В ходе исследовательской работы проведен анализ литературы по данной тематике, исследованы основные вопросы, касающиеся теории вероятностей, дан небольшой исторический очерк, показана связь математики с другими областями знаний, а также ряд применений в повседневной жизни.Цель моего исследования:выявить вероятность успешной сдачи экзамена обучающимися 9 и 11 классов путем угадывания правильного ответа, применяя теорию вероятностей.
Для реализации целей поставлены задачи:
1)собрать, изучить и систематизировать материал о теории вероятностей, воспользовавшись различными источниками информации;
2) рассмотреть использование теории вероятности в различных сферах жизнедеятельности;
3) провести исследование по определению вероятности получения положительной оценки при сдаче ГИА и ЕГЭ путем угадывания правильного ответа.
Выдвинута гипотеза:с помощью теории вероятностей можно с большой степенью уверенности предсказать события, происходящие в нашей жизни.
Объект исследования –теория вероятностей.
Предмет исследования: практическое применение теории вероятностей.
Методы исследования:1)анализ,2)синтез, 3)сбор информации, 4)работа с печатными материалами, 5)анкетирование,6)эксперимент.
Вложение | Размер |
---|---|
![]() | 54.02 КБ |
![]() | 21.8 КБ |
Оглавление
Введение…………………………………………..……………………………..…………….……2
Теоретическая часть
Глава I.Теория вероятностей – что это?………………..………………....................................…3
Глава II. ЕГЭ и ГИА как пример использования теории вероятностей жизни……….…....…...6
2.1. Единый государственный экзамен и государственная итоговая аттестация……………….6
Экспериментальная часть………………………………………...……………………….………..8
Анкетирование………………………………………………………………………………..…8
Эксперимент………………………………………..……………………………………………8
Заключение………………………………………..………………………………………….…..9
Литература……………………………………………………………………………....………10
Приложение………………………………………………………………..…………………….I
Высшее назначение математики…состоит в том,
чтобы находить скрытый порядок в хаосе, который нас окружает.
Н.Винер
Введение
Цель моего исследования:выявить вероятность успешной сдачи экзамена обучающимися 9 и 11 классов путем угадывания правильного ответа, применяя теорию вероятностей.
Для реализации целей я поставила перед собой задачи:
1)собрать, изучить и систематизировать материал о теории вероятностей, воспользовавшись различными источниками информации;
2) рассмотреть использование теории вероятности в различных сферах жизнедеятельности;
3) провести исследование по определению вероятности получения положительной оценки при сдаче ГИА и ЕГЭ путем угадывания правильного ответа.
Я выдвинула гипотезу:с помощью теории вероятностей можно с большой степенью уверенности предсказать события, происходящие в нашей жизни.
Объект исследования –теория вероятностей.
Предмет исследования: практическое применение теории вероятностей.
Методы исследования:1)анализ,2)синтез, 3)сбор информации, 4)работа с печатными материалами, 5)анкетирование,6)эксперимент.
Глава 1.Теория вероятностей.
Корни теории вероятностей уходят далеко вглубь веков. Известно, что в древнейших государствах Китае, Индии, Египте, Греции уже использовались некоторые элементы вероятностных рассуждений для переписи населения, и даже определения численности войска неприятеля.
Первые работы по теории вероятностей, принадлежащие французским учёным Б. Паскалю и П. Ферма, голландскому учёному X. Гюйгенсу, появились в связи с подсчётом различных вероятностей в азартних играх. Крупный успех теории вероятностей связан с именем швейцарского математика Я. Бернулли(1654-1705гг.).(Приложение I)Он открыл знаменитый закон больших чисел: дал возможность установить связь между вероятностью какого-либо случайного события и частотой его появления, наблюдаемой непосредственно из опыта. Следующий период истории теории вероятностей ( XVIII в. и начало ХIХ в.) связан с именами А. Муавра, П. Лапласа, К. Гаусса и С. Пуассона. В этот периодтеория вероятностей находит ряд применений в естествознании и технике.
Третий период истории теории вероятностей, (вторая половина XIX в.) связан в основном с именами русских математиков П. Л. Чебышева, А. М. Ляпунова. Наиболее распространённая в настоящее время логическая схема построения основ теории вероятностей разработана в 1933 году математиком А. Н. Колмогоровым.
Итак, насколько эта теория полезна в прогнозировании и насколько она точна? Каковы ее основные тезисы? Какие полезные наблюдения можно вынести из текущей теории вероятностей?
Основным понятием теории вероятностей является вероятность. Это слово достаточно часто применяется в повседневной жизни. Думаю, каждому знакомы фразы: «Завтра, вероятно, выпадет снег», или «вероятнее всего в выходные я поеду на природу».В словаре С.И.Ожегова дается толкование слова вероятность как «возможности осуществления чего-нибудь»[7,62]. И здесь же дается определение понятию теории вероятностей как «разделу математики, изучающей закономерности, основанные на взаимодействии большого числа случайных явлений»[7,62].
В учебнике «Алгебра и начала анализа» для 10-11 классов под редакцией Ш.А.Алимова дается следующее определение: теория вероятностей — раздел математики, который «занимается исследованием закономерностей в массовых явлениях»[1,336]
При изучении явлений, мы проводим эксперименты, в ходе которых происходят различные события, среди которых различают: достоверные, случайные, невозможные, равновероятные.
Событие U называют достоверным по отношению к некоторому испытанию, если в ходе этого испытания событие U обязательно произойдет.Например, достоверным будет появление одного из шести чисел 1,2,3,4,5,6 при одном бросании игральной кости.Событие называют случайным по отношению к некоторому испытанию, если в ходе этого испытания оно может произойти, а может и не произойти. Например, при однократном бросании игральной кости может выпасть число 1 или не выпасть, т.е. событие является случайным, потому что оно может произойти, а может и не произойти.Событие V называют невозможным по отношению к некоторому испытанию, если в ходе этого испытания событие V не произойдет.[8,39]Например, невозможным является выпадение числа 7 при бросании игрального кубика.Равновероятные события – это события, которые при данных условиях имеют одинаковые шансы для наступления.
Принято вероятность события А обозначать буквой Р(А),тогда формула для вычисления вероятности записывается так:
Вероятностью Р(А) события А в испытании с равновозможными элементарными исходами называется отношение числа исходов m, благоприятствующих событию А, к числу исходов n всех исходов испытания. Из формулы (1) следует, что
0≤ Р(А)≤ 1.
Данное определение принято называть классическим определением вероятности. Оно применяется, когда теоретически удается выявить все равновозможные исходы испытания и определить благоприятствующие исследуемому испытанию исходы. Однако на практике часто встречаются испытания, число возможных исходов которых очень велико. Например, без многократного подбрасывания кнопки трудно определить, равновозможны ли ее падения на «на плоскость» или на «острие». Поэтому используется и статистическое определение вероятности. Статистической вероятностью называют число, около которого колеблется относительная частота события (W(A)– отношение числа испытаний М, в которых это событие произошло, к числу всех проведенных испытанийN) при большом числе испытаний.
Также я познакомилась с формулой Бернулли — это формула в теории вероятностей, позволяющая находить вероятность появления события A при независимых испытаниях. Названа в честь выдающегося швейцарского математика Якоба Бернулли, выведшего формулу:
P(m)=[5,68]
Чтобы найти каковы шансы наступления события А в данной ситуации, необходимо:
В развитии теории вероятностей весьма большую роль играли задачи, связанные с азартными играми, в первую очередь с игрой в кости.
Инструментом для игры являются кубики (кости) в количестве от одного до пяти в зависимости от вида игры. Суть игры состоит в выбрасывании кубиков и дальнейшем подсчёте очков, количество которых и определяет победителя. Основной принцип игры в кости — каждый игрок по очереди бросает некоторое количество игральных костей (от одной до пяти), после чего результат броска (сумма выпавших очков; в некоторых вариантах используются очки каждой кости по отдельности) используется для определения победителя или проигравшего.
Лотерея
Карточные игры
Карточная игра — игра с применением игральных карт, характеризуется случайным начальным состоянием, для определения которого используется набор (колода).
Важным принципом практически всех карточных игр является случайность порядка карт в колоде.
Игровые автоматы
Известно, что в игровых автоматах скорость вращения барабанов зависит от работы микропроцессора, повлиять на который нельзя. Но можно вычислить вероятность выигрыша на игровом автомате, в зависимости от количества символов на нем, числа барабанов и других условий. Однако выиграть это знание вряд ли поможет. В наше время наука о случайном очень важна. Она применяется в селекции при разведении ценных сортов растений, при приемке промышленной продукции, при расчете графика разгрузки вагонов и т.д.[11,с.222]
Глава II. ЕГЭ и ГИА как пример использования теории вероятностей жизни
2.1. Единый государственный экзамен и государственная итоговая аттестация
Я сегодня обучаюсь в 8А классе, и на следующий год мне предстоит сдавать экзамены.
Экзаменационные работы по различным предметам имеют свои особенности, но во всех из них, в том числе и по математике в 9 классе в части 1 даны задания с выбором ответа. Среди нерадивых учеников возник вопрос: «А нельзя ли выбрать наугад ответ и при этом получить положительную оценку за экзамен?» Я провела опрос среди обучающихся 8классов: можно ли практически угадать 8 заданий из 9, т.е. сдать ГИА по математике без подготовки. Результаты такие:53,2% респондентов считают, что смогут сдать экзамен указанным выше способом.(Приложение II)
Я решила проверить, правы ли они? Ответить на этот вопрос можно путем использования элементов теории вероятностей. Я хочу проверить это на примере предметов, обязательных для сдачи экзаменов: математика и русский язык и на примере наиболее предпочитаемых предметов в 11 классе. По данным 2012 года 51,4% выпускников ХМАО и 60,9% выпускников РФ выбрали обществознание.(Приложение II)
А)Русский язык. По данному предмету тест включает 39 заданий типа А,В и С, из которых 30 заданий типа А с выбором ответа из 4-х предложенных.Для того, чтобы пройти порок на экзамене в 2012 году достаточно было в 1 части правильно выполнить 14 заданий. Каждое задание имело 4 варианта ответов, один из которых правильный. Определить вероятность получения положительной оценки на экзамене можно по формуле Бернулли:
Схема Бернулли описывает эксперименты со случайным исходом, заключающиеся в следующем.[5,]Проводятся n последовательных независимых одинаковых экспериментов, в каждом из которых выделяется одно и тоже событие А, которое может наступить или не наступить в ходе эксперимента. Так как испытания одинаковы, то в любом из них событие А наступает с одинаковой вероятностью. Обозначим ее р = Р(А). Вероятность дополнительного события обозначим q. Тогда q = P(Ā) = 1-p
Пусть событие А – это правильно выбранный ответ из четырех предложенных в одном задании первой части. Вероятность события А определена как отношение числа случаев, благоприятствующих этому событию (т.е. правильно угаданный ответ, а таких случаев 1), к числу всех случаев (таких случаев 4). Тогда p=P(A)= и q=P(Ā)=1-p=
.
Вероятность получения положительной оценки:
=
=
119759850
0,00163*100%0,163%
Таким образом, вероятность благополучного исхода примерно равна 0,163%!
На примере демонстрационного варианта теста ЕГЭ 2013 года я предложила обучающимся 11А класса выбрать ответы путем угадывания. И вот, что у меня получилось. Средний балл по классу составил 7,6. Наибольшее количество баллов набрал Тырышкин Илья - 16, наименьшее – Ерошкин Дмитрий(3 балла). 16 баллов набрал 1 ученик, что составляет 5%.(Приложение III)
Обществознание
Первая часть демонстрационного варианта ЕГЭ2013 года по обществознанию содержит 20 заданий с выбором ответа, из которых только один верный. Определим вероятность получения положительной оценки. Рособрнадзором установлен минимальный первичный балл по обществознанию – 15.
Вероятность получения положительной оценки:
=
=
15504
0,000003*100%=0,0003%
Таким образом, вероятность благополучного исхода примерно равна 0,0003%!
Я попросила обучающихся 11А класса угадать ответы по обществознанию. Средний балл составил 4,75 балла. Самый высокий балл -9, самый низкий- 2. Таким образом, ни один обучающийся не смог набрать нужное количество баллов по обществознанию.(Приложение III)
Математика
В 2011 году демонстрационный вариант КИМ ГИА (в новой форме) по МАТЕМАТИКЕ содержал 23 задания, из которых 9 заданий с выбором ответа и установления соответствия. Для успешной сдачи экзамена необходимо было решить не менее 8 заданий. Применим формулу Бернулли.
(8)=
*
*
;
=
=9;
(8)=9*
*
=0,000102996
;
0,0001*100%=0,01%
Вывод: вероятность получения положительной оценки составляет 0,01%.
Эксперимент, проведенный, среди моих одноклассников показал, что самое большое количество совпадений - 4, средний балл составил 1,8 балла.
Экспериментальная часть
Анкетирование
Анкетирование проводилось среди обучающихся 8-х классов. Им было предложено ответить на следующие вопросы:
1.Можно ли сдать экзамены без подготовки, угадывая ответ в заданиях типа А?
Результаты проведенного опроса отражены в диаграмме .(Приложение II)
Эксперимент
1.Среди обучающихся 11А класса на примере демонстрационного варианта контрольно-измерительных материалов ЕГЭ-2013 провела эксперимент с угадыванием ответа по русскому языку и обществознанию. Результаты отражены в таблице 2 (Приложение III) .
2.Своим одноклассникам и одноклассницам предложила угадать ответ в демонстрационном варианте теста по математике за 2011 год, результаты также представлены в приложении III.
Заключение
во-вторых,перебрав множество фактов из жизни, и проведя эксперименты, я поняла, что действительно с помощью теории вероятностей можно предсказать события, происходящие в различных сферах жизнедеятельности;
На примере моей работы можно сделать и более общие выводы: подальше держаться от всяких лотерей, казино, карт, азартных игр вообще. Всегда надо подумать, оценить степень риска, выбрать наилучший из возможных вариантов – это, я думаю, пригодится мне в дальнейшей жизни.
Литература
Ресурсы:
План исследований
Проблема или вопрос, подлежащий исследованию, гипотеза | Описание метода исследования; | Библиография |
Что изучает теория вероятностей? | Проблемно-поисковый метод. Поиск и добыча информации по данному вопросу, работа с источниками, дополнительной литературой, систематизация полученной информации. | 1.Алимов Ш.А. Алгебра и начала математического анализа.10-11 классы: учеб.для общеобразовательных учреждений: базовый уровень. М.:Просвещение,2010г. 2.Бродский Я.С. «Статистика. Вероятность. Комбинаторика»-М.: Оникс; Мир и Образование, 2008 г. 3.Макарычев Ю.Н. Алгебра: элементы статистики и теории вероятностей: учеб. пособие для учащихся 7-9 кл. общеобразоват. учреждений-М.:Просвещение,2007. |
Как возникла и зародилась теория вероятностей? | Изучение материалов о возникновении теории вероятностей. Работа с дополнительной литературой, систематизация полученной информации. | 1.Что такое. Кто такой: В 3 т.Т.1 – 4-е изд.,перераб.и доп.-М.:Педагогика-Пресс,1997. 2.Лютикас В.С. Факультативный курс по математике: Теория вероятностей.-М.:Просвещение 1990. 3. Что такое. Кто такой: В 3 т.Т.1 – 4-е изд.,перераб.и доп.-М.:Педагогика-Пресс,1997. |
Что такое вероятность? | Поисковый, исследовательский, систематизации и обобщения, выдвижение гипотезы, доказательства или опровержения гипотезы. Данные методы заключаются в поиске информации, ее систематизации, выделении ключевых слов. | 1.Алимов Ш.А.Алгебра и начала математического анализа.10-11 классы:учеб.для общеобразовательных учреждений: базовый уровень. М.:Просвещение,2010. 2.Ожегов С.И. Словарь русского зыка:.М.:Рус.яз.,1989. |
Какие формулы описывают теорию вероятностей? | Поиск теоретического материала, анализ, выделение главного в тексте. Разбор задач по теории вероятностей. | 1.Алимов Ш.А. Алгебра и начала математического анализа.10-11 классы: учеб.для общеобразовательных учреждений: базовый уровень. М.:Просвещение,2010. 2.Лютикас В.С. Факультативный курс по математике: Теория вероятностей.-М.:Просвещение 1990. 3.СеменовыхА. Комбинаторика//Математика (приложение к газете «Первое сентября»),2004,№16,17. 4.Элементы теории вероятностей//Математика (приложение к газете «Первое сентября»),1999,№41,42. |
Где в жизни мы встречаемся с теорией вероятностей? | Поиск информации по данному вопросу, анкетирование обучающихся 11-х классов. Обработка полученной информации и представление ее в виде диаграмм и таблиц. Изучение истории опыта с монетой, проведение опыта с монетой. | 1. Гусев В.А. Внеклассная работа по математике в 6-8 классах.-М.:Просвещение,1984. 2.Что такое. Кто такой: В 3 т.Т.1 – 4-е изд.перераб.и доп.-М.:Педагогика-Пресс,1997. 3. Демонстрационный вариант контрольных измерительных материалов единого государственного экзамена 2013 года по русскому языку 4.Демонстрационный вариант контрольных измерительных материалов единого государственного экзамена 2013 года по обществознанию |
Что такое первичный и тестовый балл, чему равен проходной балл по русскому языку и обществознанию ? | Поиск информации по вопросу, представление информации в наглядном виде. | 2.Демонстрационный вариант контрольных измерительных материалов единого государственного экзамена 2013 года по русскому языку 3.Демонстрационный вариант контрольных измерительных материалов единого государственного экзамена 2013 года по обществознанию |
Можно ли стать успешным, если знать теорию вероятностей? | Эксперимент по угадыванию верного ответа в КИМах по ГИА и ЕГЭ, определение вероятности получения положительной оценки по формуле. Сравнительный анализ полученных данных. | 1.Лютикас В.С. Факультативный курс по математике: Теория вероятностей.-М.:Просвещение 1990. |
Как с помощью теории вероятностей описать многие явления и ситуации? | Анализ литературы по данной тематике, разбор задач, решение которых опирается на знания данного материала. | 1.Бунимович Е.А., Суворова С.Б. Методические указания к теме «Статистические исследования»//Математика в школе.-2003.-№3. 2. Федосеев В.Н .Элементы теории вероятностей для VII-IX классов средней школы.//Математика в школе.-2002.-№4,5. |
Кому нужна теория вероятностей? | Анализ литературы, нахождение связи теории вероятностей с другими областями знаний. | 1.http://www.blagodeteleva-vovk.com/theory/never.htm 2.Макарычев Ю.Н. Алгебра: элементы статистики и теории вероятностей: учеб. пособие для учащихся 7-9 кл. общеобразоват. учреждений-М.:Просвещение,2007. |
Подарок
Привередница
Пока бьют часы
Где спят снеговики?
Интересные факты о мультфильме "Холодное сердце"