Методы решения тригонометрических уравнений
В данной работе представлен материал из истории тригонометрии, общие сведения о тригонометрических уравнениях, по методам решения тригонометрических уравнений, рассмотрены приемы отбора корней в тригонометрических уравнениях.
В статье автор рассматривает применение изученных методов для решения тригонометрических уравнений базовой части и уравнений повышенной сложности.
По каждому методу подобраны упражнения для самостоятельного решения учащимися, составлен тренировочный тест. В рамках исследования по данной теме автором представлены решения уравнений из всех упражнений. К тесту даны ответы.
Статья предназначена преподавателям для проведения занятий по данной теме и для самостоятельной подготовки учащихся 10-11 классов к успешной сдаче ЕГЭ.
Скачать:
| Вложение | Размер |
|---|---|
 haratyan_narek_mobu_sosh_no28_st._voznesenskoy.zip | 276.52 КБ |
Предварительный просмотр:
Муниципальное общеобразовательное бюджетное учреждение
средняя общеобразовательная школа №28
имени Героя России Сергея Николаевича Богданченко
станицы Вознесенской муниципального образования Лабинский район
Россия Краснодарский край Лабинский район станица Вознесенская
Конкурс научных проектов школьников
в рамках краевой научно-практической конференции «Эврика»
малой академии наук учащихся Кубани
«Методы решения
тригонометрических уравнений»
Автор работы:
Харатян Нарек Спартакович,
ученик 11 класса
МОБУ СОШ№28 ст. Вознесенской
Руководитель:
Кондрашева Светлана Михайловна,
учитель математики первой категории МОБУ СОШ №28,
Почетный работник общего образования РФ
2012-2013
учебный год
«Методы решения тригонометрических уравнений»
Харатян Нарек Спартакович
Краснодарский край, Лабинский район, станица Вознесенская
МОБУ СОШ №28, 11 класс
Краткая аннотация.
В данной работе представлен материализ истории тригонометрии, общие сведенияо тригонометрических уравнениях, по методам решения тригонометрических уравнений, рассмотрены приемы отбора корней в тригонометрических уравнениях.
В статье автор рассматривает применение изученных методов для решения тригонометрических уравнений базовой части и уравнений повышенной сложности.
По каждому методу подобраны упражнения для самостоятельного решения учащимися, составлен тренировочный тест. В рамках исследования по данной теме автором представлены решения уравнений из всех упражнений. К тесту даны ответы.
Статья предназначена преподавателям для проведения занятий по данной теме и для самостоятельной подготовки учащихся 10-11 классов к успешной сдаче ЕГЭ.
1
«Методы решения тригонометрических уравнений»
Харатян Нарек Спартакович
Краснодарский край, Лабинский район,станица Вознесенская
МОБУ СОШ №28,11 класс
Аннотация.
Актуальность выбранной мною темы заключается в том, что тригонометрические уравнения из года в год встречаются среди заданий Единого государственного экзамена, однако в школьной программеотводится мало времени на изучение данной темы, поэтому уравнения повышенной сложности изучаются в основном на факультативных занятиях в ознакомительном порядке.
Цель работы: изучить методы решения тригонометрических уравнений, исследовать применение их к решению уравнений повышенной сложности и задач различного содержания.
Исследовательские задачи:
- рассмотреть исторические сведения о тригонометрических уравнениях;
- изучить общие сведения о простых тригонометрических уравнениях;
- изучить методы решения тригонометрических уравнений;
- исследовать применение методов решения тригонометрических уравненийк решению уравнений повышенной сложности и задач на нахождение дополнительных условий;
- составить тест для самостоятельного решения учащихся.
Вывод по работе. Знание указанных в работе методов решения уравнений позволяет решать тригонометрические уравнения повышенной сложности, производить отбор корней согласно указанным условиям.
Итоги исследования:
- я узнал историю возникновения тригонометрических терминов, уравнений и выяснил, что исследованиями тригонометрических уравнений занимались многие великие ученые (И. Ньютон , Л. Эйлер, Н.И. Лобачевский и др.).
- я обобщил знания по методам решения тригонометрических уравнений, изученным в рамках школьной программы, познакомился с некоторыми методами, не изучаемыми в школьном курсе математики, убедившись в рациональности их применения;
- я рассмотрел применение методов решения тригонометрических уравнений при самостоятельном решении примеров.
2
«Методы решения тригонометрических уравнений»
Харатян Нарек Спартакович
Краснодарский край, Лабинский район, станица Вознесенская
МОБУ СОШ №28,11 класс
План исследований
- Цель работы – анализ методов решения тригонометрических уравнений наиболее часто применяемых на практике.
- В своей работе использовал различные методы исследования: изучение литературы: Стройк Д. Я. «Краткий очерк истории математики», Выгодский М. Я. «Справочник по элементарной математике», Челомбитько В. П. «Математика: весь курс. Теория, задачи, решения» и др., материалов учебных интернет – сайтов по данной теме; консультации с преподавателем; применение различных методов решения тригонометрических уравнений на практике.
- Проанализированы и подобраны задания для самостаятельного решения разной сложности.
- Самостоятельно решены уравнения:
а) б) в) | a) б) в) г) | a) б) в) |
a б) | а) б)
| а) |
Самостоятельно прорешены и задания теста (в работе представлены ответы).
«Методы решения тригонометрических уравнений»
Харатян Нарек Спартакович
Краснодарский край, Лабинский район, станица Вознесенская
МОБУ СОШ №28,11 класс
Научная статья.
Вступление
Любое испытание – ситуация экстремальная, которая сопровождается напряженным, тревожным состоянием. И чтобы достойно пройти это испытание, нужно готовиться к нему. Скоро мне предстоит преодолеть свой первый серьезный жизненный барьер – сдача выпускных и приемных экзаменов.
На мой взгляд, Единый Государственный экзамен – очень сложное испытание, и чтобы сдать его с хорошим результатом, необходимо много готовиться. Это одна из причин того, чтобы научиться решать тригонометрические уравнения, в том числе и повышенной сложности. Ведь тригонометрические уравнения из года в год встречаются среди заданий Единого государственного экзамена.Но в школьном курсе алгебры и начал анализа изучаются лишь немногие методы решения данных уравнений. Предлагаемая исследовательская работа посвящена разделу «Тригонометрические уравнения», одному из самых сложных разделов алгебры и начал анализа.
История тригонометрии.
Тригонометрия – от греческого «измерение треугольников». Впервые способы решения треугольников, основанные на зависимостях между сторонами и углами треугольника, были найдены древнегреческими астрономами Гиппархом (2 в. до н. э.) и Клавдием Птолемеем (2 в. н. э.). Однако первые по-настоящему важные достижения принадлежат древнегреческим ученым. Например, 12-я и 13-я теоремы второй книги НачалЕвклида(конец 4–3 в. до н. э.) выражают по существу теорему косинусов. Во 2 в. до н.э. астроном Гиппарх из Никеи (180–125 до н.э.) составил таблицу для определения соотношений между элементами треугольников.
Развитию аналитической теории тригонометрических функций содействовали И. Ньютон и Л. Эйлер. Основоположником этой теории следует считать Л. Эйлера. Он придал всей тригонометрии современный вид. Дальнейшее развитие теории было положено в XIX в. Н. И. Лобачевским и другими учёными.
Тригонометрические уравнения возникают при решении задач по планиметрии, стереометрии, астрономии, физики и в других областях. Еще древнегреческие математики, используя элементы тригонометрии для решения прямоугольных треугольников, фактически составляли и решали простейшие тригонометрические уравнения. Исторически учение о решении тригонометрических уравнений формировалось с развитием теории тригонометрических функций, а также черпало из алгебры общие методы их решения. Часть тригонометрических уравнений непосредственно решается сведением их к простейшему виду, иногда – с предварительным разложением левой части уравнения на множители, когда правая часть равна нулю. В некоторых случаях удается произвести замену неизвестных таким образом, что тригонометрическое уравнение преобразуется в «удобное» для решения алгебраическое уравнение. 4
Общие сведения о тригонометрических уравнениях.
Уравнение, содержащее неизвестную величину под знаком тригонометрической функции, называется тригонометрическим.
Простейшие тригонометрические уравнения - это уравнения вида
sin x = a,cos x= a, tq x = a, ctq x = a
Каждое из таких уравнений решается по формулам, которые следует знать. Вот эти формулы:
sinx = a, x = (-1)karcsin a + πk, kЄZ
cosx= a, x=arccos a +2πk, kЄZ
tq x = a, x = arctq a + πk, kЄZ
ctq x = a, x = arcctq a + πk, kЄZ
Особо используются частные случаи элементарных тригонометрических уравнений, когда тригонометрические функции равны -1, 0, 1, в которых решение записывается без применения общих формул. При решении тригонометрических уравнений важную роль играет период тригонометрических функций.
Методы решения тригонометрических уравнений.
- Алгебраические уравнения относительно одной из тригонометрических функций.
Необходимо произвести замену неизвестных таким образом, чтобы тригонометрическое уравнение преобразовалось в «удобное» для решения алгебраическое уравнение.
Примеры
1)Решить уравнение 2sin2 + 3sin
—2 = 0.
Это уравнение является квадратным относительно sin.
Его корни: sin =
, sin
=—2. Второе из полученных простейших уравнений не имеет решений, так как Isin
l
1, решения первого можно записать так:
+2k
,
π
+ 2k
Если в уравнении встречаются разные тригонометрические функции, то надо пытаться заменить их все на какую-нибудь одну, используя тригонометрические тождества.
2) Решить уравнение 2sin + cos
= 2.
Если в этом уравнении заменим косинус на синус (по аналогии с предыдущими примерами) или наоборот, то получим уравнение с радикалами. Чтобы избежать этого, используем формулы, выражающие синус и косинус через тангенс половинного угла:
и
.
Делая замену, получаем уравнение относительно:
.
Квадратное уравнение имеет корни
откуда
Это же уравнение можно решить другим способом, вводя вспомогательный угол:
5
Пусть. Тогда можно продолжить преобразование:
. Получаем простейшее уравнение
т. е.
, откуда
, или
Ответ получился в другом виде, однако можно проверить, что решения на самом деле совпадают.
Упражнение №1
Решите уравнения:
а);
б);
в).
2. Понижение порядка уравнения.
Формулы удвоения позволяют квадраты синуса, косинуса и их произведения заменять линейными функциями от синуса и косинуса двойного угла. Такие замены делать выгодно, так как они понижают порядок уравнения.
Примеры
1)Решить уравнение.
Можно заменить cos2 на 2cos2
—1 и получить квадратное уравнение относительно cos
, но проще заменить
на
и получить линейное уравнение относительно
.
2) Решить уравнение
Подставляя вместо,
их выражения через
, получаем:
,
2
Упражнение №2
Решите уравнения:
a);
б)
в)
г)
3. Использование тригонометрических формул сложения и следствий из них.
Иногда в уравнениях встречаются тригонометрические функции кратных углов. В таких случаях нужно использовать формулы сложения. 6
Примеры
1) Решить уравнение.
Сложим два крайних слагаемых:, откуда
,
. Тогда
,
.
2) Решить уравнение.
Преобразуем произведение синусов в сумму:,
откуда. Полученное уравнение можно решить разными способами: 1) воспользоваться формулами сложения; 2) преобразовать
в произведение. Удобнее воспользоваться условием равенства косинусов двух углов
и
:
.
Получаем два уравнения:
.
Здесь решения второй серии содержат в себе все решения первой серии. Учитывая это, ответ можно записать короче:.
Упражнения №3
Решите уравнения:
a);
б);
в);
г).
4. Однородные уравнения.
Уравнение, в котором каждое слагаемое имеет одну и ту же степень, называется однородным.
Его можно решить, выполнив деление на старшую степень синуса (или косинуса).
Так как, то постоянные слагаемые можно считать членами второй степени.
Пример: .
Заменяя 4 на ,получаем:
Упражнение№4
Решите уравнения:
a);
б);
в)
Приемы решения тригонометрических уравнений,
требующих искусственных преобразований.
- Умножение обеих частей уравнения на одну и ту же тригонометрическую функцию.(4)
Пример. Решите уравнение
Решение. Раскроем скобки и преобразуем произведение
в сумму:
7
Умножим обе части уравнения на. Заметим, что
,
не является решением данного уравнения.
. Преобразуем левую часть уравнения:
;
или
тогда
или
, т.е.
Исключим из найденных серий корни вида ,
:
а). Ясно, что
- четное число, т.е.
, а потому
.
б).Tax как
, то
,но тогда
,
.
Ответ:
Упражнение №5
а). Указание. Обе части уравнения умножить на
.
б).
2. Прибавление к обеим частям уравнения одного и того же числа, одной и той же тригонометрической функции.(4)
Пример. Решите уравнение.
Решение. Область определения уравнения задается неравенствами:
При6авим к обеим частям уравнения по единице. ;
Разделим обе части уравнения на и после преобразований получим.
Тогда или
.
Из первой серии корней области определения принадлежит только ,
но это серия корней содержится в серии
. Нетрудно убедиться, что
входит в область определения. Например:
что верно, поскольку левая часть - число четное, а правая - нечетное.
Ответ:.
Упражнение №6 а).Указание. Левую часть уравнения представить в виде
3. Тождественные преобразования одной из частей уравнения.(4)
Пример. Решите уравнение .
Решение. Преобразуем левую часть уравнения:
8
Откуда , тогда
или
Легко видеть, что
Ответ:
Упражнения №7
а) Указание. Левую часть уравнения представить в виде
б) Указание. В левой части уравнения прибавить и вычесть
, тогда уравнение легко преобразуется к виду
4) Использование свойств пропорции.(4)
Необходимо помнить, что применение равенств
и т. д. приводит к изменению области определения уравнения. Так, у пропорции
существует ограничение:
, а у пропорции
место другое ограничение:
.
Пример. Решите уравнение
Решение. Применяя формулу тангенса разности, получим уравнение: . Используем свойство пропорции:
;
Область определения исходного уравнения:
В ходе решения произошло сужение области определения, добавились новые, ограничения: откуда
Проверим, удовлетворяют ли исходному уравнению значения
а) -верное равенство,
- решение исходного уравнения.
б) верное равенство.
в)-1
-1 - верное равенство, Ответ:
9
5.Решение тригонометрических уравнений методом экстремальных значений.
При решении некоторых тригонометрических уравнений бывает удобно использовать ограниченность функций, и
. Покажем это на конкретных примерах.
Пример 1. Решите уравнение .
Решение. Так как , то
,
, откуда
и возможные корни данного уравнения
Подставив эти значения в левую часть уравнения, получим
а последнее равенство возможно только при
.
Следовательно, - решение данного уравнения.
Ответ:
Пример 2. Решите уравнение .
Решение. Легко видеть, что и
. Следовательно,
, но тогда
,
, откуда
,
— возможные корни данного
уравнения. Подстановка в данное уравнение показывает, что эти числа действительно являются его корнями.
Ответ:.
Приемы отбора корней в тригонометрических уравнениях.
Обучение решению тригонометрических уравнений предполагает знакомство школьников с приемами отбора корней из множеств значений неизвестного. Отбор корней в тригонометрическом уравнении может осуществляться тремя способами: геометрическим, арифметическим и алгебраическим.
Геометрический способ основан на использовании двух моделей: тригонометрической окружности и числовой прямой. Тригонометрическая окружность удобна в случае, когда речь идет об отборе корней на промежутке, длина которого не превосходит 2, или если требуется найти наибольший отрицательный или наименьший положительный корень уравнения. В остальных случаях предпочтительнее модель числовой прямой.
Арифметический способ отбора корней состоит в вычислении неизвестного при переборе значений параметров из найденных серий решений с последующей их проверкой по дополнительным условиям.
Алгебраический способ предполагает составление соответствующих дополнительным условиям неравенств и их решение относительно параметра.
Как показывает практика, из трех возможных подходов к отбору корней тригонометрического уравнения по дополнительным условиям, наиболее популярен арифметический.
Применение рассмотренных методов решения тригонометрических уравнений.
Упражнение№1
- 2
х + cosх – 1 = 0
2 ( 1 - ) + cosх – 1 = 0, 2 - 2
+ cosх – 1 = 0, 2
– cos х – 1 = 0. Пусть cos х = t, где -1≤t≤1, тогда 2
- t – 1 = 0, D = 9
=
= 1,
=
= -
10
cos х = 1 cos х = -
х = 2πn, nϵZ х = ± + 2πn, nϵZ
Ответ: 2πn, ± + 2πn, nϵZ
2)sinх – 2 cos х = 2
Использую формулы и
, получаю
=2, после преобразований получил уравнение
=4,
, х=2 arctq 2 + 2πn, nϵZ
Ответ: 2 arctq 2 + 2πn, nϵZ
3)2tg х – 3 ctg х – 1 = 0
2tg х - – 1 = 0,
= 0, 2
х – tg х – 3 = 0. Пусть tg х = t, тогда 2
- t – 3 = 0
D = 25, =
=
=
= 1,5;
=
=
=
= -1
tg х = 1,5 tg х = -1
х = arctg 1,5 + πn, nϵZ х = - + πn, nϵZ
Ответ: arctg 1,5 + πn, - + πn, nϵZ
Упражнение№ 2
- 4
х + cos 2 х= 5
4 × (1 + cos 2х) + cos 2х = 5, 2 + 2cos 2х + cos 2x = 5, cos 2х = 1, 2х = 2 πn, nϵZ, х = πn, nϵZ
Ответ: πn, nϵZ
- 4
4 × (1 – cos 2х) – cos 2х = 5, 2 – 2cos 2х – cos 2х= 5, -3cos 2х = 3, cos 2х = -1, 2х = π + 2πn, nϵZ
х = +
Ответ: +
3)х+
= 2
+
= 2,
(1 – 2cos 2х +
) +
= 2, 5
- 2cos 2х – 7 = 0
Пусть cos 2х = t, тогда5 – 2t – 7 = 0, D =144,
=
=
=
= 1,4> 1,
=
=
= -1
cos 2х = -1, 2х = π + 2πn, nϵZ, х = + πn, nϵZ
Ответ: + πn, nϵZ
4) -
=
-
=
,
(1 + 2cos 3х +
) -
(1 – 2cos 3х +
) =
–
=
, (1 + 2cos 3х+
) – (1 – 2cos 3х +
) = 2
1 + 2cos 3х + - 1 + 2cos 3х -
= 2
, 4cos 3х = 2
, сos 3х =
, 3х =
+ 2πn, n
х =± +
, nϵZ 11
Ответ: ± +
, nϵZ
Упражнение №3
1)a);
(sin 6х + sin 2х) =
( sin 6х + sin 4х ), sin 6х + sin 2х = sin 6х + sin 4х, sin 2х = sin 4х,sin 2х – sin 4х = 0
sin 2х – 2sin 2хcos 2х = 0, sin 2х( 1 – 2cos 2х ) = 0, sin 2х = 0 или 1 – 2cos 2х = 0
2х = πn, nϵZcos2 х = , nϵZ , х =
, nϵZ или 2х = ±
+ 2πn, nϵZ; х=±
+ πn, nϵZ
Ответ: , ±
+ 2πn , nϵZ
2)sinх + sin 3х+ sin 5х = 0
(sin 5X + sin х) + sin 3х = 0, 2sin 3хcos 2х + sin 3х = 0, sin 3х (2cos 2х+ 1) = 0,sin 3х = 0или2cos 2х + 1 = 0
3х = πn, х = , nϵZ или cos 2х = -
, х = ±
+ πn, nϵZ
Ответ: , ±
+ πn, nϵZ, nϵZ
3)cos 2X + cos 4X – cos 3X = 0
(cos 4X + cos 2X) –cos 3X = 0, 2cos 3X cos X – cos 3X = 0, cos 3X (2cos X - 1) = 0, cos 3X = 0 или
2cos X – 1 = 0; тогда X = +
, n ϵ Z или X =±
+ 2πn, n ϵ Z
Ответ: +
,
+ 2πn, n ϵ Z
Упражнение №4
1)7 = 8sinXcosX -
7 - 8sin X cos X +
= 0, 7
- 8tgX + 1 = 0. Пусть tgX = t, тогда 7
– 8t + 1 = 0
= 9,
=
=
= 1,
=
=
=
. tg X = 1, X =
+ πn, n ϵ Z. tg х =
, х = arctg
, n ϵ Z
Ответ: + πn, arctg
, n , n ϵ Z
2)3 + 2sin X cos X = 2
+ 2 sin X cos X - 2
= 0,
+ 2tgX – 2 = 0. Пусть tgX = t, тогда
+ 2t – 2 = 0
= 3,
= -1 +
,
= - 1 -
= - (1 +
. Тогда tg X = - (1 +
X = - arctg (1 +
) + πn, n ϵ Z
tg X = X = arctg (
) +
n, n ϵ Z
Ответ: - arctg (1 + ) + πn, arctg (
) +
n, n ϵ Z
3)6 + 3sin X cos X - 2
= 3
3 + 3sin X cos X - 5
= 0, 3
+ 3 tg X – 5 = 0, D = 69, tg X =
, tg X =
Ответ: X = arctg () + πn, n ϵ Z , X = - arctg (
) + πn, n ϵ Z
Упражнение №5
cos 2X + cos 5X = + cos 4X
cos 2Xcos X + cos 5X cos X = + cos 4Xcos X
cos 2X 2cos X + cos 5X2cos X = cos X + cos 4X2cos X
2cos Xcos 2X + 2cos Xcos 5X – 2cos Xcos 4X = cos X 12
cos X + cos 3X + cos 6X + cos 4X – (cos 3X + cos 5X) – cos X = 0
cos 3X + cos 6X + cos 4X – cos 3X – cos 5X = 0
cos 6X – cos 5X + cos 4X = 0, 2cos 5Xcos X – cos 5X = 0, cos 5X (2cos X – 1 ) = 0
cos 5X = 0 или 2cos X – 1 = 0. X = +
, n ϵ Z ; X =
+ 2πn, n ϵ Z
Ответ:
Упражнение №6
4 – 4cos 2X – 1 cos 4X = 16, 4 – 4cos 2X + 2
- 1 -1 = 16
2 – 4cos 2X + 2 = 16
-2cos 2X +
+ 1 = 8
cos 2X ( cos 2X - 2 ) = 8
- 1
cos 2X ( cos 2X – 2 ) = ( 2 - 1
, cos 2X ( cos 2X – 2 ) = ( 2
- 1 ) ( 4
+ 2
+ 1 )
cos 2X ( cos 2X – 2 ) + cos 2X ( 4 + 2
+ 1 ) = 0
cos 2X ( cos 2X – 2 + 4 + 2
+ 1 ) = 0
cos 2X = 0 или = 0. X =
+
, n ϵ Z или X = πn, n ϵ Z
Ответ: +
, πn, n ϵ Z
Упражнение №7
1)sin 5X=sin X
(sin 5X-sin3X ) + ( sin 3X-sin X ) + sin X = sin X, 2cos 4Xsin X +2cos 2Xsin X + sin X +
sin X = 0
sin X ( 2cos 4X + 2cos 2X + ) = 0. sin X= 0, X = πn, n ϵ Z или 2cos 4X +2cos 2X +
= 0,
2 ( 2 – 1 ) + 2cos 2X +
= 0, 4
+ 2cos 2X – 2 + 1
= 0, 4
+ 2cos 2X -
=0
16 + 8cos 2X -3 = 0. Пусть cos 2X= t, тогда16
+ 8t – 3 = 0,
= 64,
=
= -
сos 2X = , cos 2X = -
. X = ±
arccos
+ πn, nϵZ, X = ±
( π - arccos
) +
, nϵZ
Ответ: X = πn, ± arccos
+ πn, ±
( π - arccos
) +
, nϵZ
2)
cos 5х +2cos 3х +cosх – cosх + = 0, 2cos 3хcos 2х + 2cos 3х – cosх +
= 0
= 0,
64 -
,
= 0,
= 0
4 ( cos 4х + cos 2х ) – 1 = 0, 4 ( 2- 1 + cos 2х ) – 1 = 0, 8
+ 4cos 2х – 5 = 0
Пусть cos 2х = t, ≤ 1 ,тогда8
+ 4t – 5 = 0,
= 44,
=
= -
- не удовлетворяет условию
≤ 1,
=
-
=
, поэтому cos 2х =
х =
+ πn,
Ответ: + πn,
13
Заключение.
В данной работе были рассмотрены основные методы решения тригонометрических уравнений, причем, как специфические, характерные только для тригонометрических уравнений, так и общие функциональные методы решения уравнений, применительно к тригонометрическим уравнениям.
Указано, что при решении тригонометрических уравнений широко используются тождества, выражающие соотношение между тригонометрическими функциями одного и разных аргументов. Для успешного решения уравнений необходимо знать формулы корней простейших тригонометрических уравнений, значение тригонометрических функций для основных углов и значение обратных тригонометрических функций, универсальные правила решения уравнений. Рассмотрено решение элементарных тригонометрических уравнений, метод разложения на множители, методы сведения тригонометрических уравнений к алгебраическим.
Результаты данной творческой работы могут быть использованы в качестве учебного материала при подготовке творческих работ, при составлении факультативных курсов для школьников, так же работа может применяться при подготовке учащихся к Единому государственному экзамену, вступительным экзаменам.
14
Список литературы:
- Стройк Д. Я. «Краткий очерк истории математики». М., «Наука», 1984г.
- Выгодский М. Я. «Справочник по элементарной математике». М., «Наука», 1982г.
- Г. И. Глейзер История математики в школе. Москва «Просвещение» 1983г.
- Сост. Гряда Н. Н. и др. Обобщающее повторение в системе подготовки к ЕГЭ по теме «Тригонометрические уравнения», Армавир, 2005г.
- Челомбитько В. П. «Математика: весь курс. Теория, задачи, решения». М., «Эксмо», 2009г.
15
ПРИЛОЖЕНИЕ 1
Тест по теме
«Тригонометрические уравнения».
1) Объединение каких множеств , , , является решением уравнения
, ,
, .
a) , б) , в) , г) ,
2) Решите уравнение .
a) б) в) г)
3) Решите уравнение .
a)
б)
в)
г)
4) Решите уравнение .
a)
б)
в)
г)
5) Решите уравнение .
a)
б)
в)
г)
6) Среди множеств , найдите решение уравнения
и укажите те, которые не являются подмножествами друг друга.
, , ,
, .
а) б) в) г)
7) Среди множеств , найдите решение уравнения
а) б) в) г)
8) Решите уравнение .
а) б)
в) г)
9) Решите уравнение
а)
б)
в)
г)
10)Решите уравнение .
а) б)
в) г)
11) Сумма корней уравнения на отрезке равна:
а) б) в) г)
12) Решите уравнение
В ответе записать количество корней уравнения, принадлежащих отрезку .
а) б) в) г)
13) Решить уравнение
а) б)
в) г)
14) Решите уравнение .
a) б)
в) г)
15) Решите уравнение
a)
б)
в)
г)
16)Найдите набольший отрицательный корень уравнения:
a) б)
в) г)
17) Решите уравнение на множестве .
a)
б)
в)
г)
18) Решите уравнение .
a) б)
в) г)
19) Решить уравнение .
а) б) в) г)
20) Решите уравнение .
a)
б) или
в) или и
г) или и
Ответы к тесту.
1 | а | 6 | б | 11 | а | 16 | в |
2 | б | 7 | а | 12 | б | 17 | в |
3 | б | 8 | б | 13 | в или г | 18 | а или б |
4 | г | 9 | г | 14 | а | 19 | г |
5 | б | 10 | б | 15 | в | 20 | в |
Содержание:
- Краткая аннотация 1
- Аннотация 2
- План исследования 3
- Научная статья 4-13
а) Вступление 4
б) История тригонометрии 4
в) Общие сведения о тригонометрических уравнениях 5
г) Методы решения тригонометрических уравнений 5-10
д) Применение методов решения тригонометрических уравнений 10-13
5. Заключение 14
6. Список литературы 15
7. Приложение. Тест по теме «Тригонометрические уравнения»
Хитрый коврик
Басня "Две подруги"
Сила слова
Два петушка
Одеяльце