«Задачи с параметрами в курсе алгебры 7 класса»
Я ученица 7 класса. В этом учебном году мы изучаем предмет алгебра по учебнику А. Г. Мордковича. При выполнении некоторых упражнений в классе и при решении контрольных работ я обратила внимание, что наряду с переменными х и у в уравнениях и задачах встречаются еще неизвестные величины, обозначаемые буквами а, в, с. Эти упражнения и задачи оказались сложными для меня и я решила более подробно познакомиться с упражнениями в которых находятся параметры.
Вложение | Размер |
---|---|
![]() | 1.35 МБ |
Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение
«Средняя общеобразовательная школа № 59»
Задачи с параметрами в курсе алгебры 7 класса
(реферативная работа)
Выполнила ученица 7А класса
МБОУ «СОШ № 59» г.Барнаула
Точилкина Юлия
Руководитель
Захарова Людмила Владимировна,
учитель математики МБОУ «СОШ № 59» г.Барнаула
г. Барнаул 2012
Введение
Почему я выбрала тему своей исследовательской работы «Задачи с параметрами в курсе алгебры 7 класса»? Я ученица 7 класса. В этом учебном году мы изучаем предмет алгебра по учебнику А. Г. Мордковича. При выполнении некоторых упражнений в классе и при решении контрольных работ я обратила внимание, что наряду с переменными х и у в уравнениях и задачах встречаются еще неизвестные величины, обозначаемые буквами а, в, с. Эти упражнения и задачи оказались сложными для меня и я решила более подробно познакомиться с упражнениями в которых находятся параметры.
Цель работы: выяснить какие задачи с параметрами представлены в учебнике Алгебры 7 класса и научиться решать линейные уравнения с параметрами.
Задачи:
-изучить упражнения учебника, и выяснить, какие задачи с параметрами представлены в нем;
-познакомиться с понятием параметра;
-изучить метод решения линейных уравнений с параметрами;
- составить упражнения по данной теме.
Для выполнения поставленной цели мною были использованы следующие методы:
-изучение и анализ упражнений из учебника Алгебра 7 класс;
-изучение литературы по решению линейных уравнений с параметрами;
-составление сборника упражнений по данной теме;
Объект исследования: учебник Алгебра 7 класса (автор А.Г. Мордкович).
Предмет исследования: задачи с параметрами.
Глава 1.
Параметр (от греч. рarametron –отмеривающий, соразмеряющий), величина, значения которой служат для различения элементов некоторого множества между собой.
В уравнениях коэффициенты при неизвестных или свободные члены заданные не конкретными числовыми значениями, а обозначенные буквами называются параметрами.
Решить уравнение с параметрами означает:
Существуют различные формы условий задач с параметрами - исследовать уравнение, определить количество решений, найти положительные решения и др.
В седьмом классе мы изучаем предмет алгебра по учебнику А.Г.Мордковича. В данном учебнике всего 1610 упражнений. Из них около 30 с параметрами. Таким образом, задачи с параметрами составляют примерно 1,8% от общего количества упражнений по алгебре в 7 классе. Конечно же, при таком соотношении упражнений сложно научиться решать задачи с параметрами. Ниже я привожу упражнения с параметрами из нашего учебника алгебры.
Стр. 32. Домашняя контрольная работа 1 .Задача 8.
Стр. 43. §7 Линейное уравнение с двумя переменными и его график.
Стр.51 . §8 Линейная функция и ее график
Стр. 60. §10 Взаимное расположение графиков линейных функций
Стр. 73. §13 Метод алгебраического сложения 18.
Стр. 80. Домашняя контрольная работа 1 .Задача 5.
Стр. 144 §32 Способы группировки
Стр.181. §39 Что означает в математике запись y = f(x).
Глава 2.
Линейные уравнения с параметрами
Линейным уравнением называется уравнение вида ах=в, где а,в- некоторые действительные числа, х- переменная.
Решить уравнение с параметром – значит указать, при каких значениях параметров существуют решения и каковы они.
Решим данное уравнение в общем виде.
При а=0, в≠0 уравнение не имеет корней, так как нет такого числа которое при умножении на нуль, даст результата отличный от нуля.
При а=0, в=0 уравнение имеет бесконечно много решений, решением является любое действительное число.
При а≠ 0 уравнение имеет единственный корень, равный х=в/а.
Таким образом, мы получили следующую схему для решения линейных уравнений с параметром.
По данной блок-схеме можно составить алгоритм решения линейного уравнения с параметрами
Алгоритм решения линейного уравнения с параметром:
Рассмотрим следующие примеры.
1. Решить уравнение a x=0.
1) При a =0 уравнение примет вид ox=0, значит решением уравнения будет x - любое число. | 2) Если a 0, то x=0/a, х=0. |
Ответ: если a =0, x - любое число;
если a 0, x=0.
2.Решить уравнение a x-7=0.
Запишем уравнение в стандартном виде a x=7.
Если a =0, то уравнение не имеет корней. | Если a 0, то x=7/ a |
Ответ: если a =0, корней нет;
если a 0, x=7/ a.
Запишем уравнение в стандартном виде (a -3)*x=6
Если a -3=0, a =3, то уравнение не имеет корней. | 2)Если a-30, a 3,то x=6/ (a -3). |
Ответ: если a =3, корней нет;
если a 3, x=6/ (a -3).
3. Решить уравнение (a -5)*x=7.
Если a -5=0, a =5, уравнение корней не имеет | 2.Если a-50, a5, x=7/(a-5). |
Ответ: если a =5, корней нет;
если a 5, x=7/ (a -5).
4. Решить уравнение mx=m.
1)Если m=0, то уравнение примет вид ox=0, значит решением уравнения будет x - любое число | 2)Если m0, то x=m/m=1 |
Ответ: если m=0, x - любое число;
если m0, x=1
6. Решить уравнение (m-5)*x=6.
1) Если m-5=0, m=5, то уравнение не имеет корней
| 2) Если m-50 m5, то x=6/(m-5) |
Ответ: если m=5, корней нет;
если m5, x=6/m-5
7. Решить уравнение a x+8= a.
Запишем уравнение в стандартном виде a x= -8+ a.
1) Если a =0, то уравнение примет вид 0 x= -8. Это уравнение не имеет корней.
| 2) Если a 0, то x= a -8/ a,
|
Ответ: если a =0, корней нет;
если a 0, x= a-8/ a
8. При каком значении параметра a, х=2,5 является корнем уравнения х+2= a+7?
Так как х=2,5 корень уравнения х+2= a+7, то при подстановке х=2,5 в уравнение получим верное равенство 2,5 +2= a+7, откуда находим a= -2,5.
Ответ: при a=-2,5.
9.Решить уравнение тх+3=4т-2х.
тх+2х=4 т-3,
х(т+2)=4 т-3,
т=-2, то уравнение примет следующий вид
0х=4 (-2)-3,
0х=-11. Это уравнение не имеет корней.
т-2, то х = (4т-3)/ (т+2).
Ответ: при т=-2, корней нет;
при т-2, х= (4т-3)/ (т+2).
10. Пример 2. Решить уравнение (a2 – 1)x = a + 1.
Решение: При решении этого уравнения рассмотрим такие случаи:
Если a = 1, то уравнение принимает вид 0x = 2 и не имеет решений;
Если a = -1, то получаем 0x = 0, следовательно x – любое число.
Ответ:если a = -1, то x – любое число; если a = 1, то нет решений;
если a ≠ ±1, то x = .
Пример 11. Решить уравнение аx = x + 3.
Решение:
Приведем уравнение к виду аx = в:
аx – x = 3,
(а – 1) x = 3.
Ответ: если a = 1, то уравнение корней не имеет;
если a ≠ 1, то x = .
Ответ: b=-12
Пример 12. Решить уравнение a(х – 1) + 2(х – 1) = 0 относительно переменной х.
Решение:
Раскроем скобки: aх – а + 2х – 2 = 0
Запишем уравнение в стандартном виде: х(а + 2) = а + 2.
В случае, если выражение а + 2 не нуль , т. е. если а ≠ -2, имеем решение х = (а + 2) / (а + 2), т.е. х = 1.
В случае, если а + 2 равно нулю, т.е. а = -2, то имеем верное равенство 0 · x = 0, поэтому х – любое число.
Ответ: при а ≠ -2 х = 1;
при а = -2 х- любое число.
Пример 13. Решить уравнение
Решение:
то уравнение имеет единственное решение
(верно)
Значит наше уравнение имеет бесконечное множество решений.
3) Если то уравнение принимает вид: , (не верно)
Значит первоначальное уравнение не имеет корней.
Ответ: при одно решение
при нет решений
при х-любое число.
Глава 3.
Линейные уравнения с параметрами. Сборник задач.
В параграфе 4 «Линейные уравнения с одной переменной» учебника алгебры для 7 класса , автор А.Г.Мордкович, нет упражнений в которых были бы линейные уравнения с параметрами. Поэтому я решила подобрать и составить несколько заданий по данной теме.
Решите уравнения.
х(а-2)+а(7-х)=3.
Заключение.
При работе над темой я пришла к выводу, что задачи с параметрами - это хорошее упражнение для развития логического мышления, умения анализировать, сравнить, обобщать, также, что каждое из заданий представляет небольшую исследовательскую работу, справившись с которой, как бы поднимаешься на ступеньку выше в понимании методов решения математических задач.
Я поняла, что навыки в решении уравнений и неравенств с параметром необходимы мне и тем ученикам, которые желают хорошо подготовиться и успешно сдать выпускные экзамены ГИА и ЕГЭ.
Думаю, что моя работа будет интересна тем ребятам, которые хотят научиться решать сложные задачи и хорошо подготовиться к выпускным экзаменам. Также она будет интересна и учителям математики, так как в своей работе я провела анализ заданий из учебника Алгебры 7 класса и выписала все упражнения в которых содержатся параметры.
В следующем учебном году я решила продолжить изучать эту тему. Следующим объектом моего исследования будут квадратные уравнения с параметрами.
Литература
Попробуем на вкус солёность моря?
Тигрёнок на подсолнухе
Цветение вишни в лунную ночь
Соленая снежинка
Зимняя сказка