"Закон распределения простых чисел." ( Исследовательская работа . Областные математические чтения учащихся, посвящённые 190-летию со дня рождения П.Л.Чебышёва. Поощрительная грамота)

Муниципальное общеобразовательное учреждение Ставровская средняя общеобразовательная школа Собинского района.

Закон распределения простых чисел.

Выполнил: Процун Григорий, ученик 9 класса.

Учитель: Мартынова Светлана Вячеславовна.

Оглавление:

1. Введение______________________________________________________3
2. Биография П.Л. Чебышева _______________________________________4
3. История простых чисел__________________________________________7
4. Природа простых чисел__________________________________________9
5. Закон распределения простых чисел. _____________________________10
6. Полное доказательство теоремы__________________________________13
7. Заключение___________________________________________________17
8. Библиографический список______________________________________22
9. Приложение__________________________________________________23

1.Введение.

Я часто думаю, что было бы, если бы мы до сих пор не умели писать и считать. Наверное, жизнь была бы очень скучной и однообразной. Например, я очень люблю головоломки, разные математические задачи. Они помогают мне развиваться, и я всегда радуюсь, когда нахожу правильное решение.

          Математика — основа точных наук. Без них невозможно построить корабль и самолет, автомобили и метрополитены, даже строительство домов требует точности. Любовь к точным наукам развивает умение логически мыслить, анализировать, смотреть на вещи другими глазами и давать точное определение.

          Математика - удивительная и вместе с тем очень интересная наука. Мне нравиться ей заниматься. Нередко задумываешься: какими качествами нужно обладать, чтобы сделать какое-либо математическое открытие?

          В этом году исполняется 190 лет со дня рождения Пафнутия Львовича Чебышева, который обладал такими качествами. П.Л. Чебышев занимался проблемами простых чисел, а простые числа – это одна из самых интересных  и сложных загадок математики. Поэтому изучение деятельности этого великого математика, особенно в области простых чисел, дает ответ на поставленный вопрос.

          Как раз эта тема меня заинтересовала, и я решил изучить жизнь и деятельность П.Л. Чебышева, а также сделать исследовательскую работу  о простых числах.

2.Биография Чебышева

Пафну́тий Льво́вич Чебышев (произносится как «Чебышёв»[1]) (4 (16 мая) 1821, Окатово, Калужская губерния — 26 ноября (8 декабря) 1894, Санкт-Петербург) — русский математик и механик (рис.1)

Основатель первой в России петербургской математической школы Пафнутий Чебышев большую часть жизни провёл в городе на Неве. Однако его становление как учёного произошло в Московском университете.

Пафнутий Львович Чебышев - великий русский математик и механик, родился в дворянской семье в селе Окатово Боровского уезда Калужской губернии. Получив домашнее образование, он в 1837 году поступил в Московский университет, с отличием окончил его в 1841 году, а в 1847 году переехал в Петербург, где в 1849 году защитил докторскую диссертацию.

Еще в 1841 году за работу "Вычисление корней уравнений" по теме, предложенной факультетом в Московском университете, Чебышев награждается серебряной медалью, а его докторская диссертация "Теория сравнений" удостоена специальной премии Петербургской Академии наук.В 1859 году Пафнутий Львович избирается академиком Петербургской Академии наук.

Научные достижения П. Л. Чебышева нашли широкое признание и были высоко оценены еще при жизни ученого. Он был членом Берлинской и Болонской академий и одним из восьми иностранных членов Парижской Академии наук. Пафнутий Львович был избран членом-корреспондентом Лондонского Королевского общества, Шведской Академии наук и почетным членом многих других российских и иностранных научных обществ и академий.

П. Л. Чебышев со времени приезда в Петербург начал чтение лекций в Петербургском университете, профессором которого он состоял с 1850 по 1882 год. В 1882 году он вышел в отставку, посвятив себя целиком научной работе в Академии наук. П. Л. Чебышев воспитал большую группу математиков, виднейшими представителями которой были: А. М. Ляпунов, А. А. Марков, В. А. Стеклов, Д. А. Граве, Г. Ф. Вороной, А. Н. Коркин, Е. И. Золотарев.

Научные интересы П. Л. Чебышева отличаются большим разнообразием и широтой. Он оставил после себя блестящие исследования в области математического анализа, особенно в теории приближения функций многочленами, в интегральном исчислении, теории чисел, теории вероятностей, геометрии, баллистике, теории механизмов и других областях знаний.

В каждой из этих областей науки Пафнутий Львович получил фундаментальные результаты, выдвинул новые идеи и методы, определившие развитие этих ветвей математики и механики на многие годы и сохранившие свое значение и до сих пор.

При этом поражает способность Чебышева простыми, элементарными средствами получать великолепные научные результаты.

Другой важнейшей особенностью научной деятельности П. Л. Чебышева является неизменный интерес к вопросам практики, стремление связать теоретические проблемы математики с запросами естествознания и техники, практической деятельности людей. В свете современных тенденций развития науки чрезвычайно прозорливой представляется программная установка научной деятельности П. Л. Чебышева: "Практическая деятельность человека представляет чрезвычайное разнообразие, и для удовлетворения всех ее требований, разумеется, недостает многих и различных метод. Но из них особенную важность имеют те, которые необходимы для решения различных видоизменений одной и той же задачи, общей для всей практической деятельности человека: как располагать средствами своими для достижения по возможности большей выгоды".

Следует отметить, что для самого Пафнутия Львовича интерес к практике оказался чрезвычайно плодотворным, так как многие его математические открытия были сделаны при решении прикладных задач. Так, например, изучение шарнирного механизма, известного под названием "параллелограмм Уатта", привело его к созданию основ теории наилучшего приближения функций многочленами, которая сейчас превратилась в широко развитую математическую область, имеющую большое прикладное значение…

В теории вероятностей Чебышеву удалось необычайно простыми средствами получить ряд весьма важных результатов. Многие результаты и выводы были только намечены, не доведены до конца, но все работы Чебышева в этой области явились той базой, на которой развилась русская школа теории вероятностей. Строгие доказательства многих теорем, намеченные Чебышевым, и дальнейшее их развитие было проведено его учениками, академиками А. М. Ляпуновым и А. А. Марковым.

Выдающееся значение для науки имели исследования П. Л. Чебышева в теории чисел. Впервые после Евклида удивительно остроумными и удивительно элементарными рассуждениями он получил важнейшие результаты в задачи о распределении простых чисел в работах "Об определении числа простых чисел, не превосходящих данной величины" и "О простых числах".

Классические результаты были получены Чебышевым и в области математического анализа.

Одной из наук, которой Пафнутий Львович интересовался всю жизнь, была теория механизмов и машин, причем Чебышев занимался не только теоретическими изысканиями в этой области, но и уделял большое внимание непосредственному конструированию конкретных механизмов.

Задолго до того, как советский "Луноход-1" проложил первую трассу на лунной поверхности, фантасты и ученые рассматривали различные варианты машин, которым будет суждено передвигаться по другим планетам. Большинство проектов сводилось к некоторому шагающему механизму. П. Л. Чебышев разработал вариант стопоходящей машины, имитирующей движение животного при ходьбе.

Огромное влияние П. Л. Чебышева на развитие математики в нашей стране не ограничивается его личными достижениями. Его работы, исключительно богатые новыми идеями и методами, дали мощный толчок к развитию многих ветвей математики и механики; кроме того, он лично ставил важные задачи и проблемы перед молодыми учеными. По его непосредственному совету А. М. Ляпунов начал исследования по теории фигур равновесия вращающейся жидкости, где и получил классические результаты, имеющие первостепенное значение для механики и космогонии.

Великий математик и механик А. Л. Чебышев был передовым человеком своего времени. Так, например, вместе с двумя другими академиками-математиками - В. Г. Имшенецким и В. Я. Буняковским - он предложил физико-математическому отделению Петербургской Академии избрать членом-корреспондентом Академии замечательную русскую женщину - Софью Васильевну Ковалевскую. Много внимания уделял Чебышев вопросам народного образования, принимая активное участие в Ученом комитете Министерства просвещения. Труды ученого, его научная, педагогическая и просветительская деятельность, основанная им знаменитая Петербургская математическая школа сыграли исключительно большую роль в развитии отечественной математики и механики.

В 1944 году Академия наук СССР учредила премии имени П. Л. Чебышева за лучшие исследования в области математики и теории механизмов и машин.

3.История простых чисел

Просто́е число́ — это натуральное число, которое имеет ровно два различных натуральных делителя: единицу и самого себя. Все остальные числа, кроме единицы, называются составными. Таким образом, все натуральные числа, бо́льшие единицы, разбиваются на простые и составные. Изучением свойств простых чисел занимается теория чисел. В теории колец простым числам соответствуют неприводимые элементы.

Основная теорема арифметики утверждает, что каждое натуральное число, большее единицы, представимо в виде произведения простых чисел, причём единственным способом с точностью до порядка следования сомножителей. Таким образом, простые числа — элементарные «строительные блоки» натуральных чисел.

Представление натурального числа в виде произведения простых называется разложением на простые или факторизацией числа. На настоящий момент неизвестны полиномиальные алгоритмы факторизации чисел, хотя и не доказано, что таких алгоритмов не существует. На предполагаемой большой вычислительной сложности задачи факторизации базируется криптосистема RSA и некоторые другие. Факторизация с полиномиальной сложностью возможна на квантовом компьютере с помощью алгоритма Шора.

Простые способы нахождения начального списка простых чисел вплоть до некоторого значения дают Решето Эратосфена, решето Сундарама и решето Аткина. «Решето Эратосфена» (рис.2) в настоящее время доведено до 12 миллионов.

Однако, на практике вместо получения списка простых чисел зачастую требуется проверить, является ли данное число простым. Алгоритмы, решающие эту задачу, называются тестами простоты. Существует множество полиномиальных тестов простоты, но большинство их являются вероятностными (например, тест Миллера — Рабина) и используются для нужд криптографии. Только в 2002 году было доказано, что задача проверки на простоту в общем виде полиномиально разрешима, но предложенный детерминированный тест Агравала — Каяла — Саксены имеет довольно большую вычислительную сложность, что затрудняет его практическое применение.

Для некоторых классов чисел существуют специализированные эффективные тесты простоты.

Простых чисел бесконечно много. Самое старое известное доказательство этого факта было дано Евклидом в «Началах» (книга IX, утверждение 20). Его доказательство может быть кратко воспроизведено так:

Представим, что количество простых чисел конечно. Перемножим их и прибавим единицу. Полученное число не делится ни на одно из конечного набора простых чисел, потому что остаток от деления на любое из них даёт единицу. Значит, число должно делиться на некоторое простое число, не включённое в этот набор.

Математики предлагали другие доказательства. Одно из них (приведённое Эйлером) показывает, что сумма всех чисел, обратных к простым, расходится.

4.Природа простых чисел

Простые числа – «капризны». Таблицы простых чисел обнаруживают большие «неправильности» в распределении простых чисел (табл.1, табл.2)

        Пестрота картины распределения простых чисел увеличивается еще более, если отметить, что существуют пары простых чисел, которые отделены в натуральном ряду только одним числом («близнецы»). Например. 3 и 5, 5 и 7, 11 и 13, 10016957 и 10016959. С другой стороны, существуют пары простых чисел, между которыми много составных. Например, все 153 числа  от 4652354 до 4652506 являются составными.

Также введем функцию π(x), которая обозначает количество простых чисел между 1 и x. График этой функции (рис.3)

 похож на лесенку, что еще раз говорит о «капризности простых чисел». Но стоит изменить масштаб, как появится совсем другая картина (рис.4)

Появляется плавная линия, и это раскрывает гармонию в хаосе простых чисел.

Также нельзя по виду числа определить является оно простым или нет. Например, является ли простым число 261-1 ,   22^23+1?  Математик Первушин доказал, что первое число – простое, а второе – составное. Издавна ведутся записи, отмечающие наибольшие известные на то время простые числа. Один из рекордов поставил в своё время Эйлер, найдя простое число 231 − 1 = 2147483647.

Наибольшим известным простым числом по состоянию на февраль 2011 года является 243112609 − 1. Оно содержит 12 978 189 десятичных цифр и является простым числом Мерсенна (M43112609). Его нашли 23 августа 2008 года на математическом факультете университета UCLA в рамках проекта по распределённому поиску простых чисел Мерсенна GIMPS.

Числа Мерсенна выгодно отличаются от остальных наличием эффективного теста простоты: теста Люка — Лемера. Благодаря ему простые числа Мерсенна давно удерживают рекорд как самые большие известные простые.

За нахождение простых чисел из более чем 100 000 000 и 1 000 000 000 десятичных цифр EFF назначила денежные призы соответственно в 150 000 и 250 000 долларов США.

5.Закон распределения простых чисел.

Знаменитый английский математик Сильвестер  назвал Чебышева «победителем простых чисел, который первый стеснил их капризный поток в алгебраические границы»

Одной из таких побед стала теорема о распределении простых чисел, которая утверждает, что число π(n) простых чисел на отрезке от 1 до n растёт с ростом n как n / lnn, то есть,

Грубо говоря, это означает, что у случайно выбранного числа от 1 до n шанс оказаться простым примерно равен 1 / lnn. В двух своих работах, 1848 и 1850 года, Чебышев доказывает, что верхний M и нижний m пределы отношения

заключены в пределах , а также, что если предел отношения (*) существует, то он равен 1.

«Чебышёв – лидер русских математиков – имел необъяснимую неприязнь к теории функций комплексного переменного и к комплексным числам вообще. ... Эта нелюбовь Чебышёва к комплексным числам вышла ему, так сказать "боком": асимптотический закон распределения простых чисел, к выводу которого Чебышёв подошёл ближе всех, был впервые доказан Валле-Пуссеном и Адамаром именно средствами комплексного анализа», – цитата из статьи «Софья Ковалевская: математик и человек», УМН, № 6 (2000). — E.G.A

Я приведу упрощенное доказательство этого закона, и докажу, что

Покажем, что выполняется такая оценка сверху:

Она непосредственно проверяется для x < 1200. Будем рассуждать по индукции и предположим, что наша оценка доказана для всех x ≤ n. Рассмотрим «центральный» биномиальный коэффициент

Поскольку

он, безусловно, меньше 22n. С другой стороны,

Каждое простое число p, меньшее 2n, входит в числитель, но, если p больше n, не входит в знаменатель. Поэтому «центральный» биномиальный коэффициент делится на каждое простое, лежащее между n и 2n: 

В произведении слева π(2n) – π(n) сомножителей, каждый из которых больше n, поэтому

Прологарифмировав, получим

Согласно предположению индукции, теорема верна для n, т.е.

Складывая два последних неравенства, находим, что

т.е. теорема верна и для 2n. Так как

то она справедлива и для 2n + 1, чем и завершается шаг индукции.

Для получения оценки снизу нам понадобится следующая простая лемма, которая легко выводится из известной формулы для показателя степени простого числа, с которым оно входит в n! :

ЛЕММА. Пусть р – простое число. Если pv(p) – наибольшая степень р, которая входит в

то pv(p) ≤ n.

СЛЕДСТВИЕ. Для любого биномиального коэффициента

справедлива оценка

Применив утверждение этого следствия ко всем биномиальным коэффициентам с заданным n и сложив полученные неравенства, найдём

или, после логарифмирования,

6.Полное доказательство теоремы

Основываясь на таблицах простых чисел, составленных Фелкелем и Вегой, Лежандр предположил в 1796 году, что функция π(x) может быть приближена выражением x / (ln(x) − B), где B = 1.08... — константа, близкая к 1. Гаусс, рассматривая тот же вопрос и используя доступные ему результаты вычислений и некоторые эвристические рассуждения, пришёл к другой приближающей функции — интегральному логарифму

  ,

однако не стал публиковать этого утверждения. Оба приближения, как Лежандра, так и Гаусса, приводят к одной и той же предполагаемой асимптотической эквивалентности функций π(x) и x / ln(x), указанной выше, хотя приближение Гаусса и оказывается существенно лучше, если при оценке ошибки рассматривать разность функций вместо их отношения.

В 1859 году появляется работа Римана, рассматривающая (введённую Эйлером как функцию вещественного аргумента) ζ-функцию в комплексной области, и связывающая её поведение с распределением простых чисел. Развивая идеи этой работы, в 1896 году Адамар и Валле-Пуссен одновременно и независимо доказывают теорему о распределении простых чисел. Наконец, в 1949 году появляется не использующее комплексный анализ доказательство Эрдеша—Сельберга.

Общим начальным этапом рассуждений является переформулировка закона распределения простых чисел в терминах пси-функции Чебышева (англ.), определяемой как

иными словами, пси-функция Чебышева это сумма функции Мангольдта (англ.):

А именно, оказывается, что асимптотический закон распределения простых чисел равносилен тому, что

Это происходит из-за того, что логарифм «почти постоянен» на большей части отрезка [1,n], а вклад квадратов, кубов, и т. д. в сумму (*) пренебрежимо мал; поэтому практически все складываемые логарифмы lnp примерно равны lnx, и функция ψ(x) асимптотически ведёт себя так же, как

Как следует из тождества Эйлера,

ряд Дирихле («производящая функция»), соответствующий функции Мангольдта, равен минус логарифмической производной дзета-функции:

Кроме того, интеграл по вертикальной прямой, находящейся справа от 0, от функции as / s равен 2πi при a > 1 и 0 при 0 < a < 1. Поэтому, умножение правой и левой части на

и (аккуратное -- несобственные интегралы сходится только условно!) и интегрирование по вертикальной прямой по ds оставляет в левой части в точности сумму Λ(n) с . С другой стороны, применение теоремы о вычетах позволяет записать левую часть в виде суммы вычетов; каждому нулю дзета-функции соответствует полюс первого порядка её логарифмической производной, с вычетом, равным 1, а полюсу первого порядка в точке s = 1 — полюс первого порядка с вычетом, равным ( − 1).

Строгая реализация этой программы позволяет получить явную формула Римана (англ.):

Суммирование тут ведётся по нулям ρ дзета-функции, лежащим в критической полосе 0 < Re(s) < 1, слагаемое

отвечает полюсу xs / s в нуле, а слагаемое − log(1 − x − 2) / 2 — так называемым «тривиальным» нулям дзета-функции

Отсутствие нетривиальных нулей дзета-функции вне критической полосы и влечёт за собой искомое утверждение  (сумма в формуле (**) будет расти медленнее, чем x). Кроме того, гипотеза Римана влечёт за собой «оптимальную» оценку на возможные отклонения ψ(x) от x, и, соответственно, на отклонения π(x) от x / lnx.

Основная теорема арифметики, записывающаяся после логарифмирования как

тем самым формулируется в терминах арифметических функций и свёртки Дирихле как

где ln и  — арифметические функции, логарифм аргумента и тождественная единица соответственно.

Формула обращения Мёбиуса позволяет перенести  в правую часть:

где μ — функция Мёбиуса.

Сумма левой части (**) — искомая функция ψ. В правой части, применение формулы гиперболы Дирихле позволяет свести сумму свёртки к сумме

∑        L(n / k)μ(k),

                                                      k

где L — сумма логарифма. Применение формулы Эйлера-Маклорена (англ.) позволяет записать L(n) как

где γ — постоянная Эйлера. Выделяя из этого выражения слагаемые, имеющие вид

∑        F(n / k)

                                                          k

для подходящим образом подобранной функции F (а именно, F(x) = x − γ − 1), и обозначая через R остаток, имеем в силу обращения Мёбиуса

Λ = F +        ∑        R(n / k)μ(k).

                     k

Поскольку F(x)˜x, остаётся проверить, что второе слагаемое имеет вид o(x). Применение леммы Аскера позволяет свести эту задачу к проверке утверждения M(x) = o(x), где  — сумма функции Мёбиуса.  

Малость сумм функции Мёбиуса на подпоследовательности следует из формулы обращения, применённой к функции 1 / n.

Далее, функция Мёбиуса в алгебре арифметических функций (с мультипликативной операцией-свёрткой) удовлетворяет «дифференциальному уравнению» первого порядка

μ' = − μ * Λ, где  — дифференцирование в этой алгебре (переход к рядам Дирихле превращает его в обычное дифференцирование функции). Поэтому она удовлетворяет и уравнению второго порядка

μ'' = μ * (Λ * Λ − Λ').

«Усредение» этого уравнения позволяет и то, что асимптотика суммы функции Λ2 = Λ * Λ + Λ оценивается лучше асимптотики сумм Λ, позволяет оценивать отношение M(x)/x через средние значения такого отношения. Такая оценка вкупе с «малостью по подпоследовательности» и позволяет получить искомую оценку M(x) = o(x).

7.Заключение.

Работая над данной темой, я решил поглубже исследовать  эту тему, и поскольку простые числа и их свойства изучаются в шестом классе, подыскать задачи для шестиклассников. Однако, поскольку эта тема очень обширная, было интересно искать и разбирать задачи для более старших классов.

Задача №1

Известно, что p > 3 и p  — простое число, т.е. оно делится только на единицу и на себя само. Как вы думаете: а) будут ли чётными числа (p + 1) и (p - 1); б) будет ли хотя бы одно из них делиться на 3?

Решение:

Поскольку p  — простое, то среди делящихся на 2 его не будет, а среди трех последовательных чисел p - 1, p, p + 1, одно обязательно делится на 2, но это не p. Значит, ответ задачи положительный. Для 3 задача решается аналогично, ответ положительный. Обратите внимание! Здесь мы пользуемся тем, что простое число не может делиться на 2 или 3. Будьте осторожны  — это не всегда так. Есть два простых числа 2 и 3, для которых эти соображения неверны. Но в нашем условии указано, что p > 3, значит, мы можем пользоваться этим свойством.

Ответ:

а) Да. б) Да.

Задача №2

Докажите, что любое простое число, большее трех, можно записать в одном из двух видов: 6n + 1 либо 6n - 1, где n  — натуральное число.

Решение:

Простое число, большее 3, при делении на 6 не может давать остатки 0, 2, 3, 4  — в любом из этих случаев оно будет составным. Возможны только остатки 1 и 5. Следовательно, простое число можно записать как 6n + 1 или 6n + 5, но  6n + 5 = 6(n + 1) - 1.

Задача №3

Докажите, что существует бесконечно много простых чисел.

Решение:

Предположим противное. Пусть p1, p2, ..., pn - все простые числа. Рассмотрим число p1p2···pn + 1. Это число не делится ни на одно из чисел p1, p2, ..., pn и, следовательно, не может быть разложено в произведение простых. Противоречие.

Задача №4

Найдите все простые числа, которые нельзя записать в виде суммы двух составных.

Решение:

Докажем, что любое простое число p, большее 11, представляется в виде суммы двух составных. Поскольку любое простое число, большее двух, нечетно, то число p — нечетное, а p – 9 — четное и, следовательно, составное. Поэтому p = (p – 9) + 9 — искомое представление. С другой стороны, непосредственно проверяется, что все простые числа, меньшие или равные 11 (а это — 2, 3, 5, 7 и 11), не представимы в виде суммы двух составных.

Ответ: 2,3,5,7,11.

Задача №5

Верно ли, что многочлен P(n) = n2 + n + 41 при всех n принимает только простые значения?

Решение:

Подставьте n = 40 или n = 41. При n = 0, 1,..., 39 числа P(n) будут простыми.

Ответ: неверно.

Задача №6

В книге рекордов Гиннесса написано, что наибольшее известное простое число равно 23021377 - 1. Не опечатка ли это?

Решение:

Любая степень числа, оканчивающегося цифрой 1, тоже оканчивается цифрой 1. Поэтому разность 23021377 - 1 оканчивается на 0 и, следовательно, не является простым числом.

Ответ: опечатка.

Задача №7

Существуют ли арифметическая прогрессия, состоящая лишь из простых чисел?

Решение:

Возьмем в качестве начального элемента прогрессии элемент a этой прогрессии такой, что a > 1. Тогда все числа ak = a + kd при k = ma делятся на a, то есть являются составными.

Ответ: не существует.

Задача №8

Найдите все p такие, что числа p, p + 10, p + 14 — простые.

Решение:

Среди этих чисел всегда есть одно, которое делится на 3. Поэтому p = 3.

Ответ:3.

Задача №9

Доказать, что если p — простое число, большее трех, то p2 − 1 делится на 24.

Решение:

Воспользуемся равенством p2 − 1 = (p − 1)(p + 1). Так как число p простое и больше трех, то оно нечетно, но тогда числа p − 1 и p + 1 два соседних нечетных числа, одно из которых делится на 2, а другое, по крайней мере, на 4. Из трех последовательных чисел p − 1, p, p + 1 одно делится на 3, но это не p, следовательно, одно из чисел p − 1, p + 1 делится на 3. Окончательно, получаем, что p2 − 1 = (p − 1)(p + 1) делится, по крайней мере, на 2 × 3 × 4 = 24.

Задача №10

Известно, что корни уравнения x2 + px + q = 0 — целые числа, а p и q — простые числа. Найдите p и q.

Решение:

Пусть x1 и x2 — корни нашего квадратного трёхчлена. Тогда (по теореме Виета) x1 * x2 = q. Так как корни целые, a q — простое, то один из корней равен 1 или –1.

Рассмотрим сначала случай x1 = 1. Тогда x1 = q. По теореме Виета 1 + q = –p по условию p и q — простые, в частности, целые положительные числа. Значит, в первом случае решений нет.

Пусть теперь x1 = –1. Получаем x1 = –q, –1 – q = –p. То есть p = q + 1. Значит, p и q — два простых числа, отличающиеся на 1. Такая пара чисел всего одна: p = 3 и q = 2 (так как единственное чётное простое число — это 2).

Ответ: 2,3.

Задача № 11 (самая сложная)

15 простых натуральных чисел образуют возрастающую арифметическую прогрессию. Докажите, что разность этой прогрессии больше 30000.

Решение:

Докажем сначала вспомогательное утверждение. Пусть d - разность некоторой арифметической прогрессии из натуральных чисел. Возьмем некоторое простое p такое, что d не делится на p. Тогда из p последовательных членов прогрессии найдется член, делящийся на p. В самом деле, пусть a, a+d, a+2d, ... , a+(p-1)d - p последовательных членов прогрессии. Достаточно показать, что они имеют различные остатки при делении на p (в таком случае найдется член, дающий остаток 0 при делении на p, т.е. делящийся на p). Предположим противное - пусть для различных k и m, где k и m принимают значение от 0 до p-1, числа a+kd и a+md дают одинаковые остатки при делении на p. Тогда разность этих чисел (a+kd)-(a+md)=d(k-m) должна делиться на p. Но это невозможно, так как d по условию не делится на p и (k-m) не делится на p (поскольку 0<|k-m|<p). Итак, вспомогательное утверждение доказано. Пусть a1, a2, ... , a15 - данная возрастающая прогрессия, состоящая из простых чисел. Пусть d - разность этой прогрессии. Пусть d не делится на 7. Тогда, согласно вспомогательному утверждению, из чисел a1, a2, ... , a7 одно делится на 7, и из чисел a8, a9, ... , a14 одно также делится на 7. Однако среди различных простых чисел a1, a2, ... , a15 нет двух делящихся на 7 чисел. Таким образом, d должно делиться на 7. Тем самым, d не меньше 7, и, следовательно, члены прогрессии a1, a2, ... , a15, начиная с третьего, не меньше 15. Поэтому среди 13 чисел a3, a4, ... , a15 не может быть чисел, делящихся на 2, 3, 5, 7, 11, 13 (иначе соответствующее число было бы не просто). Отсюда, пользуясь вспомогательным утверждением, получаем, что d должно делиться на 2, 3, 5, 7, 11, 13, т.е. d должно делиться на 2*3*5*7*11*13=30030>30000. Тем самым требуемое в задаче доказано.

Работа над темой позволила мне расширить знания в области математики в целом, познакомиться с жизнью и деятельностью П.Л. Чебышева, законом распределения простых чисел и гармонией их распределения. Данная тема может быть интересна широкому кругу людей.

П.Л. Чебышев оставил огромное наследие, состоящее из теорем, методов и задач, которые еще предстоит решить…

8.Литература:

1. Глейзер Г.И. – История математики в школе: IV – VI кл. Пособие для учителей. – М.: Просвещение, 1981. – 239 с., ил.

2. Депман И. – Рассказы о математике. – М. – Л., Детгиз 1954. 143 с.

3. Н. И. Архиезер, «П. Л. Чебышев и его научное наследие».

4.Ресурсы Интернета: ru.wikipedia.org, ega-math.narod.ru., http://people.reed.edu/~jerry/361/lectures/rvm.pdf.

9.Приложение

рис.1 Пафнутий Львович Чебышев

рис.2 Решето Эратосфена

рис.3 График функции π(x)

рис.4 График функции π(x) в уменьшенном масштабе

табл.1 Количество простых чисел в различных промежутках  от 1 до 100

табл.2 Количество простых чисел в различных промежутках  от 100 до 1000