«Воображаемая геометрия Н. И. Лобачевского»

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение

«Средняя общеобразовательная школа №34»

Исследовательская работа на тему:

«Воображаемая геометрия Н. И. Лобачевского»

Работу выполнила:

Шарагина Маргарита,

ученица 9 «А» класса

Руководитель:

Косачева Е. В.

Владимир

2012 г.

Содержание

Введение ____________________________________________________3 стр.

Глава I. Геометрия Лобачевского ________________________________4 стр.

1.    Биография Лобачевского ________________________________4 стр.
2.    История возникновения неевклидовой геометрии ___________5 стр.

Глава II. «Воображаемая геометрия»  ____________________________7 стр.

1.     Основные понятия _____________________________________7 стр.
2.     Геометрия Лобачевского в реальном мире _________________8 стр.

Глава III. Практическое применение геометрии Лобачевского _______11 стр.

1.     Сумма углов треугольника _____________________________11 стр.
2.     Площадь треугольника ________________________________11 стр.

Заключение _________________________________________________13 стр.

Список литературы __________________________________________14 стр.

Введение.

          Геометрия – одна из древнейших наук. Исследовать различные пространственные формы издавна побуждало людей их практическая деятельность. В III веке до нашей эры греческий ученый Евклид привел в систему известные ему геометрические сведения в большом сочинении «Начала». Эта книга более двух тысяч лет служила учебником геометрии во всем мире.

          В своей работе я хочу показать, что кроме геометрии, которую изучают в школе, существует ещё одна – геометрия Лобачевского. «Воображаемая геометрия» существенно отличается от евклидовой. Отличия я постараюсь отразить в работе.

          Я выбрала данную тему потому, что геометрия Лобачевского помогает взглянуть на окружающий мир по-другому. Чтобы ее понять, необходимо обладать фантазией и пространственным  воображением.

          Целью моей работы является изучение геометрии Лобачевского и рассмотрение ее на практических примерах.

          Объектом исследования является «Воображаемая геометрия».

          Для достижения цели мною были поставлены следующие задачи:

1. Изучение теоретических аспектов геометрии Лобачевского;
2. Рассмотрение практического применения на отдельных примерах.

          Структура работы обусловлена целью и задачами исследования. Работа состоит из введения, 3 глав, разделенных на параграфы, заключения и списка литературы.

Глава I. Геометрия Лобачевского

1.      Биография Н. И. Лобачевского.

          Николай Иванович Лобачевский родился 1 декабря (20 ноября) 1792 года в Нижнем Новгороде. Когда Николаю было 7 лет, его мать, Прасковья Ивановна, осталась одна с тремя маленькими сыновьями. Она переехала в Казань, где  как могла, подготавливала детей к школе, и они были приняты в гимназию. Николай приступил к занятиям в 1802 году в десятилетнем возрасте. Его успехи в математике и в древних языках были феноменальны. В 14 лет он был подготовлен для университета. В 1807 году поступил в Казанский университет, в котором ему предстояло провести последующие 40 лет жизни – как студенту, экстраординарному профессору, профессору и, наконец, ректору.

          В 1811 году, в возрасте 18 лет, Лобачевский получил степень магистра с отличием. В апреле 1814 года он был утвержден адьюнтом чистой математики, а два года спустя ему было присвоено звание профессора. Назначение Лобачевского экстраординарным профессором состоялось в 1816 году в необычно молодом возрасте 23 лет. В 1827 году Николай Иванович получил звание ректора.

          Лобачевский, сильно перегруженный преподавательскими и административными обязанностями,  находил время для научной работы. Он создал один из величайших шедевров всей математики – неевклидову геометрию и поставил веху в человеческом мышлении. Он трудился над этим с перерывами не менее 20 лет. Его первое публичное сообщение по этой теме было сделано на физико-математическом факультете Казанского университета в 1826 году.

          В период с 1823 по 1832 год Лобачевский занимается созданием новой геометрии, которая не нашла поддержку среди его коллег и была жестоко ими осмеяна. Вследствие чего в  1846 году его грубо лишили должностей профессора и ректора университета, хотя тогда он был полон физических и умственных сил. Отвратительная неблагодарность властей сломила Лобачевского. Он оставил все надежды снова стать кем-то в университете, который своей научной славой почти целиком был обязан его усилиям. Его здоровье пошатнулось.

          В 1855 году университет праздновал свое пятидесятилетие. Лобачевский лично присутствовал на торжествах и принес юбиляру экземпляр «Пангеометрии». Через несколько месяцев , 24 февраля 1856 года, 62-ух лет от роду, он умер.

2.      История возникновения неевклидовой геометрии

          В расцвете лет, в период с 1823 до 1832 года, Лобачевский создал свою новую геометрию и так ее разработал, что по существу ее содержания немного оставалось к этому прибавить. Но напряженные размышления не покидали ее творца. Творение Лобачевского не было признано, было осмеяно. Он очень сильно это пережил, но обескуражен этим не был. Обвинения, выдвинутые против созданной им геометрии, по существу были лишены основания. Остроградский находил, что работа Лобачевского была выполнена с малым старанием. Это было неверно; но справедливо было то, что мемуар «О началах геометрии» был изложен слишком сжато, непонятно, не был достаточно развит. Во введении к другому мемуару Лобачевский говорит следующее:

          «В тесных пределах повременного сочинения не мог изложить я моего предмета со всей подробностью. Много предложений, помещенных без доказательства, одни выводы из продолжительных и довольно запутанных вычислений заставляют меня подозревать, что мое сочинение, казавшись с первого взгляда темным, предупреждало охоту заняться им с некоторым вниманием и даже могло подать повод усомниться в строгости моего суждения и в верности  выведенных заключений».

          Но были и размышления другого рода, ещё более серьезные, сомнения, которые проистекали из существа предмета и которые в некоторой степени были чужды и самому Лобачевскому.

          В своем заключении, которым заканчивается работа «О началах геометрии», Лобачевский старается убедить читателя, что созданная им геометрия не содержит противоречий, что ни к какому противоречию не может привести никакое дальнейшее ее развитие. Доводами, подтверждавшими такое заключение, служили с одной стороны, целостность и законченность основ новой геометрии, допускающей такое же неограниченное развитие, как и обыкновенная геометрия, а с другой стороны, постоянное совпадение результатов вычислений, которые различными способами выполняются средствами этой геометрии.

           В 1834 году по инициативе Лобачевского начинают выходить «Ученые записки Казанского университета».  В 1835 году в одной из книг выходит мемуар «Воображаемая геометрия». В 1836 году в тех же «Ученых записках» появился мемуар, представлявший продолжение «Воображаемой геометрии» и носивший название «Применение воображаемой геометрии к некоторым интегралам».

          Не найдя понимания на родине, Лобачевский пытается найти единомышленников за рубежом. В 1840 году он печатает на немецком языке «Геометрические исследования по теории параллельных», где содержится четкое изложение его основных идей. Один экземпляр получает Гаусс, «король математиков» той поры. Ознакомившись с результатами Лобачевского, он выразил свою симпатию к идеям русского ученого косвенно: рекомендовал избрать Лобачевского иностранным членом-корреспондентом Гёттингенского королевского общества.

Глава II. «Воображаемая геометрия»

1.      Основные понятия

Рассмотрим основные понятия, на которых базировалось изложение  геометрии Лобачевского.

За основные объекты были приняты точка, прямая и отрезок. За основные отношения между этими объектами принимаются:

1. Точка принадлежит фигуре, в частности прямой;
2. Точка лежит между двумя точками для точек прямой.

1. Следующая фигура называется объединением некоторых данных фигур, если ей принадлежат все точки этих фигур, и никакие другие.
2. Отрезком называется часть прямой, которая состоит из всех точек этой прямой, лежащих между двумя данными ее точками. Эти точки называются концами отрезка.
3. Лучом AB называется часть прямой, состоящая из всех ее точек, лежащих по ту же сторону от точки А, что и точка В. точка А называется вершиной луча.
4. Углом называется фигура, которая состоит из точки – вершины угла и двух различных лучей, исходящих из этой точки, - сторон угла.
5. Полуплоскостью, ограниченной прямой    a, называется фигура, обладающая следующими свойствами:

1. Она не содержит прямую а;
2. Если точки А и В принадлежат полуплоскости, то отрезок АВ не имеет общих точек с а;
3. Если же А принадлежит полуплоскости, а В нет, то отрезокАВ имеет общую точку с прямой а.

Аксиоматика Лобачевского отличается от аксиоматики планиметрии Евклида лишь одной аксиомой: аксиома параллельности заменяется на ее отрицание – аксиому параллельности Лобачевского.

«Найдется такая прямая а и такая не лежащая на ней точка А, что через А проходят по крайней мере две прямые, не пересекающие а».

2.      Геометрия Лобачевского в реальном мире.

          Если геометрия Евклида является только частью геометрии  Лобачевского, то выходит, что наш мир – не мир Евклида. Почему же мы не замечаем разницы. Рассмотрим такое понятие как гауссова кривизна пространства. Если мы возьмем кривую поверхность, проведем к какой-то точке касательную, проведем в точку касания отрезок, перпендикулярный касательной плоскости, то мы получим нормаль. Проведя через нормаль плоскость, мы можем найти окружность, наиболее плотно прилегающую к поверхности. Так как мы можем провести сколько угодно плоскостей, то мы можем найти окружности с минимальным и максимальным радиусами. Используя определенные соотношения, можно определить кривизну пространства, которая может быть как положительная, так и отрицательная. На поверхностях с отрицательной кривизной и работает геометрия Лобачевского. Именно такую кривизну имеют графики интенсивности всех электромагнитных полей. Состояние поверхности плазмы также описывается геометрией Лобачевского.

          Выделяют три различные модели геометрии Лобачевского:

1. Модель Пуанкаре;
2. Модель Клейна;
3. Отображение геометрии Лобачевского на псевдосфере (интерпретация Бельтрами).

Рассмотрим две из них.

1. Модель Пуанкаре

          В модели Пуанкаре на евклидовой плоскости Е фиксируется горизонтальная прямая х, которая носит название «абсолюта». Точками плоскости Лобачевского считаются точки плоскости Е, лежащие выше абсолюта х. таким образом, в модели Пуанкаре плоскость Лобачевского – это полуплоскость L, лежащая выше абсолюта.

Рис. 1          

          Прямыми плоскости L считаются полуокружности с центрами на абсолюте или лучи с вершинами на абсолюте и перпендикулярные ему. Фигура на плоскости Лобачевского – это фигура полуплоскости L. Принадлежность точки фигуре понимается так же, как и на евклидовой плоскости Е. при этом отрезком плоскости L считается дуга окружности с центром на абсолюте или отрезок прямой, перпендикулярной абсолюту (рис. 1). Два неевклидовых отрезка называют равными, если один из них неевклидовым движением можно перевести во второй.

2. Модель Клейна

          За плоскость принимается какой-либо круг (рис. 2.1),  за точки – точки, принадлежащие этому кругу, за прямые – хорды  (с исключением концов, поскольку рассматривается только внутренность круга). За перемещения принимаются преобразования круга, переводящие его в себя и хорды – в хорды.

Рис. 2

          Очевидно, что в пределах определенной части плоскости (круга), как бы эта часть не была велика, можно провести через данную точку С множество прямых, не пересекающих данную прямую. Внутри круга любого конечного радиуса существует множество прямых (т. е. хорд), проходящих через точку С и не пересекающих прямую АВ (рис. 2.2). Всякая теорема  планиметрии Лобачевского является в этой модели теоремой геометрии Евклида и, обратно, всякая теорема геометрии Евклида, говорящая о фигурах внутри данного круга, является теоремой геометрии Лобачевского.

          Геометрия Лобачевского в модели Клейна имеет вполне реальный смысл с той точностью, с какой вообще имеет смысл геометрия в применении к реальным телам.

           Все этим модели служат одной цели – полнее представить наш мир, не прибегая к вселенским масштабам.

Глава III. Практическое применение геометрии Лобачевского

1.      Сумма углов треугольника

Рис. 3

Это предположение эквивалентно аксиоме Лобачевского. Пусть (рис.8) в прямоугольном треугольнике CDK сумма углов S=<2π, то есть    < π.Это значит, что внутри угла NCK можно построить LCK = а (NCCD).

Прямая CL не может пересечь прямой АВ в какой- либо точке М, так как если бы это случилось, то угол DKC , внешний по отношению к треугольнику KCM , равнялся бы внутреннему, не смежному с ним углу треугольника KCM, что противоречит абсолютной геометрии о внешнем угле треугольника. Итак, через т. С, кроме CN , проходит еще одна прямая – CL, не встречающая прямой АВ; следовательно, верна аксиома Лобачевского. Разность (2π–S), то есть между 180º и суммой углов данного треугольника, называется угловым дефектом этого треугольника.

2.      Площадь треугольника

          Подробный вывод формулы площади треугольника на плоскости Лобачевского я приводить не буду ввиду его сложности (в нем используется формулы, доказываемые лишь в курсе дифференциальной геометрии).

Рис. 4

          Если АВС – треугольник в модели Пуанкаре, меры углов А, В и С – α, β и γ соответственно,  - мера угла В в треугольнике АВD, а  - меры углов В и С в треугольнике ВСВ. Тогда    

          Вследствие этого можно сформулировать теорему: «Для площади треугольника АВС с углами  справедлива формула  

          Следствие 1. Площадь треугольника Лобачевского ограничена.

          Следствие 2. Если дан выпуклый многоугольник    с внутренними углами , то

Заключение

          Открытие неевклидовой геометрии доказало, что нельзя абсолютировать представления о пространстве, что «употребительная» (как назвал Лобачевский геометрию Евклида) геометрия не является единственно возможной, однако это не подорвало незыблемость геометрии Евклида. В основе геометрии Евклида лежат не «врожденные» уму понятия и аксиомы, а такие понятия, которые связаны с деятельностью человека, с человеческой практикой. Только практика может решить вопрос о том, какая геометрия вернее излагает свойства физического пространства. Открытие неевклидовой геометрии дало решающий толчок грандиозному развитию науки, способствовало и поныне способствует глубокому пониманию окружающего нас материального мира.

          Я считаю, что я достигла цели, которую поставила в исследовательской работе. Данное исследование удовлетворила мои внутренние потребности в изучении данной темы. Данная работа способствовала развитию у меня умения исследовательской деятельности, активно включила в процесс познания и творческой реализации.

Список литературы:

1. Математика ХIХ века, «Наука», М., 1981
2. Юшкевич А. П., История математики в России, «Наука», М., 1968
3. Глейзер Г. И., История математики в школе IX – X классы. Пособие для учителей. М., «Просвещение», 1983
4. Лаптев Б. Л., Н. И. Лобачевский и его геометрия. Пособие для учащихся. М., «Просвещение», 1970
5. http://www.edu.ru
6. http://www.referat.online.ru