Математика. Неизвестное в известном.

Название проекта: «Неизвестное в известном. Математика»

Номинация:  Неизвестное в известном

Возрастная группа: 7-8 классы

Авторы проекта: обучающиеся 8 «В» класса Зайко Любовь, Кулюкин Кирилл, Минаев Дмитрий, Фирсова Ольга

Образовательное учреждение:  МКОУ СОШ №1 имени А.М.Горького городского округа город Фролово Волгоградской области

Руководитель проекта: Клочкова Нина Ивановна

При работе над проектом «Неизвестное в известном»

 мы придерживались следующей схемы:

1. Постановка цели

2. Обсуждение возможных вариантов исследования, выбор способов

3. Самообразование при помощи учителя

4.  Распределение обязанностей.

5. Исследование: решение отдельных задач, компоновка.

6. Обобщение результатов, выводы.

7. Анализ успехов и ошибок.

Основная идея: познакомить учащихся с историей возникновения математики как науки, на примере нескольких известных фактов показать богатство и разнообразие математических знаний

Исследовательский  проект по математике по теме “Неизвестное в известном” (может использоваться с 5 по 11  класс)

Цель проекта:

1. Формирование навыков исследовательской, творческой и проектной деятельности
2. Развитие умений и навыков самостоятельного приобретения знаний
3. Повышение мотивации учеников к изучению математики
4. Усиление взаимосвязи математики с другими дисциплинами, прежде всего с историей
5. Демонстрация значимости математических знаний в практической деятельности

Задачи:

1. Создание системы внеурочной работы, дополнительного образования учащихся
2. Развитие массовых, групповых и индивидуальных форм внеурочной деятельности
3. Организация системы исследовательской работы учащихся

Ожидаемые результаты:

1. Формирование системы работы с одаренными учащимися
2. Повышение качества знаний учащихся по математике
3. Развитие творческих способностей учащихся

Общая характеристика проекта

Тип проекта: исследовательский

Виды деятельности: творческий, информационный, прикладной.

Применяемые умения:

– проектные (организационные, информационные, поисковые, коммуникативные, презентационные, оценочные)

– предметные (математические)

База выполнения: школьная

Формы обучения: групповая

Продолжительность выполнения: средней продолжительности - месяц

Средства обучения: печатные, наглядные, компьютерные презентации опросы, проверка данных

Формы продуктов деятельности: 30 минутный научно – популярный видеофильм  «Математика. Неизвестное в известном». В папке представлен лишь короткий видеоролик из- за большого размера исходного видео.

Математика всегда была неотъемлемой частью человеческой жизни.

    Все мы понимаем важность физической культуры для человеческого

тела, так и математика важна для тренировки мозга, интеллектуального развития личности.

Материалы проекта

В данной работе мы рассматриваем несколько математических фактов. На первый взгляд, вполне известных, с другой стороны, содержащих до сих пор неизвестные нам сведения.

Факт первый: число «ПИ»

Всем известно, что число П=3,14, оно равно отношению длины окружности к ее диаметру.

Интересные факты:

1. Неофициальный праздник «День числа ПИ» отмечается 14 марта, которое в американском формате дат ( месяц/день ) записывается как 3/14 что соответствует приближённому  значению числа ПИ.
2. Еще одной датой, связанной с числом ПИ, является 22 июля, которое называется «Днем приближённого числа ПИ» ,
3. Мировой рекорд по запоминанию знаков числа ПИ принадлежит японцу Акира Харагучи. Он запомнил число ПИ до 100-тысячного знака после запятой. Ему понадобилось почти 16 часов чтобы назвать все числа.
4. Символ Пи (π) используется в математических формулах уже на протяжении 250 лет.
5. Мужской одеколон от компании Гивенчи, названный «Пи», предназначен для привлекательных и дальновидных людей.
6. Мы никогда не сможем с точностью измерить окружность или площадь круга, так как не знаем полное значение числа Пи.  Данное «магическое число» является иррациональным, то есть его цифры вечно меняются в случайной последовательности.
7. В греческом  («π» (piwas)) и английском («p») алфавитах этот символ располагается на 16 позиции.
8. В процессе измерений размеров Великой пирамиды в Гизе оказалось, что она имеет такое же соотношение высоты к периметру своего основания, как радиус окружности к ее длине, то есть 1/2π
9. Первые 144 цифры числа Пи после запятой заканчиваются цифрами 666, которые упоминаются в Библии как «число зверя».
10. По древнейшим библейским легендам о числе «Пи» было известно еще вавилонским жрецам. Они пользовались им для расчетов при строительстве Вавилонской башни. Однако справиться с проектом они не смогли, так как не удалось точно высчитать точное значение этого числа.
11. Триллион знаков числа "Пи" после запятой:
    3.14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 41971 69399 37510 58209 74944 59230 78164 06286 20899 86280 34825 34211 70679

Факт второй: теорема Пика

Теорема Пика. Нахождение площади решётчатого многоугольника

 Формула Пика была открыта австрийским математиком Георгом Пиком в 1899 году. В Германии эта теорема включена в школьные учебники. 

Многоугольник без самопересечений называется решётчатым, если все его вершины находятся в точках с целочисленными координатами (в декартовой системе координат). Пусть дан некоторый решётчатый многоугольник, с ненулевой площадью.

Обозначим его площадь через S; количество точек с целочисленными координатами, лежащих строго внутри многоугольника — через В; количество точек с целочисленными координатами, лежащих на сторонах многоугольника — через Г.

Тогда справедливо соотношение, называемое формулой Пика:
S=В+Г/2-1

Доказательство производится в несколько этапов: от самых простых фигур до произвольных многоугольников:

•Единичный квадрат. В самом деле, для него S=1, В=0, Г=4 формула верна. 

•Произвольный невырожденный прямоугольник со сторонами, параллельными осям координат. Для доказательства формулы обозначим через a и b длины сторон прямоугольника. Тогда находим: S=ab, В= (a-1)(b-1),Г=2 (a+b). Непосредственной подстановкой убеждаемся, что формула Пика верна.

•Прямоугольный треугольник с катетами, параллельными осям координат. Для доказательства заметим, что любой такой треугольник можно получить отсечением некоторого прямоугольника его диагональю. Обозначив через число целочисленных точек, лежащих на диагонали, можно показать, что формула Пика выполняется для такого треугольника, независимо от значения .

•Произвольный треугольник. Заметим, что любой такой треугольник может быть превращён в прямоугольник приклеиванием к его сторонам прямоугольных треугольников с катетами, параллельными осям координат (при этом понадобится не более 3 таких треугольников). Отсюда можно получить корректность формулы Пика для любого треугольника.

•Произвольный многоугольник. Для доказательства триангулируем его, т.е. разобьём на треугольники с вершинами в целочисленных точках. Для одного треугольника формулу Пика мы уже доказали. Дальше, можно доказать, что при добавлении к произвольному многоугольнику любого треугольника формула Пика сохраняет свою корректность. Отсюда по индукции следует, что она верна для любого многоугольника.

Факт третий: легенда о шахматной доске или неожиданности от геометрической прогрессии

Сценарий сказки в трех сериях с эпилогом:

Действующие лица:

Шерам - индийский царь.

Сета - изобретатель шахмат.

Ученый - старшина придворных математиков.

Слуга.

1 серия

Ведущий: Индийскому царю Шераму

Известным мудрецом

Подарок чудный был преподнесён.

Царь в восхищенье на доску смотрит,

Где 32 фигуры бой ведут на клеточных полях.

Царь: Ладья, конь, пешка, шах и мат.

Удачна выдумка-

Игра полезна для ума.

Придумал кто её?

Мой подданный?

Слуга: Зовут его Сета.

Царь: Позвать его сюда,

Хочу по-царски наградить.

(Входит мудрец)

Царь: Прекрасная игра, Сета,

Хочу вознаградить тебя.

Проси что хочешь

Я достаточно богат.

(Мудрец кланяется)

Сета: Слух о доброте твоей дойдёт  

До самых дальних стран,

Мой повелитель.

Прикажешь мне выдать

Зерно пшеницы за первую клетку доски.

За вторую прошу два зерна

Четыре на третью насыпать вели

Четвертая клетка достойна восьми.

В 16 зёрен пятую я оценю.

32-мя – шестую…

Царь (обрывая): Простую пшеницу

Ты требуешь,

Ха-ха-ха!

Согласно желанью

Получишь зерна ты с полна:

За каждую клетку больше

Вдвойне предыдущей.

Ничтожную прося награду,

Ты милостью моею пренебрег,

Получишь завтра свой мешок.

Ведущий: Сета улыбнулся

Покинул дворец.

У ворот дожидаться

Награды  остался мудрец.

2 серия

Ведущий: Обедает царь. Подают разные яства,

Роскошные фрукты.

Но вдруг вспоминает Шерам мудреца.

Царь: Унёс ли Сета свой мешок,

Радуясь столь жалкой награде.

Слуга:  О, мой повелитель,

Не смею сказать,

Твои учёные

Не могут сосчитать.

Царь: Почему медлит с этим делом?

Хотите, чтобы я приказывал дважды?

Проститесь вы с головой однажды.

…Завтра, на рассвете!

Слуга: Математики считают ночь и день

До рассвета они могут не успеть.

3 серия

Ведущий: Царь нахмурился  с утра,

Он всю ночь не спал.

Царь:  Ох, уж этот Сета.

Слуга:

Явился главный учёный.

 (Входит старшина математиков с учениками)

Царь: Свою награду получил, Сета?

Учёный: Ради этого осмелился явиться я сюда

Количество зёрен велико…

Царь: Как бы ни было,

Он должен получить сполна.        

Учёный: Не власти царь исполнить

Ты желания Сеты.

Распашешь если всю землю,

Растопишь льды,

И всё это пространство засеешь

Отборной пшеницей.

И всё, что уродиться на полях,

Отдашь, тогда

Исполнишь ты желанье Сеты.

Царь:  Так что же это за число?

Математики (Математики разворачивают огромный свиток и говорят):

18 446 744 073 709 551 615

18 квинтиллионов

446 квадриллионов

744 триллиона

73 биллиона

709 миллионов

551 тысяча

615 , о повелитель!

(Звучит восточная музыка)

ЭПИЛОГ

Учёный:

Представьте себе огромность такого числа! 1куб.м вмещает 15 млн. зёрен.

Награда занимает объём 12000 куб.км

Царь:Если построить дом для этой пшеницы при высоте 4м и ширине 10м,то

длина его равнялась бы 300 000 000км, вдвое больше, чем от Земли до Солнца.

Сета: Но если бы Царь был смекалистый, достаточно было ему сказать:

Сета, отсчитай сам своё зерно!

Я бы не сосчитал до конца  всей своей жизни!

И факт четвертый: в группе более чем из 23 человек найдутся такие, у которых с большой вероятностью совпадут даты рождения

Мы провели небольшое исследование в школе и получили следующие результаты:

Итого из 20 классов школы в 13, что составило 65 %, данное математическое утверждение подтверждается!

     Все видеоматериалы размещены в фильме «Неизвестное в известном»

       При работе над проектом были использованы видеоматериалы канала «Культура», Интернет – ресурсы, собственные опыты и опросы.