Метод координат при решении задач на нахождение углов в пространстве

Опубликовано Майсурадзе Виктория Владимировна вкл 02.04.2013 - 16:27
Автор: 
Прохорова Ульяна и Ушакова Анна

В работе рассматривается применение метода координат при решении задач на нахождения углов между прямыми, прямой и плоскостью, плоскостями. Составлено методическое пособие по данной теме, которое поможет выпускникам 11 классов подготовиться к решению задач С2 ЕГЭ. 

Скачать:

ВложениеРазмер
Файл npk.rar1.85 МБ

Предварительный просмотр:

Методическое пособие по решению задач на нахождение углов в пространстве методом координат

        Авторы: Прохорова Ульяна            Викторовна, Ушакова Анна Константиновна, Класс 11

ОУ: МБОУ Гимназии № 6

Междуреченск 2013 г.

Содержание

Глава I

Угол между прямыми в пространстве…………..…стр 2

Задачи для самостоятельного решения …………...стр 4

Глава II

Угол между прямой и плоскостью ………………..стр 5

Задачи для самостоятельного решения ………...…стр 10

Глава III

Угол между плоскостями …………………………..стр 11

Задачи для самостоятельного решения ………...…стр 14

Ответы к задачам ……………………………………...стр 15

Глава I

Угол между прямыми в пространстве

Углы между прямыми могут быть образованы пересекающимися прямыми или скрещивающимися прямыми.

Углом между двумя пересекающимися прямыми называется наименьший из углов, образованных при пересечении прямых.

Углом между скрещивающимися прямыми называется угол между пересекающимися прямыми, соответственно параллельными данным скрещивающимся.

С использованием метода координат такие углы вычисляются по формуле:

Где  –  координаты направляющего вектора* первой прямой

       – координаты направляющего вектора* второй прямой

*Направляющий вектор – это ненулевой вектор, лежащий на данной прямой или на параллельной ей прямой.

Рассмотрим пример решения задачи на нахождение угла между прямыми

Дано:

АВСDA1B1C1D1  - прямоугольная призма

АВСD-квадрат

В1С1=2; СС1=2

С1Е=СЕ

Найти: ВЕ^ В1D

Решение:

  1. Введём систему координат так, как показано на рисунке
  2. Направляющим вектором для прямой BE является вектор координаты которого найдем по координатам точек

В (0; 0; 0)             Е (0; 2; 1 )              

  1. Направляющим вектором для прямой В1D является вектор , координаты которого

В1 (0 ; 0 ; 2)         D (2 ; 2 ; 0)              

  1. По формуле нахождения угла между прямыми

cosα =  ,

= =

Следовательно, α = arccos                    Ответ : α = arccos

Задачи для самостоятельного решения

  1.  Длины всех ребер правильной четырехугольной пирамиды PABCD равны между собой. Найдите угол между прямыми РН и ВМ, если отрезок РН — высота данной пирамиды, точка М — середина ее бокового ребра АР.
  2.  В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF стороны основания которой равны 1, а боковые ребра равны 2, найдите угол между прямыми SB и CD
  3. Точка E — середина ребра CC1 куба ABCDA1B1C1D1. Найдите угол между прямыми BE и B1D.
  4.  На ребре CC1 куба ABCDA1B1C1D1 отмечена точка E так, что CE : EC1 = 1 : 2. Найдите угол между прямыми BE и AC1.
  5.  В правильной четырехугольной пирамиде SABCD, все ребра которой равны 1, отмечены точки E и F — середины сторон SB и SC соответственно. Найдите угол между прямыми AE и BF.
  6.  В правильной шестигранной призме ABCDEFA1B1C1D1E1F1, все ребра которой равны 1, отмечены точки K и L — середины ребер A1B1 и B1C1 соответственно. Найдите угол между прямыми AK и BL.
  7.  В правильной трехгранной призме ABCA1B1C1, все ребра которой равны 1, отмечены точки D и E — середины ребер A1B1и B1C1 соответственно. Найдите угол между прямыми AD и BE.
  8.  В кубе ABCDA1B1C1D1 отмечены точки E и F — середины ребер A1B1 и B1C1 соответственно. Найдите угол между прямыми AE и BF.
  9.  В правильном тетраэдре ABCD найдите угол между высотой тетраэдра DH и медианой BM боковой грани BCD.
  10. Точка E — середина ребра BB1 куба ABCDA1B1C1D1 . Найдите угол между прямыми AE и CA1.

Глава II

Угол между прямой и плоскостью

Углом между (пересекающимися) прямой и плоскостью называется угол между прямой и её проекцией на эту плоскость.

Такие углы вычисляются по формуле:

Где  –  координаты направляющего вектора  прямой

A , B , C – координаты вектора нормали к плоскости.

Рассмотрим решения задач на нахождение угла между прямой и плоскостью

1.

Дано:

АВСA1B1C1- прямая треугольная призма

∆ABC-равнобедренный

AC=5
AB=CB=3                               BB1=3

Найти: угол между плоскостью АВС и прямой  =

Решение:

  1. Если в основании треугольник, то для выбора системы координат удобно провести высоту так, как показано на рисунке.
  2. Для того чтобы решить данную задачу найдём координаты нормали к плоскости (АВС)               
  3. Вектором нормали для данной плоскости является вектор 1

А  (0 ;  у ; 0)
А1  (0 ; у ; 3) (представим неизвестную координату по оси У за у для удобства решения)

1  

  1. Также найдём направляющий вектор для прямой А1В

В  (-4 ; 0 ; 0)                    

  1. Для нахождения у рассмотрим  прямоугольный     АСВ :

По теореме Пифагора:

АО2 = у2 = АС2 – СО2 = 25 – 9 = 16

у =  = 4

  1. Тогда    
  2. Для нахождения угла воспользуемся формулой

Тогда sinα ==

Следовательно, =

Ответ :=

2.

Дано:

АВСDA1B1C1D1-прямоуг.  параллелепипед

АВ=1

АD=АА1=2

Найти: угол междуи плоскостью АВС1

Решение:

  1. Введём систему координат, как показано на рисунке
  2. Составим уравнение плоскости АВС1 используя координаты точек

А (1;-2;0)

В (0;-2;0)

С1 (0;0;2)

Подставим эти координаты поочередно в уравнение плоскости Ах + By + Cz +D = 0, и получим систему из трех уравнений, решив которую найдем коэффициенты А, В, С (координаты вектора нормали  к плоскости (АВС1)). Так как плоскость не проходит через начало координат, то D =1

{0;0,5;-0,5}

  1. Направляющим вектором для прямой АВ1 является вектор, координаты которого

А (1;-2;0)

В1 (0;-2;2)

 {-1;0;2}

  1. По формуле нахождения угла между прямой и плоскостью

Ответ:

Задачи для самостоятельного решения

  1. Длины всех ребер правильной четырёхугольной пирамиды PABCD с вершиной P равны между собой. Найдите угол между прямой BM и плоскостью BDP, если точка M — середина бокового ребра пирамиды AP.
  2. В правильной треугольной пирамиде SABC с основанием ABC известны ребра АВ = и SC = 25. Найдите угол, образованный плоскостью основания и прямой, проходящей через середины ребер AS и BC.
  3.  В правильном тетраэдре ABCD найдите угол между медианой BM грани ABD и плоскостью BCD. 
  4. В правильной треугольной пирамиде SABC с основанием ABC известны ребра AB =  и SC = 25  . Найдите угол, образованный плоскостью основания и прямой, проходящей через середины ребер AS и BC. 
  5. В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 , 

AB = 1, AD = AA1 = 2. Найдите угол между прямой AB1 и плоскостью ABC1.

  1. Основанием прямой призмы ABCA1B1C1 является равнобедренный треугольник ABC AB = AC = 5,

BC = 8. Высота призмы равна 3. Найдите угол между прямой A1B и плоскостью BCC1.

  1. В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 , 

AB = 2, AD = AA1 = 1. Найдите угол между прямой AB1 и плоскостью ABC1.

  1. В кубе A...D1 найдите тангенс угла между прямой AC1 и плоскостью BDD1.
  2. В правильной шестиугольной призме A...F1 все ребра которой равны 1, найдите угол между прямой AF и плоскостью BCC1.
  3. В правильной шестиугольной призме A...F1 все ребра которой равны 1, точка G — середина ребра A1B1. Найдите синус угла между прямой AG и BDD1.

Глава III

Угол между плоскостями

Угол между плоскостями равен углу между прямыми, содержащими  нормали к этим плоскостям.

Такие углы вычисляются по формуле:

Где  –  координаты вектора нормали к первой плоскости  

  – координаты вектора нормали к второй плоскости

Рассмотрим пример решения задачи на нахождение угла между плоскостями

Дано:

АВСA1B1C1- правильная призма

∆АВС-равносторонний

АВ=ВС=СА=1

ВВ1=2

DC=DC1

Найти: (АВС)^(ADВ1)

Решение:

  1. Введём систему координат, как показано на рисунке
  2. В плоскости  АВС лежит основание призмы, к которому прямая АА1 перпендикулярна (по условию задачи), а также является вектором нормали к данной плоскости.
  3. Найдём координаты

А (0;-0,5;0)

А1 (0;-0,5;2)

{0;0;2}

  1. Составим уравнение плоскости АВ1D:

А (0;-0,5;0)

D (;0;1)

B1 (0;0,5;2)

Подставим эти координаты поочередно в уравнение плоскости Ах + By + Cz +D = 0, и получим систему из трех уравнений, решив которую найдем коэффициенты А, В, С (координаты вектора нормали  к плоскости АВ1D). Так как плоскость не проходит через начало координат, то D =1

{0;2;-1}

  1. По формуле нахождения угла между плоскостями

сosα =  ,

Ответ:

Задачи для самостоятельного решения

  1. В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 известны ребра: AB=6, AD=8, CC1=16. Найдите угол между плоскостями ABC и A1DB.
  2. В правильной треугольной призме ABCA1B1C1 стороны основания равны 2, боковые ребра равны 3, точка D — середина ребра CC1. Найдите угол между плоскостями ABC и ADB1.
  3. В правильной четырёхугольной призме ABCDA1B1C1D1 стороны основания равны 2, а боковые рёбра равны 3. На ребре AA1 отмечена точка E так, что AE : EA1 = 1 : 2. Найдите угол между плоскостями ABC и BED1. 
  4. В правильной треугольной призме ABCA1B1C1 стороны основания равны 1, боковые ребра равны 2, точка D — середина ребра CC1 . Найдите угол между плоскостями ABC и ADB1.
  5. Сторона основания правильной ABCA1B1C1 треугольной призмы  равна 2, а диагональ боковой грани равна . Найдите угол между плоскостью A1BC и плоскостью основания призмы.
  6. В единичном кубе A...D1 найдите тангенс угла между плоскостями ADD1 и BDC1.
  7. В правильной треугольной призме ABCA1B1C1 все ребра которой равны 1, найдите тангенс угла между плоскостями ABC и CA1B1.
  8. В правильной шестиугольной призме A...F1 все ребра которой равны 1, найдите тангенс угла между плоскостями ABC и DB1F1.
  9. В кубе A..D1 точки E,F - середины ребер A1B1 и A1D1. Найдите тангенс угла между плоскостями AEF и BCC1.
  10. В кубе ABCDA1B1C1D1 найдите косинус угла между плоскостями BA1C1 и BA1D1.

Ответы к задачам для самостоятельного решения

Глава I

1.α = arccos  

2. α = 60°

3. α = arcsin

4. α = arccos  

5. α = arccos  

6. α = arccos 0,9

7. α = arccos 0,7

8. α = arccos 0,8

9. α = arccos  

10. α =  arccos  

Глава II

1. α = arcsin

2. α = arctg

3. α = arccos

4. α = arctg

5. α = arccos

6. α = arctg 0,6

7. α = arccos

8. tg α =

9. tg α = 60°

10. sin α =  

Глава III

1. α = arctg

2. α = arctg 1,5

3. α = arctg

4. α = arctg 2

5. α = 30°

6. tg α =

7. tg α =

8. tg α =

9. tg α = `

10. cos α =


Прыжок (быль). Л.Н.Толстой

Л. Нечаев. Яма

Новогодние гирлянды

Весёлые польки для детей

Юрий Визбор. Милая моя