Задача о трисекции угла

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение

«Лицей г. Черемхово»

Задача о трисекции угла

(На городскую научно-практическую конференцию старшеклассников

«В мир поиска, в мир творчества, в мир науки»)

Вид работы: исследовательская работа

Автор: обучающийся  9 класса «А»

Шарыпов Илья

                                                        Руководитель: Маслакова Марина Владимировна,

учитель математики

2012

Черемхово

Оглавление

Введение……………………………………………………………………...………3

1. История возникновения задачи о трисекции угла………….…...……....…..5
2. Деление прямого угла на три равные части………………………….....…...6
3. Решение способом «вставок»………………………………………..……7
4. Решение с помощью квадратрисы…………………………………...…...9
5.    Практическая работа по построению трисектрис угла………….…........10
6. Решение с помощью теоремы Морлея……………………………...…..11
7. Сравнительный анализ способов построения трисектрисы угла……..15
8. Применение трисектрис угла при построении правильного девятиугольника……………………………………………………….…16
9. Трисектор. Часы-трисектор………………………......…….......……….17
10.      Заключение………………………………………..........……..………….19
11. Список литературы………………………………………………………20
12. Приложение 1……………………………………………………….……21
13. Приложение 2……………………………………………………….……22

Введение

В современном обществе стремительно растет потребность в изучении геометрии: увеличивается количество сфер повседневного и профессионального общения.

Происходящие сегодня изменения в общественных отношениях, средствах коммуникации, использование новых информационных технологий, значительное расширение международных контактов в различных сферах человеческой деятельности привели к тому, что геометрия стала более востребованной, распространенной и популярной.

Геометрия - наука международная, знать которую необходимо в наше время каждому образованному человеку, каждому хорошему специалисту.

Изучая любую математическую науку, очень важно знать особенности и свойства данной сферы, её исторические сведения.

   В V веке до н.э. были поставлены три задачи, сразу же получившие большую известность:

1. Задача о квадратуре круга: требуется построить сторону квадрата, площадь которого равна площади данного круга.

2. Задача об удвоении куба: требуется построить ребро куба, объём которого в два раза больше объёма данного куба.

3. Задача о трисекции угла: требуется данный, но произвольный угол разделить на три равные части.

Некоторые авторы причисляют к ним ещё две задачи эпохи античности:

4. Задача о делении окружности на равные части: построение правильных многоугольников.

5. Задача о квадратуре луночек: построить прямолинейную фигуру, равновеликую данной круговой луночке.

   Все оказались неразрешимыми средствами классической геометрической алгебры, и их исследование потребовало создания новых методов.

Так принимая во внимание открытие Гаусса, можно сказать, что в 1796 году было установлено: классическая задача о трисекции угла не может быть решена. Позже в 1797 году Парижская Академия наук приняла решение: «Отнюдь и впредь не рассматривать разрешений задач:

- удвоение куба;

- трисекции угла;

- квадратуры круга;

- а также машин, должных осуществлять вечное движение».

   Как же всё-таки математикам удалось найти способ построения трисекции угла? Какой это способ? Какое значение имела данная задача в развитии математики?

   Возникшие вопросы определили цели и задачи моей работы.

   Цель исследования: изучить подробно одну из знаменитых неразрешимых задач математики и то, что с ней связанно.

   Объект исследования: задача о трисекции угла.

   Предмет исследования: значимость  данной задачи в математике, взаимосвязь между задачей и появлением новых методов и теорий.

   Гипотеза:  неразрешимая задача древности сыграла свою роль в развитии математики, результаты решения трисекции угла применимы на практике.

  Цель, объект и предмет исследования определили постановку следующих задач:

1. рассмотреть историю возникновения  задачи о трисекции угла;
2. познакомиться с различными способами решения задачи о трисекции угла (с использованием нетрадиционных методов и приспособлений);
3. выяснить, почему задача называется неразрешимой (с приведением доказательства).

   Актуальность: сегодняшние спорные вопросы математики могут также привести к резкому скачку в развитии этой науки.

При выполнении нашего исследования использовались следующие методы:

● изучение отечественной литературы;

● анализ полученной информации;

● использование информационных технологий, в частности, Интернет.

История возникновения задачи о трисекции угла

Возникновение задачи о трисекции угла (т.е. деления угла на три равные части) обуславливается необходимостью решения задачи о построении правильных многоугольников. Построение правильного пятиугольника циркулем и линейкой должно было произвести на пифагорейцев большое впечатление, потому что правильная пятиконечная звезда была их опознавательным знаком (она символизировала здоровье). Известна следующая легенда.

 Один пифагореец умирал на чужбине и не мог заплатить человеку, который за ним ухаживал. Перед смертью он велел ему изобразить на своем жилище пятиконечную звезду: если когда-нибудь мимо будет идти пифагореец, он обязательно спросит о ней. И действительно, несколько лет спустя некий пифагореец увидел этот знак и вознаградил хозяина дома.

Происхождение задачи о трисекции угла также связано с практической деятельностью. В частности, уметь делить окружность на равные части нужно было при изготовлении колеса со спицами, деление угла или дуги окружности на несколько равных частей необходимо было и в архитектуре, в создании орнаментов, в строительной технике и в астрономии (см. Приложение 1).

С помощью циркуля и линейки для n=6 и 8 правильные n-угольники построить можно, а для n =7 и 9 нельзя. Построение правильного семиугольника — интересная задача: ее можно решить с помощью способа «вставок». Построение правильного семиугольника предложил Архимед. А вот попытки построить правильный девятиугольник как раз и должны были привести к задаче трисекции угла, потому что для построения правильного девятиугольника нужно было построить угол 360°/9= 120/3, т.е. разделить угол 120° на три равные части.

Но вот почему именно циркуль и линейку греки предпочли иным инструментам?

Ответить на этот вопрос однозначно и в достаточной степени убедительно ученые не могут. Не потому ли, что циркуль и линейка являются наиболее простыми инструментами? Может быть и так. Однако можно указать множество иных инструментов, столь же простых, как циркуль и линейка, или почти столь же простых. С помощью некоторых из них решаются и сформулированные задачи.

   В литературе мы попытались найти попытки объяснения такой необычной симпатии греков именно к циркулю и линейке: любая геометрическая фигура состоит из двух видов линий – прямой или кривой. А любая кривая состоит из частей окружностей различного диаметра. При этом прямая и окружность – единственные линии постоянной кривизны на плоскости.

Деление прямого угла на три равные части

  В некоторых частных случаях легко удается выполнить деление угла. Так, деление прямого угла на три равные части умели производить еще пифагорейцы, основываясь на том, что в равностороннем треугольнике каждый угол равен 60º.

   Пусть требуется разделить на три равные части прямой MAN (рис.1)

Откладываем на луче AN произвольный отрезок АС, на котором строим равносторонний треугольник АСВ. Так как  САВ равен  60º, то ВАМ  равен 30º. Построим биссектрису АD угла САВ, получаем искомое деление прямого МАN на три равные угла: NAD,  DAB,  ВАМ.

 Задача о трисекции прямого угла оказывается разрешимой. То, что любой угол невозможно разделить на три равные части с помощью только циркуля и линейки было доказано лишь в первой половине XIX века.

Используя данный способ, можно разделить угол в 450 на три равные части.

Решение способом «вставок»

Некоторые способы трисекции угла, рассматриваемые греками, использовали так называемый метод вставки. Он заключался в том, чтобы найти положение прямой, проходящей через данную точку O, на которой две заданные прямые (или прямая и окружность) высекали бы отрезок данной длины a. Такое построение можно осуществить с помощью циркуля и линейки с двумя делениями, расстояние между которыми равно a.

С помощью «вставок» разделить угол на три равные части очень легко. Возьмем на стороне угла с вершиной В произвольную точку А и опустим из нее перпендикуляр АС на другую сторону (рис. 2).

Проведем через точку А луч сонаправленный с лучом ВС. Вставим теперь

между лучами АС и  l  отрезок DE длиной 2АВ так, чтобы его продолжение проходило через точку В. Тогда ЕВС= ABC/3. В самом деле, пусть G — середина отрезка DE. Точка А лежит на окружности с диаметром DE, поэтому AG = GE = DE/2 = AB. Треугольники BAG и AGE равнобедренные, поэтому ABG = AGB = 2AEG = 2EBC.

   Папп Александрийский показал, что задача «вставления» отрезка между данными перпендикулярными прямыми l1 и  l2  сводится к построению точки пересечения окружности и гиперболы. Рассмотрим прямоугольник ABCD, продолжения сторон ВС и CD которого являются данными прямыми, а вершина А является данной точкой, через которую нужно провести прямую, пересекающую прямые l1 и  l2  в таких точках Е и F, что отрезок EF имеет данную длину (рис. 3).

Достроим треугольник DEF до параллелограмма DEFG. Для построения искомой прямой достаточно построить точку G, а затем через точку А провести прямую, параллельную прямой DG. Точка G удалена от точки D на данное расстояние DG = EF, поэтому точка G лежит на окружности, которую можно построить.

С другой стороны, из подобия треугольников ABF и EDA получаем АВ: ED = BF: AD, т.е. ED*BF=AB*AD. Следовательно, FG*BF=AB*AD = SABCD, т.е. точка G лежит на гиперболе (если направить оси Ох и Оу по лучам BF и ВА, то эта гипербола задается уравнением xy = SABCD)

Решение с помощью квaдрaтрисы

К «грaммическим» зaдaчaм относится зaдaчa о делении углa в любом отношении. Первую кривую для решения тaкой зaдaчи изобрел Гиппий Элидский (см. Приложение 2). B дальнейшем (нaчинaя с Динострaтa) эту кривую тaкже использовaли и для решения квaдрaтуры кругa. Лейбниц (см. Приложение 2) нaзвaл эту кривую квaдрaтрисой.

Oнa получается следующим образом. Пусть в квaдрaте ABCD концы отрезкa B′C′ рaвномерно движутся по сторонaм, соответственно, BA и CD, a отрезок AN рaвномерно врaщaется вокруг точки A. Oтрезок B′C′ в нaчaльный момент совпaдaет с отрезком BC, a отрезок AN – с отрезком AB; обa отрезкa одновременно достигaют своего конечного положения AD. Квaдрaтрисой нaзывaется кривaя, которую при этом описывaет точкa пересечения отрезков B′C′ и AN.

   Для того чтобы разделить острый угол φ в некотором отношении, надо на вышеприведенном чертеже отложить угол DAL = φ, где L лежит на квадратрисе. Опустим перпендикуляр LH на отрезок AD. Пазделим этот перпендикуляр в нужном отношении точкой P. Проведем через P отрезок, параллельный AD, до пересечения с квадратрисой в точке Q; луч AQ делит угол LAD в необходимом отношении, так как, по определению квадратрисы, LAQ : QAD = LP : LH.

Практическая работа по построению трисектрис угла

Способом «вставок»

С помощью квaдрaтрисы

Решение с помощью теоремы Морлея

   Так как любой угол нельзя разделить на три равные части, то мы можем решить задачу о трисекции угла в обратном порядке, используя теорему Морлея (см. Приложение 2).

Теорема. Пусть ближайшие к стороне ВС трисектрисы углов B и С пересекаются в точке A1; точки В1 и С1 определяются аналогично (рис. 6). Тогда треугольник А1В1С1 равносторонний, а отрезок С1С является перпендикуляром к основанию правильного треугольника.

   Решим следующую задачу: построим  треугольник,  из всех углов которого проведены трисектрисы.

План построения.

1. Построим два произвольных угла BAC1 и АВС1, одна сторона которых является общей.    

    Построенные углы должны удовлетворять неравенству:

    ВАС1+АВС1 < 60º

2) Пусть луч АС1 – ось симметрии. Отразим  ВАС1 относительно оси АС1. Аналогично, отразим относительно оси ВС1  АВС1.

3) Пусть луч АС2 – ось симметрии. Отразим C1АC2 относительно оси АС2. Аналогично, отразим относительно оси ВС2 C1ВC2.

4) Соединим точки пересечения трисектрис С1 и С2 отрезком С1С2.

5) В теореме Морли сказано, что при пересечении трисектрис треугольника получается правильный треугольник, а отрезок С1С2 является перпендикуляром к основанию правильного треугольника и проходит через вершину этого треугольника. Для того, чтобы построить правильный треугольник, зная его высоту, необходимо:

а) построить лучи, исходящие из точки С1 под углом 30º относительно отрезка С1С2;

б) отметить точки пересечения построенных лучей с трисектрисами буквами В1 и А1;

в) соединить точки А1, В1, С1. Получим равносторонний треугольник А1В1С1.

6) Проведем лучи из точки С, проходящие через вершины правильного треугольника В1 и А1.

Оставим на рисунке отрезки трисектрис треугольника.

Мы построили  треугольник АВС, из всех углов которого проведены трисектрисы.

Сравнительный анализ способов построения трисектрисы угла

Из приведенной таблицы видно, что задача трисекций угла в 900 решается всеми четырьмя способами. Любой острый угол можно разделить на 3равные части только при использовании вспомогательных средств, а углы можно разделить на 3 равные части при помощи циркуля и линейки.

Применение

   Трисекция угла необходима при построении правильных многоугольников. Мы рассмотрим процесс построения на примере правильного девятиугольника, вписанного в окружность (рис. 7).

                                           Рис. 7

Строим прямоугольный треугольник АВС. Строим трисектрисы ВС1 и ВС2. Получились углы по 30º. Делим один из образовавшихся углов на два по 15º биссектрисой . К прямому углу «добавляем» по 15º с каждой стороны. Снова строим трисектрисы получившегося угла DBE. Повторяем так еще дважды, поворачивая треугольник в точке В так, чтобы DB совпала с предыдущим положением ВЕ. Соединяем полученные точки.

   Нам удалось построить правильный девятиугольник, используя построение трисектрис.

Трисектор

Задача о трисекции угла в общем случае не разрешима при помощи циркуля и линейки, но это вовсе не значит, что данную задачу нельзя решить другими вспомогательными средствами.

   Для достижения указанной цели придумано много механических приборов, которые называются трисекторами. Простейший трисектор легко изготовить из плотной бумаги, картона или тонкой жести. Он послужит подсобным чертёжным инструментом.

Трисектор и схема его применения.

На рис. 8 изображен трисектор (заштрихованная фигура). Примыкающая к полукругу полоска АВ равна по длине радиусу полукруга. Край полоски ВD  составляет прямой угол с прямой АС; он касается полукруга в точке В; длина этой полоски произвольна. На том же рисунке показано применение трисектора. Пусть, например, требуется разделить на три равные части угол КSМ (рис. 8).

Трисектор помещают так, чтобы вершина угла S находилась на линии ВD, одна сторона угла прошла через точку А, а другая сторона коснулась полукруга. Затем проводят прямые SВ и SО, и деление данного угла на три равные части окончено. Для доказательства соединим отрезком прямой центр полукруга О с точкой касания N. Легко убедиться в том, что треугольник АSВ равен треугольнику SВО, а треугольник SВО равен треугольнику OSN. Из равенства этих трех треугольников следует, что углы АSВ, ВS0 и 0SN равны между собой, что и требовалось доказать.

Такой способ трисекции угла не является чисто геометрическим; его скорее можно назвать механическим.

Часы-трисектор

(инструкция по применению)

 Оборудование: циркуль, линейка, часы со стрелками, карандаш, прозрачная бумага.

Ход работы:

   Переведите фигуру данного угла на прозрачную бумагу и в тот момент, когда обе стрелки часов совмещаются, наложите чертеж на циферблат так, чтобы вершина угла совпала с центром вращения стрелок и одна сторона угла пошла вдоль стрелок.

   В тот момент, когда минутная стрелка часов передвинется до совпадения с направлением второй стороны данного угла , проведите из вершины угла луч по направлению часовой стрелки. Образуется угол, равный углу поворота часовой стрелки. Теперь при помощи циркуля и линейки этот угол удвойте и удвоенный угол снова удвойте. Полученный таким образом угол и будет составлять ⅓ данного.

   Действительно, всякий раз, когда минутная стрелка описывает некий угол, часовая стрелка за это время передвигается на угол, в 12 раз меньший, а после увеличения этого угла в 4 раза получается угол (a/12)*4=⅓ a.

Заключение

   Итак, неразрешимые задачи на построение сыграли особую роль в истории математики. В конце концов, было доказано, что эти задачи невозможно решить, пользуясь только циркулем и линейкой. Но уже сама постановка задачи — «доказать неразрешимость» — была смелым шагом вперёд.

   Вместе с тем предлагалось множество решений при помощи нетрадиционных инструментов. Всё это привело к возникновению и развитию совершенно новых идей в геометрии и алгебре.

   Закончив и проанализировав свою исследовательскую работу, я сделал следующие выводы:

1. возникновение подобных задач обуславливалось их практической значимостью (в частности, построение правильных многоугольников);
2. подобные задачи вызывают развитие новых методов и теорий (способ «вставок», появление квадратрисы, теорема Морлея);
3. неразрешимые задачи привлекают больше внимания к наукам: найти решение или доказать невозможность – большой почёт.

   А также я узнал:

1. о математиках, изучавших данную задачу;
2. новые понятия, термины (трисекция, трисектор, квадратриса) и теоремы (Морлея)

и научился:

1. эффективно находить и отбирать необходимый материал;
2. систематизировать полученные знания;
3. оформлять исследовательскую работу и результаты своей деятельности.

Список литературы

1.        Прасолов В. В. Три классические задачи на построение: удвоение куба, трисекция угла, квадратура круга.— М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1992. — 80 с. (Популярные лекции по математике; Вып. 62).

2.        История математики с древнейших времён до начала ХIХ столетия. В трёх томах. Том I. Под редакцией А.П.Юшкевича.– М.: Наука. – 353 с.

3.        Белозеров С. Е. Пять знаменитых задач древности (История и современность). Издательство Ростовского университета, 1975.

4.        Планиметрия. Пособие для углубленного изучения математики /В. Ф. Бутузов, СБ. Кадомцев, Э. Г. Позняк, С. А. Шестаков, И. И. Юдина. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2005. - 488 с.

5.        Математический энциклопедический словарь./Гл. ред. Ю.В.Прохоров; Ред. Кол.: С.И.Адян, Н.С.Бахвалов, В.И.Битюцков, А.П.Ершов, Л.Д.Кудрявцев, А.Л.Онищик, А.П.Юшкевич.- М.: Сов. энциклопедия, 1988.- С. 596  

6.        Краткий справочник школьника. 5 – 11 кл. / Авт.-сост. П.И.Алтынов, П.А.Андреев, А.Б.Балжи и др. – М.: Дрофа, 1997. – 624 с.

7.        Чекмарев Евгений, Халилов Фахри. Проектная работа «Трисекция угла». Москва, 2007.

8.        http://ru.wikipedia.org

9.        http://school-collection.edu.ru/

Приложение 1

Практическое применение трисекции угла. Исторические факты.

1. Из истории известно, что еще в каменном веке человек строил себе жилище в виде шалаша конической или полусферической формы. При этом люди фактически решали две конструктивные задачи: построение окружности, ограничивающей круглый пол шалаша, и деление окружности на равные части, чтобы наметить места, в которых будут воткнуты жерди или прутья, образующие остов шалаша.
2. Возраст колеса, найденного при раскопках в Болгарии 5830±50 лет. Изготовление колес предполагало умение измерять длину обода (окружности) и деление окружности (обода) на равные части (для колес со спицами).

Приложение 2

Математики, сделавшие свой вклад в решение задачи

 о трисекции угла.

  Ги́ппий Эли́дский (жил около 400 года до н. э.) — древнегреческий философ.   Гиппий обладал обширными познаниями во многих науках, за что получил прозвище «многознающий» (Полигистор). В качестве учителя мудрости Гиппий брал за обучение большие деньги. Гиппий отличался прекрасным красноречием и необычайной памятью. Он прославился умением произносить речь на любую тему без предварительной подготовки.Гиппий составил список победителей Олимпийских игр, имевший огромное значение для греческой хронологии. В своих сочинениях о политике он различал правовые отношения по природе и по человеческому закону. Прокл Диадох приписывает Гиппию открытие квадратрисы — кривой, с помощью которой можно было делить произвольный угол в произвольном отношении. (Квадратрисой её назвали позднее.)

 Лейбниц, Готфрид Вильгельм.   Когда мальчику было 8 лет, его отец умер, оставив после себя большую личную библиотеку. Свободный доступ к книгам и врождённый талант позволили молодому Лейбницу уже к 12 годам самостоятельно изучить латынь и взяться за изучение греческого языка.Эрудиция, ясность изложения и ораторский талант Лейбница вызывали всеобщее восхищение. Лейбниц изобретает собственную конструкцию арифмометра, гораздо лучше паскалевского — он умел выполнять умножение, деление и извлечение корней. Предложенные им ступенчатый валик и подвижная каретка легли в основу всех последующих арифмометров.

1682: основал научный журнал Acta Eruditorum, сыгравший значительную роль в распространении научных знаний в Европе.

   В 1697 году, во время путешествия Петра I по Европе, русский царь познакомился с Лейбницом. Лейбниц имел продолжительные встречи с Петром, что привело в дальнейшем к одобрению Петром создания Академии наук в Петербурге, что послужило началом развития научных исследований в России по западноевропейскому образцу. Лейбниц предложил проект научных исследований в России, связанных с ее уникальным географическим положением, таких, как изучение магнитного поля Земли, отыскание пути из Арктики в Тихий океан.    Лейбниц стал первым гражданским лицом Германии, которому был воздвигнут памятник. В честь Лейбница получили название:

кратер и самая высокая горная цепь на Луне; университет в Ганновере.

Франк Морлей (1860 —1937) был математиком, который внёс большой вклад в алгебру и геометрию.  Родился в Англии в городке Вудбридж. Его родители были владельцами небольшого магазинчика. В 1900 году Морлей закончил Колледж Хэверфорд. Почти всю свою жизнь он провел в США, хотя оставался английским гражданином. Несколько десятков лет Морлей был профессором математики университета имени Джона Гопкинса в Балтиморе – одного их старейших американских университетов. Наряду с математикой он увлекался и шахматами и однажды сумел выиграть у его одного видного математика – Эммануила Ласкера (1868 – 1941) , тогдашнего чемпиона мира по шахматам.

   Пусть ABC – произвольный треугольник. Хорошо известно, что биссектрисы его углов пересекаются в одной точке. А что произойдет, если биссектрисы заменить трисектрисами? Фрэнк Морлей рассмотрел такую ситуацию и доказал, что точки M, N, K при любом исходном треугольнике ABC являются вершинами равностороннего треугольника.

Морлей рассказал об этом поразившем его факте своим друзьям, те – в свою очередь – своим, и вскоре "теорема о трисектрисах треугольника" распространилась по миру в качестве своеобразного математического фольклора.    Доказательство этой теоремы он опубликовал в 1914 году – через 15 лет после того, как нашел его. В 1924 году он изложил это доказательство более подробно. Доказательство его теоремы весьма элегантно, но в тоже время достаточно сложно.

 Пьер Лора́н Ванце́ль (1814 — 1848) — французский математик. Ванцель родился в семье армейского офицера. В 1821 году отец ушёл из армии, занялся научной работой и вскоре стал профессором прикладной математики в парижской Коммерческой школе.    Пьер Лоран тоже увлёкся математикой. По воспоминаниям друзей, ещё в детстве он любил обсуждать с отцом математические проблемы. В 1837 году публикует свою самую известную работу с доказательством неразрешимости классических задач удвоения куба и трисекции угла.Кроме этой, прославившей его, работы, Ванцель опубликовал ещё около 20 статей по математике, механике и аэродинамике.    Ванцель умер, не дожив до 34 лет, по словам его друга Сен-Венана, от переутомления.

Рис. 1

Рис. 3

Рис. 8