Исследовательская работа "Лист Мёбиуса"

«ЛИСТ МЁБИУСА»

Белимов Дмитрий Александрович

Россия, Тюменская область, Сладковский район, с. Усово,

МАОУ Сладковского района Усовская СОШ, 5 класс

Научная статья

Введение

Для многих людей математика является и трудной, и непонятной, и неинтересной. Наш современник Сухомлинский считал, «что чувство удивления – могучий источник желания знать: от удивления к знаниям – один шаг». А математика замечательный предмет для удивления.

Интересность ленты заключается уже в том, что в отличие от обыкновенного листа бумаги она имеет только одну поверхность, а не две. То есть, если начать закрашивать лист бумаги, не переходя через грань, то закрасится только одна сторона. Если проделать то же самое с лентой Мёбиуса, лента закрасится с обеих сторон.

Загадки продолжаются, и когда мы начинаем разрезать ленту Мёбиуса. Лист Мёбиуса служил вдохновением для скульптур и для графического искусства.

Меня так заинтересовал этот лист, что я стал искать про него разную информацию и проводить с ним разные опыты, о результатах которых я вам расскажу в своей работе.

Цель работы: Исследование поверхности листа Мёбиуса и его свойств.

Задачи работы:

1. Познакомиться с историей появления листа Мёбиуса.
2. Установить области применения листа Мёбиуса.
3. Выявить и исследовать свойства листа Мёбиуса опытным путем

Объект исследования: лист Мёбиуса как модель односторонней поверхности.  

Предмет исследования: свойства односторонний поверхности на примере ленты Гипотеза: как это ни удивительно, но односторонние поверхности существуют.

Метод исследования: теоретический, практический эксперимент.

Теоретическая значимость нашей работы в том, что в  последнее столетие большое влияние на ряд совершенно различных областей знания приобрела новая ветвь геометрии - топология. В наше время эта наука бурно развивается и находит применение в различных областях. Однако ей не уделяется должного внимания в школьном курсе геометрии.

1. Что такое топология?

Топология (от греч. tоpos — место) — часть геометрии, посвященная изучению феномена непрерывности (выражающегося, например, в понятии предела).

Топология - «геометрия положения». Лист Мёбиуса - один из объектов топологии. У этого листа есть удивительные свойства: он имеет один край, одну сторону. Данные свойства не связаны с его положением в пространстве, с понятием расстояния, угла и, тем не менее, они имеют геометрический характер. Изучением этих свойств занимается топология. Свойства такого типа, несмотря на кажущуюся их непривычность, связаны с наиболее абстрактными математическими дисциплинами - алгеброй и теорией функций. В топологии изучаются свойства фигур и тел, которые не меняются при их непрерывных деформациях (как если бы они были сделаны из резины). С точки зрения топологии, баранка и кружка – это одно и тоже. Сжимая и растягивая кусочек резины, можно перейти от одного из этих тел ко второму. А вот баранка и шар – разные объекты, чтобы сделать отверстие, надо разорвать резину.

Понятие и теоремы топологии полезны во всех областях математики, в технике, в экономике, психологии.

Топология – одна из наук, в которых не решены многие проблемы. Быть может, кто-то внесёт свой вклад в её развитие.

2. Лист Мёбиуса

Лист Мёбиуса – топологический объект, простейшая односторонняя поверхность с краем. Попасть из одной точки этой поверхности в любую другую можно, не пересекая края. Лента Мёбиуса была обнаружена независимо немецкими математиками Августом Фердинандом Мёбиусом в 1858 году. Рассказывают, что открыть свой  «лист» Мёбиусу помогла служанка, сшившая однажды неправильно концы ленты. Модель ленты Мёбиуса может быть легко сделана. Для этого надо взять достаточно вытянутую бумажную полоску и соединить концы полоски, предварительно перевернув один из них. В евклидовом пространстве существуют два типа полос Мёбиуса в зависимости от направления закручивания: правые и левые.

3. Применение Листа Мёбиуса.

3.1.Лист Мёбиуса в науке и технике.

Существовали технические применения ленты Мёбиуса. Патентная служба зарегистрировала немало изобретений, в основе, которых лежит всё та же односторонняя поверхность. В 1923 году выдан патент изобретателю Ли де Форсу, который предложил записывать звук на киноленте без смены катушек, сразу с двух сторон. Придуманы кассеты для магнитофона, где лента перекручивается и склеивается в кольцо, при этом появляется возможность записывать или считывать информацию сразу с двух сторон, что увеличивает ёмкость кассеты и соответственно время звучания.

В 1969 году советский изобретатель А. Губайдуллин предложил бесконечную шлифовальную ленту в виде листа Мёбиуса. В 1971 году изобретатель с Урала Чесноков П.Н. применил фильтр в виде листа Мёбиуса. Полоса ленточного конвейера выполнялась в виде ленты Мёбиуса, что позволяло ему работать дольше, потому что вся поверхность ленты равномерно изнашивалась.

В матричных принтерах красящая лента имела вид листа Мёбиуса для увеличения срока годности.

2. Лист Мёбиуса в живописи и архитектуре.

У входа в Музей истории и техники в Вашингтоне медленно вращается на пьедестале стальная лента, закрученная на полвитка (приложение 1). В 1967 году, когда в Бразилии состоялся международный математический конгресс, его устроители выпустили памятную марку достоинством в пять сентаво. На ней была изображена лента Мёбиуса. И монумент высотой более чем в два метра, и крохотная марка – своеобразные памятники немецкому математику и астроному Августу Фердинанду Мёбиусу, профессору Лейпцигского университета

3.3. Лист Мёбиуса в литературе и цирковом искусстве.

Более 100 лет лист Мёбиуса используется для показа различных фокусов и развлечений. Удивительные свойства листа демонстрировались даже в цирке, где подвешивались яркие ленты, склеенные в виде листов Мёбиуса. Фокусник закуривал сигарету и горящим концом дотрагивался до средней линии каждой ленты, которая была выполнена из калийной селитры. Огненная дорожка превращала первую ленту в более длинную, а вторую - в две ленты, продетая одна в другую. (В этом случае фокусник разрезал лист Мёбиуса не посередине, а на расстоянии в одну треть его ширины).

Фокусники используют лист Мебиуса уже на протяжении 75 лет. Вот пример еще одного фокуса: фокусник вручает зрителю три больших бумажных кольца, каждое из которых получилось путем склеивания концов длинной ленты. Зритель разрезает ножницами первое кольцо вдоль ленты посередине, пока не вернется в исходную точку. В результате получаются два отдельных кольца. Разрезая таким же образом второе кольцо, он получает, к своему удивлению, не два кольца, а одно, которое вдвое длиннее исходного. Наконец, разрезая третье, он снова получает поразительный результат: два кольца, сцепленных друг с другом. Результат этого фокуса зависит от того, как были сомкнуты концы ленты перед склейкой. Первое наше кольцо получилось путем простого соединения концов ленты без перекручивание. Второе кольцо получается при соединении концов ленты, перекрученной один раз на 1800. Третье кольцо получилось при разрезании ленты, концы которой перекручивались перед склейкой дважды. Известно еще много фокусов с применением ленты Мебиуса. Кстати, вы даже можете придумать их сами!

4. Мои эксперименты.

Бумажное кольцо                                        лист Мёбиуса

Знаменитое бумажное кольцо. Оказывается, одностороннюю поверхность можно сконструировать.  Вот, например, цилиндр. Он представляет собой двустороннюю поверхность. Если двигаться по одной его поверхности  то, не пересекая « границы », нельзя очутиться на другой его стороне, т. е. внутри цилиндра. Если склеить лист Мебиуса, то получится односторонняя поверхность.

Для определения необычных свойств листа Мёбиуса мы провели эксперименты с бумагой.

Все эти опыты проводим с помощью ножниц и клея. 

Поверхность кольца, надеваемого на палец, имеет две стороны. Одной стороной кольцо соприкасается с пальцем, вторая сторона – наружная. У этих сторон две границы (два края), каждая имеет форму окружности. Если какое-нибудь насекомое захочет переползти с наружной стороны кольца на внутреннюю, то она при этом непременно должна пересечь ту или иную границу. 

Легко приготовить простую модель односторонней поверхности. Возьмем бумажную ленту, повернем один ее конец на пол-оборота (на 180 градусов), а потом склеим его с другим концом. Получим ленту Мёбиуса. (Приложение 2)

Эксперимент 1. Она имеет только одну сторону (возьмем фломастер и начнем закрашивать ленту в каком-нибудь направлении. Вскоре вернемся в то место, откуда начали. Закрашенной оказалась вся лента целиком! А ведь мы ее не переворачивали, чтобы закрасить с другой стороны. Да и не смогли бы перевернуть, даже если бы очень захотели. Потому как поверхность ленты Мёбиуса – односторонняя.) (Приложение  3) 

Эксперимент 2. А еще, из свойств, следуют удивительные превращения ленты, если разрезать ее вдоль. Сначала разрежем по середине. Сейчас получиться два отдельных кольца. Но что это? Вместо двух колец получается одно! Причем оно больше и тоньше первоначального кольца. (Приложение  4) 

Эксперимент 3. Если разрезать ленту на расстояние 1/3 ее ширины от края, то получиться два кольца. Но! Одно большое и сцепленное с ним маленькое. (Приложение 5) 

Эксперимент 4. Если же разрезать еще и маленькое кольцо вдоль, посередине, то у вас окажется весьма "затейливое” переплетение двух колец – одинаковых по размеру, но разных по ширине. (Приложение 6) 

Эксперимент 5. Что получится, если перед склеиванием ленты перекрутить ее два раза (т.е. на 360градусов)? Такая поверхность будет уже двусторонней. И чтобы закрасить все кольцо целиком, вам придется непременно перевернуть ленту на другую сторону.

Эксперимент 6. Свойства этой поверхности не менее удивительны. Ведь если разрезать ее вдоль посередине, то вы получите два одинаковых кольца, но опять же сцепленных между собой. (Приложение 7) 

Эксперимент 7. Разрезав каждое из них еще раз вдоль посередине, вы обнаружите уже четыре кольца, соединенных друг с другом. Можно теперь рвать кольца по очереди – и всякий раз оставшиеся будут по-прежнему сцеплены вместе.

5. Экспериментальные выводы.

Итак, на основе проведенных мною теоретических и практических исследований можно сделать следующие выводы:

1. Лента Мёбиуса имеет 1 край.
2. Лента Мёбиуса имеет одну поверхность.
3. Лента Мёбиуса имеет одну искривленную поверхность, и если по ней двигаться, можно с внутренней части переместиться на внешнюю.
4. Если закрашивать одну сторону ленты Мёбиуса, не пересекая края, то в итоге закрасится вся поверхность ленты.
5. Если пустить по поверхности ленты Мёбиуса, движущиеся объекты, они будут двигаться бесконечно долго.
6. Лента Мёбиуса получается из прямоугольника, у которого длина намного больше ширины.
7. Если допустить, что можно взять квадрат или прямоугольник любого размера и при этом можно сгибать бумажную поверхность, то мы сможем склеить ленту Мёбиуса.
8. Если разрезать ленту Мебиуса вдоль посередине параллельно краю, то можно получить не две отдельные ленты, а одну длинную ленту, которая будет уже исходной и дважды перекручена – но не лента Мебиуса.
9. Если разрезать ленту Мебиуса вдоль, отступив от края 1/3 ее ширины, то получится два кольца, сцепленные между собой, одно большое – не лента Мебиуса, другое маленькое – лента Мебиуса.
10. Тема ленты Мебиуса пользуется популярностью у творческих личностей: в мире существует множество художественных произведений посвященных этой теме (литература, скульптура, живопись, графика и т.д.).(Приложение 8)

Заключение

В результате исследования гипотеза подтвердилась: лист Мёбиуса – односторонняя поверхность. Позже математики открыли ещё целый ряд односторонних поверхностей. Но эта – самая первая, положившая начало целому направлению в геометрии,  и по – прежнему привлекает к себе внимание учёных, изобретателей, художников.

В ходе данного исследования была найдена и переработана разнообразная информация, посвященная объекту исследования: справочная литература, источники сети Интернет, работы учащихся.

Был получен интересный математический материал. Своими результатами исследования о ленте Мебиуса мы поделился с одноклассниками. Данной темой многие обучающиеся заинтересовались. Материал исследовательской работы будет полезен любителям математики для расширения математического кругозора. Его можно использовать учителям математики, как на уроках, так и во внеклассной и кружковой работе.

 Опыты с лентой Мёбиуса не исчерпаны. Они бесконечны, интересны и зависят от собственного терпения.

Данная тема доказала увлекательность такой науки как математика.

Литература

1. Гарднер М. Математические чудеса и тайны. – М.: Наука, 1986.
2. Где в технике применяется лента Мёбиуса. [Электронный ресурс]. – Разработка ПО 2009. Режим доступа:  http://www.genon.ru/GetAnswer.aspx?qid=959f11bf-4f2f-495e-b11b-5805cc970163
3. Е.С. Смирнова. Курс наглядной геометрии. – М: Просвещение, 2002.
4. И.Ф. Шарыгин, Л.Н. Еранжиева. Наглядная геометрия. 5-6 класс. – М: Дрофа, 2000.
5. Лист Мёбиуса. [Электронный ресурс]. – Разработка ПО 2009. Режим доступа:  http://ru.wikipedia.org/wiki/Лист_Мёбиуса
6. Старохамская Ю.А. Что такое лента Мёбиуса и зачем ее надо резать. [Электронный ресурс]. – Разработка ПО 2009. Режим доступа:  http://shkolazhizni.ru/archive/0/n-13219/ 
7. Фукс Д. Лента Мебиуса: Вариации на старую тему. [Электронный ресурс]. – Разработка ПО 2008. Режим доступа: http://arbuz.uz/t_lenta.html 
8. Эксперименты с листом Мёбиуса. [Электронный ресурс]. – Разработка ПО 2009. Режим доступа: http://oksla.narod.ru/experiments.html
9. Энциклопедия для детей «Математика». – М: Аванта+, 2005.