величина про-
порционального модуля 1,059 равна малой секунде зву-
коряда. Трудно допустить, что выбор русскими зодчи-
ми размерного модуля равным 1,059 и его соответствие
секунде звукоряда является случайным совпадением.
Слишком высока точность соблюдения отношения 1,059
в системе русских саженей!

         Очевидно, в истории русского зодчества в этот пе-
риод произошел «переход к новой системе мер и про-
порций», который и привел к новому стилю в зодчестве,
поднял гармонию творений архитектуры на качественно
новый, более высокий уровень. Характерно, что три па-
ры новых саженей обеспечивали золотую пропорцию —
критерий гармонии и красоты. Подобно тому, как в
истории музыки простая гамма, существовавшая со вре-
мен Пифагора, уступила место темперированному зву-
коряду, так и в эволюции архитектуры одна системаопорции, существовавшая со времен греческой класси-
и, уступила место  другой  системе  русской архитек-
рыXVII—XVIIIвеков.
         Известно, что XVII век был «переходным» в истории
русской культуры. В этот период началась смена ста-
ых эстетических взглядов   и традиций, сложившегося
тиля, отработанной многими поколениями художников
ехники и исполнения и т. д. В XVII веке, особенно во
торой его половине, начала   меняться древнерусская
удожественно-эстетическая   система.   Как указывает
. А. Баженова, «итоговый характер русской эстетиче-
кой мысли XVII века диктовал необходимость сохране-
ния еще прочных древнерусских эстетических канонов и
традиций, и одновременно из новых условий и потребно-
стей времени рождалось... требование изменения старых
канонов, возникновения   новых   форм художественной
культуры, а также новых понятий и критериев оценок».
Этот переломный период потребовал, в частности, и
создания новой системы мерных саженей.

         Становится понятным несоответствие систем русских
саженей, описанных Б. А. Рыбаковым, и более поздней
системы, описанной А. Пилецким. Первая система мер
и пропорций строилась на основе соотношений квадрата
и «двух квадратов». Вторая, более поздняя система са-
женей, сохранив из опыта прошлого ряд наиболее эсте-
тически ценных отношений, и прежде всего золотую про-
порцию, была создана на более высоком математиче-
ском и эстетическом уровне. Она соединила эти пропор-
ции с закономерностями музыкального темперированно-
ного звукоряда в цельную и стройную систему.      

Заключение.

        Создав новую систему саженей, то есть систему мер
и пропорций, русские зодчие получили богатейший ин-
струмент для тонкого архитектурного варьирования, пе-
редачи в пропорциях сооружений целой гаммы всевоз-
можных оттенков, тонких нюансов, что и обеспечивало
создание архитектурных произведений более высокого
эстетического уровня. Недаром архитектуру издавна на-
зывают застывшей музыкой. Гармоническое сочетание
пропорциональных частей в целом, их соразмерность,
органическое единство в архитектуре рождает эмоцио-
нальное удовлетворение, эстетическое наслаждение, та-
кое же, как и гармоническое сочетание соразмерных
звуков в музыке.

        Французский архитектор Огюст Перре однажды сказал: «Искусство архитектуры заключается в том, чтобы
заставить звучать опоры...» Подобно оркестру, звучат и
русские храмы, но для их звучания была нужна система
пропорций, своеобразный размерный звукоряд. Его и
обеспечивала существовавшая система саженей.

     Остается открытым вопрос о том, как была создана
система саженей, аналогичная темперированному звуко-
ряду. Было ли это результатом логически обоснованного
решения или же итогом интуитивного, неосознанного по-
иска гармонического сочетания пропорций? Ведь неред-
ко интуитивно открытые закономерности значительно
опережают их осознанно-логическое постижение.

          Ведь и к музыкальной октаве люди пришли интуи-
тивно, не понимая сущности, но улавливая благозвучные
сочетания. Уже позже наука объяснила сущность музы-
кальной октавы, дала ей четкие математические форму-
лы. Так и в зодчестве: в стремлении к гармонии форм
русские мастера, очевидно, интуитивно пришли к систе-
ме саженей, аналогичной музыкальному звукоряду и в
то же время основанной на золотой пропорции. В искус-
стве и архитектуре интуитивный путь познания являет-
ся преобладающим, примером чего может служить та
же золотая пропорция. Найденная и применяемая ин-
туитивно, она лишь значительно позже была выведена
математически, стала составной частью научного позна-
ния. Возможно, что существуют определенные законы
развития представлений о гармонии, законы продвиже-
ния познания по пути приближения к вершинам гармо-
нии. И эти законы интуитивно привели творцов прекрас-
ного к темперированному звукоряду в музыке и к опи-
санной системе саженей в зодчестве.

      Следует заметить, что в условиях индивидуального
строительства, когда каждое архитектурное сооружение
было неповторимым произведением зодчества, одного
эталона длины или одной пары саженей было недоста-
точно. Нужна была развернутая система мерных саже-
ней с разнообразными соотношениями. Так, создателю
произведений живописи необходима не одна-две краски,
а целая палитра всевозможных цветов (цветовая окта-
ва) для создания разнообразных (цветовых) комби-
наций.

Изучение русских саженей, раскрытие тайн русских
зодчих — это не только дань любопытству, это озна-
комление с бесценным опытом русских мастеров, с от-
крытыми ими «секретами» создания шедевров архитектуры. Как далеко ушла наука наших дней от времен средневековья; как несуразица воспринимается подчас существование многочисленных и «примитивных» мер длины
прежних времен — всевозможных саженей, в которых
легко запутаться, локтей, футов, аршин, пядей, шагов,
верст и т. п. Какой совершенной представляется нам
метрическая система мер с ее единственным эталоном —
простым и удобным метром.

        Но человек всегда, приобретая одно, теряет другое.
С введением в обиход метра мы потеряли естественную,
.гармоническую систему мер наших предков, основанную
на пропорциях человеческого тела. Мы получили про-
стую и удобную, но обезличенную, чуждую человеку
-мертвую» систему мер длины. Отказавшись от системы
саженей — хорошо продуманной, основанной на гар-
монии пропорций, мы постепенно ушли и от гармониче-
ских принципов построения архитектурных сооружений.
Вместо сложных, близких к природе очеловеченных про-
порций здания с множеством округленных очертаний мы
пришли к убогой прямолинейности геометрически пра-
вильных сооружений, с квадратами и прямоугольниками
фасадов, в которых мертвыми глазницами зияют выруб-
ленные прямоугольные окна.

Библиография

1. Сергеев И.Н., Олехник С.Н., Гашков С.Б. «Примени математику»,

     М., Наука, 1989.

2. Балк М.Б., Балк Г.Д. «Математика после уроков», М., Просвещение, 1971.

3. Четверухин Н.Ф. «Методы геометрических построений», М., Учпедгиз,  1952.

         4.  Косякин А.С., Никулин А.С., Смирнов А.С. «Землеустроительные

     работы», М., Недра, 1988.

         5 .Васютинский Н.А.  "Золотая пропорция" - М.: Мол.гвардия, 1990.