«Формула Виета решения приведённого квадратного уравнения»

Муниципальное общеобразовательное учреждение

Средняя общеобразовательная школа № 34

Исследовательская работа на тему:

«Формула Виета решения приведённого квадратного уравнения»

Работу выполнили:

Кумаритова Дина

Киселёв Виктор

ученики  10 класса

Руководитель:

Косачева  Е. В.

Владимир

2010 г.

План работы:

Введение_______________________________________________________________3

Глава I   Теоретические аспекты методов решения приведенных квадратных уравнений

1. Анализ учебника «Алгебра 8 кл. » Мордкович А. Г.______________________5
2. Решение заданий ___________________________________________________7

Глава II  Обыкновенные приведенные квадратные уравнения Виета

2.1      Биография Виета__________________________________________________11

2.2      Решение квадратных уравнений до открытия формулы__________________14

2.3      Научный вклад Виета в решение уравнений___________________________15

Глава III   Практикум для изучения подходов к  решению заданий с применением теоремы Виета

3.1    Применение теоремы Виета к выполнению различного вида заданий_______17

3.2    Тренажёр для изучения подходов к решению заданий с применением теоремы                                         Виета_________________________________________________________________23

Выводы______________________________________________________________ 24

Список литературы___________________________________________________ 25

ВВЕДЕНИЕ

         Наш интерес к участию в четвёртых городских математических чтениях, посвящённых 470-летию со дня рождения Франсуа Виета, вызван проведённой большой исследовательской работой по теме: «Формула Виета решения приведённого квадратного уравнения». Изучая тему «Квадратные уравнения» по учебнику «Алгебра» автор А. Г. Мордкович, мы решали упражнения повышенной сложности с использованием теоремы Виета и обратной ей теоремы. Автор предлагает решить задания повышенной сложности. Это задания  № 997 – 1004. Данные задания заставили нас задуматься над вопросом: «Можно ли применить теорему Виета для уравнений более высокой степени?» Так как в учебнике не изложены факты применимости теоремы Виета к многочленам разных степеней, возникли трудности, что заставило нас искать пути решения возникшей проблемы. Для этого мы поставили перед собой цель: исследование теоремы Виета для многочленов любой степени.

       Объект исследования: многочлены различных степеней.

       Предмет исследования: теорема Виета.

       В качестве гипотезы было выдвинуто предположение, что теорема Виета применима для многочленов любой степени.

       Для проверки гипотезы были поставлены следующие задачи:

1. Провести теоретический анализ школьного учебника « Алгебра 8 кл.» автор А.Г. Моркович;
2. Изучит вклад Виета в решении уравнений;
3. Рассмотреть применение теоремы Виета в решении задач повышенного уровня сложности;
4. Разработать тренажёр для изучения подходов решения заданий с применением теоремы Виета.

 Были выведены следующие этапы исследовательской работы:

Актуальность данной работы состоит в рассмотрении, изучении и практическом применении теоремы Виета как для квадратных уравнений, так и для многочленов с более высокими степенями, что позволяет решать задания повышенного уровня сложности.

Глава I Теоретические аспекты методов решения приведенных квадратных уравнений:

1.1 Анализ учебника «Алгебра 8 кл.»  А. Г. Мордкович

       Мы провели анализ школьного учебника «Алгебра 8 кл.» автора А. Г. Мордкович по теме «Теорема Виета» и выявили, что существует соотношение между корнями квадратного уравнения и его коэффициентами. Это соотношение впервые обнаружил французский математик Франсуа Виет.

Теорема 1(теорема Виета):

Пусть   – корни квадратного уравнения  Тогда сумма корней равна -  , а произведение корней равно :

       Например,  для уравнения  , не находя его корней, можно, воспользовавшись теоремой Виета, сразу сказать, что сумма корней равна , а произведение корней равно - , т. е. -2. А для уравнения  заключаем: сумма корней равна 6,  произведение корней равно 8; между прочим, здесь нетрудно догадаться, чему равны корни: 4 и 2.

       Замечание. Теорема Виета справедлива и в том случае, когда квадратные уравнение имеет один корень (т. е. когда  D=0), просто в этом случае считают, что уравнение имеет два одинаковых корня, к которым и применяют  указывают выше соотношения.

       Особенно простой вид принимают доказанные соотношения для приведённого квадратного уравнения   В этом случае получаем:   ,  т.е. сумма корней приведенного квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену.

       С помощью теоремы Виета можно получить и другие соотношения между корнями и коэффициентами квадратного уравнения, однако основное назначение теоремы Виета не в том, что она выражает некоторые соотношения. Гораздо важнее то, что с помощью теоремы Виета выводится формула разложения квадратного трёхчлена на множители.

Теорема 2.

Если и  - корни квадратного трёхчлена , то справедливо тождество   =

В учебнике рассмотрены следующие примеры:

Пример 1:   Разложить на множители квадратный трёхчлен

Решение. Решаем уравнение  находим корни квадратного трёхчлена  

Воспользовавшись теоремой 2, получаем

Есть смысл вместо 3 написать. Тогда окончательно получаем

Пример 2.     Сократите дробь .

Решение:  Из уравнения  находим  Значит,

 Из уравнения  находим  Поэтому

А теперь сократим заданную дробь:

Пример 3.  Разложить на множители выражения:

а)              б)

Решение. а) Пусть  тогда получаем  Решаем уравнение :  Теперь воспользуемся теоремой 2; получим

Осталось вспомнить, что  т. е.  вернуться к заданному выражению. Итак,  

б) Пусть тогда получаем  

Решаем уравнение :   Далее, используя теорему 2, получаем   

Осталось вспомнить, что  , т.е. вернуться к заданному выражению. Итак,

1.2  Решение заданий.

№ 997

Пусть х1 и х2 – корни уравнения      х2 – 9х – 17 = 0.  Не решая уравнения вычислите: +

..       

Ответ: 115

 № 998

 Пусть х1 и х2 – корни уравнения  .  Не решая уравнения, вычислите   .

  теореме Виета  а

Ответ:

 № 999

Дано уравнение      .  Известно, что сумма корней равна -5. Найдите значения параметра   р.        

Решение.     По теореме Виета     .

Т.к.           ;      

;

Ответ: р = 1,

№ 1000

Дано уравнение     .  Известно, что произведение его корней равно -21.   Найдите значение параметра  р.

Решение.    

По теореме Виета    

Т.к.   ,то    

 ,  

Ответ:  ,  

№1001

При некотором значении параметра  р корни квадратного уравнения     являются противоположными числами. Найдите эти корни.

Решение. Т.к. корни уравнения являются противоположными числами, то по теореме Виета    

 ,      

 ,    

  ,    

Представим значение параметра  р  в уравнении, получим:

если р = 3, то

если р = -3, то  

Решим получившиеся уравнения:

Ответ: ;

№ 1002

При некотором значении параметра  р корни квадратного уравнения       являются  взаимно обратными числами. Найдите эти корни.

Решение.   Т.к. корни уравнения являются взаимно обратными числами, то       , а так же, по теореме Виета  Получаем уравнение             р ≠ 0;   р = 1

Подставив значение параметра в уравнение, получим   .

Решив полученное уравнение, находим  

Ответ:

№1003

Дано уравнение . Известно, что сумма квадратов его корней равна 65. Найдите значение параметра   р  и корни уравнения.

Решение.  

По теореме Виета   .

;    

Подставив полученные значения параметра, получаем следующие уравнения:

Ответ: при      ;  при          

№ 1004

Разность корней уравнения    равна 2,5.  Найдите значение параметра   р   и корни уравнения.

Решение.

т. к.       то    .    Подставив в систему и решив её, получаем    р = 25.    При р = 25      .

Ответ:    при р = 25      

Глава II  Обыкновенные приведенные квадратные уравнения Виета

2.1 Биография Виета

        Франсуа Виет родился в 1540 году на юге Франции в небольшом городке Фантенеле – Конт. Отец Виета был прокурором. Сын выбрал профессию отца и стал юристом, окончив университет в Пуату. В 1560 году, когда ему было 20 лет, он начал свою карьеру в родном городе , спустя 3 года перешёл на службу в знатную гугенотскую семью де Партене. Он стал секретарём хозяина дома и учителем его 12-ти летней дочери Екатерины.  Именно преподавание пробудило интерес к математике. Когда ученица выросла и вышла замуж, Виет не расстался с семьёй, и переехал с ней в Париж, где ему  было легче узнать о достижениях ведущих математиков Европы. Он общался с видным профессором СорбоныРамусом, с крупнейшим математиком Италии Рафаэлем Бомбелли советником парламента, а затем  советником короля Франции Генриха III, после его смерти и Генриха IV. В 1580 году Генрих III назначает Виета на пост рекетмейстера, это даёт право контролировать выполнение распоряжений в стране и приостанавливать приказы крупных феодалов.  В мемуарах  некоторых придворных Франции есть указание, что Виет был женат, что у него была  дочь, единственная наследница имения, по которому Виет звался сеньор де лаБиготье.  В придворных новостях маркиз Летуаль писал: «… 14 февраля 1603 года, господин Виет, рекетмейстер, человек большого ума и рассуждения и один из самых учёных математиков века умер… В Париже, ему более 60-ти лет».

       Преподавая частным образом астрономию, Виет пришёл к мысли составить труд, посвящённый усовершенствованию птолемеевской системы.  Затем они приступил к разработке тригонометрии и приложению её к решению алгебраических уравнений. Раньше почти все действия и знаки записывались словами, не было намёка на те удобные, почти автоматические правила, которыми мы сейчас пользуемся.  Нельзя было записать и, следовательно, изучать в общем виде алгебраические уравнения или выражения. Поэтому надо было доказать, что существуют такие общие действия над всеми числами, которые от этих самых чисел не зависят. Виет и его последователи установили, что не имеет значения, будет ли рассматриваемое число количеством предметов или длиной отрезка.  Главное, что с этими числами можно производить алгебраические действия и в результате снова получить числа того же рода, значит их можно обозначить какими-либо отвлеченными знаками. Виет это сделал, он первый придумал обозначения для известных чисел, так называемые параметры.

      Особенно Виет гордился всем известной теперь теоремой о выражении корней квадратного уравнения через его коэффициенты. Из других открытий Виета следует отметить выражение для синусов и косинусов квадратных  дуг через sin (x) и cos (x). Эти значения тригонометрии Виет с успехом применял как в алгебре при решении алгебраических выражений, так и в геометрии. Через 40 лет после смерти Франсуа Виета его произведения были изданы Ф. Ван Схотеном под общим названием «Опера математика».

      Будучи приближенным к королевскому двору, Виет оказался участником исторических событий.  Громкую славу он получил при Генрихе III во время франко – испанской войны. Испанские инквизиторы изобрели очень сложную тайнопись (шифр), которая всё время изменялась и дополнялась. Благодаря этому шифру воинствующая и сильная в то время Испания могла свободно переписываться с противниками французского короля даже внутри Франции, и эта перепись оставалась неразгаданной. После бесплодных попыток найти ключ к шифру король обратился к Виету. 2 недели Виет дни и ночи просиживал за работой и всё же нашёл ключ к испанскому шифру. После этого неожиданно для испанцев Франция стала выигрывать одно сражение за другим. Испанцы долго недоумевали. Наконец им стало известно, что шифр для французов не секрет, что виновник расшифровки – Виет.  Испанские инквизиторы заявили о том, что простой человек не мог разгадать шифр, объявили Виета в заговоре с нечистыми силами, которые якобы помогали ему. Заочно Виет был приговорен к сожжению на костре. В это время произошла смена королевской власти во Франции. Новый король Генрих IV взял учёного под защиту и не выдал инквизиторам. Однако есть определенная тайна  смерти учёного, вполне возможно, что приговор и был со временем исполнен.

2.2.  Решение квадратных уравнений до открытия формулы.

      На примере квадратного уравнения задолго до деятельности Виета была подмечена связь между корнями квадратного уравнения и его коэффициентами.

Но с чего же всё начиналось?

      В Древнем Вавилоне грамотные люди умели решать довольно сложные уравнения, в том числе и уравнения второй степени.

      Мы попробуем разобрать метод, который был изобретён ранее Виета.

Этот метод геометрической алгебры, который продемонстрировал среднеазиатский математик Мохаммед ал – Хорезми.  

       Задача: квадрат и десять его корней равны 39.  Найти квадрат.

       Решение: Эта задача приводит к уравнению:

1. Строим квадраты с неизвестной стороной , а на их сторонах строим прямоугольники со сторонами .

10+ = 39  из условия, а следовательно площадь большого квадрата равна 64, значит сторона этого квадрата равна 8, а =3 (8-5=3).

        Но видим, что этот метод не годится, так как второго корня мы не можем найти, ведь сторона не может быть отрицательной, а, следовательно, этот метод неэффективный.

       Самым желанным было научиться решать уравнения третьей степени: ведь третья степень, куб – это объёмы, их надо учиться вычислять. Решение самого простого кубического уравнения трудностей не составляет.

      Попытка решить кубические уравнения путём выделения куба двучлена оказалась очень громоздкой. Она позволила решить лишь отдельные виды кубических уравнений.

      И для этого использовались формулы Кордано:    

      Громоздкость формулы очевидна и поэтому математики искали иные пути для решения уравнений.

2.3. Научный вклад Виета в решение уравнений.

      Очень любопытное свойство  корней  квадратного уравнения  обнаружил  французский математик Франсуа Виет. Это свойство назвали теорема Виета.

Чтобы числа x1и x2являлись корнями уравнения    ах2 + bх + с = 0   необходимо и достаточно выполнения равенства     x1 + x2= -b/а   и    x1x2= с/а

      Теорема Виета позволяет судить о знаках и абсолютной величине квадратного уравнения. А именно     х2 + bх + с = 0

1. Если b>0, с>0 то оба корня отрицательны.

2. Если b<0, с>0 то оба корня положительны.

3. Если b>0, с<0 то уравнение имеет корни разных знаков, причём отрицательный корень по абсолютной величине больше положительного.

4. Если b<0, с<0 то уравнение имеет корни разных знаков, причём отрицательный корень по абсолютной величине меньше положительного.

      Формулы, выведенные Виетом для квадратных уравнений, верны и для многочленов высших степеней.

Пусть многочлен:  Р(х) = а0хп + а1хп-1 + ... + ап  имеет n различных корней   х1, х2,.., хn.

В этом случае он имеет разложение на множители вида:

a0хn + а1xт-1 +...+ аn = а0( х –x1)( х - х2).. .(х – хn)

Разделим обе части этого равенства на а0≠0 и раскроем в первой части скобки. Получим равенство:

xn+()хn-1+...+()=хn - (х1+х2+... + хn) хn-1 + ( x1x2 +х2х3 +...+ xn-1xn)xn-2+...+(-1)nx1x2...xn

Но два многочлена тождественно равны в том и только в том случае, когда коэффициенты при одинаковых степенях равны. Отсюда следует, что выполняется равенство

x1 + x2 + ... + xn= -  

x1x2 + x2x3 + ... + xn-1xn =

x1x2 ...xn= (-1)n

Например, для многочленов третей степени   a0х3 + а1x2+ а2х + а3    имеем тождества

x1 + x2 + x3= -

x1x2 + x1x3 + x2x3 =

x1x2x3 = -

         Как и для квадратных уравнений, эту формулу называют формулами Виета. Левые части этих формул являются симметрическими многочленами от корней x1, х2, … , хn данного уравнения, а правые части выражаются через коэффициент многочлена.

     Аналогичные наблюдения можно выполнить и для уравнения более высокой степени. Полезным для решения практических задач часто может оказаться свойство:       a0xn + а1xn-1+ a2xn-2 +... + аn-1х + ап = 0

Если    х1 ,.., хn  -  корни данного уравнения.

        Итак, теорему Виета для общего случая мы можем записать так:

Рn(х) =0, где n > 2        

Записано лишь условие для суммы и произведения корней, этого чаще всего бывает достаточно для решения задач.

Глава III   Практикум для изучения подходов к  решению заданий с применением теоремы Виета

3.1    Применение теоремы Виета к выполнению различного вида заданий

Естественно, что любой школьник, более менее владеющий предметом,  не будет решать уравнение х2-5х+6=0 по формулам. Используя теорему,  обратную теореме Виета, он подберет корни из условия  

Но это простейший пример на использование теоремы Виета. В дальнейшей работе рассмотрим при решении каких,  более сложных алгебраических задач нам может быть полезной эта теорема.

Пример1: при каких значениях т корни уравнения  заключены в промежутке ?

Решение:

1. Пусть   -  корни данного уравнения.  

По условию:

2. Введем вспомогательную функцию:   

Графиком этой функции будет парабола, расположенная ветвями вверх, а так как уравнение имеет корни, значит, парабола либо пересекает ось Ох в двух точках (рис.1) или в одной, то есть имеем касание  (рис.2).

.

                                               рис 1                                                                    рис 2

Из чертежа видно, что    . Относительно параметра имеем:

Но возможен и такой случай!

                                                                            Рис.3

При таком расположении параболы   а  - не удовлетворяют условию.

        В решении могла произойти ошибка, так как мы не учитывали принадлежность вершины параболы заданному отрезку, а значит, корни могли и не попасть в этот промежуток.  Мы решили уравнение, не обращая внимания на дискриминант.

А ведь дискриминант мог быть отрицательным, а значит, уравнение не иметь действительных корней.

Итак, дополним систему требований подмеченными наблюдениями.

                                       (из пред. решения)              

Ответ остался таким же, он верный при условии, хотя не все требования, сопровождающие ход решения, учтены. Это случайное, благоприятное совпадение ответа, однако это не всегда верно. Часто это приводит к ошибкам в ответе.

На этом примере становится понятно, что наблюдение за значениями квадратичной функции на концах заданного промежутка недостаточно, необходимо еще использовать условие существования корней, принадлежности вершины данному промежутку. Эта задача была иллюстративной для того, чтобы перейти к решению квадратных уравнений с параметром, когда наложено условие на корни уравнения и применение указанного метода вместе с теоремой Виета сделает решение достаточно лаконичным и удобным.

Итак: первым этапом решения следует считать составление модели решения, в которой будут учтены все необходимые условия.

Пример 2: при каких значениях параметра а уравнение

имеет два различных отрицательных корня?

Решение:

1. Существование различных корней, значит   D>0.
2. Корни отрицательные: (очень уместно использовать теорему Виета).

 , итак    

Относительно параметра система неравенств выглядит так:

верно при любом а 

           рис.4        

Ответ: при  уравнение имеет два различных отрицательных корня.

Внимание: так как  используем теорему Виета исходное уравнение должно быть приведенным. В данном примере это было. В случае, когда старший коэффициент ≠ 1 или выражен через параметр, то прежде, чем составлять систему требований, следует потребовать выполнения условия, чтобы старший коэффициент не равнялся нулю и поделить не него. Случай, когда старший коэффициент выражен через параметр и  равен 0, смотреть отдельно (это может оказаться частным случаем решения задачи).

Рассмотрим иные ситуации, где целесообразно применение теоремы Виета.

Пример3: при каких значениях параметра а корни уравнения                                   составляют геометрическую прогрессию?

Решение: из условия, что корни составляют геометрическую прогрессию, зададим их так:

1. Так как уравнение кубическое, то воспользуемся обобщенной теоремой Виета, а еще учтем, что здесь геометрическая прогрессия и получаем систему требований:

Отсюда следует, что

Пример 4: указать произведение корней уравнения

         В данном случае целых и рациональных корней уравнение не имеет, поэтому корнями являются иррациональные или комплексные числа, но нахождение этих корней в данном случае затруднительно.

Следовало бы в постановке задания четко указать, что речь идет о произведении всех корней, в том числе и комплексных, так как теорема Виета именно так формулирует условие о произведении корней. В таком случае ответ очевиден: произведение корней равно единице.

Рассмотрим следующий пример.

Пример 5: найдите произведение корней уравнения                                                      

Решение:

    1)     

2.  Введем замену: , тогда

 В уравнении (2) , значит нет действительных корней.

Ответ: 8

Здесь так же уместно поговорить о корректности постановки задания.

Такую постановку задания можно понимать по-разному:

1. Найти произведение всех корней, тогда достаточно отследить произведение свободного члена. В приведенном примере оно равно 120-8=112
2. найти произведение только действительных корней, тогда будет верным приведенный ход решения этого уравнения и в ответе следует взять число 8.

Итак, замечаем, что при такой постановке задания однозначного ответа нет, а значит нужно рассматривать все случаи решения этого уравнения, либо более четко формулировать в задании, произведение каких корней следует указать.

2.  Тренажёр для изучения подходов к решению заданий с применением теоремы Виета

1. Найдите все значения параметра а, при которых уравнение                         имеет два различных корня, а сумма квадратов его корней больше 3.

2. Найдите все значения параметра а, при которых уравнение   имеет два различных корня, а сумма величин, обратных к его корням, не меньше -2.

3. При каких значениях a  корни уравнения  заключены в промежутке ? 

4.  При каких значениях параметра а уравнение

имеет два различных корня?

 5. При каких значениях параметра а уравнение   имеет действительные корни разных знаков? 

6.  При каких значениях параметра а корни уравнения       составляют геометрическую прогрессию?

7.  При каких значениях параметра а корни уравнения       составляют геометрическую прогрессию?

8.  Положительные числа х1, х2, х3, х4образуют в указанном порядке геометрическую прогрессию. При этом х1и х2 – корни уравнения         х3 и х4  – корни уравнения Найдите: a и   b.

9.  Укажите сумму  корней уравнения    .        

10.  Укажите произведение корней уравнения .  

Выводы

1. Проведенный теоретический анализ школьного учебника «Алгебра 8кл.» автор А.Г. Мордкович по теме: «Теорема Виета»  выявил некоторые теоретические аспекты подходов к решению квадратных уравнением с помощью теоремы Виета, изучаемых в школьном курсе;
2. Изученная работа расширяет представления о решении уравнений различных степеней с применением теоремы Виета;
3. Рассмотренные в работе подходы к решению уравнений различных степеней позволяет подтвердить выдвинутую гипотезу;
4. Разработанный практикум для изучения подходов к решению уравнений различных степеней с помощью теоремы Виета , позволяет выработать навык решения таких уравнений и заданий повышенного уровня сложности;
5. Данная работа способствовала развитию у нас умения исследовательской деятельности, активно включила в процесс познания, творческой реализации и создала условия для личностного самоопределения.

Литература

1. Гиндикин С.Г. Рассказы о физиках и математиках. М.: Наука, 1981.
2. Квант. 1976. №9.
3. Никифоровский В.А. В мире уравнений. М.: Наука, 1987.
4. Никифоровский В.А., Фрейман Л.С. Рождение новой математики. М.: Наука, 1976.
5. Шелепова З.В. Франсуа Виет.1992, №1.
6. Никифоровский В.А. Из истории алгебры XVI-XVII вв.- М.: Наука, 1979.
7. Галицкий М.Л., Гольдман А.М., Звавич Л.И., «Сборник задач по алгебре для 8-9 класса » учебное пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики. М.:Просвещение , 2006.
8. Курляндчик Л.,Фомин С. Теорема Виета и вспомогательный многочлен.
9.  Журнал «Квант» №12, 1984, стр. 14-16.