Исследовательская работа по теме: "Необычный способ получения синусоиды" "

Слайд 1

Исследовательская работа по теме: «Необычный способ получения синусоиды» Выполнили ученицы 10 А класса: Мирьякупова Алсу Кирамова Лилия Руководитель: Бадрутдинова З.Ш. учитель математики I квалификационной категории

Слайд 2

Введение Необычный способ получения синусоиды § 1. Сечение цилиндра, радиус основания которого 1, а угол наклона 45° с плоскостью окружности. §2 . Сечение цилиндра, радиус основания которого 1, а угол наклона с плоскостью окружности не 45°. §3 . Сечение цилиндра, радиус основания которого не 1, а угол наклона с плоскостью окружности 45°. §4. Сечение цилиндра, радиус основания которого 1, а угол наклона с плоскостью окружности 45°, проходящее через диаметр, образующий с OD угол φ . Практическое применение. Заключение Литература и источники Приложения Содержание

Слайд 3

Актуальность настоящей работы обусловлена , с одной стороны, большим интересом к теме «Синусоида», с другой стороны, ее недостаточной разработанностью. Рассмотрение вопросов в работе носит как теоретическую, так и практическую значимость. Объектом исследования является процесс изучения функциональной линии y = sin x . Предмет исследования – рассмотрение отдельных вопросов по данной теме. Таким образом, основной целью написания работы является: рассмотрение необычных способов получения синусоиды, ее свойств и практическое применение. ВВЕДЕНИЕ

Слайд 4

Задачи: 1) доказать в каждом конкретном случае, что получившаяся кривая – синусоида; 2) показать практическое применение синусоиды. Недостаточная практическая разработанность проблем определяет новизну данного исследования.

Слайд 5

§ 1. Сечение цилиндра, радиус основания которого 1, а угол наклона 45° с плоскостью окружности. Рассмотрим подробнее решение этой задачи. Прежде всего, представленную практическую ситуацию переведем на язык математики, т.е. построим математическую модель. Для этого возьмем лист бумаги (он имеет форму прямоугольника) и нарисуем на нем оси координат параллельно соответствующим сторонам .

Слайд 6

Затем свернем этот прямоугольник в прямой круговой цилиндр, радиус основания которого примем за единицу. Ось Ох свернется в окружность радиусом 1, а ось Оу станет образующей цилиндра. Через диаметр полученной окружности, проходящей через точку О, проведем сечение, составляющее с плоскостью окружности угол в 45°. В этом случае сечением будет эллипс. (см.рис.2)

Слайд 7

Возьмем на эллипсе какую-нибудь точку, например точку А, и опустим из нее перпендикуляры на плоскость окружности и диаметр окружности OD . Получим соответственно точки В и С. Треугольник АВС прямоугольный и равнобедренный, так как угол АВС=90°, а угол АСВ=45°. Следовательно, АВ=ВС. На рис.3 наглядно видно, что ВС= sin x , где х-длина дуги ОВ. Для этого достаточно вспомнить определение синуса угла в прямоугольном треугольнике .

Слайд 8

Итак, АВ= Sin x . Теперь развернем цилиндр обратно в прямоугольник. При этом получим кривую, для которой АВ= sin x , где х=ОВ . Из всего сказанного следует вывод о том, что кривая – часть синусоиды .

Слайд 9

Выясним, какие кривые получатся, если сечение проводить не под углом 45°, а под другими углами α . Обратимся к рисунку 2. Угол АСВ равен α и по определению тангенса из прямоугольного треугольника АВС следует, что АВ= tg α ∙ ВС. Итак, можно сделать вывод, что будут получаться кривые, для которых АВ= k ∙ sin x , где k = tgα , т.е. синусоиды. §2. Сечение цилиндра, радиус основания которого 1, а угол наклона к плоскости окружности не 45°.

Слайд 10

Рассмотрим на примере два случая: 1) 0 < tg x <1 и имеем сжатие по оси Оу . Например, если a =30°, tg x= 30° , АВ≈0,58. (рис.5) 2) 45°< α <90°, тогда tgα >1 и имеем растяжение по оси Оу . Например, если α =60°, k= tg 60°, АВ≈1,7. (рис.6)

Слайд 11

§3. Сечение цилиндра, радиус основания которого не 1, а угол наклона с плоскостью окружности 45°. Теперь, если исходный прямоугольник свернуть в прямой круговой цилиндр не единичного, а некоторого другого радиуса a и произвести с этим цилиндром аналогичные операции, то в результате также получится синусоида, но задаваемая формулой у= α ∙ sinx /a , что очевидно из рисунка ниже.

Слайд 12

Известно, что график кривой у = а ∙ sin x/a подобен графику у = sin x и получается из него сжатием или растяжением в а раз в направлении осей Ох и Оу . Например, график функции у = 2 sin x/2 получается из графика у = sin x растяжением по обеим осям.

Слайд 13

§4. Сечение цилиндра, радиус основания которого 1, а угол наклона с плоскостью окружности 45°, проходящее через диаметр, образующий с OD угол φ . Рассмотрим теперь случаи, когда плоскость сечения не проходит через точку О, а проходит через диаметр, образующий с OD угол φ .

Слайд 14

В этом случае также получается синусоида, но задаваемая формулой у= sin(x- φ ). График такой кривой получается из графика у= sinx . сдвигом по оси Ох на угол φ . Например, график функции у= sin( x- П /4) изображен на рисунке.

Слайд 15

Практическое применение. Изготовление из металла колена водосточной или вытяжной трубы, для этого необходимо взять прямоугольный лист железа шириной L =2П R , где R -радиус перпендикулярного сечения трубы, и на его основании построить синусоиду у= Rsinx . (см.рис.)

Слайд 16

Начиная с XVII века, тригонометрические функции начали применять к решению уравнений, механики, оптики, электричества, радиотехники, для описания колебательных процессов, распространения волн, движения различных механизмов, для изучения переменного электрического тока и т.д. Ведь тригонометрические функции представляют собой наиболее удобное и наглядное средство для изучения всех свойств функций (до применения производной), а в особенности такого свойства многих природных процессов как периодичность. Возвращаясь к исходной задаче о свече, заметим, что если учитывать толщину листа бумаги, которая оборачивается вокруг свечи, то цилиндры различных слоев этой бумаги будут иметь различный радиус, увеличивающийся по мере удаления от центра. Следовательно, соответствующие участки синусоиды будут более растянутыми по сравнению с первоначальными. Причем это растяжение будет увеличиваться по мере удаления. Рассматривая график кривой в различных случаях разрезания свечи, мы пришли к выводу, что данная кривая – синусоида. Эта задача наглядна и с успехом может быть использована на уроках обобщающего повторения, при углубленном изучении математики, а также на внеклассных и факультативных занятиях . Заключение.

Слайд 17

1) Хлыст при ударе совершает движение по синусоиде, при этом вся сила удара концентрируется на его конце. 2) Кривая зависимость координаты конца математического маятника от времени – синусоида. 3) Колебания в электрической цепи происходят по закону синуса или косинуса. 4) Движения при плавании ползущей змеи аналогичны синусоиде. 5) Выкройка верхней части рукава и проймы напоминают период синусоиды. Приложения.