Лист Мёбиуса

                            Мебиус парагы

                            Лист Мёбиуса

                   Выполнила: Никульшина Виктория

                                          Класс: 7 «Б»

                                     с. Заречное, 2013г.

Содержание:

1.Введение                        

1.Топология как наука.

2.Немного истории.                 

3. Лист Мебиуса, его свойства

4..Применение листа Мебиуса в жизни.

5.Заключение.        

6.Литература.                                                                                               

  Введение.

Топология изучает свойства фигур, которые не изменяются при деформациях (растяжении, сжатии), не допускающих разрывов и склеивания.

         Одним из объектов топологии является лист Мёбиуса. В школьном курсе топологические объекты не изучаются. Я впервые узнала о листе Мёбиуса, посещая дополнительные занятия по математике. У меня появились некоторые представления о листе Мёбиуса, я заинтересовалась этим и решила расширить свои знания об этом удивительном геометрическом объекте.

Цель исследования:

Изучить свойства листа Мёбиуса и рассмотреть его применение на практике.

Задачи исследования:

 1 Прочитать математическую литературу, в которой авторы рассказывают о таком объекте, как « лист Мебиуса», исследовать полученную информацию.

 2. Познакомиться со свойствами листа Мёбиуса.

 3. Выяснить, где применяется лист Мёбиуса.

 4. Изучить опыты с листом Мёбиуса, которые описываются в математической литературе, и провести эксперименты.

Объект исследования: лист Мебиуса

Предмет исследования:  свойства односторонней поверхности

Одним из самых неожиданных явлений в развитии математики XX в. стал головокружительный взлёт  науки, известной под названием топология. Тополо́гия (от греч. τόπος — место) — часть геометрии, изучающая в самом общем виде явление непрерывности, а также свойства обобщенных геометрических объектов, не меняющиеся при малых деформациях и не зависящие от способа их задания

Желая пояснить, что такое топология, иногда говорят, что это «геометрия на резиновой поверхности».

     Можно сказать, что топология занимается изучением тех свойств фигур, которые сохраняются независимо от того, как деформируется фигура.

     Представьте себе бублик из податливой, но необычайно прочной резины, который вы можете, как угодно крутить, сжимать и растягивать в любом направлении. Независимо, как деформируется бублик, некоторые его свойства остаются  неизменными. Например, в нем всегда есть дыра. В топологии принято называть  тором. Соломинка, через которую вы пьёте коктейль, тоже тор, только вытянутый. С точки зрения топологии бублик и соломинка ничем не отличаются. С точки зрения топологии баранка и кружка - это одно и то же. Сжимая и растягивая кусок резины, можно перейти от одного из этих тел ко второму. А вот баранка и шар - разные объекты: чтобы сделать отверстие, надо разорвать резину.

    Топологию  не интересуют свойства фигур, связанные с длинной, площадью, объёмом и тому подобными количественными характеристиками. Она занимается изучением наиболее глубоких свойств фигур и тел, которые остаются неизменными при самых чудовищных деформациях, но без разрывов и склеиваний. Если бы тела и фигуры разрешалось разрезать  и склеивать, то любое тело, сколь угодно сложной структуры, можно было превратить в любое другое тело с какой угодно структурой, и все первоначальные свойства были бы безвозвратно утрачены.

   Топология изучает те свойства геометрических объектов, которые сохраняются при непрерывных преобразованиях.  Непрерывные преобразования характеризуются тем, что точки, расположенные «близко одна к другой» до преобразования, остаются такими и после того, как преобразование закончено. При топологических преобразованиях разрешается растягивать и сгибать, но не разрешается рвать и ломать.

   Образцом топологического свойства объекта служит  наличие дырки у бублика.  Какую бы непрерывную деформацию ни перетерпел бублик, дырка остаётся. Другое топологическое свойство – наличие края. Поверхность сферы не имеет края, а пустая сфера имеет, и никакое непрерывное преобразование не в состоянии это изменить.

     Существует очень много различных  непрерывных преобразований, поэтому топологам что бублик, что какая-нибудь другая штука с одной дыркой – всё едино. У тополога меньше объектов изучения, и в этом смысле  предмет изучения в топологии проще, чем в большинстве других разделов изучения математики. В этом одна из причин того, что топология превратилась в мощный инструмент математики в целом: её простота и общность обеспечили ей широкий круг применений.

Среди букв русского алфавита тоже есть топологически одинаковые буквы. Представьте, что они сделаны из мягкой проволоки.  Какие из букв можно преобразовать одну в другую, если не разрывать проволоку в местах соединений и не склеивать конца? Проволоку можно только гнуть и растягивать!

        К топологическим относятся и задачи на вычерчивание фигур одним росчерком. В подобных задачах требуется начертить какую-либо фигуру, не отрывая карандаша от бумаги не проводя два раза по одной и той же линии.

Сама топология, можно сказать началась именно с листа Мёбиуса. Слово это придумал Иоган Бенедикт Листинг.

 Историческая справка (Август Фердинанд Мёбиус)

Как-то незаметно для окружающих в 26 лет Мёбиус стал профессором, руководителем астрономической лаборатории в Лейпцигском университете. Научные статьи, лекции, работа. Все как у обычного профессора университета. Рассеянного доброго чудака студенты боготворили. Он любил ошарашивать их неожиданными задачками и назначал лекции, к примеру, на два часа ночи, чтобы показать ночное небо во всей его красе. Возможно, имя этого человека растворилось бы в истории, если бы ни одно ненастное утро…

На улице шел дождь. Была выкурена трубка, выпита чашка любимого кофе с молоком. Вид из окна навевал тоску. В кресле сидел мужчина. Мысли были разные, но как-то ничего особенного не приходило на ум. Только в воздухе витало ощущение, что именно этот день принесет славу и увековечит имя Августа Фердинанда Мебиуса.

На пороге комнаты появилась любимая жена. Правда, она была не в хорошем расположении духа. Правильнее сказать, она была разгневана, что для мирного дома Мебиусов было почти так же невероятно, как три раза в год увидеть парад планет, и категорически требовала немедленно уволить служанку, которая настолько бездарна, что даже не способна правильно сшить ленту.

Хмуро разглядывая злосчастную ленту, профессор воскликнул: “Ай да, Марта! Девочка не так уж глупа. Ведь это же односторонняя кольцевая поверхность. У ленточки нет изнанки!” Идея пришла ему в голову, когда служанка неправильно сшила ленту. ^[1]

Открытая поверхность получила математическое обоснование и имя в честь описавшего ее математика и астронома.

Лента вдохновила на подвиги ни одного добряка-профессора. Взял ее на вооружение и цех парижских портных. Отныне в качестве экзамена для новичка, претендовавшего на зачисление в цех, было пришивание к подолу юбки тесьмы в форме ленты Мебиуса. Оценили по достоинству невольное изобретение Марты и учителя. Неугомонным нерадивым ученикам предлагалось покрасить стороны ленты Мебиуса в разные цвета. Пыхтя от усердия, школяры проводили за этим занятием немало времени.

   Лист Мёбиуса относится к числу «математических неожиданностей».  Как бы то ни было,  но в 1858 году Лейпцигский профессор Август Фердинанд Мёбиус (1790 – 1868), ученик К.Ф. Гаусса,  астроном и геометр, послал в Парижскую академию наук работу, включавшую сведения об этом листе.  Семь лет он дожидался рассмотрения своей работы и, не дождавшись, опубликовал ее результаты. Мебиус был первоначально астрономом,  как Гаусс и многие другие из тех, кому математика обязана своим развитием. В  те времена занятия математикой не встречали поддержки, а  астрономия давала достаточно денег, чтобы не думать о них,  и оставляла время для собственных размышлений. И Мебиус  стал  одним из крупнейших геометров XIX в. Возрасте 68 лет ему удалось сделать открытие поразительной красоты. Это открытие односторонних поверхностей, одна из которых – лист Мебиуса.

Лист Мёбиуса и его свойства.

Говоря о листе Мебиуса, мы говорим о некоторой поверхности, в понятии которой много таинственности. Лист Мебиуса – узкая полоска бумаги, концы которой склеены после одного перекручивания. Возьмем полоску бумаги, перекрутим на пол – оборота, а потом склеим ее концы, тем самым, соединив противоположные стороны ленты.

   Чтобы изучить свойства листа Мебиуса, я провела достаточно много опытов, разделив их на несколько групп.

I группа опытов:

1. Лист Мебиуса я попробовала закрасить в два цвета – одним с внешней, а другим      

  -  с внутренней стороны.

Результат: мне это не удалось.

2. Лист Мебиуса я красила, не переворачивая его.

Результат: лист Мебиуса закрасился полностью.

3.Я начала проводить карандашную линию вдоль полоски (листа Мебиуса).

Результат: я возвратилась в исходную точку.

   Значит, если мы будем двигаться вдоль края такой фигуры, то обнаружим, что он представляет собой одну непрерывную замкнутую линию (одну петлю).

4. Вырезала из бумаги человечка и отправила его вдоль края листа Мебиуса.

Результат: человечек вернулся в точку отправления, но в перевернутом виде.

На основании этих опытов мне удалось убедиться в том, что лист Мебиуса имеет один край и одну сторону.

2 группа опытов.

    Выполняя опыты с бумажной полоской, я приятно удивилась тому, что сколь многое можно из нее извлечь,  несмотря на то, что растяжения полоски невозможны

1. Простое кольцо разрезала посередине.

Результат: получила 2 кольца, длина окружности которых осталась прежней, а ширина уменьшилась в 2 раза.

2. Лист Мёбиуса разрезала посередине.

Результат: 1 лист Мёбиуса, который перекручен дважды, но вдвое длиннее и уже.

           3.Если разрезать ленту, отпуская от края приблизительно на треть её ширины

        Результат: две ленты, одна- короткая лента Мебиуса, другая - длинная лента с двумя        полуоборотами.

4 Разрезаем лист Мебиуса на одну четвертую от края.

Результат: 2 кольца вдвое длиннее первоначальной ленты и вдвое перекрученные, сцепленные между собой.

5.Лист Мёбиуса разрезала по двум линиям, проведённым на равном расстоянии от краёв ленты.

Результат: 2 листа, один из которых вдвое длиннее первоначальной ленты и вдвое перекручен. Он получился из краёв исходной ленты. Другой лист перекручен 1 раз и состоит из центральной части исходной ленты.

6. Лист Мёбиуса разрезала по линиям, нанесённым на ленту шириной 5 см, отступив от края на 1 см, 2 см, 3 см, 4 см.

Результат: 3 листа Мёбиуса. Один шириной 1 см и с одним перекручиванием, длина которого равна длине исходного кольца. Второй и третий  - с двумя перекручиваниями, ширина которых 1 см и длина в два раза больше исходного кольца. Второй и третий сцеплены с первым листом и между собой.

Выводы:

1. Лист Мебиуса имеет один край.
2. Лист Мебиуса имеет одну сторону.
3. Лист Мебиуса - топологический объект. Как и любая топологическая фигура лента Мебиуса не меняет своих свойств, пока ее не разрезают, не разрывают или не склеивают его отдельные куски.
4. Один край и одна сторона листа Мебиуса не связаны с его положением в пространстве, не связаны с понятиями расстояния.

Результатом проведённых экспериментов явилось подтверждение удивительных свойств:

односторонность - свойство характерное только для листа Мёбиуса;

непрерывность - на листе Мёбиуса любая точка может быть соединена с любой другой точкой, разрывов нет -непрерывность полная;

связанность - чтобы разделить квадрат на две части нам потребуется один разрез, кольцо - два разреза, что касается листа Мёбиуса, то количество связей меняется от смены количества оборотов ленты;
ориентированность - свойство, отсутствующее у листа Мёбиуса, так если бы человек смог пропутешествовать по всем изгибам листа Мёбиуса, то когда бы он вернулся в исходную точку, он превратился бы в своё зеркальное отражение.

Применение листа Мёбиуса.

Мёбиусовая лента понравилась не только математикам, но и фокусникам

 Лист Мёбиуса используется для показа различных фокусов и развлечений. Удивительные свойства листа демонстрировались даже в цирке, где подвешивались яркие ленты, склеенные в виде листов Мёбиуса. Фокусник закуривал сигарету и горящим концом дотрагивался до средней линии каждой ленты, которая была выполнена из калийной селитры. Огненная дорожка превращала первую ленту в более длинную, а вторую - в две ленты, продетая одна в другую. (В этом случае фокусник разрезал лист Мёбиуса не посередине, а на расстоянии в одну треть его ширины).

У входа в музей истории и техники в Вашингтоне медленно вращается на пьедестале стальная лента, закрученная в полвитка. И это не случайно. Патентная служба зарегистрировала немало изобретений, в основе, которых лежит всё та же односторонняя поверхность. В 1923 году выдан патент изобретателю Ли де форсу, который предложил записывать звук на киноленте без смены катушек, сразу с двух сторон. Придуманы кассеты для магнитофона, где лента перекручивается и склеивается в кольцо, при этом появляется возможность записывать или считывать информацию сразу с двух сторон, что увеличивает ёмкость кассеты и соответственно время звучания.

В 1969 году советский изобретатель Губайдуллин предложил бесконечную шлифовальную ленту в виде листа Мёбиуса. В 1971 году изобретатель с Урала Чесноков П.Н. применил фильтр в виде листа Мёбиуса. И это только ничтожная часть примеров использования этой удивительной поверхности.

 Скольких людей приводят в восторг аттракционы «Американские горки». Лента Мёбиуса вполне благополучно наблюдается в форме абразивных ремней для заточки инструмента, красящей лентой для печатающих устройств.  Целую серию скульптур в виде листа Мёбиуса создал скульптор Макс Билл. Довольно много разнообразных рисунков оставил Мауриц Эшер. Особенно интересна гравюра с изображением муравья, ползающего по ленте Мёбиуса.

         Наряду  с этим  были сделаны  еще ряд открытий советскими  изобретателями. В 1969 году советский изобретатель Губайдуллин предложил бесконечную шлифовальную ленту в виде листа Мёбиуса. В 1971 году уральский изобретатель Чесноков П. Н. применил фильтр в виде листа Мёбиуса. В 1979 году была изобретена детская игрушечная электрифицированная железная  дорога. Полотно железной дороги также представляет собой ленту Мебиуса. Есть гипотеза, что спираль ДНК сама по себе тоже является фрагментом ленты Мёбиуса и только поэтому генетический код так сложен для расшифровки и восприятия.

 Проект библиотеки в Казахстане. Изгибы музея образуют лист Мёбиуса, таким образом внутреннее пространство переходит во внешнее и обратно; подобным образом стены переходят в крышу, а  крыша трансформируется обратно в стены.  Естественный свет проникает во внутренние коридоры сквозь геометрические отверстия во внешней оболочке, создавая прекрасно освещённые пространства, идеальные для чтения.

           Эшер был одним из художников, кто особенно любил лист Мебиуса и посвятил   несколько своих литографий этому математическому объекту. Одна из известных работ показывает муравьев, ползающих по поверхности листа Мёбиуса.

Лист Мёбиуса вдохновлял даже ювелиров.

Чудесные его свойства тут же породили множество научных трудов, изобретений (весьма полезных и совершенно нереальных), а также многочисленных фантастических рассказов. В рассказе А.Дейча “Лента Мебиуса” описывался случай в Нью-Йоркском метро. Однажды случилось так, что пути метрополитена пересеклись, и весь он стал напоминать огромную ленту Мебиуса. Поезда один за другим стали исчезать, появляясь снова только через несколько месяцев. А Козьма Прутков подарил читателям афоризм: "Где начало того конца, которым оканчивается начало?".

Листу Мёбиуса посвящаются стихотворения.

Лист Мебиуса.

Наталия Юрьевна Иванова

Лист Мебиуса - символ математики,
Что служит высшей мудрости венцом,
Он полон неосознанной романтики:
В нем бесконечность свернута кольцом.

В нем – простота, и вместе с нею – сложность,
Что недоступна даже мудрецам:
Здесь на глазах преобразилась плоскость
В поверхность без начала и конца.

Здесь нет пределов, нет ограничений,
Стремись вперед и открывай миры,
Почувствуй силу новых ощущений,
Прими познанья высшего дары:

Познай любовь и ненависть изведай,
Низвергнись в ад – тотчас увидишь рай.
Ты в одночасье насладись победой
И горечь пораженья испытай.

На грани бесконечного блаженства
Испытывая суеверный страх,
Найдешь свой путь. Достигнув совершенства,
Окажешься в таинственных мирах.

И, вдохновленный этим дерзновеньем,
По экспоненте поднимаясь в высь,
Ты ощутишь восторг освобожденья,
Почувствуешь, как возникает Мысль.

Покажется, что распростерлась Вечность,
Что взломан Мироздания пароль.
И вдруг твое стремленье в бесконечность
Тебя вернет к исходной точке: в ноль.

Как о порог, об этот ноль споткнешься.
Но как бы ни был прежний путь тернист,
Вновь выбирай (и ты не ошибешься!)
Путь в бесконечность – Мёбиуса лист!

Невероятный проект библиотеки в Астане.

Заключение.

Лист Мёбиуса - первая односторонняя поверхность, которую открыл учёный. Позже математики открыли ещё целый ряд односторонних поверхностей.

 Но эта самая первая, положившая начало целому направлению в геометрии, по - прежнему привлекает к себе внимание учёных, изобретателей, художников.

В этой работе я пыталась описать свойства этой прекрасной поверхности-листа Мебиуса, показать его значимость на практике, доказать, что лист Мёбиуса - топологическая фигура.

Главная ценность листа Мёбиуса состоит в том, что он дал толчок новым математическим исследованиям.  Поэтому его считают символом современной математики и изображают на различных эмблемах и значках

«Мышление начинается с удивления»,- заметил 2500 лет назад Аристотель. Наш современник Сухомлинский считал, что «чувство удивления - могучий источник желания знать: от удивления к знаниям - один шаг». А математика замечательный предмет для удивления.
Именно это я попыталась показать в своей работе, описывая лист Мёбиуса и процесс его изготовления, раскрывая опытным путём свойства этого поразительного открытия. Моё предположение подтвердилось: лента Мёбиуса обладает не только свойством односторонности, но и такими, действительно, неожиданными свойствами, как непрерывность, связность и ориентированность.

Я сумела получить интересный математический материал. Своими результатами исследования о листе Мебиуса я поделилась со своими одноклассниками. Думаю, что это их заинтересовало. Вообще я считаю, что моя работа будет интересна любителям математики для расширения математического кругозора. Ее можно использовать учителям математики, как на уроках, так и во внеклассной   работе.

Список  литературы.

М. Гарднер  «Математические чудеса и тайны».

Энциклопедический словарь юного математика.

Гусев В.А. «Внеклассная работа по математике в 6-8 классах».

И.Ф. Шарыгин, Л.Н. Еранжиева. Наглядная геометрия. 5-6 класс.

Интернет- ресурсы.