Исследовательская работа

          Геометрические преобразования

Геометрическое преобразование плоскости – взаимно -  однозначное отображение этой плоскости на себя. Наиболее важными  геометрическими преобразованиями являются движения, т. е. преобразования, сохраняющие расстояние.                                                                                                                                                                                                                                                                      

Движения связаны с понятием равенства (конгруэнтности) фигур: две фигуры  F и G плоскости α  называются равными, если существует движение этой плоскости, переводящее первую фигуру во вторую. Фактически это определение использовал еще Евклид,  называющий две фигуры равными, если одну из них  можно наложить на другую так, чтобы они совпали всеми своими точками.  

Примерами движений плоскости являются осевая и центральная симметрия, параллельный перенос, поворот.

Пусть а – некоторый вектор плоскости α. Геометрическое преобразование,  переводящее каждую точку А принадлежащую α  в такую точку А', что АА' = α ( рис.1), называется параллельным переносом на вектор а. Параллельный перенос является движением: если точки А и В переходят в А' и В', т.е. АА' = а ВВ' = а, то А'В'=А'А+ АВ+ВВ'= - а + АВ +АВ + а =АВ, и потому |А'В '|= |АВ|.

  Рис. 1                                                                                       Р          Рис. 2

                                                А̕                                    

        В̕           В

                                     С̕                                                                             Q̕    

    А                    В                     М̕                         А                                                      Р̕

С                                                                                                                D

              М                      а                                 К                С

При решении геометрических задач с помощью движении часто применяется свойство сохранения пересечения: при любом движении ƒ пересечения фигур переходит в пересечение их образов, т.е. если Р, Q – произвольные фигуры, то фигура Р Ω Q  переходит в результате  движения ƒ в фигуру ƒ (Р) Ω ƒ (Q). ( Аналогичное свойство справедливо для объединения.)

Задача 1. Окружность, центр которой принадлежит биссектрисе  угла, пересекает его стороны в точках А, В, С и Д.(рис.2). Доказать, что |АВ| = |СД|.

Решение. Обозначим через Р одну из сторон угла, через Q – круг, границей которого является рассматриваемая окружность. При симметрии s  относительно биссектрисы угла луч Р переходит в луч Р, который образует вторую сторону угла, а круг Q переходит в себя: s(Р) = Р̕, s(Q)=Q. Согласно свойству сохранения пересечения фигура Р Ω Q переходит в S(Р)Ω S(Q), т. е. в Р̕ΩQ.

Задача 2. Через точку А, данную внутри угла,  провести прямую, отрезок которой, заключенный между сторонами угла, делится в этой точке пополам.

Решение. Обозначим через z симметрию относительно точки А, а через Р и Q- прямые, на которых лежат стороны угла. (рис. 3). В результате симметрии z прямая Р переходит в параллельную ей прямую Р̕, которая пересекает вторую сторону угла в точке С. Так как С принадлежит Р̕, то точка Д, симметричная С, принадлежит прямой, которая симметрична Р̕, т.е. Д принадлежит Р. Таким образом, точки Д принадлежат Р и С принадлежат Q симметричны относительно А, и потому отрезок СД делится в точке А пополам, т.е. прямая СД- искомая.

Рис.3                                               С        Q

                                                   •А

                                                                                          Р'

                                           Д•

Задача 3. На сторонах АВ ВС треугольника АВС построены вне его квадраты АВМQ и ВСРN. Доказать, что отрезок МN перпендикулярен медиане ВD треугольника АВС и вдвое длиннее этой медианы.

Решение. Попытаемся применить поворот на 90°, т.е. убедиться, что при повороте на 90°вокруг точки в отрезок МN перейдет в отрезок, параллельный ВD  и имеющий в двое большую  длину. При этом повороте вектор МВ переходит в НВ (рис.4), а — ВN в ВС. Следовательно, — МN = МВ+ВN переходит в НВ=ВА, то НВ+ВС=ВА+ВС=2ВD. При повороте на 90° — МN переходит в НС, т.е. в вектор равный 2ВД. Отсюда вытекает, что МN параллелен ВД и [МN]=2[ВD].

Рис.4                                •Н               N

        М

        Р

                              В        

Q

        А        D            С

Французский механик и геометр xıx в. М Шаль сформулировал следующую теорему:  всякое сохраняющее ориентацию движение плоскости является либо параллельным переносом, либо поворотом; всякое меняющее ориентацию движение плоскости является либо осевой, либо скользящей симметрией.

Задача 4. Доказать, что композиция двух осевых симметрий с пересекающимися осями представляет собой поворот.

Решение. Пусть s₁ и s₂ – осевые симметрии, оси которых пересекаются в точке О. Так как оба движения s₁ и s₂ меняют ориентацию, то их композиция s₂∙s₂ является движением, сохраняющим ориентацию. По теореме Шаля, s₂∙s₁ есть либо параллельный перенос, либо поворот. Но так как при каждом движении s₁ , s₂ точка О неподвижна, то при их композиции точка О остается на месте. Следовательно, s₂∙s₁ есть поворот вокруг точки О. Как найти угол поворота понятно из рис. 5: если f угол между прямыми L₁ и L₂ то движение s₂∙s₁, переводящее А в В, представляет собой поворот на угол 2f.

Следующую по важности группу геометрических преобразований плоскости составляют преобразования  подобия. Наиболее простое из них – гомотетия. Гомотетия переводит каждую прямую в параллельную ей прямую, каждую окружность снова переводит в окружность. Гомотетия сохраняет углы, а все длины увеличивает в |k|раз: если при гомотетии точки А и В  переходят в А'В', то |А'В'|= |k|∙|АВ|. Из этого вытекает, что гомотетия сохраняет форму фигур; если, например, k больше одного, то фигура F', в которую переходит фигура F при гомотетии с центром О коэффициентом k, представляет собой увеличенную копию фигуры F, а если 0 k 1- уменьшенную копию.

Рис.5                          

                                        В                                

                                                                          L₂

                 О

                                                          А      

                                                                  L₁

Поскольку при гомотетии все длины изменяются в одинаковые число  раз, отношение длин не меняется. На этом основаны различные способы оценки расстояний; например, зная длину большого пальца и прикинув, сколько раз большой палец вытянутой руки укладывается в видимом образе предмета, можно найти отношение высоты вертикального предмета к расстоянию до него.

Задача 5. Построим квадрат, вписанный в данный сектор.

Решение. Пусть АВСD и А₁В₁С₁D₁(рис.6)- два квадрата, вписанные в угол МОN. При гомотетии с центром О, переводящей точку В и В₁, отрезок АВ переходит в отрезок А₁В₁, а потому квадрат АВСД переходит в квадрат А₁В₁С₁D₁. Из этого вытекает, что вершины С и С₁ лежит на одном луче, исходящем из точки О. Теперь ясно, что, построив какой-нибудь квадрат АВСD, вписанный в угол МОN, и проведя луч ОС, мы сможем найти вершину С' искомого квадрата, а затем достроим квадрат.                

Рис.6                                      В'                           С'

                 В          С

О                              D                 А'                               D'          А

Преобразование f плоскости α называется подобием с коэффициентом k  0, если для любых точек А, В плоскости α расстояние между точками f(А) и f(В) равно k∙ |АВ|. Любое подобие сохраняет углы, а также отношение длин, т.е. сохраняет форму фигур. Однако, в отличие от гомотетии, подобие может переводить прямую L в  прямую L', не параллельную ей.

Задача 6. Стороны треугольника АВС связаны соотношением (b + c). Доказать, что угол А вдвое больше угла С.

Решение. Пусть D – такая точка прямой АВ, что |АД|=b, причем А лежит между В и D(рис.7). Тогда треугольник АСD – равнобедренный и потому угол 1 равен углу 2; кроме того, | ВD|=b+c. При симметрии  относительно биссектрисы угла В точки А и С перейдут в такие точки А' и С', что |ВА'|= |ВА|=с, |ВС̕|= |ВС|=а; кроме того угол 3 равен углу 4. Равенство а²=с(b+с) можно переписать в виде =, т.е. = , откуда следует, что при гомотетии с центром В и коэффициентом k=|ВД|/|ВС| точки D, С переходят в С̕,А̕. Следовательно, DС||С̕А̕ и потому угол 2 равен углу 4, т.е. угол 1 равен углу 2 равен углу 3 равен углу 4. Так как ВАС – внешний угол треугольника АСД, то он равен удвоенному углу С.

Рис.7                                                   В

                                                   с            

                                        А                                   а

                   С'                                                              А'

                                                                  в                           С

D                                                                                              

В заключение рассказа о преобразованиях подобия заметим, что они составляют группу преобразований и потому согласно Эрлангенской программе определяют «свою» геометрию. Инвариантами этой группы являются угол, отношение длин двух отрезков, параллельность двух прямых и т.д. Хотя длина отрезка уже не сохраняется, но в силу сохранения отношения длин в геометрии подобий можно говорить о равнобедренном треугольнике. Теорема о том, что в равнобедренном треугольнике углы при основании равны, сохраняется и в геометрии подобий. Сохраняется также теорема Пифагора.

Существуют факты, которые отличают эти две геометрии. Например, линии L может скользить по себе, если для любых двух точек А, В этой линии найдется преобразование f, которое переводит линию L в себя, а точку А - в В. В геометрии Евклида существует только два типа связанных линий, которые могут скользить по себе: прямые и окружности. А в геометрии подобий существуют линии, отличные от прямых и окружностей, которые могут скользить по себе; это – логарифмические спирали, определяемые в полярных координатах уравнением ρ=ρ₀е.

Задача 9. На сторонах треугольника А₁ А₂ А₃ построены вне его подобные между собой треугольника А₁ В₁ А₂, А₂ В₂ А₃, А₃ В₃ А₁. Доказать, что точка пересечения медиан  треугольника В₁ В₂ В₃ совпадает с точкой пересечения медиан треугольника А₁ А₂ А₃.

Решение.  Обозначим через а₁, а₂, а₃, b₁, b₂, b₃ комплексные числа, изображаемые векторами ОА₁, ОА₂, ОА₃, ОВ₁, ОВ₂,ОВ₃. Тогда а₂-b₁=z(а₁-b₁), а₃-b₂=z(а₂-b₂), а₁-b₃=z(а₃-b₃) где z- комплексное число, модуль которого равен отношению боковых сторон рассматриваемых подобных треугольников, а аргумент равен f (рис.8). Складывая эти равенства, получаем:

(z-1)(b₁+b₂+b₃)=(z-1)(а₁+а₂+а₃).

Так как z≠1, то отсюда следует, что b₁+b₂+b₃=а₁+b₂+b₃. Переходя к векторным обозначениям и деля на 3, получаем 1/3(ОВ₁+ОВ₂+ОВ₃)=1/3(ОА₁+ОА₂+ОА₃), а это и означает, что точки пересечения медиан 𝛥 В₁В₂В₃ и 𝛥 А₁А₂А₃ совпадает. Преобразование 𝜑 евклидовой плоскости называется аффинным, если оно каждую прямую переводят снова в прямую, а параллельные между собой прямые – снова в параллельные. Если на плоскости введена система координат, то аффинное преобразование задается линейными соотношениями, т.е. точка А'(x'; y'), в которую переходит точка А(x; y), определяется формулами

Где аd-dс≠0. Если А, В, С – три точки плоскости, не лежащие на одной прямой, и А', В', С' – три другие точки, также не лежащие на одной прямой, то существует, и притом только одно, аффинное преобразование, переводящее точки А, В, С соответственно в А', В', С'. Отметим, что длины и углы могут изменяться при аффинных преобразованиях. Не сохраняется и отношение длин отрезков. Однако отношение длин двух параллельных отрезков сохраняется при любом аффинном преобразовании. В частности, середина отрезка, параллелограмм переходит в параллелограмм, медиана треугольника в медиану и т.п. Круг при аффинном преобразовании переходит в эллипс, причем из отмеченных выше свойств аффинных преобразований легко следует, что середины параллельных между собой хорд эллипса лежат на одном отрезке, проходящем через центр эллипса (рис.8).

                                         f                            

Все аффинные преобразования плоскости, вместе взятые, образуют группу преобразований, и потому они определяют некоторую геометрию. Она называется аффинной геометрией. Инвариантами этой группы, которые изучаются в аффинной геометрии являются прямолинейное расположение точек, параллельность, отношение длин параллельных отрезков и другие свойства, получаемые из этих.

Задача 10. Доказать, что в произвольной трапеции середины оснований, точка пересечения диагоналей и  точка пересечения продолжений боковых сторон лежат на одной прямой.

Решение. Для равнобочной трапеции это очевидно т.к. равнобочная трапеция симметрична относительно прямой, проходящей через середины оснований. Пусть теперь А̕В̕С̕D̕ – произвольная трапеция и пусть АВСD – равнобочная трапеция с теми же длинами оснований (рис.9). Рассмотрим аффинное преобразование, переводящее точки А, В, С соответственно в А̕, В̕, С̕. При этом преобразовании прямые АD,ВС перейдут в А̕D̕, В̕С̕. Так как |АД|/|ВС|=|А̕D̕|/|В̕С̕|, то точка D перейдет в D̕. Трапеция АВСD перейдет в трапецию А̕В̕С̕D̕. Следовательно, прямолинейное расположение точек М, N, Р, Q сохранится, т.е. в трапеции А̕В̕С̕D̕ точки М̕N̕Р̕Q̕, также лежат на одной прямой.      N                                                                   N

   Рис. 9                                                                                          

                        В                 С           f                                   В                С̕

                А                               D                                  А̕                         D̕                          

                                Q

Задача 11. В треугольнике А̕В̕С̕ вписан эллипс при проведены три отрезка, каждый из которых соединяет вершину и точку касания эллипса с противоположной стороной. Доказать, что эти три отрезка пересекаются в одной точке.

Решение. Пусть f- аффинное преобразование, которое переводит некоторую окружность в рассматриваемый эллипс, и пусть АВС – треугольник, который при этом преобразовании переходит в 𝛥А̕В̕С̕. Так для вписанной окружности рассматриваемое свойство, как нетрудно доказать, справедливо(рис.10), то оно справедливо и для вписанного эллипса.

                В                                                                      А̕

                                              f                                

А                                   С               С̕                                  В̕

Проективные преобразования образуют группу преобразований проективной плоскости. Согласно Эрлангенской программе, эта группа определяет некоторую геометрию – это и есть проективная геометрия. Инвариантами проективных преобразований являются прямолинейное и расположение точек, ангармоническое отношение четырех точек, лежащих на одной прямой, и др.

Если А, В, С,D – четыре точки проективной плоскости, никакие три из которых не лежат на одной прямой, и А̕, В̕, С̕, D̕ – другие четыре точки этой плоскости, из которых также никакие три не лежат на одной прямой, то существует, и притом только одно, проективное преобразование, которое переводит А, В, С, D соответственно в А̕,  В̕, С̕, D̕.

Задача 12. Доказать, что точки М̕, N̕, Р̕, Q̕  лежат на одной прямой.

Решение.  Пусть р – проективное преобразование, переводящее К̕ и L̕ в несобственные точки; мы получим расположение точек. В этом случае точки М, N, Р, Q, очевидно, очевидно лежат на одной прямой. Применяя обратное преобразование р¯¹, мы заключаем  точки М̕, N̕, Р̕, Q̕ лежат на одной прямой.

Пусть задана некоторая точка О плоскости и некоторое положительное число R. Геометрическое преобразование, которое каждую отличную от О точку А плоскости переводит в такую точку А' от луча ОА, что |ОА|·|ОА'|=R², называется инверсией с центром О и радиусом R(рис.11). Название «радиус» инверсия объясняется тем, что каждая точка  окружности  с центром О и радиусом R, очевидно, остается неподвижной при этом преобразовании. Точки, лежащие внутри этой окружности, переходят в точки, лежащие вне ее, и наоборот. На этом основании инверсию часто называют симметрией относительно окружности. Инверсия является круговым преобразованием: каждая прямая и окружность переходит снова в прямую или окружность. Заметим теперь, что точка О не имеет образа при этом преобразовании, но если точка А приближается к О, то соответствующая точка А' неограниченно удаляется от О. На этом основании условились считать, что на плоскости существует одна несобственная точка ∞, и при инверсии с центром О точка О переходит в ∞, а ∞ переходит в О. Плоскость, пополненная точкой ∞, называет круговой  плоскостью. Теперь инверсия становится взаимно-однозначным преобразованием плоскости.

                                             А                        А̕

                                       O                                                              

                                                                 M

 Помимо того что инверсия переходит систему всех прямых и окружностей снова в эту же систему, инверсия обладает еще рядом замечательных свойств, делающих ее важным инструментом при решении ряда геометрических задач. Основным из них является то, что инверсия сохраняет углы.

Инверсия является важнейшим из круговых преобразований: можно доказать, что любое круговое преобразование плоскости является либо инверсией, либо подобием, либо композицией инверсии и подобия. Вместе взятые, круговые преобразования составляют группу преобразований, которая определяет на круговой плоскости своеобразную геометрию («круговую»).

Можно рассматривать также геометрические преобразования трехмерного пространства, плоскости Лобачевского и других геометрических объектов.

Знакомство с геометрическими преобразованиями и умение применять их является важным элементом математической культуры.