Брошюра" Метод рационализации уравнений и неравенств"

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение «Средняя общеобразовательная школа №30 имени Н. Н. Колокольцова»

Маркова Мария

Александровна

Метод рационализации уравнений и неравенств

Калтанский ГО              

2012

Автор-составитель     Маркова Мария Александровна

В сборнике приведены примеры решения уравнений и неравенств с использованием метода рационализации. Представлен теоретический материал по данному методу, а также задания для самостоятельного решения.

Для заметок

18

Метод рационализации заключается в замене сложного выражения  F(x) на более простое выражение G(x), при котором неравенство G(x) ᴠ 0 равносильно неравенству F(x)  ᴠ 0 в области определения выражения F(x).

Выделим некоторые выражения F и соответствующие им рационализирующие выражения G, где f, g, h, p, k – выражения с переменной x (h>0; h≠1; f>0; g>0), a – фиксированное число (а>0; a≠1).

logh f · log p q ↔ (h - 1)(f - 1)(p - 1)(q - 1)

logh f  + log h g ↔ (fg - 1)(h - 1)

√f - √g ↔ (f - g)

(hᶠ - hᶢ) /( hᵖ - h ᵏ) ↔ (f - g)/(p - k)                         3

Пример №1.   Решить неравенство

По формуле |f(x)| - |g(x)|  (f(x))2 – (g(x))2

Решаем неравенство  методом интервалов, получаем

Ответ: (-∞; -2), [ -1; 1], (2; 4).

4

Ответы  к заданиям для самостоятельного решения:

1.   -2; - ), (; 3/2].

2.   (-∞; -1/], [1/; + ∞).

3. (-2; -1), (0; 1).
4. (; -1), (2; ).
5. (-1; 2-), (1; 2).
6. (-3; -2), [2; 5).
7. (-∞; -0,5), (1; +∞).
8. (-2; -1], [-0,5; 0].
9. (3; +∞).
10. (-∞; -1), (; 3], (; +∞).
11. π/6 + πk,  .
12. {1/8}, [; ].
13. [; 0), (0; 4].
14. (-∞; -2), [; + ∞).
15. (-4/5; 0), (8/5; 2).

17

Задания для самостоятельного решения:

16

Пример № 2. Решить неравенство

2x2+x+1 >= 0

x2+x+1>=0

Решаем методом интервалов и получаем:

Ответ: (-∞; -3/2), {0}, (2/3; +∞).

5

Пример № 3. Решить неравенство

ОДЗ

x>1                                    

ОДЗ: x>=3/2

6                                     Ответ: [1,5; 3,25).        

Пример № 12. Решить неравенство

ОДЗ

        [  ;   ]

Решаем неравенство методом интервалов, получаем:

Ответ: [-2; 0,5), (2/3;  ].

15

Пример № 11. Решить неравенство

ОДЗ

Решаем неравенство методом интервалов, получаем:

Ответ: [0; 0,25), (1/3; 1).

14

Пример № 4. Решить систему неравенств

ОДЗ

Первое неравенство:

Введем замену

a – 25a<= - 360

a>= 15

Вернемся к замене:  

Второе неравенство по формуле:  log ₐ f = (a - 1)(f  – 1)

Решаем методом интервалов и сопоставляем решение с ОДЗ и решением второго неравенства.

Ответ: [                                             7

Пример № 5. Решить систему неравенств

ОДЗ x>0,25;   x≠1; x≠1/3.

Решаем второе неравенство:

Методом интервалов получаем, что

Второе неравенство по формуле log ₐ f = (a - 1)(f  – 1)

Методом интервалов получаем:

Объединяем в систему решения двух неравенств и область допустимых значений.

Ответ: [0,5; 1), (1; 2].

8

Пример № 10. Решить неравенство

x2= |x|2

Поформуле |f(x)| - |g(x)|  (f(x))2 – (g(x))2

Решаем неравенство методом интервалов, получаем:

Ответ: (-∞; 1/3), (5/6; 1), (1; 3/2), [5/3; 2], [10; +∞)

13

Пример № 9.   Решить неравенство

Применяем формулу |f(x)| - |g(x)|  (f(x))2 – (g(x))2 дважды:

Решаем методом интервалов, получаем:

Ответ: (-∞; -3/2), (-1/2; 0), (0; 1], [2; +∞), {0}.

12

Пример № 6. Решить неравенство

ОДЗ     x2+x+1≠ 1                x≠0, x≠-1

            x2+x+1>0                  

            2x2  - x/2 >0             x<0, x>1/4

По формуле logaf – 1 = (a-1)(f-a)

(x2+x)(2x2 – x/2 – x2 – x – 1) < 0

x(x – 1)(x2 – 3x/2 – 1) < 0

Решаем методом интервалов и объединяем решение с областью допустимых значений, получаем:

Ответ: ( - 1; - ½), (¼; 2).

9

Пример № 7. Решить неравенство

ОДЗ  x2 – 3x + 3 ≠ 1                    x ≠ 1, x ≠ 2

         x2 – 3x + 3 > 0

         2x2 – 7/2x + 3/2 > 0             x<3/4,  x>1

По формуле   logaf – 1 = (a-1)(f-a)

(x2 – 3x + 2)(2x2  - 7/2x + 3/2 – x2 + 3x – 3) < 0

(x2 – 3x + 2)(x2 – 1/2x – 3/2) < 0

x=1, x=2, x=-1, x=3/2

Решаем методом интервалов и объединяем решение с ОДЗ, получим:

         Ответ: (-1; ¾), (3/2; 2).

10

Пример № 8.  Решить неравенство

ОДЗ    x2 + 2x – 3 > 0        x ≠ - 1 ±

           x2 + 2x – 3 ≠ 1  

                     x  - 2,  x > 1

По формуле logaf – 1 = (a-1)(f-a)

Преобразуем модули по формуле |f| - |g| = f2 – g2

x = - 1 ± , x = 1, x = -17/7

Решаем методом интервалов и объединяем с ОДЗ

Ответ: (-∞; -1 - ), (-17/7; -2), (-1 + ; + ∞).

11