Эйлерова характеристика многогранника

Муниципальное образовательное учреждение

«Седельниковская общеобразовательная школа №1»

Седельниковского муниципального района Омской области

Научное общество учащихся «Поиск»

Эйлерова характеристика многогранника

                                                                              Автор работы: Яук

                                                         Наталия Валерьевна

                                      Класс: 10б

                                                                 Школа: Седельниковская

   общеобразовательная школа №1

        Руководитель работы:

                                                                  Дресвянникова Светлана

        Аркадьевна

                         Учитель математики        

Седельниково, 2011

ОГЛАВЛЕНИЕ

Введение …………………………………………………………………………...3

§1. Биография Леонарда Эйлера и его вклад в развитие математики……………………………………….………………………………...4

§2. Формула Эйлера для многогранников. Правильные многогранники…………………………………....……………………….…..….10

§3. Доказательство Коши. Контрпримеры Люилье (полый куб, коронованный куб, картинная рама)………………………………………..……………………20

§4. Практическое применение формулы Эйлера для многогранников………24

Заключение………………………………………………………………………..27

Список используемой литературы………………………………………………28

Введение.

Один молодой человек после прочтения книги Александра Яковлевича Хинчина " Три жемчужины теории чисел" спросил автора этих строк, а имеются ли жемчужины в геометрии. Последовал ответ: несомненно имеются. Прекрасных теорем в геометрии с лихвой бы хватило на великолепное ожерелье. Например, знаменитая теорема Эйлера о соотношении между количеством вершин, ребер и граней в выпуклом многограннике,  которая несомненно является жемчужиной теории многогранников. Это жемчужина, и еще какая!

Эта знаменитая теорема впервые появилась в 1752 году в журнале Петербургской академии наук в работах Леонарда Эйлера " Элементы учения о телах" и " Доказательство некоторых замечательных свойств, которым подчинены тела, ограниченные плоскими гранями".        

Данная теорема встречается и в школьном курсе математики, но раскрыта не так полно, как хотелось бы мне. В своей работе я попытаюсь более подробно изучить вопрос об эйлеровой характеристике многогранника, показать применение данной теоремы на практике. Считаю, что данный вопрос актуален для каждого школьника, увлекающегося математикой и интересующегося теорией многогранников.

В связи с этим, можно определить объект и предмет данной исследовательской  работы.

Объект исследования: теорема Эйлера.

Предмет исследования: решение задач с применением теоремы Эйлера.

Исходя из выше сказанного, я поставила следующие задачи и цель.

Цель: изучить вопрос об эйлеровой характеристике многогранника.

Задачи:

1. Рассмотреть научно-историческую литературу по теме.
2. Разобрать доказательство Коши, рассмотреть контрпримеры Люилье (полый куб, коронованный куб, картинная рама).
3. Самостоятельно решить задачи с применением теоремы Эйлера.

§1. Биография Леонарда Эйлера и его вклад в развитие математики.

Базель (1707-1727)

Леонард Эйлер родился в семье небогатого протестантского священника Пауля Эйлера и Маргареты Брукер в швейцарском городе Базеле на живописном берегу Рейна. В то время Базель являлся центром образования и культуры европейского масштаба. Базельский университет, основанный папой-гуманистом Пием II за два века до появления на свет Леонарда, являлся очагом просвещения. В нем преподавал выдающийся гуманист эпохи Возрождения Эразм Роттердамский, а также многие известные естествоиспытатели того времени. Базель был центром книгопечатания и искусств.

В середине XVIв. в Базель из Голландии переехала семья Бернулли. Этот эмигрировавший в Швейцарию фламандский род дал впоследствии целый ряд выдающихся ученых, преимущественно в области математических наук. В XVIIIв. представителям этого рода было суждено сыграть положительную роль в судьбе гения [2].

Леонарду было около года, когда семья переехала в местечко Рихен, недалеко от Базеля, куда от Леонарда был переведен пастором.

Первоначальное образование Леонард получил от отца. Пастор, хотя и готовил своего сына для духовной карьеры, учил его также и математике. После домашнего обучения Леонард был отправлен в Базель, где помимо гимназии посещал лекции Иоганна Бернулли.

Профессор И. Бернулли очень скоро заметил в молодом человеке необыкновенный талант и стал выделять дополнительное время для индивидуальных занятий с Леонардом. Беседы с Иоганном Бернулли о математике часто проходили в кругу семьи профессора. Леонард познакомился, а затем и подружился с его сыновьями Николаем и Даниилом[6].

Петербургский период (1727-1741)

Приезд молодого сверхталантливого человека в молодую столицу северной страны — это событие не безынтересно нам, современникам непрекращающейся «утечки мозгов» в противоположном направлении.

В 1725 г. императрица Екатерина I, исполняя волю внезапно скончавшегося супруга Петра I, открыла Петербургскую академию и заботилась о ней. Своих ученых в России тогда не было, и расчет строился на приглашении в Академию крупных европейских ученых. Создание благоприятных условий, высокие оклады ученых сыграли свою роль. Вскоре после открытия Академии в Петербурге  работали немало хороших ученых, в частности, ученик Лейбница — Яков Герман, разносторонне образованный Христиан Гольдбах.

Иоганн Бернулли, находясь в почтенном возрасте и занимая кафедру математики в Базельском университете, уклонился от посланного ему приглашения. Однако поддержал поездку своих сыновей в Петербург, Даниила и Николая. Уезжая в Петербург, молодые Бернулли обещали Леонарду написать, если для него найдется подходящее место в России. На следующий год они сообщили, что для Эйлера есть место в Академии. Узнав об этом, талантливый математик немедленно записался студентом-медиком Базельского университета. Прилежно и успешно изучая дисциплины медицинского факультета, Эйлер находил время и для занятий математикой. В 1726 г. внезапно умирает молодой Николай Бернулли и на его место на математическом отделении Академии наук приглашают Эйлера.

Свой 20-й день рождения Леонард  встретил где-то в Германии, на пути в Петербург. По приезде в российскую столицу Эйлер вошел в группу прекрасных ученых-математиков и физиков, какую в то время нигде больше в мире он бы не встретил. Эйлер немедленно активно начал работать над несколькими вопросами прикладной математики.

Едва ли не в день приезда Эйлера в Россию скончалась покровительница Академии Екатерина I. Несколько иностранных академиков начали подумывать о возвращении на родину. В 1730 г. Эйлеру предложили освободившееся место профессора физики, которое он и занял. Это позволило ему стать в возрасте 23 лет петербургским академиком. В 1733 г. он был выбран академиком по математическому отделению вместо уехавшего на родину его друга Даниила Бернулли.

Финансовое положение вследствие этого значительно улучшилось. В 1734 г. он женился на Екатерине Гзель. У них было тринадцать детей, но только пять пережили детский возраст. Леонард Эйлер был замечательным семьянином. Он не только полностью обеспечивал семью материально, не только заботился о карьере своих детей, но и делал все необходимое по уходу за ними. Эйлер писал, что некоторые свои результаты он получил, когда носил на руках младенца, в то время как другие дети возились у его ног[4].

Обладая громадным талантом, Эйлер был необыкновенно трудолюбив. Соединением этих качеств объясняется многочисленность, глубина и  полнота его трудов. Рассказать о научных работах Эйлера, даже только самых выдающихся, в рамках данной работы — задача абсолютно невыполнимая. Назовем лишь основные направления, в развитие которых Эйлер внес вклад: теория чисел; геометрия; математический анализ; дифференциальные уравнения; вариационное исчисление; теория вероятности; механика. Эйлер чувствовал внутреннюю неразрывность этих областей математики. Исследования в теории чисел и геометрии порождали новые задачи в математическом анализе. Математический анализ обеспечивал математическим аппаратом дифференциальные уравнения и специальные функции, которые оказывались существенными в механике. Механика в свою очередь ставила содержательные задачи  перед математикой.

В 1736 г. Эйлер выпускает два тома аналитической механики. Потребность в этой книге была огромная. В 1738 г. появились два тома «Введения в арифметику» на немецком языке. В 1740 г. Эйлер  издал сочинение о приливах и отливах морей.

Удивительно, но у Эйлера нашлось время и силы выпустить в 1739 г. книгу о теории музыки, в которой он рассматривал музыку как «часть математики» и пытался построить «вполне регулярный способ» сочинения «приятных» мелодий. Как отмечал сам Эйлер, работа получилась интересной «для музыкантов, хорошо продвинутых в математике, и для  математиков, хорошо понимающих музыку» [10].

В 1740 г. скончалась императрица Анна Иоанновна. Эйлер к этому времени достиг пика своего положения в Академии. Он имел непререкаемый научный авторитет, получал максимальный оклад. Благодаря природному таланту ладить с  людьми у него были хорошие отношения с влиятельными вельможами. Но подорванное изнурительными трудами здоровье, общая усталость, напряжение из-за политической нестабильности стране — все это ввергло 33-летнего Леонарда Эйлера в состояние депрессии. В это тяжелое для Эйлера время приходит личное приглашение от прусского короля Фридриха II,  переехать на работу в Берлин. Эйлер принимает приглашение. В прошении об отставке он обещает поддерживать отношения с Петербургской академией и вернуться, когда поправится здоровье. В июне 1741 г. Эйлер уезжает в Берлин. С Эйлера берется обещание продолжать сотрудничество с Академией.

В течение 25 лет пребывания в Берлине он опубликовал в «Трудах Петербургской Академии» 109 работ, в том числе две работы, посвященные знаменитой теореме о многогранниках. На получаемые из России деньги он закупал для Академии книги, приборы; подбирал кандидатов на академические должности, писал отзывы на научные работы, причем не только математиков; вел интенсивную переписку с российскими учеными и чиновниками.

Берлинский период (1741-1766)

Совершенно очевидно, что, приглашая крупного ученого, Фридрих II хотел прежде всего оживить в стране научную жизнь, пришедшую в упадок вследствие недавних войн. Предполагалось на основе существующего Берлинского научного общества создать Берлинскую академию. Эйлер был польщен тем, что король предложил ему одну из главных ролей в этом процессе. Берлинская академия наук была образована 1744 г. Эйлер назначается директором ее математического отделения.

Эйлер и в Берлинской академии имел поручений не меньше, чем в Петербургской. Он руководил обсерваторией и ботаническим садом. Просматривал различные финансовые бумаги, руководил изданием разнообразных географических карт и календарей. Король поручал Эйлеру решение различных практических задач, в том числе надзор за работой насосов и труб в королевской резиденции Сан-Суси. И это далеко не полный список его берлинских обязанностей.

В этот период Эйлер опубликовал 380 научных работ, написал книги по вариационному исчислению, по анализу, о вычислении орбит планет, по кораблестроению и навигации, о движении Луны. Подготовил к публикации научно-популярный трехтомник «Письма к немецкой принцессе».

В 1759 г. умирает президент Академии. Эйлер предполагал, что ему поручат пусть и не пост президента, но руководство Академией. Однако король приглашает на это место Даламбера. И хотя Даламбер отклонил предложение короля, после окончания семилетней войны, в которой Россия и Пруссия были противниками, Эйлер решает вернуться в Россию.

Возвращение в Россию навсегда (1766-1783)

Разгневанный Фридрих делал многое, что воспрепятствовать отъезду, например, удерживая одного из сыновей Эйлера в армии. Но Эйлер был непреклонен в своем решении. Правда, немалая заслуга в этом принадлежит Екатерине. Она писала: «Я уверена, что моя Академия возродится из пепла от такого важного приобретения, и заранее поздравляю себя с тем, что возвратила России великого человека». Екатерина удовлетворила практически все условия, которые поставил Эйлер.  Условия были достаточно серьезные и касались в  основном жалования и устройства его сыновей.

Эйлер вернулся в Россию в 1766 г. В Петербург он привез много рукописей, которые не успел опубликовать в Берлине. Он, как и раньше, был пол новых идей, которые нужно было реализовать. Нельзя было терять времени. Он окунулся в работу с тем же рвением, что и прежде. Будучи старшим по возрасту академиком, он имел большое влияние в Академии, но теперь гораздо меньше, чем прежде, тратил времени на «общественные дела» [8].

В 1771 г. дом Эйлера вместе с имуществом был полностью уничтожен пожаром. Эйлер после этой беды и полной потери зрения продолжал работать и как обычно, интенсивно. Блестящие умственные способности и фантастическая работоспособность не покинули его вплоть до последнего дня.

18 сентября 1783 г. Эйлер провел как обычно. Он занимался математикой со своим внуком, производил вычисления, связанные с движением воздушного шара. Затем обсудил со своими учениками Фуссом и Лекселем недавнее открытие планеты Уран. Около 5 часов вечера почувствовал в голове как-то изменения (это был инсульт), прежде чем потерять сознание, произнес: «Я умираю». В 11 часов вечера того же дня гения не стало.

Похоронен Леонард Эйлер был на Смоленском кладбище в Петербурге. Сейчас его останки покоятся в некрополе Александро-Невской лавры. Трое сыновей и их дети остались в России.

Петербургская академия продолжала издавать неопубликованные работы в течение еще 50 лет. Леонард Эйлер был самым плодотворным автором в математике за всю историю[2].

§2. Формула Эйлера для многогранников. Правильные многогранники.

Определение:  Многогранник – это часть пространства, ограниченная совокупностью конечного числа плоских многоугольников соединенных таким образом, что каждая сторона любого многоугольника является стороной ровно одного другого многоугольника (называемого смежным), причем вокруг каждой вершины существует ровно один цикл многоугольников. Эти многоугольники называются гранями, их стороны - ребрами, а вершины - вершинами многогранника.

На рис. 1 представлены несколько известных многогранников.

Простой многогранник - это многогранник без «дыр», так что его поверхность путем деформации может быть переведена в поверхность сферы (рис. 2).

Многогранник называется простым, если:

1) все его грани являются простыми многоугольниками;

2) никакие две его несмежные грани не имеют общих точек (внутренних или граничных), за исключением, быть может, одной общей вершины;

3) две смежные грани имеют только одно общее ребро и не имеют других общих точек. Дело состоит в том, что при конструировании многогранника из тетраэдров для неизменности величины V - Е + F необходимо, чтобы каждый раз, когда тетраэдр приставляется одной гранью, противоположная вершина не совпадала ни с одной из вершин уже построенного многогранника. Однако имеются многогранники, для которых такого совпадения вершин избежать нельзя; одним из таких многогранников является «картинная рама», которая имеет одну сквозную дыру (рис. 3).

Наглядно становится ясным, что простой многогранник можно нужным нам образом составить из тетраэдров (рис.4), когда он не имеет сквозных «дыр», то есть не имеет кольцеобразной формы «бублика». Такие простые многогранники без «дыр» называются многогранниками нулевого рода. Теорема Эйлера допускает тогда более общую форму.

Рисунок 4. Разбиение на тетраэдры

Теорема 1. Для всякого простого многогранника нулевого рода

V- Е + F = 2.

Всякий простой многогранник, не являющийся многогранником нулевого рода, имеет одну или несколько сквозных дыр. Число таких дыр называется родом многогранника. Многогранники рода 0, например, выпуклые многогранники. «Картинная рама» на рисунке 3 и многогранник на рисунке 5 — это простые многогранники рода 1.

Рисунок 5. Простой многогранник рода 1

Простой многогранник рода 1 можно получить из двух простых многогранников рода 0, приставляя друг к другу двумя несмежными гранями и ликвидируя эти грани у полученного нового многогранника.  Простой многогранник рода 2 можно получить из двух многогранников рода 1, приставив их друг к другу таким же образом; например, используя два одинаковых многогранника. Вообще, простой многогранник рода р + 1 можно получить из простого многогранника рода р, приставив к нему двумя несмежными гранями простой многогранник рода 0 (Как?). Если последовательно проследить за нашими примерами построения многогранников рода р и проанализировать изменение величины V - Е + F, то мы получим подтверждение нового результата.

Теорема 2. Для всякого простого многогранника рода р справедливо соотношение

V-E + F = 2-2p.

Подчеркнем, что теоремы 1 и 2, конечно, нельзя считать доказанными нашими рассуждениями, так как не доказано, что любой многогранник рода р может быть получен указанным выше способом из некоторого многогранника рода р - 1. Но не будем на этом останавливаться.

Более того, при таком изложении, например, само соотношение V - Е + F = 2 следовало бы считать определением простого многогранника нулевого рода, так как определения сквозных дыр и доказательства соотношения Эйлера для простых многогранников, не имеющих сквозных дыр, нами не приведено[7].

Правильные многогранники.

Определение: Выпуклый многогранник называется правильным, если его грани являются правильными многогранниками с одним и тем же числом сторон и в каждой вершине многогранника сходится одно и то же число ребер.

Всего существует пять видов правильных выпуклых многогранников. Их гранями являются правильные треугольники, правильные четырёхугольники (квадраты) и правильные пятиугольники.

Докажем, что не существует правильного многогранника, гранями которого являются правильные шестиугольники, семиугольники и, вообще, n – угольники при  n ≥ 6.

В самом деле, угол правильного n - угольника при n ≥ 6 не меньше . С другой стороны, при каждой вершине многогранника должно быть не менее трёх плоских углов. Поэтому если бы существовал правильный многогранник, у которого грани – правильные n -угольники при n ≥ 6, то сумма плоских углов при каждой вершине такого многогранника была бы не меньше чем . Но это невозможно, так как сумма всех плоских углов при каждой вершине выпуклого многогранника меньше .

По этой же причине каждая вершина правильного многогранника может быть вершиной либо трёх, четырёх или пяти равносторонних треугольников, либо квадратов, либо трёх правильных пятиугольников. Других возможностей нет. В соответствии с этим получаем следующие правильные многогранники, их всего 5.

Правильный тетраэдр (рис. 6) составлен из четырёх равносторонних треугольников. Каждая его вершина является вершиной трёх треугольников. Следовательно, сумма плоских углов при каждой вершине равна .

                                   Рисунок 6. Правильный тетраэдр.

Правильный октаэдр (рис. 7) составлен из восьми равносторонних треугольников. Каждая вершина октаэдра является вершиной четырёх треугольников. Следовательно, сумма плоских углов при каждой вершине .

                                      Рисунок 7. Правильный октаэдр.

Правильный икосаэдр (рис. 8)  составлен из двадцати равносторонних треугольников. Каждая вершина икосаэдра является вершиной пяти треугольников. Следовательно, сумма плоских углов при каждой вершине равна . 

Рисунок 8. Правильный икосаэдр.

Куб (гексаэдр) (рис. 9) составлен из шести квадратов. Каждая вершина куба является вершиной трёх квадратов. Следовательно, сумма плоских углов при каждой вершине равна .

Рисунок 9. Куб (гексаэдр).

Правильный додекаэдр (рис. 10) составлен из двенадцати правильных пятиугольников. Каждая вершина додекаэдра является вершиной трёх правильных пятиугольников. Следовательно, сумма плоских углов при каждой вершине равна .

Рисунок 10. Правильный додекаэдр.

Таблица 1. Сводная таблица правильных многогранников.

Названия этих многогранников пришли из Древней Греции, и в них указывается число граней:

«эдра» - грань, «тетра» - 4, «гекса» - 6, «окта» - 8, «икоса» - 20,  «додека» - 12.

Л.Шлефли (1814–1895), швейцарский математик которому принадлежит немало изящных результатов в геометрии и математическом анализе предложил обозначение {p, q}, где:  p — число сторон каждой грани, q — число рёбер, сходящихся в каждой вершине[9].

Символы Шлефли для правильных многогранников приведены в таблице 2.

Таблица 2.

Правильные многогранники в научных фантазиях разных  учёных.

«Правильные многогранники в философской картине мира Платона»

Правильные многогранники иногда называют Платоновыми телами, поскольку они занимают видное место в философской картине мира, разработанной великим мыслителем Древней Греции Платоном (ок. 428 – ок. 348 до н.э.).

Платон считал, что мир строится из четырёх «стихий» - огня, земли, воздуха и воды, а атомы этих «стихий» имеют форму четырёх правильных многогранников. Тетраэдр олицетворял огонь, поскольку его вершина устремлена вверх, как у разгоревшегося пламени; икосаэдр – как самый обтекаемый – воду; куб – самая устойчивая из фигур – землю, а октаэдр – воздух. В наше время эту систему можно сравнить с четырьмя состояниями вещества - твёрдым, жидким, газообразным и пламенным. Пятый многогранник – додекаэдр символизировал весь мир и почитался главнейшим.

Это была одна из первых попыток ввести в науку идею систематизации.

Изучение платоновых тел и связанных с ними фигур продолжается и поныне. И хотя основными мотивами современных исследований служат красота и симметрия, они имеют также и некоторое научное значение, особенно в кристаллографии. Кристаллы поваренной соли, тиоантимонида натрия и хромовых квасцов встречаются в природе в виде куба, тетраэдра и октаэдра соответственно. Икосаэдр и додекаэдр среди кристаллических форм не встречаются, но их можно наблюдать среди форм микроскопических морских организмов, известных под названием радиолярий[1].

«Формула Эйлера».

Работа Эйлера началась с того, что он составил большую таблицу, в которой выписал значения величин V, E, F для конкретных многогранников. Острая наблюдательность позволила ему в этом массиве чисел обнаружить отмеченную закономерность. В 1751 году он дал доказательство этой формулы для выпуклых многогранников.  

Анализируя таблицу № 1, возникает вопрос: «Нет ли закономерности в возрастании чисел в каждом столбце?» По-видимому, нет. Например, в столбце «грани» казалось бы, просматривается закономерность (4 + 2 = 6, 6 + 2 = 8), но затем намеченная закономерность нарушается (8 + 2 ? 12, 12 + 2 ? 20). В столбце «вершины» нет даже стабильного возрастания.

Число вершин то возрастает (от 4 до 8, от 6 до 20), а то и убывает (от 8 до 6, от 20 до 12) . В столбце «рёбра» закономерности тоже не видно (Таблица 3).

                  Таблица 3.

Но можно рассмотреть сумму чисел в двух столбцах, хотя бы в столбцах «грани» и «вершины» (Г + В). Составим новую таблицу своих подсчётов (Таблица 4).

 Таблица 4.

Вот теперь закономерности может не заметить только «слепой». Сформулируем её так: «Сумма числа граней и вершин равна числу рёбер, увеличенному на 2 », т.е. Г + В = Р + 2, или, Г + В – Р = 2

Итак, мы «открыли» формулу, которая была подмечена уже Декартом в    1640 г., а позднее вновь открыта Эйлером (1752), имя которого с тех пор она носит. Формула Эйлера верна для любых выпуклых многогранников[3].

§3. Доказательство Коши. Контрпримеры Люилье (полый куб, коронованный куб, картинная рама).

Долгое время считалось, что эта формула Эйлера справедлива для всех многогранников. О. Коши разделял эту точку зрения и в 1811 г. (ему было тогда 22 года) дал элегантное доказательство формулы Эйлера, которое, правда, годилось только для выпуклых многогранников и некоторого класса невыпуклых.

Идея Коши (немного модифицированная) была основана на следующих великолепных наблюдениях. Во-первых, представим себе, что данный выпуклый многогранник является полым и его поверхность выполнена из эластичной резины. Вырежем одну грань, отложим ее в сторону, а оставшуюся часть (больше не разрезая) растянем на плоскости. Грани и ребра, конечно, деформируются (например, ребра могут стать криволинейными). В полученной так называемой «карте» (сети) величины V, Е не изменились. Для того, чтобы доказать формулу Эйлера для исходного многогранника нужно установить равенство V - Е + F = 1 для этой плоской карты.

Замечание. Можно избавиться от криволинейных границ на карте. Для этого достаточно представить, что все грани, кроме одной, сделаны из картона, а одна — из прозрачного стекла. Если посмотреть внутрь многогранника через стекло так, чтобы была видна вся внутренность многогранника (а этого может не случиться, если многогранник не является выпуклым). То, что мы увидим, можно интерпретировать как плоскую карту, нарисованную на стекле и уже с прямолинейными границами (стереографическая проекция «картонной части»).

Второе соображение Коши состоит в том, что для доказательства нужной формулы в общем случае достаточно доказать ее только для таких карт, все грани (страны) которых являются криволинейными треугольниками. Это следует из того, что, выбрав по одной точке внутри каждой грани и соединив ее кривыми линиями с вершинами соответствующей грани, мы получим новую карту, состоящую только из криволинейных треугольников, для которой величина V — Е + F точно такая же, как и у исходной карты. В самом деле, если некоторая грань не треугольная и имеет вершин, то, разбив ее указанным способом на криволинейные треугольники, мы к исходной карте добавим новых ребер и новых граней. От этого величина V - Е + F не изменится.

Последнее соображение таково. В новой карте, состоящей из криволинейных треугольников, к ее границе примыкают два вида треугольников. Треугольники первого вида имеют ровно одну сторону на границе карты, треугольники второго вида — две. Рассмотрим один из таких граничных треугольников и удалим из него те стороны, которые лежат на границе. Для первого вида треугольников мы удаляем из карты одно ребро и одну грань (оставляя его вершины и две стороны); у треугольников второго вида мы удаляем из карты одну вершину, две стороны и одну грань. При таких удалениях граничных треугольников величина V - Е + F не изменяется. Последовательно удаляем треугольники до тех пор, пока не останется ровно один треугольник. Для образуемой этим треугольником простейшей карты имеем;

F - E + F = 3 - 3 + 1 = 1.

Это и завершает доказательство формулы Эйлера для выпуклых многогранников[9].

Контрпримеры Люилье.

Первые реакции на доказательство Коши были восторженными и вселяли уверенность в то, что формула Эйлера верна для любого многогранника. Однако швейцарский математик Симон Люилье уже через год после работы Коши заметил, что многогранник, который получается из большого куба удалением маленького куба («полый куб»), нельзя растянуть на плоскость и при удалении любой внутренней или внешней его грани (рис. 11). Тем самым, уже первый шаг в доказательстве Коши не является верным.

           Рисунок 11. "Полый куб".

Как отмечал Люилье, свое открытие он сделал, рассматривая минералогическую коллекцию своего друга, в которой заметил двойной кристалл, где внутренний кристалл был непрозрачным, а внешний пропускал свет (например, это мог быть кубик сернистого свинца внутри кристалла полевого шпата). Для «полого куба» имеем: V = 16, Е = 24, F = 12 и V - Е + F — 4! Другой пример Люилье представляет собой «коронованный куб», показанный на рисунке 13, для которого V - Е + F = 16 - 24 + 11 = 3!

      Рисунок 12. "Коронованный куб".

Наконец, им же предложен пример многогранника в виде картинной рамы, для которого V - Е + F — О (рис. 13).

         Рисунок 13."Картинная рама".

Немецким математиком Ф. Гесселем через двадцать лет после Люилье вновь были открыты примеры «полых» и «коронованных кубов» (и, что любопытно, также при осмотре коллекций минералов!) и даны новые примеры тетраэдров-близнецов, показанные на рисунке 14, которых Люилье не заметил. Как легко проверить, в обоих случаях V - Е + F = 3.

    Рисунок 14. Тетраэдры-близнецы.

Итак, формула Эйлера справедлива далеко не для любых многогранников[3]!

§4. Практическое применение формулы Эйлера для многогранников.

Рассмотрим некоторые задачи, иллюстрирующие применение формулы Эйлера[8].

Задача 1. Гранями выпуклого многограпника являются только треугольники. Сколько у пего вершин и граней, если он имеет 12 ребер? Нарисуйте такой многогранник.

Решение. Пусть у данного многогранника будет В вершин, Р ребер и Г граней. Тогда ЗГ = 2Р, где Р = 12, значит, Г = 8. Применяем теорему Эйлера, из которой следует, что В = 2 + Р-Г. В пашем случае В = 2 + 12-8 = 6. Итак, В = 6, Р = 12, Г = 8. Примером такого многогранника является октаэдр (рис. 15).

        Рисунок 15. Октаэдр.

Задача 2. Из каждой вершины выпуклого многогранника выходит три ребра. Сколько он имеет вершин и граней, если число ребер равно 12? Нарисуйте такой многогранник.

Решение. ЗВ = 2Р, учитывая, что Р = 12, имеем: В = 8. По теореме Эйлера

Г = 2 - В + Р, Г = 2- 8 + 12 = 6.

Таким образом, у данного выпуклого многогранника В = 8,Р = 12иГ = 6. Примером такого многогранника является куб (рис. 16).

     Рисунок 16. Куб.

Задача 3. Докажите, что в любом выпуклом многограннике число треугольных граней плюс число трехгранных углов больше или равно восьми.

Решение. Обозначим через  число граней с п ребрами. Тогда Г =  +  +  +   + … .  Каждая треугольная грань имеет три ребра, и число треугольных граней равно . Поэтому общее число ребер в треугольных гранях равно ЗГ3. Аналогично, общее число ребер в четырехугольных гранях равно 4 и т.д.

Поскольку каждое ребро многогранника содержится ровно в двух гранях, то при таком подсчете ребер мы каждое ребро посчитаем дважды, следовательно, будет иметь место равенство

2Р = 3 + 4 +5  + 6  + … .

Аналогичным образом обозначим через число вершин, в которых сходится п ребер.

Тогда  В =  +  +  +  + … .

Значит, для числа ребер (Р) будет иметь место равенство

2Р = 3 + 4 +5  + 6 + … .

Воспользуемся равенством 4В - 4Р + 4Г = 8, получающимся умножением обеих частей равенства Эйлера на 4.

Имеем

4В = 4В3 + 4В4 + 4В5  + 4В6 + ...

4Г = 4Г3 + 4Г4 + 4Г5 + 4Г6  + ...

4Р = 2Р + 2Р = ЗВ3 + 4В4 + 5В5  +  6В6 + … + ЗГ3 + 4Г4 + 5Г5 + 6Г6 + ... Подставляя эти выражения в указанное равенство, получим:

В3 + Г3  - (В5 + 2В6 + ... + Г5 + 2Г6 + ...)  =  8.

Из этого следует, что В3 + Г3  ≥  8, что и требовалось доказать.

В качестве приложения теоремы Эйлера рассмотрим задачу Эйлера о трех домиках и трех колодцах.

Задача 4. Три соседа имеют три общих колодца. Можно ли провести непересекающиеся дорожки от каждого дома к каждому колодцу?

Решение. Попробуем провести требуемые дорожки. На рисунке 17 показано расположение дорожек, две из которых пересекаются. Попытки провести непересекающиеся дорожки к успеху не приводят. Однако это не означает, что этого нельзя сделать. То, что не получается у нас, может получиться у кого-нибудь другого. Если же мы предполагаем, что непересекающиеся дорожки провести нельзя, то это нужно доказать. Доказательство будем вести от противного. Предположим, что это можно сделать. Каждую точку-домик соединим с каждой точкой-колодцем. Получим девять ребер, которые попарно не пересекаются.

Рисунок 17.

Эти ребра образуют па плоскости сетку, аналогичную той, которая была получена при доказательстве теоремы Эйлера. Поэтому для числа вершин, ребер и граней этой сетки должно выполняться соотношение Эйлера В - Р + Г = 1. Добавим к ней еще одну грань — внешнюю часть плоскости по отношению к исходному многоугольнику. Тогда соотношение Эйлера примет вид В - Р + Г = 2, причем В = 6 и Р = 9. Следовательно, Г должно равняться пяти.

Заметим, что поскольку дорожки не соединяют между собой никакие два домика и никакие два колодца, то у рассматриваемой сетки нет треугольных граней. Каждая из пяти граней имеет по крайней мере четыре ребра. Так как каждое ребро лежит ровно в двух гранях, то количество ребер должно быть не меньше  = 10, что противоречит тому, что их число равно 9. Полученное противоречие показывает, что ответ в задаче отрицателен — нельзя провести непересекающиеся дорожки от каждого домика к каждому колодцу.

Заключение.

Леонард Эйлер внёс огромный вклад в развитие математики. Его именем названо огромное количество математических объектов: постоянная Эйлера, уравнения Эйлера, числа Эйлера, подстановки Эйлера, эйлерова характеристика многогранника и многое другое.

В своей работе я затронула вопрос об эйлеровой характеристике многогранника, выраженной числом В + Г – Р (где В – количество вершин, Г – количество граней, Р – количество рёбер многогранника).Для выпуклых многогранников имеет место соотношение В + Г – Р = 2. Эйлерову характеристику 2 имеют правильные многогранники, которых существует только 5: тетраэдр, октаэдр, куб (гексаэдр), икосаэдр, додекаэдр. Эйлер пришёл к этому соотношению, рассматривая разные многогранники. Однако для невыпуклых многогранников эта формула неверна, число В + Г – Р может быть равно 0 или даже быть отрицательным. Это зависит от количества «дыр» в многограннике: например для «полого куба», в котором проделана сквозная дыра в форме параллелепипеда, В + Г – Р = 0. Доказательством справедливости формулы Эйлера только для выпуклых многогранников занимался О. Коши. Симон Люилье привёл также свои  примеры многогранников, для которых Эйлерова характеристика не была равна 2 («полый куб» - 4, «Коронованный куб» -3, «Картинная рама» - 0).

Решение задач в работе показывает возможности применения формулы Эйлера.

Исходя из выше сказанного, можно сделать вывод о том, что цель моей научно-исследовательской работы достигнута: рассмотрен вопрос об эйлеровой характеристике многогранника и её практическое применение при решении задач.

 В перспективе я планирую продолжить изучение знаменитой теоремы Эйлера, а также рассмотреть вопрос о самосовмещениях многогранников.

Список используемой литературы.

1. Веннинджер Магнус. Модели многогранников. — Москва: Мир, 1974.
2. Гиндикин, С.Г. Рассказы о физиках и математиках. – МЦНМО, 2001.
3. Гончар, В.В. Модели многогранников. — Ростов-на-Дону: Феникс, 2010.
4. Делоне, Б.Н. Леонард Эйлер // Квант, 1975, №2.
5. Долбилин, Н.П. Жемчужины теории многогранников. – М.: МЦНМО, 2000.
6. Котек, В.В. Леонард Эйлер // М.: Учпедгиз, 1961.
7. Кушнир, И. О двух формулах Эйлера // Квант, 1992, №12.
8. Полякова, Т.С. Леонард Эйлер и математическое образование в России. – М.: КомКнига, 2007.
9. Смирнова, И.М. В мире многогранников. М., 1990.
10.  Яковлев, А.Я. Леонард Эйлер. – М.: Просвещение, 1983.

Рисунок 1. Многогранники: а) тетраэдр, или пирамида с треугольными гранями; б) пирамида с треугольными гранями и квадратным основанием; в)треугольная призма; г)  пятиугольная призма; д) р-угольная антипризма;

е) исключенный тип многогранника с пересекающимися гранями.

Рисунок 3. Непростой многогранник «Картинная рама»

Рисунок 2.

Простой многогранник