Треугольник Паскаля в комбинаторных задачах

Приложение.

Приложение 1.

Задача 1.В магазине «Филателия» продается 8 различных наборов марок, посвященных спортивной тематике. Сколькими способами можно выбрать из них 3 набора?

Решение:

В треугольнике Паскаля число, показывающее, сколькими способами можно выбрать k элементов из множества, содержащего n различных элементов, стоит на пересечении k-ой диагонали и n-ой строки.

Найду диагональ восьмую сверху и отсчитываю три числа по горизонтали. Получу число 56.

Приложение 2.

Задача 2.Из шести врачей поликлиники двух необходимо отправить на курсы повышения квалификации. Сколькими способами это можно сделать?

Решение:

Найду диагональ шестую сверху и отсчитываю два числа по горизонтали. Получу число 15.        

Приложение 3.

Задача 3.Сколько различных двухзначных чисел можно составить, используя цифры  1, 2, 3, 4 при условии, что ни одна цифра не повторяется?

Решение:

 или       

Найду диагональ четвёртую сверху и отсчитываю два числа по горизонтали. Получу число 6. Вычислю факториал числа 2, получу 2. Искомое произведение равно 12.        

 Приложение 4.

Задача 4. У ювелира есть пять изумрудов, восемь алмазов, четыре топаза. Сколькими способами он может сделать браслет, включив в него два изумруда, три алмаза и два топаза?

Решение:

Два изумруда из пяти имеющихся можно выбрать 10 способами, три алмаза из восьми 56 способами, два топаза из четырёх 6 способами. Браслет можно сделать 3360 способами, т.е.

Приложение 5.

Задача 5. В пачке находятся одинаковые по размеру 7 тетрадей в линейку и 5 в клетку. Из пачки наугад берут 3 тетради. Какова вероятность того, что все три тетради окажутся в клетку?

Решение. Сначала найдём общее число возможных исходов, т.е. сколькими способами мы можем выбрать 3 тетради из 12 тетрадей  

А сколькими способами мы можем выбрать 3 тетради в клетку из имеющихся 5 тетрадей?

Вероятностью Р наступления случайного события А называется отношение m/n, где n – число всех возможных исходов эксперимента, а m – число всех благоприятных исходов: Р(А)= m/n.

По формуле нахождения вероятности получим

Приложение 6.

Задача 6.На плоскости даны 10 прямых, причём среди них нет параллельных и через каждую точку их пересечения проходят ровно две прямые. Сколько у них точек пересечения?

Решение: ответ находится на пересечении -

45 точек!

Приложение 7.

Задача 7.

На плоскости даны 14 прямых, причём четыре из них параллельны и через каждую точку их пересечения проходят ровно две прямые. Сколько у них точек пересечения?

Решение: В предыдущей задаче было 10 непараллельных прямых и они имели 45 точек пересечения. Одна из 10 непараллельных пересекает четыре параллельные в 4 точках, т.е. добавим ещё 40 точек пересечения. В ответе получим 85 точек пересечения.

Приложение 8.

Задача 8.

Сколько нечетных трехзначных чисел (без повторения цифр в числе) можно составить из цифр 1, 2, 3,4, 5?

Всего можно составить 60 чисел. Из них у 12 чисел запись заканчивается цифрой 1, у следующих 12 чисел на 2, ещё у 12 на 3, ещё у 12 на 4, у последних 12 на 5. Исключим 24 чётных числа, запись которых оканчивается на 2 и 4. Наш ответ 36 чисел.

Приложение 9.

Задача 9.

В сумке 10 мячей, пронумерованных от 1 до 10. Наугад вынимают 2 мяча. Какова вероятность того, что это будут мячи с номерами 7 и 3?

Вынуть 2 мяча из 10 имеющихся можно 45 способами. Вероятность нашего события 2 из 45.

Приложение 10.

Задача 10.

На плоскости даны 11 точек, из которых никакие три не лежат на одной прямой и никакие четыре не лежат на одной окружности. Сколько существует окружностей, каждая из которых проходит через три данные точки?

Сочетаний по три точки из одиннадцати будет 165. Три точки, не лежащие на одной прямой, составляют треугольник. Вокруг любого треугольника можно описать окружность только одну. Вокруг наших треугольников будет 165 окружностей.

Приложение 11.

Задача 11.

На плоскости даны 15 точек, из которых никакие три не лежат на одной прямой, пять лежат на одной окружности, а из остальных никакие четыре не лежат на одной окружности. Сколько существует окружностей, каждая из которых проходит по меньшей мере через три данные точки?

Сочетаний по три точки из пятнадцати будет 455. Три точки, не лежащие на одной прямой, составляют треугольник. Вокруг любого треугольника можно описать окружность только одну. Вокруг наших треугольников будет 455 окружностей.

В условии идёт речь о пяти точках, лежащих на одной окружности. Мы уже посчитали эти точки, вернее 10 окружностей, проходящих через эти 5 точек, причём десять совпадающих окружностей.

        Количество сочетаний 3 из 5 равно 10.

Вычитаем повторяющиеся 9 окружностей и получим ответ: 446.