"Математика за чайным столом"

«Математика за чайным столом»

Беляева Кристина Владимировна

Российская Федерация

Министерство образования

ЯМАЛО-НЕНЕЦКИЙ АВТОНОМНЫЙ ОКРУГ

Муниципальное образование  Ямальский район

п. Мыс Каменный

Муниципальная общеобразовательная школа-интернат

«Мыскаменская школа-интернат среднего (полного) общего образования»

10 класс

Содержание

1. Введение........................................................................................................................................2
2. Основная часть............................................................................................................................5

2.Понятие объёма..........................................................................................................................5

3.Виды пространственных тел, имеющих объёмы.....................................................................5

3.1 Многогранники.......................................................................................................................5

3.2 Тела вращения.........................................................................................................................6

4.Способы вычисления объёмов..................................................................................................8

4.1 Физический способ.................................................................................................................8

4.2 Геометрический способ...........................................................................................................9

3. Алгебраический способ..........................................................................................................9

5.  Заключение.................................................................................................................................11

6. Список литературы..................................................................................................................12
7. Приложения..................................................................................................................................I

«Математика за чайным столом»

Беляева Кристина Владимировна

Российская Федерация

Министерство образования

ЯМАЛО-НЕНЕЦКИЙ АВТОНОМНЫЙ ОКРУГ

Муниципальное образование  Ямальский район

п. Мыс Каменный

Муниципальная общеобразовательная школа-интернат

«Мыскаменская школа-интернат среднего (полного) общего образования»

10 класс

1.Введение

С первых лет жизни и до окончания обучения в школе всем нам приходится изучать геометрию. И постоянно мы сталкиваемся с объемными геометрическими фигурами. В раннем детстве мы знакомимся с ними как с мячами, кубиками с буквами, игрушками-пирамидками. В детском саду эти же предметы мы видим уже на рисунках, например, при изучении алфавита: Ш – это "шарик", К – это "кольцо". В школе нас знакомят уже с правильными названиями этих предметов как геометрических фигур: шар, куб, пирамида, и т. д. Учимся вычислять площади, объемы этих фигур. Изучая раздел стереометрии, более подробно рассматриваем свойства пространственных фигур, выводим формулы для вычисления площади поверхности и объёмов.

        Задумаемся над таким вопросом: как давно появились формулы для нахождения объёма и кто первым открыл их?

        Оказывается, они были известны много веков назад, ещё до нашей эры. В те давние времена шло постепенное накопление геометрических фактов и формул, используемых в практической деятельности людей. Одной из задач геометрии была задача определения объёмов строящихся сооружений: храмов, домов, амбаров и т.д. Если сооружение имело форму параллелепипеда, призмы или цилиндра, то его объём вычислялся путём умножения площади основания на высоту. Таким образом, простейшими формулами объёмов тел люди пользовались с незапамятных времён.

        В период становления геометрии как науки, благодаря трудам древнегреческих учёных Демокрита, Евдокса Книдского и Архимеда были открыты и обоснованы формулы для вычисления объёмов пирамиды, конуса, шара и других тел.

        Демокрит из Абдеры ещё в V в. до н. э. установил, что объем пирамиды равен одной трети объёма призмы, а объём конуса – одной трети объёма цилиндра с теми же основаниями и высотой. Однако, по мнению Архимеда, Демокрит не дал строгого доказательства этих формул, а первым, кто нашёл доказательства, был Евдокс Книдский. Его доказательства основывались на созданном им методе исчерпывания. Суть метода состоит в том, что тело, объём которого нужно найти, заполняется более простыми телами, объёмы которых известны. Эти более простые тела последовательно занимают всё большую и большую часть тела и, в конце концов, полностью заполняют его.

        Архимед (III в. до н. э.) развил идеи Евдокса и разработал метод, содержащий зачатки интегрального исчисления. С помощью этого метода он вывел формулы объёмов ряда тел. Плутарх писал, что во всей геометрии нельзя было найти более трудных и глубокомысленных задач, которые были бы решены так просто и ясно, как те, которыми занимался Архимед. Величайшим достижением Архимеда является открытие формул объёма шара и площади сферы. Доказательство этих формул, использующее правило механики, содержится в его трактате «О шаре и цилиндре».

        С тех пор прошло три с половиной тысячелетия, на протяжении которых способы вычисления объёмов непрерывно совершенствовались. Правда, математические и практические приёмы измерения объёмов частенько расходились.

        Причиной такого расхождения явились разные подходы к понятию объёма. Математики ставили своей задачей выразить объём тела через его линейные размеры, а торговцы удовлетворялись мерами, полученными из массы продукта. Любопытно, что в основу меры массы (а следовательно, и объёма) у многих народов: индусов, египтян, итальянцев, англичан и других, - была положена масса ячменного или пшеничного зерна. Следующей единицей массы был фунт.

        Наиболее показательными являются английские меры. В 1266 году английский король Генрих III своим указом определил, что «с согласи всего английского государства, английской пенни, называемый стерлингом (самая мелкая монета), круглый и без обрезки, должен весить столько же, сколько 32 пшеничных зерна, взятых в середине колоса, 20 пенни должны составлять унцию, 12 унций – фунт». Нетрудно подсчитать, что здесь фунту соответствовало 7680 зёрен. Мастера, изготовлявшие эту монету, были приглашены работать в Англию. Они и стали называть свои монеты стерлингами.

        В Англии ещё долго не существовало никакого соотношения между мерами длины и ёмкости. Лишь в 1701 году Вильгельм III Оранский издал указ, по которому бушель (сосуд для измерения объёма) должен быть круглым, с плоским дном, ширина его должна быть повсюду 18,5 дюймов, а глубина – 8 дюймов.

В России применялись свои меры объёма:

 ведро – 12 дм3;

 бочка – 490 дм3;

штоф – 1,23 дм3 = 10 чарок;

чарка – 0,123 дм3=0,1 штофа = 2 шкалика;

шкалик – 0,06 дм3 = 0,5 чарки.  

При проведении опроса среди учащихся 8, 9 и 10 классов, большинство из них показали знания единиц измерения объёмов (см3, мм3, литры), причём лучшие знания показали ученики 10 класса (99%). (Приложение 1)

 Задача Кеплера

Если бы бочки умели говорить, то, несомненно, многие из них с удовольствием рассказали бы поучительную историю о великих заслугах бочек в создании... высшей математики! История эта такова.

        В ноябре 1613 г. королевский математик и астролог австрийского двора И.Кеплер праздновал свадьбу. Готовясь к ней, он приобрёл несколько бочек виноградного вина. При покупке Кеплер был поражён тем, что продавец определял вместимость бочки, производя одно-единственное действие – измеряя расстояние от наливного отверстия до самой дальней то него точки днища. Ведь такое измерение совсем не учитывало форму бочки! Кеплер сразу увидел, что перед ним интереснейшая математическая задача – по нескольким измерением вычислить вместимость бочки. Размышляя над этой задачей, он нашел формулы не только для объёма бочек, но и для объёма  самых различных тел: лимона, яблока, айвы и даже турецкой чалмы. Для каждого из тел Кеплеру приходилось создавать новые, зачастую очень хитроумные методы.

        В наши дни вычислять объёмы различных тел необходимо при решении многих технических задач: при нахождении объёма корпуса корабля, объёма газгольдера, объёма водохранилища... И решать такие задачи приходится почти каждому инженеру, каждому технику. В этом и заключается актуальность данной работы. Простые  и общие методы решения подобных задач даются высшей математикой.

Таким образом, цель нашей работы собрать и изучить материал о математическом понятии – объём – и изучить способы вычисления объёмов  тел.

Для этого мы поставили перед собой следующие задачи:

1. Определить, какие геометрические тела имеют объём
2. Изучить способы вычисления объёмов геометрических тел
3. Рассмотреть вопрос о вычисление объёма нестандартных геометрических тел
4. С помощью опроса показать практическую направленность исследовательской работы

При решение поставленных задач, мной были использованы следующие методы:    

1. Поисковый (поиск материала и работа с ним).
2. Опрос (тестирование учащихся школы).
3. Анализ (обработка полученных данных при тестировании).
4. Обобщение (обобщён изученный материал и сделаны выводы).

2.Понятие объёма

Тело можно назвать простым, если его можно разбить на конечное число тетраэдров (треугольные пирамиды). Примером любого простого тела является любой выпуклый многогранник. Дадим определение объёма простых тел.

Объём простого тела – это положительная величина, численное значение которой обладает следующими свойствами:

1. Равные тела имеют равные объёмы.
2. Если тело разбито на части, являющиеся простыми телами, то объём этого тела равен сумме объёмов его частей.
3. Объём куба, ребро которого равно единице длины, равен единице.

Среди учащихся 9, 10 классов только один человек (из 9 класса) не знает у каких тел можно вычислить объём. (Приложение 2)

3.Виды пространственных тел, имеющих объёмы

        Пространственные тела можно разделить на две группы: многогранники и тела вращения. Предложив ученикам разделить представленные тела на две группы, с поставленной задачей лучше всего справился 10 класс (99%) и 9 класс (82%), а хуже – 8 класс (79%). (Приложение 3)

3.1 Многогранники

Поверхность, составленную из многоугольников и ограничивающую некоторое геометрическое тело, называется многогранной поверхностью или многогранником (рис.4). Многоугольники, из которых составлен многогранник, называются его гранями (при этом предполагается, что никакие две соседние грани многогранника не лежат в одной плоскости). Стороны граней называются ребрами, а концы ребер – вершинами многогранника. Отрезок, соединяющий две вершины, не принадлежащие одной грани, называется диагональю многогранника. Многогранники бывают выпуклые и невыпуклые.

Призма (Приложение 4). Латинская форма греческого слова «присма» - опиленная (имелось в виду опиленное бревно). Призмой называется многогранник, у которого две грани – равные многоугольники с соответственно параллельными сторонами, а все остальные грани – параллелограммы.

Призма называется прямой или наклонной, смотря по тому, будут ли её боковые рёбра перпендикулярны или наклонны к основаниям. У прямой призмы боковые грани суть прямоугольники. За высоту такой призмы можно принимать боковое ребро.

Прямая призма называется правильной, если её основания – правильные многоугольники. У такой призмы все боковые грани суть равные прямоугольники. Призмы бывают треугольные, четырёхугольные и т.д., смотря по тому, лежит ли в основании треугольник, четырёхугольник и т.д.

        Пирамида (Приложение 5). Латинская форма греческого слова «пюрамис», которым греки называли египетские пирамиды. Пирамидой называется многогранник, у которого одна грань, называемая основанием, есть какой-нибудь многоугольник, а все остальные грани, называемые боковыми, - треугольники, имеющие общую вершину.

        Пирамиды бывают треугольные, четырехугольные и т.д., смотря по тому, лежит ли в основании треугольник, четырёхугольник.

        Пирамида называется правильной, если, во-первых, её основание есть правильный многоугольник и, во-вторых, высота проходит через центр этого многоугольника.

        Усеченная пирамида (Приложение 6). Отрезок пирамиды, заключённый между основанием и секущей плоскостью, параллельный основанию, называется усечённой пирамидой. Такая пирамида называется правильной, если она составляет отрезок правильной пирамиды.

        3.2 Тела вращения.

К телам вращения относятся цилиндр, конус, шар, тор, так как:

1. Цилиндр можно получить, вращая прямоугольник вокруг одной из его сторон или оси симметрии.
2. Конус можно получить: (1) вращая прямоугольный треугольник вокруг одного из катетов; (2) вращая равнобедренный треугольник относительно высоты.
3. Шар получается вращением полукруга, относительно диаметра.
4. Тор можно получить при вращении окружности вокруг не пересекающей её прямой, лежащей в плоскости окружности.

Цилиндр (Приложение 7). Происходит от латинского слова «цилиндрус», являющегося латинской формой греческого слова «кюлиндрос», означающего «валик», «каток». Так называется тело, ограниченное цилиндрической поверхностью и двумя параллельными плоскостями. Цилиндр называется прямым или наклонным, смотря по тому, перпендикулярны или наклонны к основаниям его образующие. Прямой цилиндр можно рассматривать как тело, происходящее от вращения прямоугольника вокруг стороны, как оси. 

        Конус (Приложение 8). Латинская форма греческого слова «конос», означающего сосновую шишку. Так называется тело, ограниченное конической поверхностью и плоскостью, пересекающей все образующие по одну сторону от вершины. Конус называется прямым круговым, если его основание есть круг, а высота проходит через центр основания.

Усечённый конус (Приложение 9). Так называется часть полного конуса, заключённая между основанием и секущей плоскостью, параллельной основанию. Усечённый конус можно рассматривать как тело, происходящее от вращения прямоугольной трапеции вокруг стороны, перпендикулярной к основаниям трапеции.

Шар (Приложение 10). Шаром называется тело, которое состоит из всех точек пространства, находящихся на расстоянии, не больше данного, от данной точки.

Тор (Приложение 11). Тор образуется при вращении окружности вокруг не пересекающей её прямой, лежащей в плоскости окружности. Если «заполнить» тор, то получится тело вращения, называемое полноторием.

При проведении опроса для учащихся школы, были показаны модели пространственных фигур и предложено указать, какой предмет (продукт) похож на данные фигуры?

С помощью статистики мной было выявлено следующее:

1. Призму определили все учащиеся, но лучший результат в 5 и 10 классах, а худший – в 1 классе. Их варианты сопоставления: пачка сока, пачка масла, хлеб, сахар и т.д.
2. Цилиндр  - в 10 классе (94%) и в 8 классе (100%). По их мнению,  на цилиндр похожи: стакан, банка, торт, кусок колбасы, конфеты батончик, скалка и т.д.
3. Конус. С поставленной задачей справились все ученики 5 и 9 классов (100%). Варианты ответов: конфета-трюфель, чайник, морковь, вафельный рожок.
4. Усечённый конус смогли сопоставить с предметом (продуктом)  учащиеся всех классов. Но первоклассники не смогли привести примеры. Варианты: стакан, мороженое, конфета, солонка.
5. Пирамида. Эту фигуру в 5 и 9 классах определило больше учащихся, чем в остальных классах. Предложенные ответы: конфета, чайный пакетик,  пакет кефира и молока  в СССР, чайник.
6. Усечённая пирамида. Лучшие результаты в 4 классе (94%). По их мнению, на усечённую пирамиду похожа пасха, тёрка. Меньше всего привели примеров ученики 1 класса.
7. Шар. Так же плохо справились с этим заданием  ученики 1 класса,  лучше – 4,5,8 классы. Примеры: конфета «Рафаэлло», апельсин, ягода, горох, желток яйца.
8. Тор. Были приведены следующие примеры: бублик, пончик. И некоторые указали почему-то спасательный круг, шину.

4.Способы вычисления объёмов

Объём пространственных тел можно вычислить несколькими способами. Рассмотрим их.

4.1 Физический способ

         Уже при жизни Архимеда вокруг его имени создавались легенды, поводом для которых служили его поразительные изобретения, производившие ошеломительное действие на современников. Известен рассказ о том, как Архимед сумел определить, сделана  ли корона царя Гиерона из чистого золота  или ювелир подмешал туда значительное количество серебра. Удельный вес золото был известен, но трудность состояла в том, чтобы точно определить объем короны: ведь она имела неправильную форму! Архимед все время размышлял над этой задачей. Как-то он принимал ванну, и тут ему в голову пришла блестящая идея: погружая корону в воду, можно определить её объем, измерив объем вытесненной воды. Согласно легенде, Архимед выскочил голый на улицу с криком «Эврика!», т.е. «Нашёл!». И действительно, в этот момент был открыт основной закон гидростатики.

        Например, чтобы найти объём оловянного солдатика, нужно опустить его в мензурку с водой и посмотреть, на сколько делений поднимается уровень воды. Разность чисел, соответствующих этим делениям, и даст нам объём оловянного солдатика.

        Таким же образом можно измерить объём крокодила. Для этого для начала нужно нанести на стенки бассейна, аналогичные тем, что нанесены на стенке мензурки, а затем посмотреть, на сколько делений поднимается вода в бассейне, если опустить в него крокодила.

        Описанные способы определения объёмов не всегда удобны, а то и вовсе не применимы. Если мы хотим, например, найти объём железнодорожной цистерны, то, заполняя её водой, подсчитывать при этом количество литров воды – занятие довольно утомительное. А для крупных сооружений, как большое здание или пирамида Хеопса, способ погружения в воду применить вовсе невозможно. Более того, на практике обычно ещё до начала строительства какого-то сооружения, например той же железнодорожной цистерны, нужно знать, какие она должна иметь размеры, чтобы получился желаемый объём.        

4.2Геометрический способ

Иногда важно уметь вычислять объёмы тел, зная какие-то их размеры. При решении задач на нахождение объёма можно использовать выведенные формулы, позволяющие вычислять объём через другие известные или легко находимые величины.                    

При опросе учащиеся 8-10 классов смогли написать только формулу объёма упрощенной призмы – куба. Из этого можно сделать следующий вывод: знания в этой области недостаточны. (Приложение 12)

4.3 Алгебраический способ

Рассмотрим способ вычисления объёмов тел, основанный на понятии интеграла, которое известно из курса алгебры и начала анализа.

        Чтобы получить представление об этом  способе, попробуем найти объём подданного к столу лимона. Ни на одно из тел – шар, цилиндр, конус – лимон не похож. Однако хозяйка тут же приходит нам на помощь: она разрезает лимон на тонкие ломтики. Ровно обрезав край каждого ломтика, можно превратить его в низенький цилиндр, объём которого легко высчитать. Прикладывая друг к другу эти цилиндры, мы получаем ступенчатое тело. Его объём равен сумме объёмов цилиндров. Если ломтики очень тонки, то объём ступенчатого тела мало отличается от объёма лимона.

        Для нахождения объёма любого тела вращения пригоден приём, применяемый нами для вычисления объёма тела. Пусть фигура ABCD вращается вокруг стороны АВ. Разрежем получающееся тело вращения на тонкие ломтики и каждый ломтик заменим цилиндром. Тогда легко сможем найти объём получающегося ступенчатого тела. Для этого надо знать, как меняется площадь сечения с высотой. Пусть площадь сечения, проведённого на высоте h, равна S(h). Предположим, кроме того, что тело разрезано на n ломтиков сечениями, проведёнными на высотах , , …, над плоскостью нижнего основания. Площадь сечения на высоте  равна S(). Поэтому объём цилиндра, который мы заменяем k-й ломтик, будет равен S()( - ). Складывая объёмы цилиндров, получим объёмы всего ступенчатого тела:        

        Чем тоньше будут ломтики, тем ближе объём ступенчатого тела к объёму тела вращения.

Такая сумма называется интегральной суммой и обозначается  

Итак, объём тела равен:

       (1)

Ещё раз подчеркнём, что в этой формуле S(x) – площадь сечения тела плоскостью, проходящей через точку х оси Ox перпендикулярно к этой оси.

        С помощью этой формулы можно вывести формулы объёмов многих других известных нам тел, в том числе пирамиды, конуса, шара. Рассмотрим один из примеров.

        Обратимся к рисунку, на котором изображён конус с радиусом основания r, высотой  h, и вершиной в точке О. Примем точку О за начало координат, а ось Ох направим так, как показано на рисунке (ОМ – ось конуса). Сечение конуса плоскостью, перпендикулярной к оси Ох, представляет собой круг с центром в точке . Радиус этого круга обозначим через , а площадь круга – через S(x). Здесь х – абсцисса точки . Из подобия треугольников   и  следует, что   или   . Поэтому

Применяя теперь формулу (1) при а=0, b=h, получаем:

, где - площадь основания конуса.

        Но есть фигуры, не являющиеся телами вращения (кувшин, батон). Объём любого тела можно найти таким же образом, если известно, как меняется площадь тела с высотой сечения. Например, для того, чтобы вычислить объём проектируемого корабля, достаточно иметь чертежи поперечных размеров корабля. По этим чертежам надо найти площадь каждого разреза, после чего указанная выше формула даст приблизительное значение объёма корабля. Разумеется, таким же примером можно находить объёмы газгольдеров, водохранилищ и других тел.

При опросе в старших классах, с целью выяснения способов вычисления объёмов тел, узнала, что учащиеся 10 класса знают практический (44%) и геометрический (32%) способы, а 9 класс – только геометрический (21%). Но не один класс не назвал алгебраический способ. Это можно объяснить тем, что эта тема проходится только в 11 классе. (Приложение 13)

5.Заключение

Закон и порядок существуют в природе, и математика – ключ к пониманию этого порядка. Как говорил великий французский архитектор Ле Корбюзье в начале  XX века: «Всё вокруг – геометрия. Мир, в котором мы живём, наполнен геометрией домов и улиц, гор и полей, творениями природы и человека».

Трудно даже представить себе, что было такое время, когда ни один человек на земном шаре не умел вычислять объём пространственных тел так просто и точно, как теперь это сможет сделать каждый из нас. 

Изучив научную литературу и проанализировав результаты проведённых опросов, я считаю, что моя работа достигла поставленной цели и поможет каждому ученику научиться отличать пространственные тела от плоских фигур (т.е. не путать куб и квадрат, треугольник и пирамиду, шар и круг). А так же познакомит с математическим понятием – объём, присущим только пространственным фигурам и научит вычислять объём тремя способами: физическим, геометрическим и алгебраическим.

«Истинные знания вещает природа; но понять её может тот, кто научился понимать её язык, при помощи которого она говорит с нами. Этот язык есть математика». Галилео Галилей.

Список литературы

1. Александров А. Д., Вернер А. Л., Рыжик В. И. «Начала стереометрии»/ М.: Просвещение, 1981 г.
2. Бутузов В. Ф., Колягин Ю. М., Луканкин Г. Л. «Математика»/ М.: Просвещение, 1996 г.
3. Генденштейн Л. Э., Ершова А. П. «Наглядный справочник геометрии»/ М.: Издат–Школа, 1997 г.
4. Глейзер Г. Д. «Геометрия»/ М.: Просвещение, 1989 г.
5. Гуревич В. Ю. «Изучение сложных тем школьного курса математики»/ Мн.: Народная асвета, 1985 г.
6. Киселёв А. П. «Элементарная геометрия»/ М.: Просвещение, 1980 г.
7. Макрушевич А. И. «Детская  энциклопедия. Мир небесных тел. Числа и фигуры»/ М.: Педагогика,1972 г.
8. Рудомазина Н. Е., Дажина Т. Д., Павлова Н. В. «Учебный справочник школьника»/ М.: Дрофа, 2002 г.
9. Савин А. П., Станцо В. В., Котова А. Ю. «Я познаю мир. Математика»/ М.: АСТ, 1996 г.
10. Савин А. П. «Энциклопедический словарь юного математика»/ М.: Педагогика, 1989 г.