Учебный проект по геометрии "Невыпуклый многогранник: Геометрическая фигура или плод человеческой фантазии?"

Многопрофильный   лицей  № 20

Невыпуклый многогранник.

                                                                                          Научный руководитель:            

                                                                                          Учитель математики          

                                                                                          Захарова С. В.

                                                                                          Выполнил проект:

                                                                               Ученик 11Б класса

                                                                                    Кочергин  Александр

г. Ульяновск, 2012 год

Содержание:

1.Введение………………………………………………………………… 3

2.Из истории многогранников…………………………………………… 4

3.Невыпуклые многогранники:

        А) Выявление признака невыпуклости………………………….4-5

        Б) Определение свойств……………………………………………5

        В) Наблюдения за многогранниками………………………….......5

4.Создание собственного невыпуклого многогранника:

        А) Разработка чертежей…………………………………………….6

        Б) Процесс сборки …………………………………………….….6-8

        В) Интересные факты………………………...……..………….…...8

5.Перспективы проекта …………………………………………………...8

6.Заключение………………………………………………………….…8-9

7.Выводы…………………………………………………………………...9

8.Использованные ресурсы……………………………………………….9

– 2 –

Введение.

        Как нам всем известно, математика – это царица наук. Эта наука окружает нас везде и всюду. В основах математики нуждается каждый из нас. Мне захотелось взглянуть на математику с иной стороны, увидеть в ней что-то большее и более простое, чем науку.

 Геометрия – раздел математики, при изучении школьного курса которой в основном речь идёт о фигурах. При решении задач по геометрии мне больше всего нравится рисовать на листе бумаги пояснительные рисунки, которые наглядно показывают вопрос задачи. К сожалению, на вопрос задачи мне не всегда удаётся ответить. И тогда я решил вернуться к вопросам теории, для того, чтобы поподробнее и интереснее рассмотреть и изучить фигуры и их свойства. В одно и то же время я подошёл к этому делу творчески, чтобы мне стало ещё интересней работать над проектом. Также хотелось создать что-то своими руками для наглядности проделанной работы.

Так как речь будет идти о реально существующих фигурах и предметах, представляющих собой тела, имеющие объём, то мы будем говорить о такой геометрической дисциплине, как стереометрия. В стереометрии объёмные тела принято называть многогранниками. Больше всего меня заинтересовали невыпуклые многогранники, потому что, на мой взгляд, они могут быть различной формы, порой непредсказуемой.

Сочту проект актуальным вследствие того, что о невыпуклых многогранниках не существует столь много информации, по сравнению с другими видами многогранников.

Данная работа несёт в себе некоторую новизну из-за сочетания творческого подхода, научной части проекта и создания реально существующего тела, в виде невыпуклого многогранника.

Целью работы является расширение представления о геометрических фигурах на примере невыпуклых многогранников.

Основные задачи проекта:

1. выявление признака невыпуклости многогранника,
2. определение основных свойств невыпуклых многогранников,
3. нахождение многогранников в повседневной жизни.

У меня возник гипотетический вопрос: возможно ли создать что-то                                 полезное в виде невыпуклого многогранника?

        В ходе работы я задействовал следующие методы выполнения проекта:

           1)   анализ информации из всемирной сети интернет,

2) создание особой модели, наглядно показывающая сущность     проекта.

        Данный проект меня действительно заинтересовал и вовлёк моё внимание в основы геометрии. Надеюсь, на привлечение внимания со стороны общества и помощь в развитии моей мысли.

– 3 –

Из истории многогранников.

        Прежде чем заняться невыпуклыми многогранниками, определим понятие многогранник.

Многогранником называется тело, граница которого является объединением конечного числа многоугольников.

Первые упоминания о многогранниках известны ещё за три тысячи лет до нашей эры в Египте и Вавилоне. Но теория многогранников является и современным разделом математики. Она тесно связана с топологией, теорией графов имеет большое значение как для теоретических исследований по геометрии, так и для практических приложений в других разделах математики, например в алгебре, теории чисел, прикладной математики – линейном программировании, теории оптимального управления.

 Многогранники имеют красивые и необычные формы. Они обладают большой историей, которая связана с именами таких учёных, как Пифагор, Евклид, Архимед.

Невыпуклые многогранники.

Выявление признака невыпуклости.

        По определению невыпуклым многогранником называется фигура, хотя бы одна грань которой лежит по обе стороны плоскости, принадлежащей данной грани. Докажем это утверждение.

Перед вами изображён предположительно невыпуклый многогранник. Рассмотрим прямоугольник EDD1E1. Он является гранью данной фигуры и принадлежит плоскости альфа. Прямые a, b, c и d также принадлежат плоскости альфа. В одно и то же время отрезки ED, DD1, D1E1 и E1E, принадлежащие прямым a, b, c и d составляют прямоугольник EDD1E1.  

– 4 –

Плоскость альфа разделяет данную фигуру на два прямоугольных параллелепипеда: ANEFA1N1E1F1 и NBCDN1B1C1D1, которые оказываются по обе стороны плоскости альфа. В итоге многогранник ANBCDEFA1N1B1C1D1E1F1 оказывается невыпуклым.

Определение свойств.

Многогранники, в т. ч. и невыпуклые, выделяются необычными свойствами, самое яркое из которых формулируется в теореме Эйлера о числе граней, вершин и рёбер выпуклого многогранника: для любого выпуклого многогранника справедливо соотношение Г+В-Р=2, где Г – число граней, В – число вершин, Р – число рёбер данного многогранника.

Ещё одним замечательным свойством данного вида многогранников является способность соединяться с выпуклыми многогранниками в единую фигуру или систему. Это можно наблюдать в механизме сцепки вагонов.

Наблюдения за многогранниками.

Проследи за тем, где и каким образом нас окружают невыпуклые многогранники, я осознал, что они присутствуют почти везде, где бы мы ни пытались вглядеться в предметы и выделить отдельную фигуру. Для примера возьмём наши собственные жилища. С помощью архитектурного мастерства и дизайнерского творчества создаются невиданные ранее по красоте и размерам здания. Некоторые из них находятся в стадии разработки, а иные уже радуют глаз всех тех, кто на эти здания обращает внимание. Многие сооружения могут выглядеть невыпуклыми фигурами.

Многогранником невыпуклого свойства может оказаться и развивающая игрушка для детей. В данном аспекте выражение “игрушка для детей” может быть заменено в виду того, что для развлечения людей более возрастной категории придуман так называемый неокуб – правильный многогранник в виде куба, состоящий из 216-ти металлических шариков, обладающих свойством магнетизма. Из неокуба возможно сконструировать много интересных фигур, обладающих теми же свойствами их макетных аналогов.

 Мебель также может принять форму невыпуклого многогранника. В основном она изготавливается под заказ, по просьбе заказчика. Но дизайнеры, занимающиеся созданием такой мебели, нередко сами создают и воплощают в реальность свои необычные проекты.

Невыпуклые многогранники, преднамеренно или случайно, всё же находятся почти во всех продуктах человеческого разума и фантазии. Природа тоже не остаётся безучастной в этом деле. Формы камней, деревьев, коралловых рифов, животных и иных объектов природы ещё более причудливы, чем, например, те же здания.

– 5 –

Создание собственного невыпуклого многогранника.

        Такое разнообразие применения многогранников заинтересовало меня в создании собственной фигуры. Хотелось сделать её полезной и перспективной. Подоплёку к этому делу мне дало домашнее задание, которое нам задали на одном из уроков геометрии. Оно заключалось в создании многогранника. И я взялся за работу.

Разработка чертежей.

        Первая мысль, пришедшая мне в голову, несла с собой куб. В нём я собирался проделать 3 взаимоперпендикулярных квадратных отверстия посередине каждой из сторон куба. Отверстия не сразу будут переходить в сторону куба, между стороной и отверстием будет находиться углубление. Для наглядности я воспроизвёл на бумаге свою идею.

        Для воплощения задуманной идеи требовалось создание деталей из картона, так как изготовление на станке чего-либо подобного для меня не представлялось возможным. С учётом всех факторов, а именно: места стыков и склеивания всех деталей, сложность создания отверстий, недопущение ошибки в расчётах, разработаны соответствующие эскизы.

Процесс сборки.

        Фигура собрана из 18 запчастей. Их размеры и конструкция созданы мною для удобства в процессе сборки. Деталь (б) наклеивается на деталь (а), а деталь (в) наклеивается на деталь (б). Конструкции, состоящие из деталей (а), (б) и (в) в количестве 1 штука каждая, склеиваются между собой, в количестве 5 штук. Шестая конструкция соединяется, начиная с детали (в) и, завершая деталью (а). Таким образом и производится сборка данного многогранника.

– 6 –

(а)

(б)

(в)

– 7 –

        В конечном счёте получается именно такая фигура:

Интересные факты.

1. Площадь всей поверхности данного невыпуклого многогранника составляет 2112 квадратных сантиметра.

2. При проведении осей симметрии через диагонали куба, а также через центры отверстий, данная фигура может обладать симметрией.

Перспективы проекта.

Из проделанной работы я извлёк плюсы, которые позволят в дальнейшем поработать над проектом.

Уже созданный многогранник может быть взят за основу создания конструктора, если сделать для этого соответствующие фигуры. На мой взгляд, будущий конструктор позволит развить у ребёнка пространственное мышление из-за размеров отдельных фигур и необычности и простоты всей конструкции. За счёт изменения ширины и глубины углублений возможно усложнение процесса игры.

Также, с помощью болтов и отверстий в нужных местах, возможно создание достаточно прочного крепежа между более крупными деталями.

Считаю, что у этой фигуры найдутся и другие способы её применения.

Заключение.

        В нашем мире существует много примеров воплощения креативных,

– 8 –

интересных и полезных идей в жизнь и быт человека. Одним из таких примеров может служить невыпуклый многогранник, в виде которого на сегодняшний день существует немало объектов повседневной жизни.

Данный проект для меня оказался в одно и то же время стартовой площадкой выражения мысли и способом воплощения собственных идей. Работа несёт в себе как теоретическую, так и практическую часть изучения курса геометрии. Результатами проделанной работы я вполне доволен.

Выводы.

1. Задачи проекта выполнены. На все поставленные передо мной вопросы мне тем или иным образом удалось ответить.
2. Цель работы достигнута, так как она была развёрнута в задачах проекта.
3. У данной работы раскрылись перспективы, которые не позволяют остановиться на достигнутом.

Использованные ресурсы.

1. Л. С. Атанасян и др. Геометрия 10-11 классы: учебник. Изд. “Просвещение”, 2007, 256с.

     2) Сайт: http://www.mnogograns.narod.ru/

      3) Сайт: http://ru.wikipedia.org .

– 9 –