Степень

     История возникновения степени числа.

                                            Цели

1)Изучение дополнительной литературы по теме «Степень».

2)Расширение знаний исторических сведений по математике.

3)Расширить свои познавательные возможности.

4)Формирование навыков работы с компьютером и Интернетом.

                            План:

1. Применение степени у древних народов.
2. Диофант и его «Арифметика».
3. Николай Орема и «Алгоризм пропорций».
4. Равенство а0 = 1.

      5. Вклад европейских математиков в развитие понятия степени.

Содержание.

Сложение, вычитание, умножение и деление идут первыми в списке арифметических действий. У математиков не сразу сложилось представление о возведении в степень как о самостоятельной операции, хотя в самых древних математических текстах Древнего Египта и Междуречья встречаются задачи на вычисление степеней. Квадрат и куб числа использовались для вычисления площадей и объемов. Степени некоторых чисел использовались при решении отдельных задач учеными Древнего Египта и Вавилона.

( слайды 2,3)

В своей знаменитой «Арифметике» Диофант Александрийский описывает первые натуральные степени чисел так:

«Все числа… состоят из некоторого количества единиц; ясно, что они продолжаются, увеличиваясь до бесконечности. …среди них находятся: квадраты, получающиеся от умножения некоторого числа самого на себя; это же число называется стороной квадрата, затем кубы,  получающиеся от умножения квадратов на их сторону, далее квадрато-квадраты — от умножения квадратов самих на себя, далее квадрато-кубы, получающиеся от умножения квадрата на куб его стороны, далее кубо-кубы — от умножения кубов самих на себя».  (слайды 4 – 7)

Из практики решения более сложных алгебраических задач и оперирования со степенями возникла необходимость обобщения понятия степени и расширения его посредством введения в качестве показателя нуля, отрицательных и дробных чисел. К идее обобщения понятия степени на степень с ненатуральным показателем математики пришли постепенно. (слайд 8)

Дробные показатели степени и наиболее простые правила действии над степенями с дробными показателями встречаются у французского математика Николая Орема (1323–1382 гг.) в его труде “Алгоризм пропорций”.  (слайд 9)

Равенство, а0 =1 (для а не равного 0) применял в своих трудах в начале ХV века самаркандский ученый Гиясаддин Каши Джемшид. Независимо от него нулевой показатель был введен Николаем Шюке в ХV веке. Француз, бакалавр медицины Никола Шюке (? - около 1500 г.) смело ввёл в свою символику не только нулевой, но и отрицательный показатель степени. Он писал его мелким шрифтом сверху и справа от коэффициента. (слайд 10)

Немецкие математики Средневековья стремились ввести единое обозначение и сократить число символов. Книга Михеля Штифеля «Полная арифметика» (1544 г.) сыграла в этом значительную роль. М.Штифель (1487–1567 гг.) дал определение  а0=1 при  и ввел название показатель (это буквенный перевод с немецкого Exponent). Немецкое potenzieren означает возведение в степень. (слайд 11)

В конце ХVI века Франсуа Виет ввел буквы для обозначения не только переменных, но и их коэффициентов. Он применял сокращения: N, Q, C – для первой, второй и третьей степеней. (слайд 12)

Нидерландский математик СимонаСтевин (1548—1620) обозначал неизвестную величину кружком О,  внутри которого указывал показатели степени. Стевин предложил называть степени по их показателям - четвёртой, пятой и т.д. и отверг диофантовы составные выражения «квадрато-квадрат», «квадрато-куб». Но современные обозначения (типа а4, а5) в XVII в ввел Рене Декарт. Любопытно, что Декарт считал, что а*а не занимает больше места, чем а2 и не пользовался этим обозначением при записи произведения двух одинаковых множителей.  (слайды 13, 14)

Современные определения и обозначения степени с нулевым, отрицательным и дробным показателем берут начало от работ английских математиков Джона Валлиса (1616–1703) и Исаака Ньютона. О целесообразности введения нулевого, отрицательных и дробных показателей и современных символов впервые подробно писал в 1665 г. английский математик Джон Валлис. Его дело завершил Исаак Ньютон (1643–1727),  который стал систематически применять новые символы, после чего они вошли в общий обиход.

 (слайд 15, 16)

Введение степени с рациональным показателем является одним из многих примеров обобщение понятий математического действия. Степень с нулевым, отрицательным и дробными показателями определяется таким образом, чтобы к ней были применены те же правила действий, которые имеют место для степени с натуральным показателем, т.е. чтобы сохранились основные свойства первоначального определённого понятия степени.

Новое определение степени с рациональным показателем не противоречит старому определению степени с натуральным показателем, то есть смысл нового определения степени с рациональным показателем сохраняется и для частного случая степени с натуральным показателем. Этот принцип, соблюдаемый при обобщении математических понятий, называется принципом перманентности (сохранения постоянства). В несовершенной форме его высказал 1830 г. английский математик Дж.Пикок, полностью и четко его установил немецкий математик Г.Ганкель в 1867 г.  (слайды 17, 18)

Вывод.

Работа над этой темой помогла мне узнать новые исторические сведения по математике. Готовясь к конференции, я прочитала много материалов на сайтах Интернета. На уроках повторения я ознакомлю учеников своего класса с этими сведениями. Я третий раз занимаюсь подготовкой сообщений   по истории математики, готовлю себя к старшей школе, чтобы успешно  участвовать в различных конференциях.                                            

                                                           Источники:

Юшкевич А. П., История математики в средние века, М., 1961. Математический энциклопедический словарь. М., Сов.  энциклопедия, 1988

http://algebra3000.narod.ru/ussrp.htm

http://mirurokov.ru/otkrytyi-urok/25-vozvedenie-v-stepen/82-istoriya-vozniknoveniya-stepeni-chisla.html