системы счислений

Муниципальное   образовательное учреждение

« Средняя общеобразовательная  школа №15 имени В.Л.Гриневича»

Системы  счисления.  

Выполнение действий  в различных  системах  счисления.

(работа  на научно – практическую  конференцию  школьников классов   РО    «Старт  в  науку»)

                                                           Выполнил:

                                                                     Матушкин  Иван,

                                                                            ученик  2 «А» класса.

                                                                 Руководитель:

                                                                            Матушкина  Светлана

                                                                  Александровна,

                                                                         учитель  начальных

                                                      классов.

Прокопьевск, 2009

Содержание

1.  Введение. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3
2.  Системы  счисления. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.  Из истории счёта. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  4
2.  Системы  счисления. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   5
3.  Выполнение действий в разных  системах  счисления. . . . . .  7

3.  Заключение. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

IV.Литература.  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  11

Введение.

        Впервые  о  системах  счисления  я  узнал  на  уроках математики при знакомстве  с   нумерацией   разных  народов  и  способом образования  однозначных и  многозначных  чисел.

Заинтересовала меня проблема  систем  счисления после  того, как я встретился  со  стихотворением

«Сколько   лет   девочке?»

Ей было тысяча сто лет,

Она в сто первый класс ходила,

В портфеле по сто книг носила -

Все это правда, а не бред.

Когда, пыля десятком ног,

Она шагала по дороге,

За ней всегда бежал щенок

С одним хвостом, зато стоногий.

Она ловила каждый звук

Своими десятью ушами,

И десять загорелых рук

Портфель и поводок держали.

И десять темно-синих глаз

Рассматривали мир привычно,

Но станет все совсем обычным,

Когда поймете наш рассказ.

     Появилось  много  вопросов:   Как может быть девочке 1100 лет?   Как она может ходить  в  101 класс?  Может ли быть у девочки 10 рук, 10 ног, 10 глаз?  Может  ли у собаки быть 100 ног?  Такого  в  жизни  не  бывает!

      Может  быть  причина  в  другом? Может быть  девочка  обыкновенная, а числа  записаны  по-другому, непривычным  нам  способом?

      Возникло  желание    познакомиться  с  историей  возникновения  нумераций  и  систем  счисления  у  разных  народов,  со  способом образования   и  записи  чисел  в  этих  нумерациях и  узнать – одинаков ли способ  выполнения   действий с  многозначными  числами  в  разных  системах     счисления.

 Таким  образом,

Объект  исследования: выполнение  действий  в разных  системах  счисления.

Предмет  исследования: образование  чисел в разных системах  счисления.

Задачи: 1) Познакомиться  с  историей   возникновения  нумераций  и систем            счисления;

               2)выяснить  способ  образования  и запись  чисел  в  разных   системах  счисления;

               3) проанализировать способ выполнения действий  с многозначными числами  в  разных системах  счисления.

Системы  счисления.

Из истории счёта.

     Люди научились считать еще в незапамятные времена. Сначала они просто различали один предмет перед ними или нет. Если предмет был не один, то говорили «много». Постепенно появилось слово для обозначения двух предметов. Счет парами очень удобен. И не случайно у некоторых племен Австралии и Полинезии до самого последнего времени было только два числительных: «один» и «два». А все числа, большие двух, получали названия в виде сочетаний этих двух числительных. Например, три -это «один, два», четыре - «два, два», пять - «два, два, один».

               Наиболее древней и простой «счетной машиной» издавна являются пальцы рук и ног. И даже в наше время еще пользуются этим «счетным прибором», который всегда при нас. В древние времена люди ходили босиком. Поэтому они могли пользоваться для счета пальцами как рук, так и ног. Таким образом они могли, казалось бы, считать лишь до двадцати. Но с помощью этой «босоногой машины» люди могли достигать значительно   больших чисел.

          Запомнить большие числа трудно, поэтому к «счетной машине» рук и ног добавляли механические приспособления. Так, одни пользовались для запоминания чисел камешками, зернами, веревкой с узелками, другие - палочками с зарубками. Это были первые счетные приборы, которые в конце концов привели к образованию различных систем счисления.

        Записывали числа поначалу совсем просто: делали зарубки на куске дерева или кости. По мере развития цивилизации потребность человека в счете стала просто необходимой. Первоначально  натуральные числа изображались с помощью количества черточек или палочек.

       Интересно, что  разные  народы, жившие в отдалённых друг от друга  странах и в разные  времена, изобретали  для записи чисел чем-то сходные с другими  способы  записи чисел. Например. В Египте первые числа  изображали  вертикальными чёрточками, а в Китае  - горизонтальными, в Америке – точками, а в Вавилоне – клинышками на глиняных пластинах.  

Позже  стали  записывать числа, используя  свой  алфавит (эта  запись была  распространена  среди  славян) или специальные  знаки.

Те очень удобные числа, которыми мы пользуемся сегодня, изобрели индийцы. Они догадались, что значение цифры может зависеть от ее места в записи числа, именно благодаря этому оказалось возможным записывать все числа с помощью всего десяти цифр.

      Индийские цифры так сильно упростили вычисления, что со временем завоевали весь мир. В Европу эти цифры попали благодаря арабам, поэтому индийские цифры называют арабскими.

Системы  счисления.

        Для записи  любого числа мы теперь пользуемся  десятью  знаками-цифрами, из  которых девять называют значащими, а десятую – нулём. В основе нашей системы лежит десяток, поэтому её называют десятичной  или десятеричной.  Значение цифры в записи числа зависит от  места, которое  она занимает: первое место с правого края – единица, на втором  месте от правого края – десяток (10), на третьем месте – сотня (100) и т.д.

Так, число,  в котором  три единицы первого  разряда, две единицы  второго разряда, и шесть единиц  третьего  разряда записывается  цифрами  623 (шестьсот двадцать три).

623= 10*10*6+ 10*2+3

       Однако, в  Древнем Вавилоне, например, применялась шестидесятеричная система счисления. Остатки ее мы находим в сохранившемся до сих пор делении часа или градуса на 60 минут, а минуты - на 60 секунд. Число с таким же набором цифр в шестидесятеричной системе

будет уже другое:  

62360= 60*60*6+60*2+3.

Оно гораздо больше, потому что мерка  для образования нового разряда  больше в 6 раз.                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                

            Широкое распространение имела в древности и двенадцатеричная система, происхождение которой, вероятно, связано, как и десятичной системы, со счетом на пальцах: за единицу счета принимались фаланги (отдельные суставы) четырех пальцев одной руки, которые при счете перебирались большим пальцем той же руки. Остатки этой системы счисления сохранились и до наших дней и в устной речи, и в обычаях. Хорошо известно, например, название единицы второго разряда - числа 12 - "дюжина". Сохранился обычай считать многие предметы не десятками а дюжинами, например столовые приборы в сервизе или стулья в мебельном гарнитуре, месяцы  в  году.

 В этой системе счисления  тот же самый набор цифр будет представлять совсем другое число:

62312=12*12*6+12*2+3

      Папуасы Новой Гвинеи  пользовались пятеричной системой (в его основе

лежит число «пять»). Пользуясь этой системой счисления, запишем число

6235=5*5*5*1+5*5*1+5*2+3=11235.

В таком виде (623) в пятеричной системе число существовать не может, оно превращается в четырёхзначное число, потому что из 6 мерок третьего разряда получается одна мерка четвёртого разряда.

          Самой молодой системой счисления по праву можно считать двоичную, хотя данной системой человек пользовался  с давних времен. Эта система проста, так как в ней используются всего два состояния или две цифры – единица  и   ноль, и  удобна, поэтому её используют в вычислительных машинах и в современных компьютерах.

 Именно в этой  двоичной системе были записаны числа во встретившемся мне стихотворении(см.Введение):

102 ног (102 глаз,102 рук…) = 2*1=2

11002 лет = 2*2*2*1+2*2*1 = 8+4 =12

1012 класс = 2*2*1+1 =4=1 = 5

Вычисления в двоичной системе  счисления (системе с основанием «2») требуют  длинных записей. Поэтому для увеличения  скорости  в компьютерах используют не только двоичную, но и другие системы  счисления (шестнадцатиричную и восьмиричную).

Выполнение действий  с многозначными числами в разных системах счисления.

Познакомившись с системами счислений, образованных разными основаниями, понаблюдав за образованием чисел, пришёл к выводу, что  одинаковый набор  цифр  не признак одинаковых чисел. То есть,

623 ≠ 62360 ≠ 62312 ≠ 6238 ≠ 6235.

Потому что у каждого из этих чисел используются разные мерки для образования нового разряда:

 «10»   десятичная

       Е2   (десяток)       10                                                                                                             

        Е3   (сотня)          10*10

«12»   двенадцатиричная

                                               Е2 (дюжина)        12

                                                Е3 (гротт)           12*12

«5»     пятиричная

                               Е2  («пятак»)                         5

                               Е3  («пятерня»)                     5*5

Поэтому и выполнение действий с многозначными числами    различных систем счисления   невозможно. Любые действия (сложение, вычитание) возможно только в одинаковых системах счисления.

         Так как  способ  образования  разрядов  (мерок)  в различных системах счисления одинаков (е1 → е2 → е3  и  т.д.), то и алгоритм  выполнения действий будет одинаков.

Например,   нужно сложить два  числа

3765+276                              54516+2136                        20123+11023

Чтобы выполнить действие сложения, необходимо :

1. записать примеры «в столбик» поразрядно

+3765                                    +54516                              +20123

   276                                        2136                                11023

2) определить переполнение и количество цифр в результате

+3765                                    +54516                              +20123

   276                                        2136                                11023

Здесь  нужно помнить о том, сколько меньших мерок образуют большую:

при укрупнении «10» число  в  разряде должна быть меньше 10 (1,2,3,4,5,6,7,8,9,0) .

Если укрупнение иное, например, «6», то в разряде могут быть числа  0,1,2,3,4,5.  При укрупнении «3»  числа могут быть 1,2,0.  При других числах (равных или больших укрупнения) образуется новая  мерка, новая единица большего разряда.

3) найти результат

+3765                                    +54516                              +20123

   276                                        2136                                11023

  4041                                   101046                                        101213

Таким образом, видно, что   сложение многозначных чисел в различных системах счисления происходит одинаково.

А одинаковое ли число получается при сложении одного набора цифр в разных системах счисления?

+512                                             +5126                                    +5128

  345                                              3456                                      3458

  857                                            13016                                                10578

В результате выполнения действий видим, что сложении чисел с одинаковым набором цифр, но разным основанием системы  получаются  разные  результаты. Чем больше основание системы, тем запись числа получается меньше. Чем меньше основание системы, тем запись числа получается больше.

Заключение

Познакомившись  с  историей  счёта, со  способами записи цифр (нумерациями)  и способами записи чисел, пришёл к выводу:

1.  Из всех систем  счисления более проста  и  универсальна в использовании десятичная  система .  

В  ней всего 10 цифр, которыми можно записать любые числа, если     менять цифры местами (позицию цифр).

    Десятками удобно складывать  при  устном  счёте.

2.  Действия с многозначными числами  в  любой системе счисления независимо от основания  выполняются по одному  алгоритму.
3. Знание других систем счисления    необходимо, потому что они встречаются  в разных областях  человеческой деятельности:

                     время (часы, год   …)

                     компьютерные программы.

Литература.

1. М.Я.Выгодский.  Справочник по элементарной математике.

Санкт-Петербург,1994.

2. А.Свечников.  Путешествие в историю математики или как люди научились считать.

Москва, издательство «Педагогика-Пресс»,1995.

3. Э.И.Александрова. Математика.3 класс. «Вита-пресс», 2007.
4. А. Чугайнова. Системы счисления.