ученический проект по теме "Функция"

Слайд 1

УЧЕБНЫЙ ПРОЕКТ ПО ТЕМЕ : « ФУНКЦИЯ» Выполнили ученики 9 класса МБОУ «Успенская ООШ МО « Ахтубинский район»: Кучинская Е., Исингалиев К.. Руководитель: учитель математики Крамаренко Т.Н.

Слайд 2

ПЛАН История возникновения функции. 2. Понятие функции. ёПрименение математических функций в других науках и жизни человека.

Слайд 3

ИСТОРИЯ ВОЗНИКНОВЕНИЯ ФУНКЦИИ

Слайд 4

Что такое функция? Функция — одно из основных математических и общенаучных понятий. Оно сыграло и поныне играет большую роль в познании реального мира.

Слайд 5

Когда появилась функция? Идея функциональной зависимости восходит к древности. Ее содержание обнаруживается уже в первых математически выраженных соотношениях между величинами, в первых правилах действий над числами. В первых формулах для нахождения площади и объема тех или иных фигур. Так, вавилонские ученые (4 – 5 тыс. лет назад) пусть и несознательно, установили, что площадь круга является функцией от его радиуса посредством нахождения грубо приближенной формулы: S=3r2. Примерами табличного задания функции могут служить астрономические таблицы вавилонян, древних греков и индийцев, а примерами словесного задания функции — теорема о постоянстве отношения площадей круга и квадрата на его диаметре или античные определения конических сечений, причем сами эти кривые выступали в качестве геометрических образов соответствующей зависимости.

Слайд 6

Путь к появлению понятия функции заложили в 17 веке французские ученые Франсуа Виет и Рене Декарт ; они разработали единую буквенную математическую символику, которая вскоре получила всеобщее признание. Введено было единое обозначение: неизвестных — последними буквами латинского алфавита: x, y, z, известных — начальными буквами того же алфавита: a, b, c,... и т. д. Под каждой буквой стало возможным понимать не только конкретные данные, но и многие другие; в математику пришла идея изменения. Тем самым появилась возможность записывать общие формулы.

Слайд 7

Кроме того, у Декарта и Ферма в геометрических работах появляется отчетливое представление переменной величины и прямоугольной системы координат. В своей "Геометрии" в 1637 году Декарт дает понятие функции, как изменение ординаты точки в зависимости от изменения ее абсциссы; он систематически рассматривал лишь те кривые, которые можно точно представить с помощью уравнений, притом преимущественно алгебраических. Постепенно понятие функции стало отождествляться, таким образом, с понятием аналитического выражения — формулы. В 1671 году Ньютон под функцией стал понимать переменную величину, которая изменяется с течением времени (он называл ее "флюентой").

Слайд 8

Окончательную формулировку определения функции с аналитической точки зрения сделал в 1748 году ученик Бернулли Эйлер (во "Введении в анализ бесконечного"): "Функция переменного количества есть аналитическое выражение, составленное каким-либо образом из этого количества и чисел или постоянных количеств" . Так понимали функцию на протяжении почти всего 18 века Даламбер, Лагранж ,Фурье и другие видные математики. Что касается Эйлера, то он не всегда придерживался вышеуказанного определения; в его работах понятие функции подвергалось дальнейшему развитию в соответствии с запросами математического анализа . В 1837 году немецкий математик П. Л. Дирихле так сформулировал общее определение понятия функции: " y есть функция переменной x (на отрезке a < x < b ), если каждому значению x на этом отрезке соответствует совершенно определенное значение y , причем безразлично, каким образом установлено это соответствие — аналитической формулой, графиком, таблицей либо даже просто словами" . Примером, соответствующим этому общему определению, может служить так называемая "функция Дирихле" j ( x ).

Слайд 9

« Понятие функции».

Слайд 10

Что такое функция Две переменные величины Х и Y связаны функциональной зависимостью, если каждому значению, которое может принимать переменная Х, соответствует одно и только одно значение переменной Y . Переменная Х называется независимой переменной или аргументом функции, а переменная Y – зависимой переменной или функцией. Записывают соотношение между Х и Y в общем виде так: y=f(x) или y=y(x)

Слайд 11

Аналитический способ задания функций Функция задается формулой, позволяющей получить значение зависимой переменной ( Y ),подставив конкретное числовое значение аргумента (Х). Значения переменной Y зависят от значения переменной Х, в то время как значения Х являются независимыми. Поэтому переменную Х называют независимой переменной, а Y – зависимой переменной. Независимую переменную называют также аргументом, а зависимую – функцией. ПРИМЕР 1 : Y=X²

Слайд 12

Табличный способ задания функции При этом способе задания функции заполняется таблица, в верхней строке которой значения независимой переменной (Х), в нижней – соответствующие значения зависимой переменной ( Y ). Таблицы значений чаще составляют для построения графиков функций, заданных формулами. При этом для нескольких, произвольно выбранных, значений независимой переменной вычисляют соответствующие значения зависимой переменной. ПРИМЕР 1: Y=X² X -3 -2 -1 0 1 2 3 Y 9 4 1 0 1 4 9

Слайд 13

Способ задания функции описанием Функцию можно задать описанием с помощью естественного языка. Например: «Каждому отрицательному числу соответствует -1,нулю – число 0, а каждому положительному – число 1». Обычно эту функцию обозначают так: Y=sign X (читают: «Игрек равен сигнум Х»). Латинское слово signum переводится как «знак» и указывает знак числа. Эту функцию можно задать так: -1, если Х <0 У = 0 , если Х=0 1 , если Х >0

Слайд 14

Графический способ задания функции График функции – это множество тех и только тех точек ( X;Y ) координаты которых обращают уравнение Y=f(x) в верное равенство. График функции позволяет не только с его помощью находить значения функции, но и видеть многие её свойства: в каких точках функция обращается в нуль, на каких промежутках она принимает отрицательные или положительные значения, где она возрастает или убывает и др. ПРИМЕР 1: Y=X²

Слайд 15

Область определения функции Область определения функции f(x) называется множество всех действительных значений независимой переменной х , при которых функция определена (имеет смысл). Обозначение: D(f) ( англ. Define – определять). ОБЛАСТЬ ЗНАЧЕНИЙ ФУНКЦИИ Областью значений функции Y=f(x) называется множество всех действительных значений, которые принимает зависимая переменная Y . Обозначение E(f) ( англ. exist- существовать).

Слайд 16

Примеры области определения и значения функции: Пример : Найдите область определения функции Y =2х/х-3. Решение: На нуль делить нельзя, то Х-3≠0, а Х≠3 (т.к. при Х=3 выражение не имеет смысл). Значит D (у)=(-∞;3) U (3;∞).

Слайд 17

Чётность, нечётность возрастание и убывание функции Функцию f называют чётной (соответственно нечётной), если её график симметричен относительно оси ординат (соответственно начала координат). Функцию f называют возрастающей (соответственно убывающей) на множестве X , если на этом множестве при увеличении аргумента увеличиваются (соответственно уменьшаются) значения функции.

Слайд 18

Применение математических функций в других науках и жизни человека.

Слайд 19

Функции в точных науках Графики зависимости физических величин, Звёздный график, Параболоиды, Отображение звуковых волн с помощью периодической функции. Астрономия Физика Оптика Звук

Слайд 20

Линейная функция у=кх+в (графиком является прямая) Физика. График равномерного прямолинейного движения Зависимости силы тока от напряжения

Слайд 21

Квадратичная функция у=кх 2 (графиком является парабола) физика График равноускоренного прямолинейного движения Потенциальная энергия

Слайд 22

Применение функции в естественных науках

Слайд 23

Рассмотрим проблему функционального описания реальных процессов. Почему не бывает животных, какой угодно величины? Почему, например, нет слонов в три, в четыре и т.д. раза больше своего роста, но тех же пропорций? Ответ таков: стань слон, например, в три раза больше, вес его тогда увеличился бы в двадцать семь раз, как куб размера, а площадь сечения костей и, следовательно, их прочность — только в девять раз, как квадрат размера. По графику видно, что прочности костей уже не хватило бы, чтобы выдержать непомерно увеличившийся вес. Такой слон был бы раздавлен собственной тяжестью.

Слайд 24

Функциональные зависимости в химии

Слайд 25

Применение в биологии показательной функции Если бы все маковые зерна давали всходы, то через 5 лет число “потомков” одного растения равнялось бы 243 • 10 15 или приблизительно 2000 растений на 1 м 2 суши. Потомство комнатных мух за лето только от одной самки может составить 8 • 10 14 .

Слайд 26

Применение функции в жизни Производственная функция. Зависимость между объемом производства товара и ресурсами (факторами производства), необходимыми для получения этого товара. Y = F (L, K , etc. ) , где Y - объем производства; L - труд; К – капитал. Y L 0 Y=F(L, K)

Слайд 27

Функция полезности Зависимость, которая связывает полезность как результат некоторого действия с уровнем (интенсивностью) этого действия. u = u (x1, x2, ..., xn ) , где x1, ..., xn — факторы, влияющие на полезность u . U X 0 U(x)

Слайд 28

Дни солнцестояния Почему в марте долгота дня меняется быстро, а в июне и декабре – медленно? С помощью графика мы можем увидеть, что точки, где график, похожий на график синуса, пересекает ось времени соответствуют 23 сентября и 21 марта

Слайд 29

График таяния льда С мороза в комнату внесли банку со льдом. Как измениться его температура с течением времени? Глядя на график, мы можем увидеть, что лёд вначале согреется до температуры 0 градусов, а потом будет нагреваться до того, пока его температура не будет равна комнатной.

Слайд 30

Заключение Мы рассмотрели историю возникновения функции, ее основные свойства, основные области применения функции и её свойства. Мы надеемся, что наш проект убедил вас в том, что функция является неотъемлемой частью нашей жизни и наук в целом.

Слайд 31

Используемые материалы 1) (История развития понятия.) http://www.bestreferat.ru/referat-46497.html 2) (Точные науки.) http://www.volsu.ru http:// www . ido.tsu.ru http://www.uztest.ru 3)(Естественные науки, филология и история.) http :// festival .1 september . ru / articles /509013/ http :// www . uztest . ru / abstracts /? idabstract =183948 4)(Жизнедеятельность человека, экономика.) http://fiz.1september.ru/article.php?ID=200701012 http://wapedia.mobi/ru/Парабола http://www.bestreferat.ru/referat-4794.html