Проектно-исследовательская работа "Числа великаны"

МБОУ «Черки-Гришинская ООШ

Буинского муниципального района РТ»

                                                                                                             Выполнили:

                                                                                                 ученики 6 класса;

Руководитель:

Халирахманова Гульшат Рашитовна,

учитель математики

1 квалификационной категории

2012 год

Оглавление:

Введение  …………………………………………………….…………….. 3

Глава 1. Появление названия чисел………………………………….……  5

Глава 2. Нумерация чисел………………………………………….……….6

Глава 3. Название классов……………………………………….………….8

Глава 4. Применение чисел – великанов в жизни…………………………14

Глава 5. Практическая часть.

Задачи, с применением чисел великанов…………………………………15

Заключение …………………………………………………….…………  16

Литература…………………...…………………………….……………… 17

Приложение

Рассказы-задачи…………………………………………………………….18

Введение

Две стихии господствуют в математике – числа и фигуры с их бесконечным многообразием свойств и взаимосвязей. Само возникновение понятия числа - одно из гениальнейших проявлений человеческого разума. Действительно, числами не только что-то измеряют, ими сравнивают, вычисляют, даже рисуют, проектируют, сочиняют, играют, делают умозаключения, выводы. Когда- то числа служили только для решения практических задач. А потом их стали изучать, узнавать их свойства.

Открытия в науке о числах делали Пифагор, Архимед, немецкий ученый Карл Гаусс, французские математики Алексис Клеро, Эверист Галуа, Шюке и др. Сначала люди умели называть лишь маленькие числа, а потом все больше и больше. Они создали разные системы исчисления, такие как двоичная, десятичная, шестидесятеричная.

Около 2.5- 3 тысяч лет до нашей эры египтяне придумали свою числовую систему. Своя система счисления была у римлян. В древности применялась и алфавитная система записи чисел. Любопытны были различные методы обозначения чисел. Но у всех этих методов был один недостаток: по мере увеличения чисел нужны были все новые и новые знаки.

Впрочем, египтяне, римляне, греки с большими числами в своей практике не встречались. И когда древнегреческий математик Архимед научился называть громадные числа и изложил свое открытие в книге «Псаммит» т.е. «Счет песчинок» никто на это никто не обратил внимание. Человечество развивалось и двигалось вперед. Люди пытались вычислить площадь земли, расстояние от земли до солнца, расстояние между звездами, изучали молекулы, атомы. Появилась необходимость в обозначении больших чисел. Ученые задумались: «Есть ли предел у числового ряда, как назвать и записать большое число?» В жизни мы эти числа почти не встречаем. Только в науке нужны большие числа.

Но изучение чисел и их свойств необходимо современному человеку для развития логического мышления, памяти, творческого решения задач. В школьном курсе «математика» не изучается тема «числа - великаны», но узнав, что существуют числа больше миллиарда, у меня возник интерес и желание больше узнать об этих числах. Безусловно, мало знать, как называются самые большие числа в мире, имеющие собственное название. Интересно узнать и посмотреть на то, как они записываются, где встречаются в жизни.

Это и обусловило выбор темы работы: «Числа - великаны».

Актуальность: расширить свой кругозор в употреблении чтения многозначных чисел- великанов в области астрономии, химии, физики.

Объект исследования:  удивительный мир чисел

Предмет исследования:  числа - великаны

Цель – знакомство с названием чисел - великанов, умение их читать.

Задачи:

1. Узнать об истории возникновения чисел, различных систем счисления.

2. Изучить необходимый теоретический материал.

3. Уточнить название классов для дальнейшего чтения чисел- великанов.

4. Уметь применять эти числа при решении задач и в других предметных областях.

Гипотеза: Если узнаем историю возникновения чисел, системы счисления и название классов, тогда легко будем читать и писать большие числа. Сможем избежать трудностей при чтении, сталкиваясь на практике с числами- великанами.

Глава 1. Появление названия чисел

Много тысяч лет назад люди учились считать предметы. Для этого им пришлось ввести числа и придумывать им название. О том, как появились имена у чисел, ученые узнали, изучая языки разных племен и народов.

Например, у древних людей, живших на Сахалине, числительные зависели от того, какие предметы считают, какую имеют форму.

Прошло много столетий, а может и тысячелетий, прежде чем одни и те же числительные стали применять к предметам любого вида. Ученые считают, что сначала название получили только числа один и два. А все, что шло после двух, называлось «много». С развитием земледелия, скотоводства, охоты, понадобилось называть и другие числа, большие «много». Появилась необходимость называть не только единицы, а десятки и сотни. В русском языке число, следующее за числом десять, получило название «один - на – десять», затем шло число «два - на - десять». Постепенно эти названия чисел были сокращены, человек стал говорить одиннадцать, двенадцать. А когда дошли до числа девятнадцать, пришлось задуматься, как назвать следующее число.

На помощь призвали умножение. Следующее число за девятнадцатью назвали двадцать, т.е. два десятка. Так появилось и число тридцать. Число сорок долгое время называли «четыредцать».

Только 700 лет назад появилось название «сорок». В названиях чисел, следующих за числом сорок, слово «дцать» исчезать. Появляются по- новому устроенные слова: «пятьдесят», «шестьдесят» и так до слова «восемьдесят». Следовало бы ожидать, что девять десятков получат имя «девятьдесят». Такое название нашим предкам было неудобным. Вместо него был введен термин «десяносто», т.е. «десять до ста». В дальнейшем звук «с» был заменен на «в», и число получило наименование «девяносто».

Подобное произошло и с названием сотен. Мы говорим: «сто», «двести»,«триста», «четыреста», а потом идут иные названия: «пятьсот», «шестьсот» и т.д.

Такая система счисления называется десятичной и применяется почти у всех народов.

Глава 2. Нумерация чисел

Существовали различные методы обозначения чисел, придуманные египтянами и вавилонянами, греками и римлянами. В египетской числовой системе ключевые числа 1, 10. 100 изображались специальными значками -  иероглифами. Для записи чисел они употребляли следующие иероглифы:

Римским цифрам около 2,5 тыс. лет. Как читать римские цифры? Правило записи римских чисел гласит: «Если большая цифра стоит перед меньшей, то они складываются, если же меньшая стоит перед большей, то меньшая вычитается из большей».

Эта таблица позволяет обозначить любое число от 1 до 3999. Вот как будет выглядеть число 3999- МММСМХС1Х.

В древности широко применялись системы, в которых числа обозначались буквами. Для обозначения чисел над буквами сверху ставили специальный значок- титло (~) титло.

Алфавитная нумерация

С помощью этой таблицы можно легко записать любое целое число от 1 до 999 включительно, например. 77- ЗО, 288- СПИ, 498- УЧИ.

Но у всех этих методов был один недостаток, по мере увеличения числа, нужны были все новые и новые знаки. Один из первых, кто научился называть громадные числа, был древнегреческий математик Архимед. Названия были, но обозначать он их не мог. Архимед один из гениальнейших математиков не додумался до нуля. Впервые нуль был придуман вавилонянами примерно 2 тысячи лет назад. Однако, открытие писать нули в конце числа, было сделано в Индии полторы тысячи лет назад. Нуль был присоединен к девяти цифрам, и появилась возможность обозначать этими десятью цифрами любое число, как бы велико оно ни было.

Глава3. Название классов

У индийцев были названия для больших чисел. В своих учениях о происхождении и развитии мира они свободно оперировали такими числами, как 4 320 000 000 или 3 110 400 000 000, давая им особые названия. В легендах о Будде рассказывалось, как он давал имена еще большим числам - вплоть до числа, записываемого единицей с пятьюдесятью нулями.

Но в Европе долго не знали названий чисел, следующих за тысячей. Число 999 999 европейские математики еще могли прочесть, а дальше они считать не умели.

В XIV веке новой эры венецианский купец Марко Поло совершил путешествие до Китая. Здесь он прожил много лет. По возвращению в Венецию в рассказах Марка Поло повторялось слово «миллионе» - большая тысяча. Так он назвал тысячу тысяч.

Французский математик Шюке по созвучию с миллионом обозначил миллион миллионов словом «биллион». Чтобы записать биллион, надо после единицы поставить 12 нулей. Приставка «би» на латинском языке означает «дважды». Естественно, поэтому, миллион биллионов назвали «триллион», а миллион триллионов – «квадриллион» (от латинского слова «кватро»- четвертый).

3.1. Американская система наименования чисел 

Эту систему названий применяют сейчас и в нашей стране.

Американская система наименования чисел построена довольно просто. Все названия больших чисел строятся так: в начале идет латинское порядковое числительное, а в конце к ней добавляется суффикс -иллион. Исключение составляет название «миллион» которое является названием числа тысяча (лат. mille) и увеличительного суффикса –иллион.

Вообще, история числительного «миллион» очень любопытна. В 1271 году венецианский купец Марко Поло отправился в далекий загадочный Китай. Путь в Китай лежал через многие страны. Вернувшись домой почти через четверть века, он не переставал восторгаться увиденными чудесами. В его речи то и дело слышалось «Миллионе… Миллионе…». Слово «mille» (тысяча) было известно еще в Древнем Риме. Словечко «миллионе», которым отважный путешественник назвал тысячу тысяч, просто пристало в Марко Поло. Современники прозвали его Марко Миллионе.

Слово «миллиард» для названия числа 1 000 000 000 имеет французское происхождение. Его синоним – «биллион». Приставка «би-» по-латыни означает «двойной» - к тысяче как бы присоединяются два «вагончика» по три нуля. Далее названия чисел образуются от латинских наименований количества таких «вагончиков», прицепляемых справа:

1. 1 000 000 000 000 – триллион;
2. 1 000 000 000 000 000 – квадриллион;
3. 1 000 000 000 000 000 000 – квинтиллион и т.д.                                                                            

Узнать количество нулей в числе, записанном по американской системе, можно по простой формуле 3·x+3 (где x -  латинское числительное).

Американская система наименования чисел используется сейчас в США, Великобритании, Канаде, Ирландии, Австралии, Бразилии и Пуэрто-Рико. В России, Дании, Турции и Болгарии также используется короткая шкала, за исключением того, что число 109 называется не «биллион», а «миллиард».

3.2. Английская система наименования чисел

Названия чисел в английской системе наименования чисел строятся так: так: к латинскому числительному добавляют суффикс -иллион, следующее число (в 1000 раз большее) строится по принципу —  то же самое латинское числительное, но суффикс — -иллиард. То есть после триллиона в английской системе идёт триллиард, а только затем квадриллион, за которым следует квадриллиард и т.д. Таким образом, квадриллион по английской и американской системам  — это совсем разные числа! Узнать количество нулей в числе, записанном по английской системе и оканчивающегося суффиксом -иллион, можно по формуле 6·x+3 (где x -  латинское числительное) и по формуле  6·x+6 для чисел, оканчивающихся на -иллиард.

Английская система наименования чисел в настоящее время продолжает использоваться в большинстве стран мира. Например, в Испании, а также в большинстве бывших английских и испанских колоний.

В 1970-х годах Великобритания официально перешла на «американскую систему», что привело к тому, что называть одну систему американской, а другую английской стало как-то странно. В результате, сейчас американскую систему обычно называют «короткой шкалой», а английскую систему — «длинной шкалой».

3.3. Числа - великаны, имеющее собственное название в американской и английской системах наименования чисел

Вернемся к поиску самого большого числа. Используя таблицу латинских количественных числительных (см. приложение 1), составим таблицу названий больших чисел в американской и английской системах:

Таблица 1

После дециллиона в американской системе наименования чисел названия чисел получаются путём объединения приставок. Так получаются такие числа как ундециллион, дуодециллион, тредециллион, кваттордециллион, квиндециллион, сексдециллион, септемдециллион, октодециллион, новемдециллион и т.д. Однако эти названия нам уже не интересны, так как мы условились найти наибольшее число с собственным несоставным названием. Аналогично, в английской системе наименования чисел, числа после дициллиарда нам не интересны по тем же причинам.

Если же мы обратимся к латинской грамматике, то обнаружим, что несоставных названий для чисел больше десяти у римлян было всего три: viginti — «двадцать», centum — «сто» и mille — «тысяча». Продолжим таблицу 1, используя три вышеперечисленные несоставные количественные латинские числительные:

Таблица 2

Итак, мы выяснили, что в американской системе наименования чисел максимальное число, которое имеет собственное название, и не является составным из меньших чисел — это «миллеиллион» (103003). В английской системе наименования чисел самым большим числом с собственным названием является «миллеиллиард» (106003).

3.4. Внесистемные числа

Кроме чисел, записанных при помощи латинских префиксов по американской или английской системе, известны и так называемые внесистемные числа, т.е. числа, которые имеют свои собственные названия безо всяких латинских префиксов.

В книжных источниках и интернет-ресурсах были найдены следующие внесистемные числа:

Таблица 3      

В итоге, было выяснено, что число Грэма является самым большим известным в мире числом и занесено даже в «Книгу рекордов Гинесса».

Чем больше в числе степеней, тем сложнее понять, какое из чисел больше. Таким образом, для сверхбольших чисел пользоваться степенями стало неудобно. Встал вопрос как же их записывать. Математики разработали несколько принципов для записи таких чисел. Каждый математик, кто задавался этой проблемой, придумывал свой способ записи, что привело к существованию нескольких, не связанных друг с другом, способов для записи чисел — это нотации Кнута, Конвея, Стейнхауза и др.

Для того, чтобы понять каким способом было получено число Грэма, необходимо изучить вышеперечисленные нотации, что не является возможным для ученика 6 класса.

Глава 4. Применение чисел - великанов в жизни

При исследовании проблемы в МБОУ «Черки-Гришинская ООШ Буинского муниципального района РТ» среди учащихся 4-7, и 8-9 классов было проведено анкетирование. Были представлены следующие вопросы:

- Какое число самое большое?

- Запишите число миллион, миллиард, триллион, квадриллион, и др.?

- Как называется число с 12 нулями?

- Существуют ли числа более чем с 12 нулями?

- Что больше биллион или миллиард?

Результаты следующие:

          Из 36 опрошенных 10 учащихся самым большим числом назвали триллион, 21 учащихся  - миллиард, а 3 ученика– квадриллион, 2 ученика – другие классы.

          20 из опрошенных правильно записали числа миллион, миллиард, у четырех не хватает нулей, 10 учащихся правильно записали триллион, 2 квадриллион.

        На вопрос «Как называется число с 12 нулями?» 19 учеников назвали правильный ответ. У других нет ответа.

        На последний вопрос из опрошенных 19 учеников ответили – «да», 8 – «наверно», 8 учеников ответили «не знаю», 1 – нет.

В повседневной практике, даже при сложнейших вычислениях, редко используются числа больше миллиарда. Астрономы, физики и химики, имеющие дело с большими числами, предпочитают записывать числа с помощью степени числа десять.

Мы с трудом ориентируемся в больших числах, даже миллион как следует, себе не представляем.

Как представить себе 1 000 000 учащихся?

Чтобы это представить, посчитаем, на сколько километров протянулась бы шеренга в 1 000 000 учащихся, если бы каждые 2 из них заняли 1м. Почти от Москвы до Санкт-Петербурга протянулась бы эта шеренга.

Каких размеров достигнет обыкновенный комар, увеличенный в миллион раз?

Длина комара приблизительно равна 5 мм.

5 мм x1 000 000 = 5 000 000мм = 5 км.

Рост человека, увеличенный в миллион раз, достигает 1700км.

Миллион можно назвать карликом по сравнению с таким числом, как миллиард.

Если мы начнем считать подряд до миллиарда в 12 – летнем возрасте, то закончим счет глубоким стариком 100 – летнего возраста, работая ежедневно по 6 часов в сутки.

Миллиард – это не просто великан, а великанище. Ведь совсем небольшой промежуток времени – 1 минута. А миллиард таких минут – эта более 19 столетий. Секунда времени в сравнении с часом нам кажется мгновением. Но миллиард секунд – это около 32 лет.

    Часто можно встретиться с числовыми великанами. Они присутствуют всюду вокруг и даже внутри нас самих - надо лишь уметь рассмотреть их. Небо над головой, песок под ногами, воздух вокруг нас, кровь в нашем теле - все скрывает  в  себе  невидимых  великанов  из  мира  чисел.

   Числовые исполины небесных пространств для большинства людей не являются неожиданными. 

   Хорошо известно, что зайдет ли речь о числе звезд вселенной, об их расстояниях от нас и между собою, об их размерах, весе, возрасте - во всех случаях мы неизменно встречаемся с числами, подавляющими воображение своей огромностью. Недаром выражение «астрономическое число» сделалось крылатым. Многие, однако, не знают, что даже и те небесные тела, которые астрономы часто называют «маленькими», оказываются настоящими великанами, если применить к ним привычную земную мерку. Существуют в нашей солнечной системе планеты, которые, ввиду их незначительных размеров, получили у астрономов наименование «малых». Среди них имеются и такие, поперечник которых равен нескольким километрам. В глазах астронома, привыкшего к исполинским масштабам, они так малы, что, говоря о них, он пренебрежительно называет их «крошечными». Но они представляют собой «крошечные» тела только рядом с другими небесными светилами, еще более огромными: на обычную же человеческую мерку они далеко не миниатюрны. Возьмем такую «крошечную» планету с диаметром 3 км. По правилам геометрии легко рассчитать, что поверхность такого тела заключает 28 кв. км, или 28 000 000 кв. м. На 1 кв. м может поместиться стоя человек 7. Значит, на 28 миллионах кв. м найдется место для 196 миллионов человек.

    Песок под нашими ногами также вводит нас в мир числовых исполинов. Недаром сложилось издавна выражение: «бесчисленны, как песок морской». Древние недооценивали многочисленность песка, считая ее одинаковой с многочисленностью звезд. В старину не было телескопов, а простым глазом мы видим на небе всего около 3500 звезд (в одном полушарии). Песок на морском берегу в миллионы раз многочисленнее, чем звезды, доступные невооруженному зрению.

Каждый кубический сантиметр окружающего нас воздуха (это примерно портновский наперсток) заключает в себе 27 квинтиллионов молекул, в крошечной капли крови плавает пять миллионов мелких телец красного цвета.

509 000 000кв. км- поверхность земного шара

149 500 000 км- расстояние от земли до солнца

6 000 000 000 000 000 000 000т - масса земного шара

Глава5. Практическая часть

Задачи с применением чисел- великанов

Задача №1.Сколько времени потребуется человеку, чтобы сосчитать миллиард зерен, если он в минуту будет считать по 100 зерен.

Решение: По нашему условию, сосчитать до миллиарда человеку потребуется

1 000 000000:100=10 000 000 мин. Или (10 000 000:60=166 667), т. е. Примерно 170 000 ч. или (170000:24=7000) около 7000 суток, т. е. Более 16 лет беспрерывного счета.

Задача №2. В нашей стране проживают около 250 млн. человек. Если все люди встанут в одну шеренгу, то какой длины будет эта шеренга? (Пусть каждый человек занимает место длиной в 50см).

Решение: 250 000 000·50 =12 500 000 000см, т.е. 125 000 км

Задача №3 .Самая высокая гора на Земле – Джомолунгма. Её высота 8848м.

Сколько этажей имел бы дом высотой с эту гору, если считать, что расстояние между этажами 4м.

Решение: 8848:4=2212 этажей.

Рассказы-задачи в приложении –стр. 18-26.

Заключение

Проделанная исследовательская работа помогла узнать, как зародилась наука о числах, как она развивалось, какие трудности встречались на ее пути и какие ученые занимались изучением чисел и их свойств.

Узнав историю возникновения чисел, систем счисления, название классов, расширила свой кругозор в области математики, а именно по вопросу числа- великаны.

Была удивлена, что числа великаны и названия их появились давно. Оказывается, они окружают нас повсюду. Подробно изучив классы, могу называть и записывать числа- великаны, использовать знания при решении задач.

Через практическую деятельность – вычисления, сравнения попыталась представить, насколько эти числа огромны. Полученные знания помогут в дальнейшем в изучении предметов физика, химия, астрономия.

Планирую продолжить изучение чисел их свойств. Зная, что существуют числа- великаны, хочется иметь представление о числах- карликах.

Гипотеза «Если узнаем историю возникновения чисел, системы счисления и название классов, тогда легко будем читать и писать большие числа. Сможем избежать трудностей при чтении, сталкиваясь на практике с числами- великанами» нашла свое утверждение.

Литература

1. Депман И. Я.,Виленкин Н.Я. За страницами учебника математики: пособие для учащихся 5-6 классов средней школы.М.Просвещение,1989

2.Депман И. Я. Мир чисел. М.: Детская литература,1982

3.Кординский Б. А.,Ахадов Л. А.Удивительный мир чисел: книга для учащихся. М.Просвещение,1986

4.Литцман В. Великаны и карлики в мире чисел. М,1959.

5.Нагибин Ф. Ф., Канин Е. С.Математическая шкатулка. М.Просвещение,1988

6. Интернет ресурсы:

- http://ru.wikipedia.org/wikiСимметрия

- http://slovari.yandex.ru

Приложение

Рассказы – задачи

Когда  и где происходила эта история - неизвестно. Возможно, что и вовсе не происходила; даже, скорее всего, что так. Но быль это или небылица, история достаточно занятна, чтобы её послушать.

Богач – миллионер возвратился из отлучки необычайно радостный: у него была в дороге счастливая встреча, сулившая большие выгоды.

« Бывают же такие удачи, - рассказывал он своим домашним. – Неспроста, видно, говорят, что деньга на деньгу набегает. Вот и на деньгу денежка бежит. И как неожиданно! Повстречался мне в пути незнакомец, из себя не видный. Мне бы и разговаривать с ним не пристало, да он сам начал, как проведал, что у меня достаток есть. И такое к концу разговора предложил выгодное дельце, что у меня дух захватило.

- Сделаем, - говорит, - с тобой такой уговор. Я буду целый месяц приносить тебе ежедневно по сотне тысяч рублей. Не даром, разумеется, но плата пустяшная. В первый день я должен по уговору заплатить – смешно вымолвить – всего только одну копейку.

Я ушам не верил:

- Одну копейку? – переспрашиваю.

- Одну копейку, - говорит. – За вторую сотню тысяч заплатишь 2 копейки.

- Ну, - не терпится мне. – А дальше?

- А дальше: за третью сотню тысяч 4 копейки, за четвёртую 8, за пятую – 16. И так целый месяц, каждый день вдвое против предыдущего.

- И потом что? – спрашиваю.

- Все, - говорит, - больше ничего не потребую.

Только крепко держать уговор: каждое утро буду носить по сотне тысяч рублей, а ты плати, что сговорено. Раньше месяца кончать не смей.

    Сотни тысяч рублей за копейку отдает! Если деньги не фальшивые, то не в полном уме человек. Однако же дело выгодное, упускать не надо.

- Ладно, - говорю. – Неси деньги. Я-то свои уплачу аккуратно. Сам, смотри, не обмани: правильные деньги приноси.

- Будь покоен, - говорит – завтра с утра жди.

Одного только боюсь: придет ли? Как бы не спохватился, что слишком невыгодное дело затеял! Ну, до завтра недолго ждать».

Прошел день. Рано утром постучал богачу в окошко тот самый незнакомец, которого он встретил в дороге.

- Я свои деньги  принёс.

И, действительно, войдя в комнату, странный человек стал выкладывать деньги – настоящие, не фальшивые. Отсчитал ровно сто тысяч и говорит:

- Вот мое по уговору. Твой черед платить.

Богач положил на стол медную копейку и с опаской дожидался, возьмёт гость монету или раздумает, деньги свои назад потребует. Посетитель осмотрел копейку, взвесил в руке и спрятал в суму.

- Завтра в такое же время жди. Да не забудь, две копейки припаси, - сказал он и ушел.

Богач не верил удаче: сто тысяч с неба свалилось! Снова пересчитал деньги, удостоверился хорошенько, что не фальшивые: всё правильно. Запрятал  деньги подальше и стал ждать завтрашней уплаты

Ночью взяло его сомнение:  не разбойник ли простаком прикинулся, хочет поглядеть, куда деньги прячут, да потом и нагрянуть с шайкой лихих людей?

Запер богач двери покрепче, с вечера в окно поглядывал, прислушивался, долго заснуть не мог. На утро снова стук в окно: незнакомец деньги принес. Отсчитал сто тысяч, получил свои две копейки, спрятал монету в суму и ушел, бросив на прощанье:

 - К завтрашнему дню четыре копейки, смотри, приготовь.

Снова радуется богач: вторая сотня  тысяч даром досталась. А гость на грабителя не похож:  по сторонам не глядит, не высматривает, свои только копейки требует. Чудак! Побольше бы таких на свете, умным людям хорошо бы жилось…

Явился незнакомец и на третий день – третья сотня тысяч перешла к богачу за 4 копейки.

Ещё день, и таким же манером явилась четвертая сотня тысяч – за 8 копеек.

Пришла и  пятая сотня тысяч – за 16 копеек.

Потом шестая за 32 копейки.

Спустя семь дней от начала сделки получил наш богач уже семьсот тысяч рублей, а уплатил пустяки:

1 коп. + 2 коп. + 4 коп. + 8коп. + 16 коп. + 32 коп. + 64 коп. = 1 р. 27 коп.

Понравилось это алчному миллионеру, и он уже стал сожалеть, что договорился всего на один только месяц. Больше трех миллионов получить не удастся. Склонить разве чудака продлить срок еще хоть на полмесяца? Боязно: как бы сообразил, что зря деньги отдает…

А незнакомец аккуратно являлся каждое утро со своей сотней тысяч. На 8-й день получил он 1р. 28к., на 9-й – 2р. 56к., на 10-й – 5р. 12к., на11-й – 10р. 24к., на 12-й – 20р. 48к., на 13-й – 40р. 96к.,  на14-й – 81р. 92к.

Богач охотно платил эти деньги, ведь он получил уже ОДИН миллион 400 тысяч рублей, а отдал незнакомцу всего около ПОЛУТОРАСТА рублей.

Недолго, однако, длилась радость богача: скоро он стал соображать, что странный гость не простак и что сделка с ним вовсе не так выгодна, как казалось сначала.  Спустя 15  дней приходилось за очередные сотни тысяч платить уже не копейки, а сотни рублей, и плата страшно быстро нарастала. В самом деле, богач уплатил во второй половине месяца:

За 15-ю сотню тысяч……………163 р. 84 к.

За 16-ю……………………………327 р. 68к.

За 17-ю……………………………655 р. 36к.

   За 18-ю…………………………….1310 р. 72 к.

  За 19-ю……………………………..2621 р.44к.

Впрочем, богач считал себя ещё далеко не в убытке:  хотя и уплатил больше ПЯТИ тысяч, зато получил 1800 тысяч.

Прибыль, однако, с каждым днём уменьшалась, притом всё быстрее и быстрее.            Вот дальнейшие платежи:

За 20-ю сотню тысяч……………5242 р. 88 к.

«  21-ю ……………………………10 485 р. 76 к.

«  22-ю……………………………..20 971 р. 52 к.

«  23-ю……………………………..41 943 р. 04 к.

«  24-ю……………………………..83 886 р. 08 к.

«  25-ю……………………………...167 772 р. 16 к.

«  26-ю………………………………335 544 р. 32 к.

«  27-ю………………………………671 088 р. 64 к.

Платить приходилось уже больше, чем получать. Тут бы и остановиться, да нельзя ломать договора.

Дальше пошло ещё хуже. Слишком поздно убедился миллионер, что незнакомец жестоко перехитрил его и получит куда больше денег, чем сам уплатил…

Начиная с 28-го дня, богач должен был уже платить миллионы. А последние два дня его вконец разорили. Вот эти огромные платежи:

За 28-ю сотню тысяч……………………..1 342 177 р. 28к.

«  29-ю……………………………………..2 684 354 р. 56 к.

«  30-ю……………………………………...5 368 709 р. 12 к.

Когда гость ушел в последний раз, миллионер подсчитал, во что обошлись ему столь дешёвые на первый взгляд ТРИ миллиона рублей. Оказалось, что уплачено было незнакомцу:

10 737 418 р. 23 к.

Без малого 11 МИЛЛИОНОВ!

А ведь началось с одной копейки. Незнакомец мог приносить даже по три сотни тысяч и всё-таки не прогадал бы.

Прежде чем кончить с этой историей, покажу каким  способом можно ускорить подсчёт убытков миллионера; другими словами - как скорее всего выполнить сложение ряда чисел:

1+2+4+8+16+32+64+ и т. д.

Нетрудно подметить следующую особенность этих чисел:

1=1

2=1+1

4=(1+2)+1

8=(1+2+4)+1

16=(1+2+4+8)+1

32=(1+2+4+8+16)+1 и т. д.

Мы видим, что каждое число этого ряда равно всем предыдущим, вместе взятым, плюс одна единица. Поэтому, когда нужно сложить все числа  такого ряда, например от 1 до 32 768, то мы прибавляем лишь к последнему числу (32 768) сумму всех предыдущих, иначе сказать - прибавляем то же последнее число без единицы

                                               (32 768 – 1). Получаем 65 535.

Этим способом можно подсчитать убытки алчного миллионера очень быстро, как только узнаем, сколько уплатил он в последний раз.

Его последний платёж был 5 368 709 р. 12 к.

Поэтому, сложив 5 368 709 р. 12к. и 5 368 709 р. 11к., получаем сразу искомый результат:

                                                       10 737 418 р. 23 к.

В дореволюционные годы были у нас, - а за рубежом, вероятно, и теперь ещё находятся, - предприниматели, которые прибегают к добровольно оригинальному способу сбывать свой товар, обычно посредственного качества.

Начинали с того, что в распространённых газетах и журналах печатали рекламу такого содержания: 

        Немало людей, конечно, соблазнялись заманчивым объявлением и просили прислать условия необычайно покупки. В ответ на запрос они получали подробный проспект, из которого узнавали следующее.

        За 10 рублей высылался  не сам велосипед, а только 4 билета, которые надо было сбыть по 10 рублей своим 4 – м знакомым. Собранные таким образом 40 рублей следовало отправить фирме, и тогда лишь прибывал велосипед; значит, он обходился покупателю действительно всего за 10 рублей, остальные 40 рублей уплачивались ведь не из его кармана. Правда, кроме уплаты 10 рублей наличными деньгами, приобретающий велосипед имел некоторые хлопоты по продаже билетов среди знакомых, - но этот маленький труд в счет не шел.

        Что же это были за билеты? Какие блага приобретал их покупатель за 10 рублей? Он получал право обменять их у фирмы на 5 таких же билетов; другими словами, он приобретал  возможность собрать 50 рублей для покупки велосипеда, который ему обходился, следовательно, только в 10 рублей, т. е. в стоимость билета. Новые обладатели билетов в свою очередь получали от фирмы по 5 билетов для дальнейшего распространения, и т. д.

        На первый взгляд во всём этом не было обмана.

Обещание рекламного объявления  исполнялось: велосипед, в самом деле, обходился покупателям всего лишь в 10 рублей. Да и фирма не оказалась в убытке, - она получала за свой товар полную его стоимость.

        А между тем вся затея – несомненное мошенничество.«Лавина», как называли эту афёру у нас, или «снежный ком», как величали её французы, вовлекла в убыток тех многочисленных её участников, которым не удавалось сбыть дальше купленные ими билеты. Они – то и уплачивали фирме разницу между 50-рублёвой стоимостью велосипедов и 10-рублёвой платой за них.

Рано ли, поздно ли, но неизбежно наступал момент, когда держатели билетов не могли найти охотников их приобрести. Что так должно непременно случиться, вы поймёте, дав себе, труд проследить с карандашом в руке за тем, как стремительно вырастает число людей, вовлекаемых в лавину.

         Первая группа покупателей, получившая свои билеты прямо от фирмы, находят покупателей обычно без особого труда; каждый член этой группы снабжает билетами 4 – х  новых участников.

Эти ЧЕТВЕРО должны сбыть свои билеты 4х5, т.е. 20 другим, убедив их в выгодности такой покупки. Допустим, что это удалось, и 20 покупателей завербовано.

Лавина движется дальше: 20 новых обладателей билетов должны наделить ими 20х5=100 других.

До сих пор каждый из «родоначальников» лавины втянул в неё                                                1+4+20+100=125 человек, из которых 25 имеют по велосипеду, а 100 – только надежду его получить, уплатив за эту надежду по 10 рублей.

        Теперь лавина выходит уже из тесного круга знакомых между собою людей и начинает растекаться по городу, где ей становится, однако, все труднее и труднее отыскивать свежий материал. Сотня последних обладателей билетов должна снабдить такими же билетами 500 граждан, которым в свою очередь придётся завербовать 2500 новых жертв. Город быстро наводняется билетами, и отыскивать охотников приобрести их становится весьма нелегким делом.

        Вы видите, что число людей, втянутых в лавину, растёт по тому же самому закону, с которым мы встретились, когда беседовали о распространении слухов.

Вот числовая пирамида, которая в этом случае получается:

1

4

20

100

500

2500

12500

62500

        Если город велик, и все его население, способное сидеть на велосипеде, составляет  62½  тысячи, то в рассматриваемый момент, т.е. на 8 «туре», лавина должна иссякнуть. Все оказались втянутые в неё. Но обладает велосипедами только пятая часть, у остальных же имеются на руках билеты, которые некому сбыть.

Для города с более многочисленным населением, даже для современного столичного центра, насчитывающего миллион жителей, момент насыщения наступит всего несколькими турами позднее, потому что числа лавины растут с неимоверной быстротой.

Вот следующие ярусы нашей числовой пирамиды:

312500

1 562500

7 812500

39 062500

        На 12-туре лавина, как видите, могла бы втянуть в себя население целого государства. И 4/5 этого населения будет обмануто устроителями лавины.

        Подведем итог тому, чего собственно достигает фирма устройством лавины. Она принуждает 4/5 населения оплачивать товар, приобретаемый остальною 1/5 частью населения; иными словами – заставляет 4 – х граждан облагодетельствовать 5-го.

Совершенно безвозмездно приобретает фирма, кроме того, многочисленный штат усердный  распространителей её товара.

        Правильно охарактеризовал эту афёру один из наших писателей, как «лавину взаимного объегоривания».

        Числовой великан, невидимо скрывающийся за этой затеей, наказывает тех, кто не умеет воспользоваться арифметическим расчетом для ограждения собственных интересов от посягательства  аферистов.

        1.Спелая маковая головка полна крошечных маленьких зёрнышек: из каждого может вырасти целое растение. Сколько же получится маков, если зёрнышки все до единого прорастут? Чтобы узнать это, надо сосчитать зёрнышки в целой головке. Скучное занятие, но результат так интересен, что стоит запастись терпением и довести счет до конца.

        Оказывается, одна головка мака содержит (круглым числом) 3000 зёрнышек. Что отсюда следует? То, что вокруг нашего макового растения достаточная площадь подходящей земли, каждое упавшее зёрнышко дало бы росток, и будущим летом выросло бы уже 3000 маков. Целое маковое поле от одной головки!

        Посмотрим же, что будет дальше.

        Каждое из 3000 растений принесёт не менее одной головки (чаще же несколько), содержащей 3000 зёрен. Проросши,  семена каждой головки дадут 3000 новых растений, и, следовательно, на второй год  у нас будет уже не менее

3000 х 3000 = 9 000 000 растений.

        Легко рассчитать, что на третий год число потомков нашего единственного мака будет уже достигать

9 000 000 х 3000 = 27 000 000 000.

А на четвёртый год

27 000 000 000 х 3000 = 81 000 000 000 000.

На пятом году макам станет тесно на земном шаре, потому что число растений сделается равным

81 000 000 000 000 х 3000 = 243 000 000 000 000 000.

Поверхность же всей суши, т.е. всех материков и островов земного шара, составляет только 135 миллионов квадратных километров, - 135 000 000 000 000 кв. м.- примерно в 2000 раз менее, чем выросло бы экземпляров мака.

Вы видите, что если бы все зёрнышки мака прорастали, потомство одного растения могло бы уже в пять лет покрыть сплошь всю сушу земного шара густой зарослью по две тысячи растений на каждом квадратном метре.

 Вот какой числовой великан скрывается в крошечном маковом зернышке!

        2. Помимо растений на земле много различных насекомых. Рассмотрим на примере, как быстро размножается известная комнатная муха.

Пусть каждая муха откладывает 120 яичек и пусть в течение лета успевает появиться 7 поколений мух, половина которых – самки.

За начало первой кладки примем, 15 апреля и будем считать, что муха-самка в 20 дней вырастает настолько, что сама откладывает яйца. Тогда размножение будет происходить так:

15 апреля – самка отложила 120 яиц;

в начале мая – вышло 120 мух, из них 60 самок.

5 мая – каждая самка кладёт 120 яиц; в середине мая – выходит 60х120=7200 мух,  из них 3600 самок;

25 мая – каждая из 3600 самок кладёт по 120 яиц; в начале июня – выходит 3600 х 120 =  432 000 мух, из них 216 000 самок;

14 июня – каждая из 216 000 самок кладет по 120 яиц; в конце июня  - выходит 25 920 000 мух, их них 12 960 000 самок;

5 июля – 12 960 000 самок кладут по 120 яиц; в июле – выходит 1 555 200 000 мух, среди них 777 600 000 самок;

13 августа – выходит 5 598 720 000 000 мух, среди них 2 799 360 000 000 самок;

1 сентября – выходит 355 923 200 000 000 мух.

Чтобы яснее представить себе эту огромную массу мух, которые при бесприпятственном размножении могли бы в течении одного лета народиться от одной пары, вообразим, что они выстроены в прямую линию, одна около другой. Так как длина мухи 5 мм, то все эти мухи вытянулись бы на 2500 млн. км – в 18 раз больше, чем расстояние от Земли до Солнца (т.е. примерно, как от Земли до далёкой планеты Уран).

Удивительно, как быстро разбегаются по городу слухи!

Иной раз не пройдёт и двух часов со времени какого-нибудь происшествия, которое видело всего несколько человек, а новость облетела уже весь город: все о ней знают, все слыхали. Необычайная быстрота эта кажется поразительной, прямо загадочной.

Однако, если подойти к делу с подсчётом, то станет ясно, что ничего чудесного здесь нет: все объясняется свойствами чисел, а не таинственными особенностями самих слухов.

Для примера рассмотрим такой случай.

     1.В небольшой городок с 50-тысячныи населением приехал в 8 часов утра житель столицы и привез, свежую, всем интересную новость.

В доме, где приезжий остановился, он сообщил новость только трём местным жителям; это заняло, скажем, четверть часа.  

      Итак, в 8 ¼  часа утра новость была известна в городе всего только четверым:  приезжему и трем местным жителям.

      Узнав эту новость, каждый из трех граждан поспешил рассказать её 3 другим. Это потребовало также ¼  часа. Значит, спустя полчаса после прибытия новости в городе о ней знало уже 4+(3x3) =13 человек.

      Каждый из 9 человек вновь узнавших поделился в ближайшие четверть часа с 3 другими гражданами, так что к 8 ¾  часам новость стала известна

13+(3x9)=40 гражданам.

Если слух распространяется по городу и далее таким же способом, т. е. каждый, узнавший про новость, успевает в ближайшие четверть часа сообщить её 3 согражданам, то осведомление города будет происходить по следующему расписанию:

            В 9 часов новость узнают                40+(3x27) =121 чел.,                                          

        В 9 ¼ часа новость узнают             121+(3x81)=364 чел.,

        в 9 ½  часа новость узнают             364+(3x243)=1093 чел.

Спустя полтора часа после первого появления в городе новости её будут знать, как видим, всего около 1100 человек. Это, казалось бы, немного для населения в 50 000. Можно подумать, что новость не скоро ещё станет, известна всем жителям. Проследим, однако, далее за распространением слуха:

в 9 ¾  часа новость узнают                1093 + (3x729) = 3280 человек.

в 10 часов новость узнают                   3280+ (3x2187) = 9841 чел.

Ещё спустя четверть часа будет уже осведомлено больше половины города:

9841 + (3x6561)=29524.

И, значит, ранее, чем в половине 11 дня поголовно все жители большого города будут осведомлены о новости, которая в 8 часов утра известна только одному человеку.

2.Проследим теперь, как выполнен, был предыдущий подсчет.

Он сводился, в сущности, к тому, что мы сложили такой ряд чисел:

1+3+(3x3)+(3x3x3)+(3x3x3x3)+ и т.д.

Нельзя ли узнать эту сумму как-нибудь короче, наподобие того, как определяли мы раньше сумму чисел ряда 1+2+4+8 и т.д.?

Это возможно, если принять в соображение следующую особенность складываемых чисел:

1=1

3=1x2+1

9= (1+3) x2+1

27= (1+3+9) x2+1

81= (1+3+9+27) x2 +1 и т.д.

Иначе говоря: каждое число этого ряда равно удвоенной сумме всех предыдущих чисел плюс единица.

Отсюда следует, что если нужно найти сумму всех чисел нашего ряда от1 до какого-либо числа, то достаточно лишь прибавить к этому последнему числу его половину  ( предварительно откинув в последнем числе единицу).

Например, сумма чисел

1+3 +9+27+81+243+729

равна 729 + половина от 728, т.е 729+364=1093.

3.В нашем случае каждый житель, узнавший новость, передавал её только трём гражданам. Но если бы жители города были ещё разговорчивее и сообщали услышанную новость не 3 гражданам, а, например, 5 или даже 10 другим, слух распространялся бы, конечно, гораздо быстрее.

При передаче, например, 5-м картина осведомления города была бы такая:

в 8 ч………………………………………………=1 человек

в 8 ¼ ч……………………………………………1+5=6 ч.

в 8 ½ ч……………………………………………6+(5x5)=31 ч.

в 8 ¾  ч…………………………………………..31+ (25x5)=156

в 9 ч………………………………………………156+ (125х5)=781

в9 ¼ ч…………………………………………….781+(625х5)=3906

в9 ½ ч…………………………………………….3906+(3125х5)=19531

Ранее чем в 9 ¾ ч утра новость будет уже известна всему 50-тысячному населению города.

Ещё быстрее распространится слух, если каждый, услышавший новость, передаст о ней 10 другим. Тогда получим такой любопытный, быстро возрастающий, ряд чисел:

в 8 ч………………………………………………=1,

в 8 ¼ ч…………………………………………… 1+10=11,

в8 ½ ч……………………………………………11+100=111,

в8 ¾ ч…………………………………………….111+1000=1111,

в9 ч……………………………………………….1111+10 000=11111.

Следующее число этого ряда, очевидно, 111 111 – это показывает, что весь город узнает про новость уже в самом начале 10-го часа утра.

                                    Слух разнесётся в один час!

                    велосипед за 10 рублей!

каждый может приобрести в собственность велосипед,

         затратив только 10 рублей.

пользуйтесь редким случаем.

                   ВМЕСТО 50 РУБЛЕЙ – 10 РУБЛЕЙ.

условия покупки высыпаются бесплатно.