Магическое число ПИ

Оглавление:

Введение ……………………………………………………………………………2

1. Знакомство с числом π………………………………………………………3

1.1.История вычисления числа π ………………………………………………….3  

1.2. Вычисления числа π на современном этапе………………………………….4

 1.3. Магическое число не только в математике………………………………….5

1.4. Мнемонические правила для запоминания значения числа π………………7

1.5. День рождения числа π………………………………………………………...8

      2. Экспериментальная часть. Способы вычисления числа π………………....9

 2.1. Постановка задач и гипотезы исследования…………………………………9

2.2. Методика исследования……………………………………………………….9

2.3. Результаты и анализ исследования ………………………………………….10                                                  

Заключение………………………………………………………………………...12

Список литературы ……………………………………………………………….13

Приложения

Сопровождающие документы:

1. Аннотация (после титульного листа);
2. Отзыв научного руководителя (после Приложения);
3. Справка об успеваемости  (в конце сопровождающих документов);

Введение.

Я учусь в 7 классе. В прошлом году мы изучили тему «Длина окружности и площадь круга» и познакомились с числом Пи.

Школьникам кажется, что это очень простое число, равное примерно 3,14. Но почему же тогда ученые называют его «загадочным», «магическим»? Математики говорят, что в таких числах, как Пи, зашифрована вся Вселенная. Без знаний о константе π нельзя вычислить длину окружности, площадь круга, выполнить многие расчеты в радиотехнике и космонавтике. Не случайно появился международный праздник – День числа Пи.

История возникновения этого числа заинтересовала меня. Мне хотелось бы раскрыть тайны π  и  узнать, как вычисляли  его числовое значение  в древние времена и как вычисляют его сейчас, сравнить эти методы. Также мне интересно узнать, какие ученые и в какие века занимались проблемой числа π,  и попытаться самому вычислить приближенное значение числа π.

Цель работы: Определить области применения числа π и научиться вычислять число π опытным путём.

Задачи:

1. Изучить историю открытия числа π
2. Выяснить  место и роль числа π в  различных областях
3. Изучить различные способы вычисления числа π
4. Научиться вычислять число π опытным путём
5. Рассмотреть некоторые факты из «современной биографии» числа π.

Гипотеза: Не все способы получения значения числа π приводят к точному результату.

Объект исследования: Магическое число π

Методы исследования: Эмпирический (сравнение, счет, измерение, анкетный опрос, собеседование); Экспериментально-теоретический (эксперимент, анализ, синтез, исторический, обобщение)

Нами были опрошены учащиеся 6,9,11 классов, учителя школы. По результатам опроса получили информацию о том, где люди встречали, применяли число ПИ. Изучили историю возникновения числа ПИ, его применение.

Были проведены опыты по вычислению числа ПИ различными способами и проведён сравнительный анализ.

1. Знакомство с числом π

1.1.История  вычисления  π.

Проблеме  π – 4000 лет. Исследователи древних пирамид установили, что частное, полученное от деления суммы двух сторон основания на высоту пирамиды, выражается числом 3,1416.

История числа , выражающего отношение длины окружности к её диаметру, началась в Древнем Египте. Площадь круга диаметром d египетские математики определяли как  (эта запись дана здесь в современных символах). Из приведенного выражения можно заключить, что в то время число  считали равным дроби , или, т.е.  = 3,160...В священной книге джайнизма (одной из древнейших религий, существовавших в Индии и возникшей в VI в. до н.э.) имеется указание, из которого следует, что число  в то время принимали равным 3,162... Древние греки Евдокс, Гиппократ и другие измерение окружности сводили к построению отрезка, а измерение круга - к построению равновеликого квадрата. Следует заметить, что на протяжении многих столетий математики разных стран и народов пытались выразить отношение длины окружности к диаметру рациональным числом.

А вот так началась письменная история числа π:

В знаменитом папирусе Ахмеса приводится такое указание для построения квадрата, равного по площади кругу:

« Отбрось от диаметра его девятую часть и построй квадрат со стороной, равной остальной части, будет он эквивалентен кругу»

Из этого следует, что у Ахмеса π ≈ 3,1605.

В Вавилоне в v веке до н. э. пользовались числом 3≈ 3,1215,  а в древней Греции числом (√2+√3)≈3,1462643.

 В индийских «сутрах» VI–V в до н. э. имеются правила, из которых вытекает, что      π ≈3,008. [1]

Наиболее древняя формулировка нахождения приближённого значения отношения длины окружности к диаметру содержится в стихах индийского математика Ариабхаты (V-VI в)

Прибавь четыре к сотне и умножь на восемь,

Потом ещё шестьдесят две тысячи прибавь.

Когда поделишь результат на двадцать тысяч,

Тогда откроется тебе значение

Длины окружности к двум радиусам отношенья,   т. е.

                               длина окружности         62832

                           __________________    =  ______   ≈3,1416

                                       диаметр                   20000

По точным расчётам Архимеда отношение окружности к диаметру заключено между числами 3и 3, а это означает, что  = 3,1419... Истинное значение этого отношения 3,1415922653...

В V в. до н.э. китайским математиком Цзу Чунчжи было найдено более точное значение этого числа: 3,1415927...[2]

В первой половине XV в. обсерватории Улугбека, возле Самарканда, астроном и математик Ал-Каши вычислил  с 16 десятичными знаками.

Андриан Ван Ромен    (Бельгия) в XVI получил 17 верных десятичных знаков, а голландский вычислитель- Лудольф ван- Цейлен (1540-1610), вычисляя π, и получил 35 верных знаков для π. Ученый обнаружил большое терпение и выдержку, затратив несколько лет на определение числа π.      В его честь современники назвали π «Лудольфово число».

Согласно завещанию, на его надгробном камне было высечено найденное им значение π.

Спустя полтора столетия в Европе Ф.Виет нашёл число   только с 9 правильными десятичными знаками. Только через 250 лет после Ал-Каши его результат был превзойдён.[3]

Первым ввёл обозначение отношения длины окружности к диаметру современным символом  английский математик У.Джонсон в 1706 г. В качестве символа он взял первую букву греческого слова "periferia", что в переводе означает "окружность". Введённое У.Джонсоном обозначение стало общеупотребительным после опубликования работ Л.Эйлера, который воспользовался введённым символом впервые в 1736 г.

Поиски точного выражения   продолжались и после работ Ф.Виета. В начале XVII в. голландский математик из Кёльна Лудольф ван Цейлен (1540-1610)  (некоторое историки его называют Л.ван Кейлен) нашёл 32 правильных знака. С тех пор (год публикации 1615) значение числа  с 32 десятичными знаками получило название числа Лудольфа.[1]

К концу XIX в., после 20 лет упорного труда, англичанин Вильям Шенкс нашёл 707 знаков числа . Однако в 1945 г. обнаружено с помощью ЭВМ, что Шенкс в своих вычислениях допустил ошибку в 520-м знаке и дальнейшие его вычисления оказались неверными.

2. О вычислениях значения числа π на современном этапе

С появлением ЭВМ значения числа π было вычислено с достаточно большой точностью. В США, например, был получен результат с более 30 млн. знаков. Если распечатать значение числа, полученное в США, то оно займёт 30 томов по 400 страниц в каждом.

   Вычисление такого числа знаков для π не имеет практического значения, а лишь показывает огромное преимущество и совершенство современных средств и методов вычисления по сравнению со старыми.

Так за полвека вырастала запись точного значения числа «Пи» с помощью компьютера:

1. 1949 год — 2037 десятичных знаков
2. 1958 год — 10000 десятичных знаков
3. 1961 год — 100000 десятичных знаков
4. 1973 год — 10000000 десятичных знаков
5. 1986 год — 29360000 десятичных знаков
6. 1987 год — 134217000 десятичных знаков
7. 1989 год — 1011196691 десятичный знак
8. 1991 год — 2260000000 десятичных знаков
9. 1994 год — 4044000000 десятичных знаков
10. 1995 год — 4294967286 десятичных знаков
11. 1997 год — 51539600000 десятичных знаков
12. 1999 год — 206 158 430 000 десятичных знаков.

Суперкомпьютер в сентябре 1999 года работал 37 часов 21 минут 4 секунды, используя 865 Гбайт памяти для основной задачи, и  46 часов и 816 Гбайт для вспомогательной оптимизации вычислений.

В 2009 году французский программист Фабрис Беллар поставил рекорд вычисления числа π с точностью до 2,7 трлн знаков после запятой. Что самое удивительное, он сделал это на своём персональном компьютере под управлением Fedora 10.
Достижение Беллара показало, что не обязательно иметь суперкомпьютер для таких вычислений, и его коллеги решили сделать компьютер помощнее и перекрыть достижение француза.
2 августа 2010 года американский студент Александр Йи и японский исследователь Сигэру Кондо рассчитали последовательность с точностью в 5 триллионов цифр после запятой.[3]

3. Магическое  число π не только в математике

Опрашивая учащихся нашей школы, я узнал, что число π встретится мне на уроках геометрии, при изучении тригонометрии, физики. Учителя биологии, географии, физики рассказали мне о некоторых  интересных фактах использования загадочного числа π.

Ученые с давних пор пытались создать классификацию рельефа земной поверхности, привести ее в единую систему, которая удовлетворяла бы разных специалистов, изучающих нашу планету с различных точек зрения. Однажды за эту работу взялся кандидат географических наук В. Пиотровский. Он исходил из принципа, что все «построенное» на Земле природой — равнины, холмы, предгорья, горы, подводные валы и глубоководные желоба — следует не разделять, а, напротив, объединять.

Основой новой классификации стали размеры форм рельефа — длина, ширина и высота. Работа эта продолжалась весьма длительное время, так как требовалось провести тысячи и тысячи замеров. Когда измерений набралось достаточно, пришло время выстроить их «по росту» — сначала мельчайшие формы, например водяная рябь, окаменевшая на песке, потом та же рябь, но повыше, и т.д. — от «букашек» к великанам — к горным цепям Кавказа и Гималаев.

Первые результаты обнаружились почти сразу. В частности, была установлена определенная «дискретность», что позволяло классифицировать рельеф в 15 порядков. Это относится как к песчаной ряби, длина которой составляет 10 см, так и к тектоническим структурам длиной 1000 км (первый и последний порядки). Мало того, в этом морфометрическом ряду проглядывалась еще одна странность: все структуры рельефа Земли — от мелких до гигантских — связаны между собой через число π, равное 3,141... Это положение, как ни странно, касалось также и ширины, и высоты, и глубины, и даже площади рельефа и всех тектонических структур.

Рассматривая первую половину морфометрического ряда, обращаешь внимание, что рябь в окаменелом песчанике, дюны, барханы — все эти структуры очень напоминают «застывшие волны», которые образовались в результате воздействия определенных закономерностей, вызываемых волновыми процессами.

В. Пиотровский предположил, что рассматриваемый им ряд должен быть как-то связан с радиусом Земли. Не могли же волны распространяться только по поверхности. Возможно, что волны пришли из глубин земного шара и были кратны его радиусу?.. Учитывая, что в ряду представлены только половины волн (целая волна — это горный хребет и соседний с ним прогиб), В. Пиотровский величину радиуса Земли поделил на число л, затем полученный результат снова поделил на число л и т.д. Эта последовательность расчетов позволила ему получить колонку цифр, которая полностью совпала с морфологическим рядом. По этому вопросу В. Пиотровский писал следующее:

«...Тектонические структурные формы, образующиеся в земной коре и выраженные на ее поверхности в виде форм рельефа, развиваются в результате каких-то общих процессов, происходящих в теле Земли, они пропорциональны размерам Земли и связаны с ее физическими свойствами. Наиболее вероятно, что такими процессами можно считать периодические деформации — колебания или «волны», возникающие в теле Земли под действием различных причин: силы притяжения Луны и Солнца, изменений скорости вращения вокруг оси нашей планеты, изменений атмосферного давления и т.д.»

Следующие расчеты В. Пиотровского касались уже земных недр. Раз волны оставляют ясные следы на поверхности Земли, то и в недрах они должны быть каким-то образом отмечены. Проверка морфологического ряда, вычисленного делением радиуса Земли на число Пи, осуществлялась как сверху вниз, то есть от поверхности Земли к ее центру, так и наоборот, от центра Земли к ее поверхности и далее в космос. Таким образом, автор рассматриваемой гипотезы вычислил границы земного ядра, поверхность литосферы, внутренний радиационный пояс планеты. Совпали также границы магнитного поля и внешнего радиационного пояса Земли. Таким образом, число пи доказало на конкретных примерах свою вездесущность в недрах и на поверхности нашей планеты, а также в околоземном космосе.[4]

Загадка числа ПИ в конце 1970г.  заинтересовала ленинградского инженера А.Снисаренко. Он попытался выявить связь числа с планетарными расстояниями в Солнечной системе.

Закон числа π , предложенный Снисаренко А., точно отражает расстояния орбит известных нам сегодня планет от Солнца. Но можно ли его распространить на орбиты далёких планет, если они существуют?[5]

4. Мнемонические  правила для запоминания значения числа π

У наших предков не было компьютеров, калькуляторов и справочников, но со времен Петра I они занимались геометрическими расчетами в астрономии, в машиностроении, в корабельном деле. Впоследствии сюда добавилась электротехника - там есть понятие "круговой частоты переменного тока". Для запоминания числа " π " было придумано двустишие (к сожалению, мы не знаем автора и места первой публикации его; но еще в конце 40-х годов двадцатого века московские школьники занимались по учебнику геометрии Киселева, где оно приводилось).

1. Чтобы нам не ошибиться ,

    Надо правильно прочесть:

   Три, четырнадцать, пятнадцать,

   Девяносто два и шесть.

2. Надо только постараться

   И запомнить все как есть:

   Три, четырнадцать ,пятнадцать,

   Девяносто два и шесть.

3. Три, четырнадцать, пятнадцать

   Девять, два, шесть, пять, три, пять.

   Чтоб наукой  заниматься,

   Это каждый должен знать.

4. .Подсчитайте  количество  букв в каждом слове в  нижеприведенных  фразах (без учета знаков препинания) и запишите  эти  цифры  подряд – не  забывая  про  десятичную запятую  после первой цифрой  «3» , разумеется. Получится приближенное  число π.

-Это я  знаю и помню  прекрасно: Пи многие знаки мне лишни , напрасны.[3]

Нельзя не отметить такой факт, что об исследуемом мною числе π был снят фильм . Герой фильма (1999г) Даррена Ароновски молодой человек по имени Макс пытается найти на своём огромном компьютере, который занимает всю его комнату, значение числа π. А вернее, хочет найти систему в записи числа, но пока в его голове только хаос.

5. День рождения числа ПИ

   Праздник был учрежден в 1987 году физиком из Сан-Франциско Ларри Шоу, который подметил, что в американской системе записи дат (месяц / число) дата 14 марта - 3/14 - и время 1:59 совпадает с первыми разрядами числа π = 3,14159.С тех пор каждый год люди не равнодушные к математике отмечают день числа π.

Главная церемония проходит в музее. Кульминация приходится на 1час 59 минут 26 секунд после полудня. Участники праздника маршируют вдоль

стен Круглого зала. В центре зала размещают латунную тарелку, на которой выгравировано число p с первыми 100 знаками после запятой.[3]

В этот день принято читать хвалебные речи в честь числа Пи, его роли в жизни человечества, пекут и едят ПИ-рог с изображением греческой буквы Пи или с первыми цифрами самого числа, пьют напитки и играют в игры, начинающиеся на пи, решают математические головоломки и загадки, водят хороводы вокруг предметов, связанных с этим числом.  Итальянцы, наверное, в этот день готовят ПИццу, англичане – жареную ПИкшу, немцы ставят на стол свиной шПИк, французы непременно готовят что-нибудь ПИкантное. В России же пекут ПИроги. Учащиеся и учителя математики нашего города провели 14 марта этого года флэш-моб по поводу Дня рождения числа ПИ. Они выстроились по форме числа и скандировали речёвку.

2.Экспериментальная часть. Способы вычисления числа π.

1. Постановка задач и гипотезы исследования

Цель работы: Определить области применения числа π и научиться вычислять число π опытным путём.

Задачи:

6. Изучить историю возникновения числа π
7. Выяснить  место и роль числа π в  различных областях знаний
8. Изучить различные способы вычисления числа π
9. Научиться вычислять число π опытным путём
10. Рассмотреть некоторые факты из «современной биографии» числа π.

Гипотеза: Не все способы получения значения числа π приводят к точному результату.

Объект исследования: Способы вычисления числа ПИ

2. Методика  исследования:

1.Изучить литературу об истории возникновения числа π

2.Опросить учащихся 6,9,11 классов, учителей нашей школы о применении числа π в математике, физике, других областях знаний.

3.  Провести опыты по вычислению числа π различными способами

 4. Провести сравнительный анализ методов нахождения числа π.

5. Сделать выводы

3. Результаты исследования.

Из различных источников я узнал, что загадочное число применяется в математике, физике, информатике, химии, биологии, географии, музыке.

Провел опрос учащихся школы, чтобы выяснить, как могут применить число π ребята и учителя. Как видно из результатов опроса, большинство опрошенных знают о применении числа только в математике. (Приложение 1)

Я также попытался опытным путем получить число π. Для этого можно воспользоваться нижеследующими способами.

1.Простейшее измерение

Начертим на плотном картоне окружность радиуса R, вырежем получившийся круг и обмотаем вокруг него тонкую нить. Измерив длину l одного полного оборота нити, разделим l на длину диаметра окружности. Получившееся частное будет приближенным значением числа π, т. е. π =. Данный способ дает в обычных условиях приближенное значение числа π с точностью до 1 знака после запятой.[6]

Ниже я хочу описать свой опыт нахождения приблизительного значения числа π методом измерения. (Приложение 1)        

Полученное мною значение π отличается от реального на 0,02. Я доволен этим результатом т. к. выше сказано, что такой способ дает в обычных условиях приближенное значение числа π с точностью до 1 знака после запятой.

2. Измерение с помощью взвешивания

На листе картона начертим квадрат. Впишем в него круг. Вырежем квадрат. Определим массу картонного квадрата с помощью школьных весов. Вырежем из квадрата круг. Взвесим и его. Зная массы квадрата   (mкв)  и вписанного в него круга (mкр), воспользуемся формулами m=QV, V=Shy где Q и h — соответственно плотность и толщина картона, S — площадь фигуры. Рассмотрим равенства: , . Отсюда , т. е. π =

Естественно, что в данном случае приближенное значение π зависит от точности взвешивания. Если взвешиваемые картонные фигуры будут довольно большими, то возможно даже на обычных весах получить такие значения масс, которые обеспечат приближение числа π с точностью до 0,1.[6]

Я провёл опыт нахождения числа π, используя метод взвешивания.(Приложение 2)

Этот результат получился точнее чем тот, что в первом опыте.

3. Суммирование площадей прямоугольников вписанных в полукруг.

Пусть А (а;0), В (b;0). Опишем на АВ полуокружность как на диаметре. Разделим отрезок АВ на п равных частей точками , , …,  и восставим из них перпендикуляры до пересечения с полуокружностью. Длина каждого такого перпендикуляра — это значение функции  f(x)=. Из рис. 1 ясно, что площадь S полукруга можно вычислить по формуле:

(( f()+f()+…+f())

Тогда π ≈2S.

Значения π будут тем точнее, чем больше точек деления будет на отрезке АВ.[3]

Я провёл опыт нахождения числа π, используя этот метод.(Приложение 3)

4. Метод Монте-Карло

Это фактически метод статистических испытаний. Свое экзотическое название он получил от города Монте-Карло в княжестве Монако, знаменитого своими игорными домами. Дело в том, что метод требует применения случайных чисел, а одним из простейших приборов, генерирующих случайные числа, может служить рулетка. Впрочем, можно получить случайные числа и при помощи ... дождя.

Для опыта приготовим кусок картона, нарисуем на нем квадрат и впишем в квадрат четверть круга. Если такой чертеж некоторое время подержать под дождем, то на его поверхности останутся следы капель. Подсчитаем число следов внутри квадрата и внутри четверти круга. Очевидно, что их отношение будет приближенно равно отношению площадей этих фигур, так как попадание капель в различные места чертежа равновероятно. Пусть  — число капель в кругу, — число капель в квадрате, тогда π =  (1)

Ясно, что применение метода Монте-Карло стало возможным только благодаря компьютерам.[3]

5. Метод «падающей иголки»

Возьмем обыкновенную швейную иголку и лист бумаги. На листе проведем несколько параллельных прямых так, чтобы расстояния между ними были равны и превышали длину иголки. Чертеж должен быть достаточно большим, чтобы случайно брошенная игла не упала за его пределами. Введем обозначения: а — расстояние между прямыми, l — длина иглы.

Вероятность Р(А) можно приблизительно определить многократным бросанием иглы. Пусть иглу бросали на чертеж S раз и k раз она упала, пересекая одну из прямых, тогда при достаточно большом S имеем Р(А) =. Отсюда π ≈

Замечание. Изложенный метод представляет собой вариацию метода статистических испытаний. Он интересен с дидактической точки зрения, так как помогает совместить простой опыт с составлением довольно сложной математической модели.[3]

Заключение.

1. Я хотел узнать об истории вычисления числа π, его основных свойствах, практическом применении и думаю, что достиг поставленной цели.
2. В ходе проведения практического исследования я пришёл к следующим выводам:  полученное на практике отношение длины окружности к её диаметру приближается к 3,14, но есть более точные способы получения значения исследуемого числа
3. Точное значение числа π в современном мире представляет собой не только собственную научную ценность, но и  используется для очень точных вычислений (например, орбиты спутника, строительства гигантских мостов), а также оценки быстродействия и мощности современных компьютеров.
4. Я продолжу изучать применение числа π на уроках математики и физики

Литература.

1. Энциклопедия для детей / Математика. Издательство: «Аванта+» 1998 год.
2. История математики в школе ІХ – Х классы. Москва «Просвещение» 1983 год.
3. Википедия. Свободная энциклопедия. http://ru.wikipedia.org/
4. Научно-популярный ресурс для любознательных и интересующихся космосом. http://www.pro-kosmos.info/
5. Территория аномалий. http://strangefacts.ru/
6. Сайт журнала «Квант» - http://kvant.mirror0.mccme.ru/