как измерить высоту недоступного объекта

МБОУ «Бик-Утеевская основная общеобразовательная школа Буинского района РТ»

Проектно-исследовательская работа:

«Определение высоты мечети»

Авторы: ученицы 8 класса

          Гамирова Рамиля

Хамидуллина Сириня

Руководитель: учитель математики

Салаватуллина Фарида Фидаиловна

2013 год

 «Окружающий нас мир – это мир геометрии, чистой, истинной,

безупречной в наших глазах. Все вокруг – геометрия».

Ле Корбюзье

Введение

      Получилось так, что изучение трудов  великого татарского    учёного-этнографа, литератора и просветителя XIX века Каюма Насыри на уроках татарской литературы совпали по времени  с изучением темы «Подобие треугольника» на уроках геометрии.

    Узнав, что у Каюма Насыри  наряду с многочисленными художественными произведениями,  трудами по языкознанию,  имеются труды в области математики, мы подошли к учителю по математике с вопросом: «Какова роль К. Насыри в математике?»  Учительница дала нам в руки журнал «Магариф», где была статья о «К Насыри и математика». Откуда мы узнали, что 1895 году  из-под его пера вышел учебник “Истыйляхәт гыйльме һәндәсе” (“Геометрия фәне терминнары”), сыгравший исключительную роль в истории начального математического образования среди татар. Содержание, система и методы изложения учебника у К. Насыри  были просты и ясны; они написаны доступным языком для учащихся татарских школ. Примеры и задачи, освещающие некоторые области применения математики, взяты из жизни. Несмотря на широкий круг арифметических и геометрических сведений, сообщаемых в учебнике, все же основная их цель и направление заключается в знакомстве учащихся с некоторыми первичными арифметическими и геометрическими понятиями и фактами и в дальнейшем - в использовании сообщаемых сведений при решении практических задач. А еще учительница с загадкой  улыбнулась и сказала: Геометрия - это целый мир, который окружает нас с самого рождения. Ведь все, что мы видим вокруг, так или иначе относится к геометрии, ничто не ускользает от ее внимательного взгляда. Геометрия помогает человеку идти по миру с широко открытыми глазами, учит внимательно смотреть вокруг и видеть красоту обычных вещей, смотреть и думать, думать и делать выводы. Скоро по геометрии будем походить тему «Подобие треугольника»,  вы вспомните  наш сегодняшний разговор и сами сделаете выводы.

    Через некоторое время мы узнали, как, по преданию, Фалес измерил высоту египетской пирамиды. И задались вопросом сколькими же способами можно измерить высоту недоступного объекта? Оказывается, существует множество различных способов производить подобные измерения. В нашей работе мы расскажем о некоторых из них. Многие сведения мы взяли из Интернета, так пролистывая страницы сайта Татарстанских скаутов, узнали очень интересный «метод карандаша».  

    Заинтересовавшись этим, мы начали исследовать способы практических применений, где используются свойства теоремы о подобных треугольниках. Решение задач на измерение ширины реки, высоты предмета и определение расстояния до недоступной точки, позволили увидеть масштаб применения геометрии в жизни человека.

  Выбранная нами   тема актуальна тем, что  появляется возможность без каких-либо сложных технических устройств измерить расстояние до недоступных точек. Например, измерить  высоту   столба, пирамиды, колокольни, дерева, ширину реки, озера, оврага, длину острова, глубину пруда и т.д.

    Цель  нашей исследовательской работы заключается в  применение знаний тем: “Пропорция”, “Равнобедренный треугольник”, “Прямоугольный треугольник”, «Подобие треугольника»  при  измерении высоты сельской мечети с различными способами, без применения специальных приборов.

Задачи:
1. Показать практическое применение геометрических знаний в окружающем нас мире.
2. Показать умение проводить измерительные работы при определении высоты предмета.
   Содержание исследовательской работы «Определение высоты мечети» с одной стороны раскрывает способы измерения на местности с Фалеса до наших дней, с другой стороны связывает с жизнью, с практическим применением. 

Часть I. Основная теоретическая часть.

1. Высота пирамиды по способу Фалеса

   По преданию, Фалес измерил высоту египетской пирамиды (предположительно пирамиды Хеопса), применив геометрическую теорему, носящую его имя, — теорему Фалеса.  Дело было так. Фараон привез Фалеса к пирамидам и, желая испытать его, предложил измерить их высоту. Ученый принял вызов. Он воткнул в землю палку, дождался, когда длина тени от палки стала равной ее высоте, и повелел измерить тень от пирамиды, заявив, что высота тени в этот момент равна высоте самой пирамиды. Самый легкий и самый древний способ - без сомнения, тот, которым греческий мудрец Фалес за шесть веков до нашей эры определил в Египте высоту пирамиды. Он воспользовался его тенью. Фалес, говорит предание, избрал день и час, когда длина собственной его тени равнялась его росту. В этот момент высота пирамиды должна равняться длине отбрасываемой ее тени. Это, пожалуй, единственный случай, когда человек извлекает пользу из своей тени.

   Этим простым способом очень удобно воспользоваться. Но в наших широтах не так легко, как в Египте, подстеречь нужный для этого момент. Солнце у нас низко стоит над горизонтом, и тени бывают, равны высоте отбрасывающих предметов лишь в околополуденные часы летних месяцев.

2. Измерение высоты площадки Дальнего Вида по способу Жюля Верна.

  Этот способ описан в книге у Жюля Верна в известном романе «Таинственный остров». Там инженер и Герберт измеряют высоту площадки дальнего вида. «…Он взял шест длиной  12 футов. Не доходя футов 500 до гранитной стены, воткнул шест  в песок на 2 фута вертикально. Затем он отошёл от шеста на такое расстояние, чтобы лёжа на песке, можно было на одной прямой линии видеть и конец шеста, и край гребня. Эту точку он тщательно отметил колышком. Оба расстояния были измерены. Расстояние от колышка до палки равнялось 15 футам, а от палки до скалы 485 футам. По окончании измерений составили следующую запись…»

     Здесь нужен шест, который придется воткнуть в землю отвесно так, чтобы выступающая часть как раз ровнялась росту человека. Место для шеста надо выбирать так, чтобы лежа, было видно верхушку дерева на одной прямой линии с верхней точкой шеста. Получим два прямоугольных треугольника. Катетами первого будет являться шест и расстояние от шеста до головы человека лежащего на земле. Катетами второго треугольника будут являться: расстояние от головы человека до дерева и та высота дерева, которую нам нужно определить. Мы можем определить расстояние от головы до шеста и от головы до дерева, так же нам известна высота шеста, следовательно, мы можем составить пропорцию и найти искомую высоту.

3. Определение высоты минарета описан в книге К. Насыри “Истыйляхәт гыйльме һәндәсе” (“Термины по геометрии”).

  «… Янына барып үлчәргә мөмкин бер гыймарәтнең (бинаның) яки бер тауның яки бер манараның биеклеген белмәк өчен ансат бер ысулы бардыр.  Мәсәлән, мәчет манарасының биеклеге ничә аршин яки ничә колач  икәнлеген белү өчен  мәчет нигезеннән бераз арырак В ноктасында  бер казык утыртыла.  Казык башының Е ноктасында мәчет манарасының иң югары М нокасына юнәлгән визир беркетелә. Визирның икенче ягына чыгып, визир сызыгы юнәлеше буенча җир өстендә С ноктасын билгелибез. Ике охшаш АСМ һәм ВСЕ өчпочмаклары барлыкка килде. АС һәм ВС арасын. ВЕ казыгы озынлыгын үлчәгәч, эзләнелә торган манара биеклеген – АМ ны пропорция төзеп табарга була.»

4. Способ прямоугольного равнобедренного треугольника.

   Есть до смешного простые, хотя и не слишком точные способы измерения труднодоступной высоты. Мы не делаем никакого открытия, просто хотим объяснить рисунок из книги А.Маркуши, которая называется «Мужчинам до 16 лет». Эта замечательная книга содержит советы для мальчиков, которые обязательно станут настоящими мужчинами, если у них в руках окажется эта книга. Для того, чтобы метод измерения стал более понятен, объясняем.  Берем квадратный лист картона, фанерки, бумаги и т.д. Проводим линию по диагонали. Прикладываем лист к глазу и, держа параллельно поверхности земли нижний край квадрата, отходим от дерева до тех пор, пока прицеливаясь взглядом, не совместим вершину дерева с диагональю. Теперь осталось посчитать шагами или рулеткой расстояние до дерева – L. К этому нужно прибавить расстояние от земли до вашего глаза (нижний край квадрата) h. Так мы узнаем высоту дерева, т.е. L+h=H, где H высота дерева.

5.  «Метод карандаша».  Способ, который используют  скауты. (Из Интернет–сайта Татарстанских скаутов).

   Встать от объекта на такое расстояние, чтобы видеть его целиком – от основания до верха. У основания установить помощника. Вытянуть перед собой руку с карандашом (или ручка, или любая палочка), зажатым в кулаке. Прищурить один глаз и подвести кончик грифеля к вершине объекта. Теперь переместить ноготь ь пальца так, чтобы он оказался под основанием. Повернуть кулак на 90 градусов, чтобы карандаш оказался расположен параллельно к земле. При этом ноготь должен все так же оставаться в точке основания. Кликнуть помощнику, чтобы отошел от дерева. Когда он достигнет точки, на которую указывает острие карандаша, подать сигнал, чтобы остановился. Измерить расстояние от объекта до места,  где застыл помощник – это и есть высота объекта.

6. С помощью зеркала.

  Для определения высоты предмета можно использовать зеркало, расположенное на земле горизонтально. Луч света, отражаясь от зеркала, попадает в глаз человека. Используя подобие треугольников можно найти высоту предмета, зная рост человека (до глаз), расстояние от глаз до макушки человека и измеряя расстояние от человека до зеркала, расстояние от зеркала до предмета (учитывая, что угол падения луча равен углу отражения).

    Исходя из вышеизложенного, можно сказать, определение высоты предмета  - это есть измерения с применением геометрических методов, связанных с подобием треугольников.

   Измерить отрезок – значить, сравнить с единичным отрезком, или отрезком, имеющим известную длину. У подобных фигур соответственные размеры при делении дают одно и то же число.

  Геометрическая постановка задачи в нашей работе: определить длину отрезка АВ, где А – основание мечети, В вершина минарета.

Рабочая формула:  H=h*L/l, где

Н – высота мечети; h – высота известного объекта; L и l – величины, связанные с мечетью и объектом, их смысл будет пояснен в каждом эксперименте.

Часть II. Практическая часть.

1. С помощью тени.

   Изменим способ Фалеса: в солнечный день можно пользоваться любой тенью, какой бы длины не была.  Измерили длину тени мечети  и длину нашей  тени и измерили свой рост. Так как мечеть и человек расположены перпендикулярно к земле, получим  два прямоугольных треугольника, они подобны. Используя подобие треугольников составим пропорцию (отношение соответственных сторон), из которой и найдём высоту мечети. Измерения нужно проводить одновременно, так как солнце не стоит на одном месте, длина изменяется.

Рабочая формула:  H=h*L/l, где

  Н – высота мечети; h – высота человека; L – длина тени мечети и l – длина тени человека.

2. С помощью  шеста.

   1) Для измерения высоты мечети при помощи шеста необходимо предварительно точно измерить высоту шеста, рост производящего измерения до уровня глаз. Воткнули в землю под прямым углом шест, который  выше  нашего роста   на расстоянии  от мечети. Затем отошли от шеста назад  не увидели высшую точку мечети  на одной линии с верхней точкой  шеста. Далее отмерили    расстояние  до мечети и до шеста. Высота мечети также  вычисляется из пропорции подобных треугольников.

   Рабочая формула:  H=h*L/l + рост производящего измерения до уровня глаз,  где

 Н высота мечети до уровня глаз; h – высоту шеста; L – расстояние от человека до мечети и l –

2) Второй принцип измерения следующий: шест воткнули в землю на некотором расстоянии от мечети перпендикулярно земле. По очереди  легли на землю таким образом, чтоб видеть шест и мечеть «друг за другом», причем верхушка шеста совпадает с верхушкой мечети. Отметив место над головой,  измерили расстояние от шеста до мечети и до метки.  Длина шеста известна. Зная измеренные расстояния, нашли  высоту мечети.

Рабочая формула:  H=h*L/l + рост производящего измерения до уровня глаз,  где

 Н высота мечети до уровня глаз; h – высоту шеста; L – расстояние от человека до мечети и l –

3. С помощью равнобедренного прямоугольного треугольника.

   Использовали прямоугольный равнобедренный треугольник,  сделанный из квадратного листа пенопласта.  Держа треугольник вертикально, отошли от дерева на такое расстояние, при котором глядя вдоль гипотенузы, увидели верхушку мечети. Высота мечети от уровня глаз до верхушки равна расстоянию от мечети до человека. Измерили расстояние от места измерения до мечети, прибавили к полученному свой рост.

Рабочая формула:  H=h*L/l + рост производящего измерения до уровня глаз,  где

 h и l– высоты прямоугольного равнобедренного треугольника, так как они равны, то  Н высота мечети до уровня глаз =  L – расстоянию от человека до мечети

4. С помощь карандаша.

   Встали от мечети на  расстояние, чтобы видеть его целиком – от основания до верха. У основания установили помощника. Вытянули перед собой руку  ручка, зажатым в кулаке. Прищурив один глаз, подвели кончик ручки к вершине объекта. Теперь переместили ноготь большого   пальца так, чтобы он оказался под основанием. Повернули кулак на 90 градусов, чтобы ручка оказалась  параллельно к земле. При этом ноготь  оставили в точке основания. Кликнули помощнику, чтобы отошел от дерева. Когда он достиг точки, на которую указывает острие ручки, подали сигнал, чтобы остановился. Измерили расстояние от мечети до места,  где застыл помощник – это высота мечети.

Рабочая формула:  H=h*L/l,  где

 h и l– расстояние от острие ручки до ногтя, так как они равны, то  Н высота мечети =  L – расстоянию от человека до мечети.

Н = 18,60 м.

5. С помощью фотоаппарата.

У основания мечети установили товарища. Сфотографировали, убедившись, что фотоаппарат установлен в вертикальной поверхности. Высота мечети во столько раз больше высоты человека, во сколько раз длина изображения мечети на фотографии больше длины изображения человека.

 Рабочая формула:  H=h*L/l, где

  Н – высота мечети; h – длина изображения мечети; L – высота человека и l – длина изображения человека.

Заключение

  Мы рассмотрели несколько способов определения высоты мечети с помощью подручных средств без специальных приборов и инструментов. Все эти способы основаны либо на определения длины отрезка и измерения, либо на свойства подобных фигур.

  Эксперименты проводились в неблагоприятных условиях: неровная и неудобная местность, много снега, мороз, отсутствие опыта и сноровки. Результаты различных экспериментов отличались. Можем предположить, что высота мечети около 18 метров. Самым удобным способом считаем «метод карандаша». Он требует всего одно измерение. С помощью фотоаппарата опыт не удался.

  Практические работы  обогатили нас новыми знаниями по геометрии, развили интерес к его изучению, расширили знания  по географии, литературе. Знания, полученные при выполнении исследовательской работы, останутся в нашей памяти надолго, развивая навыки научно-исследовательской работы.  Дальнейшие наши задачи продолжить эту тему, рассматривая задачи: измерение ширины реки, озера, оврага, нахождение нижней высоты облаков.

Фотоотчет

1.Метод тени

2 Метод шеста

3. С помощью равнобедренного прямоугольного треугольника.

4. «Метод карандаша»

6. С помощью фотоаппарата