Лист Мёбиуса

                            СОДЕРЖАНИЕ.

1.Введение______________________________________________________________стр.2

2.История открытия______________________________________________________стр.3

3.Свойства листа Мёбиуса_________________________________________________стр.4

3.Наука «топология»______________________________________________________стр.5

4.Опыты________________________________________________________________стр.6-7

5.Практическое применение_______________________________________________стр.8-9

6.Заключение____________________________________________________________стр.10

7.Литература ____________________________________________________________стр.11  

1.Введение

             Тема исследования листа Мёбиуса, является актуальной в наши дни, так как в последнее столетие большое влияние на ряд совершенно различных областей знания приобрела новая ветвь геометрии- топология. В наше время эта наука бурно развивается и находит применение в различных областях.

            Математическое исследование показывает необходимость познаний математики за страницами учебника, осуществление межпредметных связей.

Объект исследования: лист Мёбиуса как модель односторонней поверхности.

 Предмет исследования: свойства односторонней поверхности на примере ленты Мёбиуса 

Гипотеза: Предположим, что свойства листа Мебиуса отличны от свойств аналогичных фигур.
Цель работы: определить и опытно – экспериментальным путём проверить удивительные свойства ленты Мёбиуса.
В соответствии с поставленной целью и выдвинутой гипотезой определились следующие задачи:
- раскрыть понятие топологии;
-изучить вклад А.Ф. Мёбиуса в развитие науки топологии;
- описать лист Мёбиуса и процесс его изготовления;
- показать использование листа Мёбиуса в искусстве;
- разработать методику определения удивительных свойств листа Мёбиуса;
- проверить опытно-экспериментальным путём эти свойства.
Методы исследования:  

- работа с литературой

-поиск информации во всемирной сети Интернет

-изготовление листа Мебиуса

-опыты с листом Мебиуса 

               Изучение математики за страницами учебника расширяет знания в области экспериментальной математики, развивает навык самостоятельной работы при проведении исследования, формирует ключевые компетентности учащихся.

             Для изучения данной проблемы я использовала ресурсы Интернета, мне помогал учитель и родители.

2.История открытия.

 «Всякий знает, что такое кривая, пока не
выучится математике настолько,что вконец
запутается в бесконечных исключениях».

Феликс Клейн

             Различные исследования- это поход в неизвестность, движение к новым знаниям и открытиям. Математическое  исследование «Листа Мёбиуса», лишь слегка приоткрывает занавес, за которым скрывается изумительно красивый мир науки.

             У каждого из нас есть интуитивное представление о том, что такое "поверхность". Поверхность листа бумаги, поверхность стен класса, поверхность земного шара известны всем. Может ли быть что-нибудь неожиданное и даже таинственное в таком обычном понятии?

            Пожалуй самую первую необычную фигуру (поверхность) придумал в середине ХIX столетия Август Мёбиус. Это был так называемый «лист Мёбиуса», или «лента Мёбиуса» – весьма простая и в то же время весьма странная конструкция.

            Август Фердинанд Мёбиус, немецкий геометр и астроном, профессор Лейпцигского университета. Основные труды по геометрии. Впервые ввел в проективную геометрию систему координат и аналитические методы исследования, получил новую классификацию кривых и поверхностей, установил общее понятие проективного преобразования, исследовал коррелятивные преобразования. Впервые установил существование односторонних поверхностей. [3]

Лист Мёбиуса относится к числу “математических неожиданностей”. Рассказывают, что Мёбиусу пришла в голову идея об этой необычной геометрической фигуре, когда он увидел горничную, неправильно повязавшую свой шейный платок. Ну, что же, может быть, может быть! Ведь Исаак Ньютон тоже тянул с открытием всемирного закона тяготения, пока ему на голову не свалилось яблоко.

Как бы то ни было, но в 1858 году Мебиус (1790-1868) послал в Парижскую академию наук работу, включавшую сведения об этом листе. Семь лет он дожидался рассмотрения своей работы и, не дождавшись, опубликовал ее результаты.

Справедливости ради, надо заметить, что одновременно с Мёбиусом изобрел этот лист и другой ученик К.Ф. Гаусса – Иоганн Бенедикт Листинг (1808 – 1882), профессор Геттингенского университета.

3. Свойства листа Мёбиуса. 

Что же поразило этих двух немецких профессоров? А то, что у листа Мёбиуса всего одна сторона. Мы же привыкли к тому, что у всякой поверхности, с которой мы имеем дело  (лист бумаги, велосипедная или волейбольная камера), – две стороны.  Лист Мёбиуса - это простейшая односторонняя поверхность с краем.       Попасть из одной точки этой поверхности в любую другую можно, не пересекая края.

 Непрерывность – на листе Мёбиуса любая точка может быть соединена с любой другой точкой. Разрывов нет – непрерывность полная.

 Связность – чтобы располовинить  кольцо, потребуется  два разреза. Что касается листа Мёбиуса, то количество связей заменяется в зависимости от смены количества оборотов ленты: если один оборот – двусвязен, если два оборота – односвязен, если три – двусвязен и т. д.

        Лента Мёбиуса (Möbius strip) - трехмерная поверхность, имеющая только одну сторону и одну границу, обладающая математическим свойством неориентируемости. [2]

             Самое же  удивительное, пожалуй, то, что я смогу её  сделать  своими руками и это совсем несложно. Надо лишь взять полоску бумаги и склеить её концы, предварительно повернув один из них на 180о.  И тогда в ваших руках окажется лист, или лента Мёбиуса.

4. Наука «топология»

           Лист Мёбиуса один из объектов в области математики под названием топология (по-другому "геометрия положения"). Удивительные свойства листа Мёбиуса— он имеет один край, одну сторону,— не связаны с его положением в пространстве, с понятиями расстояния, угла и тем не менее имеют вполне геометрический характер. Изучением таких свойств занимается топология.  Лист Мебиуса считается одним из символов современной математики, а момент его открытия стал началом рождения этой новой науки.

        Тополо́гия (от др.-греч. τόπος — место и λόγος — слово, учение) — раздел математики, в котором изучаются свойства таких фигур, которые не меняются, если  их гнуть, растягивать, сжимать, но не склеивать и не рвать, т. е не изменяются при деформациях. В отличие от геометрии, в топологии не рассматриваются метрические свойства объектов (например, расстояние между парой точек). С точки зрения топологии, кружка и бублик  неотличимы. [2]

                  Примером топологических объектов являются: буквы И и Н, тонкие длинные воздушные шарики.

5.Практическая часть.

Эксперименты «Сюрпризы листа Мёбиуса»

        Мною проведено несколько экспериментов с листом Мёбиуса, в которых я постаралась ответить на интересующие меня  вопросы и сделала определённые  выводы. 

       Итак, нам для работы понадобится набор лент, клей и ножницы.

1. Что получится, если начать закрашивать лист Мёбиуса с одной стороны, не переходя через край, какая часть ленты окажется закрашенной?

 Опыт № 1

Исходный материал – лист Мёбиуса. Постепенно окрашиваем его в какой-нибудь цвет, начиная с любого места. Результат окрашивания – весь лист полностью окрашен. Это подтверждение того, что лист Мёбиуса односторонняя поверхность.

2. Что произойдёт с обычным кольцом, если его разрезать посередине?

            Опыт № 2.

Исходный материал – обычное кольцо, склеенное из полоски бумаги. Результат разрезания кольца посередине – два отдельных обычных кольца .Свойства – длина окружности та же, но кольца в два раза уже исходного.

     3.  А если лист Мёбиуса разрезать посередине (то есть на 2 полоски)?

Опыт № 3.

Исходный материал – лист Мёбиуса. Результат разрезания кольца посередине – одно кольцо .Свойства – кольцо перекручено дважды, оно вдвое длиннее, но в два раза уже и  является уже двусторонней поверхностью с двумя краями(кромками).

            4. Каков результат разрезания листа Мёбиуса на 3 полоски? 5полосок?

Опыт № 4.

Исходный материал - на обеих сторонах ленты на равном расстоянии от краев проводим по две пунктирные линии. Склеиваем лист Мёбиуса. Разрезаем по пунктирным линиям (на 3 полоски). Результат разрезания–получается 2 кольца. Одно из них вдвое длиннее первоначальной ленты и вдвое перекручено. Оно получилось из краев исходной ленты. Другое - лист Мёбиуса - состоит из центральной части исходного листа Мёбиуса. Эти кольца сцеплены друг с другом.

Выводы:

При разрезании листа Мёбиуса на чётное число полосок получаются только большие сцеплённые кольца, которых в два раза меньше, чем количество полосок.

 При разрезании листа Мёбиуса на нечётное число полосок получаются одно маленькое и несколько больших колец, сцеплённых с маленьким.

6.Практическое применение.

               Всё это забавно и увлекательно, но лента Мёбиуса не просто интересная игрушка. Многие учёные задумывались над тем, как сделать ленту Мёбиуса полезной для человечества, найти ей достойное применение.

             Существуют технические применения ленты Мёбиуса. Полоса ленточного конвейера выполняется в виде ленты Мёбиуса, что позволяет ему работать дольше, потому что вся поверхность ленты изнашивается равномерно. Также в системах записи на непрерывную плёнку применяются ленты Мёбиуса (чтобы удвоить время записи). Во многих матричных принтерах красящая лента также имеет вид листа Мёбиуса для увеличения её ресурса. [2] А может быть, и еще где-нибудь.

                Более 100 лет лист Мёбиуса используется для показа различных фокусов и развлечений. Удивительные свойства листа демонстрировались даже в цирке, где подвешивались яркие ленты, склеенные в виде листов Мёбиуса. Фокусник закуривал сигарету и горящим концом дотрагивался до средней линии каждой ленты, которая была выполнена из калийной селитры. Огненная дорожка превращала первую ленту в более длинную, а вторую - в две ленты, продетая одна в другую. (В этом случае фокусник разрезал лист Мёбиуса не посередине, а на расстоянии в одну треть его ширины).

               Вот пример еще одного фокуса: фокусник вручает зрителю три больших бумажных кольца, каждое из которых получилось путем склеивания концов длинной ленты. Зритель разрезает ножницами первое кольцо вдоль ленты посередине, пока не вернется в исходную точку. В результате получаются два отдельных кольца. Разрезая таким же образом второе кольцо, он получает, к своему удивлению, не два кольца, а одно, которое вдвое длиннее исходного. Наконец, разрезая третье, он снова получает поразительный результат: два кольца, сцепленных друг с другом. Результат этого фокуса зависит от того, как были сомкнуты концы ленты перед склейкой. Первое наше кольцо получилось путем простого соединения концов ленты без перекручивание. Второе кольцо получается при соединении концов ленты, перекрученной один раз на 180ْ. Третье кольцо получилось при разрезании ленты, концы которой перекручивались перед склейкой дважды. Известно еще много фокусов с применением ленты Мебиуса.

Есть гипотеза, что спираль ДНК сама по себе тоже является фрагментом ленты Мебиуса и только поэтому генетический код так сложен для расшифровки и восприятия. Больше того – такая структура вполне логично объясняет причину наступления биологической смерти – спираль замыкается сама на себя и происходит самоуничтожение. Или аннигиляция, как подтверждают физики. Они, кстати, утверждают также, что все оптические законы основаны на свойствах ленты Мебиуса, в частности отражение в зеркале – это своеобразный перенос во времени, краткосрочный, длящийся сотые доли секунды, ведь мы видим перед собой… правильно, зеркального своего двойника!

Лист Мёбиуса в искусстве служит вдохновением для скульптур и для графического искусства.

У входа в Музей истории и техники в Вашингтоне медленно вращается на пьедестале стальная лента, закрученная на полвитка. В 1967 году, когда в Бразилии состоялся международный математический конгресс, его устроители выпустили памятную марку достоинством в пять сентаво. На ней была изображена лента Мёбиуса. И монумент высотой более чем в два метра, и крохотная марка – своеобразные памятники немецкому математику и астроному Августу Фердинанду Мёбиусу, профессору Лейпцигского университета. [1]

Даже мастерицы-рукодельницы изготавливают шарфики, закрученные в эту чудо ленту. Писатели-фантасты сочиняют о ней произведения, поэты посвящают ей стихи.

7.Заключение.

         «Мышление начинается с удивления»,- заметил 2500 лет назад Аристотель.  А математика замечательный предмет для удивления. В ходе математического исследования  я узнала много нового и интересного, необычного. Чтобы проверить свою гипотезу, я работала с различными источниками информации в сети Интернет, проводила эксперименты.

            Свойства  листа Мёбиуса действительно отличны от свойств аналогичных фигур.

С ним можно проводить различные увлекательные эксперименты.

           С того момента, как немецкий математик А. Ф. Мёбиус обнаружил существование удивительного одностороннего листа бумаги, начала развиваться целая новая ветвь математики, называемая топологией. Наука эта настолько сложная, что ее в школе не проходят. Только в институтах (и то не во всех!). Но кто знает, вдруг вы станете со временем знаменитым топологом и совершите не одно замечательное открытие. И быть может, какую-нибудь замысловатую поверхность назовут вашим именем.

           В дальнейшем я продолжу работу над данной темой. Меня интересует показ фокусов в  цирке (хочу научиться показывать их сама) и не только.

          В интернете я нашла статью А.М.Белова[4] о том, что лист Мёбиуса вовсе не является простейшей односторонней поверхностью. Существует односторонняя поверхность по своей форме и процедуре своего изготовления более простая, чем классический лист Мёбиуса. Правда, любопытно!!!

 8. Литература

1.Математика.Справочник школьника.АСТ.Москва,2001г.

2. ru.wikipedia.org›Лента Мёбиуса

3. vzglyadzagran.ru›

4. stob2.narod.ru›