Проект "Применение листа Мёбиуса"

Муниципальное образовательное учреждение

Павдинская средняя общеобразовательная школа

 (проект) 

Выполнила: Иванова Лена,                                

ученица 9 класса

Руководитель: Г.А. Суркова,

учитель математики, 1 кат.

пос. Павда

2009 г.

Проблемный вопрос:

1.Нашел ли лист Мебиуса практическое применение в повседневной жизни? 2.Существует ли экономическая польза применения ленты Мебиуса в промышленных объектах?

Цель исследования:

Изучить применение ленты Мебиуса в повседневной жизни.

Задачи:

1.Познакомиться с научной фантастикой А.Дж.Дейча, Владислава Крапивина.

2.Познакомиться с изображением Ленты Мебиуса в изобразительном искусстве, скульптуре и графике.

3.Узнать об упоминании листа Мебиуса в исследованиях по биологии, физике, генетике.

4.Познакомиться с применением ленты Мебиуса в промышленности (узнать об эффективности использования таких приборов).

Ход работы:

Содержание материала.

1.Введение

2.Лист Мебиуса. Понятие. Свойства.

3.Применение Листа Мебиуса.

4.Фокусы Листа Мебиуса.

5.Выводы

6.Список литературы

1.Введение.

        Читая математическую литературу, я столкнулась с понятием «Лист Мёбиуса». Меня заинтересовал это интересное словосочетание. И  я попыталась узнать, что это такое лист Мебиуса и какое его применение.  

    Что же такое  лист Мёбиуса?

2. Лист Мебиуса. Понятие. Свойства.

     Лист Мёбиуса - топологический объект, простейшая односторонняя поверхность с краем. Лента Мёбиуса была обнаружена независимо немецкими математиками Августом Фердинандом Мёбиусом и Иоганном Бенедиктом Листингом в 1858г. Модель ленты Мёбиуса может легко быть сделана. Для этого надо взять бумажную полоску и соединить концы полоски, предварительно перевернув один из них. В Евклидовом пространстве существуют два типа полос Мёбиуса в зависимости от направления закручивания: правые и левые.

      Лист Мёбиуса иногда называют прародителем символа бесконечности, т.к. находясь на поверхности ленты Мёбиуса, можно было бы идти по ней вечно. Это не соответствует действительности, так как символ использовался для обозначения бесконечности в течение двух столетий до открытия ленты Мебиуса.

Свойства листа Мёбиуса:

1.Если двигаться вдоль листа Мебиуса ( как и по любой другой односторонней поверхности ), не пересекая его границы , то ( в отличие  от двухсторонних поверхностей) можно попасть в исходное место, оказавшись  в перевернутом положении по сравнению с первоначальным. Это тесно связано с неориентируемостью листа Мебиуса.

2. Если отметить на листе небольшую окружность  с фиксированным направлениями обхода  и двигать ее вдоль листа Мебиуса, не пересекая границы,  то можно придти  к начальному направлению так, что направление обхода окружности изменится  на противоположное.

3.Лист ограничен  всего лишь одной замкнутой линией . Поэтому если разрезать лист Мебиуса  по средней линии , то он не распадется на две части, а превратится в поверхность гомеофорную линдра, отличающуюся от нее лишь тем, что она дважды перекручена вокруг себя.

Если же разрезать ленту Мёбиуса, отступая от края приблизительно на треть её ширины, то получаются две ленты, одна — более тонкая лента Мёбиуса, другая — длинная лента с двумя полуоборотами (не лента Мёбиуса). Другие интересные комбинации лент могут быть получены из лент Мёбиуса с двумя или более полуоборотами в них. Например если разрезать ленту с тремя полуоборотами, то получится лента, завитая в узел трилистника. Разрез ленты Мёбиуса с дополнительными оборотами даёт неожиданные фигуры, названные парадромными кольцами.

3.Применение.

Фантастика.

   Чудесные свойства ленты тут же породили множество научных трудов, изобретений (весьма полезных и совершенно нереальных), а также многочисленных фантастических рассказов. В одном из них, помнится, описывался случай в Нью-йорском метро, когда потерялся во времени поезд, отправившийся в путь по пути, замкнутом в ленту Мебиуса. Оказалось, что автор не так далек от истины. Физики-теоретики пришли к выводу, что наша Вселенная вполне вероятна замкнута в ту же самую ленту согласно теории относительности - чем больше масса, тем больше кривизна пространства. Оппоненты этой теории утверждают, что для подобного искривления Вселенной не хватит массы, но, во-первых, распределение плотности вещества еще до конца не изучено, во-вторых, не учитывается наличие так называемой "скрытой массы", да и нейтрино, как выяснили совсем недавно, обладают положительной массой покоя, а не нейтральны.

 В рассказе Артура Кларка «Стена Темноты». Иногда научно-фантастические рассказы (вслед за физиками-теоретиками) предполагают, что наша Вселенная может быть некоторым обобщенным листом Мёбиуса. Также кольцо Мёбиуса постоянно упоминается в произведениях уральского писателя Владислава Крапивина, цикл «В глубине Великого Кристалла».

Искусство.

     Лист Мёбиуса служил вдохновением для скульптур и для графического искусства. Эшер был одним из художников, кто особенно любил его и посвятил несколько своих литографий этому математическому объекту. Одна из известных — лист Мёбиуса, показывает муравьёв, ползающих по поверхности ленты Мёбиуса.

Техника.

    Существовали технические применения ленты Мёбиуса. Полоса ленточного конвейера выполнялась в виде ленты Мёбиуса, что позволяло ему работать дольше, потому что вся поверхность ленты равномерно изнашивалась. Также в системах записи на непрерывную плёнку применялись ленты Мёбиуса (чтобы удвоить время записи).

Генетика.

     Есть гипотеза, что спираль ДНК сама по себе тоже является фрагментом ленты Мебиуса и только поэтому генетический код так сложен для расшифровки и восприятия. Больше того - такая структура вполне логично объясняет причину наступления биологической смерти - спираль замыкается сама на себя и происходит самоуничтожение.

Физика.

    Физики утверждают также, что все оптические законы основаны на свойствах ленты Мебиуса, в частности отражение в зеркале - это своеобразный перенос во времени, краткосрочный, длящийся сотые доли секунды, ведь мы видим перед собой... правильно, зеркального своего двойника!

Изобретения.

Патентные службы вынуждены были познакомиться с поразительными свойствами листа Мебиуса — в разное время и в разных странах зарегистрировано немало изобретений, в основе которых лежит все та же односторонняя поверхность.

В 1923 году знаменитый американский изобретатель Ли де Форест, который придумал трехэлектродную лампу — триод, предложил записывать звук на киноленте без перемены катушек, сразу «с двух сторон». Ему выдали патент № 1442632.

 Изобрели магнитофон — и сразу же нашлись сообразительные люди, которые придумали особые кассеты, где магнитная лента соединяется в кольцо и перекручивается. Ясно, что тогда можно записывать и считывать подряд с двух дорожек, не снимая кассеты с магнитофона и не меняя их местами, а значит, время непрерывного звучания увеличивается ровно вдвое. (Речь идет, разумеется, о так называемой «непрерывной ленте», то есть замкнутой в кольцо, вроде автоматических телефонных часов или милицейских лозунгов о безопасности движения, передаваемых через репродукторы патрульных машин.).

 В 1969 году советский изобретатель А. Губайдуллин получил авторское свидетельство № 236278 на бесконечную шлифовальную ленту, работающую обеими своими сторонами. Он предложил натянуть сделанную из специального материала ленту Мебиуса на два вращающихся ролика и покрыть ее крупинками твердого абразива. Понятно, что такая лента служит вдвое больше обычной.

Ту же идею использовали сотрудники НИИ автоматизации черной металлургии Г. Буйный и В. Изотов в своем устройстве для магнитной дефектоскопии (им выдано авторское свидетельство № 259449).

В 1963 году патентное ведомство США зарегистровало целых два «практически геометрических» изобретения. Некто Джакобс поставил свои знания топологии на службу химчистки — он придумал самоочищающийся фильтр, который представляет собой все ту же ленту Мебиуса и беспрерывно освобождается от впитанной грязи, «работая» при этом обеими своими сторонами. А Ричард Дэвис, физик из американской корпорации «Сандиа» в Альбукерке, изобрел электрическое сопротивление, обладающее нулевой реактивностью.

В 1969 году советский изобретатель Губайдуллин предложил бесконечную шлифовальную ленту в виде листа Мёбиуса.

В 1971 году изобретатель с Урала Чесноков П.Н. применил фильтр в виде листа Мёбиуса.

 И это только ничтожная часть примеров использования этой удивительной поверхности.

4.Фокусы.

1.В одном из них показывающий  вручает зрителю три больших бумажных кольца, каждое из которых получилось путем склеивания концов длинной бумажной ленты. Зритель разрезает ножницами первое кольцо вдоль ленты посередине,  пока не вернется в исходную точку. В результате получаются два отдельных кольца. Разрезая таким же  образом второе кольцо, он получает, к своему удивлению, не два кольца, а одно, которое в двое длиннее исходного. Наконец, разрезая третье, он снова получает поразительный результат: два кольца, сцепленных друг с другом.

Результат этого фокуса зависит от того, как были сомкнуты концы ленты перед склейкой. Первое наше кольцо получилось путем простого соединения концов ленты без перекручивания . Второе кольцо ( его называют листом Мебиуса ) получается присоединение концов ленты, перекрученной один раз на 180º. Одним из наиболее любопытных свойств этой поверхности, имеющей только одну сторону и один край, является то, что, разрезая ее вдоль по середине, мы получаем одно большое кольцо, если же разрезать его не посередине, а на расстоянии в 1/3 ширины от края, то получается два кольца: одно большое  и сцепленное  с ним маленькое. Третье кольцо получилось при разрезании ленты, концы которой перекручивались перед склейкой дважды,  т.е на 360º.

2.В другом варианте  фокуса кольцо разрезается на два отдельных кольца, одно из которых при разрезании посередине превращается тоже в два отдельных кольца, а другое – в одно большое .

Можно придумать и другие комбинации.

      Теперь, когда вы познакомились с листом Мебиуса, наверное, уже никакая сила не удержит вас от того, чтобы не клеить все новые и новые ленты, закручивая их то на один, то на два, а то и на три полуоборота, и потом беспощадно разрезать вдоль. И вы будете вознаграждены за свою любознательность — полоска бумаги повторит все фокусы, показанные в цирке.

5. Выводы:

1. Лист Мебиуса имеет одну сторону.
2. Лист Мебиуса имеет один край.
3. Лист Мёбиуса - топологический объект. Как и любая топологическая фигура лепта Мёбиуса не меняет своих свойств, пока ее не разрезают, не разрывают или не склеивают его отдельные куски.
4. Один край и одна сторона листа Мебиуса не связаны с его положением в пространстве, не связаны с понятиями расстояния.
5. Лист Мёбиуса находит многочисленные применения в науке, технике и литературе.

6. Список литературы.

1. М. Гарднер  «Математические чудеса и тайны», «Наука» 1978 г.

2.Большая энциклопедия Кирилла и Мефодия. 2004г.

3. И.Ф. Шарыгин . Л.Н. Еранжиева  «Наглядная геометрия» 5-6 класс.

«Дрофа» 2000г.

4.Советская энциклопедии. 2004г.

Материалы сайтов:

http://arbuz.uz/t_lenta.html

http://www.frei.ru/golos/books/

http://umiranie.chat.ru/sphere.htm

http://school-sector.relarn.ru/dckt/projects/ctrana/matric/t_lm1.htm

http://www.kvant.info/

http://www.websib.ru/noos/math/listmebiusa/